Full Text

Введение В настоящее время освоение новых технологий конструирования, применение новых материалов, а также внедрение наукоемких расчетов является перспективным направлением развития техники. Применение аналитических методов позволяет на этапе проработки конструкции не только оценить прочностные свойства узла или детали, но и спрогнозировать их работу в сложных критических условиях. Создание новых судов на этапе проектирования в первую очередь начинается с оценки критических параметров всех силовых агрегатов. Вибрационные нагрузки, вызываемые силовыми энергетическими машинами, в значительной степени снижают долговечность соединений трубопроводов, креплений аппаратуры, влияют на характеристики регулирующих органов. Одним из узлов, воспринимающих подобные вибрации на корабле, является компенсаторный сильфон (рис. 1), применяемый в качестве гасителя колебаний, а также герметического соединения трубопровода. Набольшее распространение в судовом машиностроении имеют однослойные сильфоны, используемые в качестве уплотняющих устройств, разделяющих жидкие или газообразные среды [1]. Использование сильфонного узла в трубопроводной магистрали позволяет уменьшить вибрационные нагрузки [2, 3], поэтому в первую очередь сильфоны устанавливают в машинных отсеках судов обеспечения, ледоколов, танкеров. Примером использования может служить сильфон, выполненный по ГОСТ Р 50618-93*. Среда, перемещаемая по трубопроводу, также оказывает влияние на его прочность и долговечность. В зависимости от фактора среды соответствующим образом подбирается и материал сильфонного компенсатора. Обеспечение прочности сильфонного узла, как гидравлического соединения, является важной задачей проектирования в судовом машиностроении. В связи с этим актуальными становятся задачи о колебаниях сильфона с учетом жидкости внутри него. Развитие механики обеспечило наличие мощного аналитического аппарата, позволяющего решать различные прочностные задачи. Корректное использование уравнений аналитической механики и вариационного исчисления позволяет строить модели деформируемых тел, в том числе оболочек вