Full Text

Введение Область применения тонкостенных оболочечных конструкций достаточно широка - они используются в авиастроении [1, 2], судостроении, гражданском и промышленном строительстве [3-5], а также при решении других инженерных задач. При эксплуатации такие конструкции подвергаются различным воздействиям, что может привести к потере устойчивости, колебаниям или вызвать необратимые изменения в материале. В связи с этим возникает необходимость проведения вычислительного эксперимента по исследованию процесса деформирования тонкостенных оболочечных конструкций. В ряде работ [6-15] показано, что для рассматриваемого класса задач наиболее оправданным является использование математической модели, основанной на гипотезах Тимошенко (Миндлина - Рейснера). Данная модель позволяет учесть поперечные сдвиги и инерцию вращения (для задач динамики), что особенно важно при расчете конструкций, подкрепленных ребрами жесткости. Также модель должна учитывать ортотропию материала и геометрическую нелинейность. Но даже эта модель, как и многие другие, содержит ряд допущений, корректность и погрешность которых следует проверять. Использование сложных математических моделей требует применения численных методов, точность и особенности применения которых также могут оказывать влияние на получаемые результаты [16, 17]. В связи с этим при оценке корректности математической модели и вычислительного алгоритма достаточно важно проводить оценку их устойчивости к тому или иному входному параметру, особенно если алгоритм использует численные методы. Под устойчивостью здесь понимается малое изменение решения при малом изменении того или иного входного параметра или их совокупности. В качестве входного параметра может рассматриваться не просто переменная, а некоторая характеристика, выраженная в виде математической формулы. Тогда малое изменение этой характеристики может представлять собой ее аппроксимацию. В этом случае происходит замена одной формулы на другую, более простую, и при этом мало отличающуюся от первой на рассматриваемой области. Таким образом, производится качественное изменение (обе формулы не могут быть получены друг из друга простейшими арифметическими операциями или заменой переменных) при малом изменении количественного выражения (результаты использования формул мало отличаются друг от друга на рассматриваемой области). В качестве примера такой характеристики можно назвать геометрию поверхности. Например, в работе [18], на которую ссылается Пособие по проектированию железобетонных пространственных конструкций покрытий и перекрытий[1] (относящееся к СП 52-117-2008[2]), вместо пологой поверхности (считающейся сектором сферической) рассматривается сектор кругового параболоида, т.е. происходит замена (аппроксимация) более сложного выражения геометрии более простым. Данная работа направлена на оценку устойчивости вычислительного алгоритма по расчету значений критических нагрузок, соответствующих потери локальной и глобальной устойчивости оболочечных конструкций к геометрии самих оболочек (здесь под потерей устойчивости понимается «прохлопывание» конструкции, когда малому изменению нагрузки соответствует большое изменение ее прогиба). Для оценки влияния вида геометрии на значения критических нагрузок и оценки устойчивости соотношений модели к виду геометрии конструкции предлагается провести следующее исследование. В качестве малого измерения входного параметра рассмотрим три вида цилиндров (цилиндрических поверхностей): эллиптический, гиперболический и параболический. Этот выбор был сделан не случайно. Во-первых, для данных поверхностей достаточно легко подобрать такие коэффициенты, что качественно они будут отличаться мало (в нашем случае наибольшее отклонение сечений составило 1,92 ∙ 10-2 мм). Во-вторых, специфика геометрии (нулевая гауссова кривизна) позволяет несколько упростить и ускорить расчет. В-третьих, цилиндрические поверхности являются одними из самых распространенных, из-за чего исследование их поведения на данный момент крайне актуально [19-29]. Представленные в статье материалы не претендуют на фундаментальность в отношении механики оболочек, однако затрагивают важные вопросы устойчивости расчетного алгоритма, что может иметь значение в вычислительной механике рассматриваемых конструкций. 1. Теория и методы 1.1. Исследуемые поверхности Для предотвращения возможной путаницы в обозначениях приведем краткие выкладки по построению рассматриваемых поверхностей. Пусть задана прямоугольная система координат 0xyz, положительные направления осей которой описываются левой тройкой векторов (ось z направлена вверх). Тогда цилиндры будут представлять собой параллельный перенос кривой, заданной в плоскости y0z вдоль оси 0x. Первой поверхностью рассмотрим эллиптический цилиндр, поперечное сечение которого представлено на рис. 1, а. Эта поверхность может быть задана в явном виде: , где и - радиусы (или проекции) вдоль осей 0y и 0z соответственно. в б а Рис. 1. Схемы сечений цилиндров: а - эллиптического; б - гиперболического; в - параболического Fig. 1. Schemes of cross-section for some types of cylinders: а - elliptic; б - hyperbolic; в - parabolic Для расчета оболочечных конструкций необходимо знать коэффициенты Ляме и главные кривизны. Для их поиска необходимо обратиться к теории дифференциальной геометрии (например, [30]). Для эллиптического цилиндра коэффициенты Ляме , , а главные кривизны , . Второй рассматриваемой поверхностью является гиперболический цилиндр, поперечное сечение которого изображено на рис. 1, б. Явная форма задания этой поверхности имеет вид . Здесь - это расстояние от фокуса гиперболоида F до асимптоты, а - расстояние от вершины гиперболоида до оси 0y. Коэффициенты Ляме и главные кривизны гиперболического цилиндра: , ; , . Третья рассматриваемая поверхность - параболический цилиндр. Его поперечное сечение приведено на рис. 1, в. В явном виде данная поверхность может быть представлена как , где - это расстояние от фокуса параболы F до директрисы D, или двойное расстояние от фокуса до оси 0y. Коэффициенты Ляме и главные кривизны этой поверхности имеют следующее выражение: , ; , . 1.2. Математическая модель Будем рассматривать классическую теорию оболочек нулевой гауссовой кривизны, учитывающую поперечные сдвиги. Срединная поверхность оболочки принимается за координатную. Используемой моделью является модель деформирования оболочки типа Тимошенко (Миндлина - Рейснера), тогда перемещения в слое на расстоянии z (толщина оболочки h) от срединной поверхности составят: , , , где , , представляют собой неизвестные функции перемещений вдоль осей 0x, 0y и 0z соответственно, а , - неизвестные функции углов поворота нормали в плоскостях и . Математическая модель деформирования оболочечной конструкции может строиться или на основе уравнений равновесия, или на основе функционала полной потенциальной энергии деформации. Будем рассматривать модель на основе функционала, поскольку в ней порядок производных в два раза ниже, чем в уравнениях равновесия, что упрощает вычислительный процесс. При учете геометрической нелинейности и поперечных сдвигов геометрические соотношения (связь компонент деформаций и перемещений) в срединной поверхности оболочки будут иметь вид: , , , , , а функции изменения кривизн и кручения где , - деформации удлинения вдоль осей 0x, 0y срединной поверхности; , , - деформации сдвига в плоскостях , , соответственно; - функция, характеризующая распределение напряжений и по толщине обшивки; Для слоя обшивки, расположенного на расстоянии z от срединной поверхности, деформации составят: , , Физические соотношения (связь напряжений и деформаций) для ортотропного материала при линейно-упругом деформировании запишутся следующим образом [31]: , , , , . Здесь , , , , , , - механические характеристики материала. В случае изотропного материала необходимо принять . Выражения для усилий и моментов находятся путем интегрирования напряжений по переменной z в пределах от до Площадь поперечного сечения, приходящаяся на единицу длины сечения, будет одинаковой в направлении осей 0x и 0y, , статический момент сечения, приходящийся на единицу длины сечения, , момент инерции сечения, приходящийся на единицу длины сечения, Поэтому составляющие усилий и моментов будут иметь вид [31] , ; , ; , ; , , где , . Функционал полной потенциальной энергии деформации оболочечной конструкции можно представить в виде [33] . (1) 1.3. Алгоритм расчета В данной работе для исследования оболочечных конструкций предлагается использовать алгоритм, основанный на методе Ритца и методе продолжения решения по наилучшему параметру [32]. Верификация данного алгоритма для рассматриваемого класса задач описывалась ранее в работе [33]. Согласно этому алгоритму, к функционалу применяется метод Ритца для сведения вариационной задачи к системе нелинейных алгебраических уравнений. Для этого искомые функций представляются в виде (2) где - искомые коэффициенты разложения. Подставив функции (2) в функционал (1), находим производные по неизвестным числовым параметрам . Таким образом, получаем систему нелинейных алгебраических уравнений. Все расчеты проводятся в безразмерных параметрах, однако все рассуждения приводятся в размерном виде, чтобы не загромождать изложение. Подробно используемые безразмерные параметры и их обоснование приведены в работе [34]. 2. Расчеты Для проведения вычислительного эксперимента необходимо определить параметры цилиндров. Поскольку площадь поверхности цилиндра может быть выражена как произведение длины дуги, полученной поперечным сечением этого цилиндра плоскостью, на длину цилиндра a, далее рассмотрим только сами сечения. Зафиксируем два параметра: длину проекции сечения на ось 0y (ширина покрытия b) и на ось 0z (высота покрытия d) (рис. 2). Пусть первая м, а вторая м. Таким образом, было зафиксировано три точки: две у основания покрытия и одна на его высоте. Рис. 2. Схема размеров цилиндров Fig. 2. Scheme of sizes of cylinders Для начала определим значение параметра у параболического цилиндра. Как известно, через три точки, не лежащих на одной прямой, можно единственным образом задать параболу. Из этого получаем, что параметр . Используя формулу для расчета длины дуги [30, с. 53] , находим м. Теперь, фиксируя значение длины дуги, определим параметры и эллиптического цилиндра. Для этого выразим один параметр через другой, используя зафиксированную высоту d: . Методом подбора был определен параметр так, чтобы длина дуги эллипса была равна длине дуги параболы с точностью до пятого знака после запятой (до 0,01 мм): , , Аналогичным образом были подобраны параметры и для гиперболического цилиндра, формула выражения которых друг через друга при фиксированной высоте имеет вид . В итоге, параметры , , а длина дуги Все полученные геометрические характеристики рассматриваемых оболочек приведены в табл. 1. Рассматривался вариант, когда граница оболочек закреплена шарнирно-неподвижно. Материал конструкции - сталь ( МПа, ). На рис. 3 представлены рассматриваемые оболочечные конструкции. Как видно, количественно они практически неотличимы друг от друга. Таблица 1 Геометрические характеристики оболочек Table 1 Geometric characteristics of shells Характеристика Тип цилиндра эллиптический гиперболический параболический A 1 1 1 B , м-1 0 0 0 , м-1 R1, м 38 883/161 51 336/185 9/2 R2, м 12 961 17 112 - h, м 0,03 a, м 6 b, м 6 a1, м 0 a2, м 6 b1, м -3 b2, м 3 а б в Рис. 3. Рассматриваемые виды оболочек: а - эллиптический цилиндр; б - гиперболический цилиндр; в - параболический цилиндр Fig. 3. The types of shells considered: а - elliptic cylinder; б - hyperbolic cylinder; в - parabolic cylinder Их отличия представлены в виде графиков абсолютного отклонения сечений друг от друга на рис. 4. Как видно, наибольшее отклонение соответствует координатам В ходе вычислительного эксперимента были получены графики нагрузка q - прогиб W, представленные на рис. 5, а также сами значения нагрузки (табл. 2), при которой оболочка теряет устойчивость (на графике этой нагрузке соответствует точка первого экстремума). Поля прогибов, отложенные от поверхности оболочки, представлены на рис. 6-8 (на рис. 7, 8 представлены проекции полей рис. 6 на плоскости x0y, x0z и y0z). Как видно по графикам рис. 5, характер деформирования у всех трех видов оболочек один и тот же. Рис. 4. Графики абсолютных отклонений высотных отметок сечений цилиндров различных видов Fig. 4. Graphs of absolute deviations of elevation of cross-sections for different types of cylinders Таблица 2 Значения критической нагрузки qcr цилиндрических оболочек Table 2 Values of the critical load qcr of cylindrical shells Тип цилиндра Значение нагрузки Эллиптический цилиндр 0,742655 кПа Гиперболический цилиндр 0,742323 кПа Параболический цилиндр 0,742466 кПа Графики неотличимы друг от друга. По значениям табл. 2 полученные данные отличаются друг от друга лишь в четвертой значащей цифре. Оба этих факта говорят о том, что исследуемый алгоритм устойчив к качественному изменению геометрии при сохранении ее количественного выражения. Рис. 5. Графики нагрузка q - прогиб W для трех видов цилиндров Fig. 5. Load q versus deflection W for three types of cylinders а б Рис. 6. Поля прогибов W до (а) и после (б) критической нагрузки qcr, отложенные на поверхности (для наглядности значения прогибов увеличены в 3 раза) Fig. 6. The fields of deflections W before (а) and after (b) the critical load qcr, deposited on the surface (for clarity, the values of the deflections are tripled) Рис. 7. Проекции прогибов W до критической нагрузки (для наглядности значения прогибов увеличены в 3 раза) Fig. 7. The projections of deflections W before the critical load (for clarity, the values of deflections are tripled) Рис. 8. Проекции прогибов W после критической нагрузки (для наглядности значения прогибов увеличены в 3 раза) Fig. 8. The projections of deflections W after the critical load (for clarity, the values of the deflections are tripled) Выводы Таким образом, можно сделать вывод, что для рассматриваемого класса задач предложенная ранее математическая модель и вычислительный алгоритм устойчивы к изменению геометрии конструкции. Схожие в количественном плане поверхности (координаты точек поверхности), но различные в качественном (разное задание поверхности), при проведении расчетов дают схожие результаты. Данный результат для рассматриваемого алгоритма позволяет упростить расчеты эллиптических и гиперболических цилиндров, используя вместо их геометрических параметров параметры параболического цилиндра. Предложенная математическая модель и вычислительный алгоритм, основанный на методе Ритца и методе продолжения решения по наилучшему параметру, могут быть использованы для дальнейших исследований устойчивости тонкостенных оболочечных конструкций.

About the authors

P. A Bakusov

Saint Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering

A. A Semenov

Saint Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering

References

Statistics

Views

Abstract - 389

PDF (Russian) - 384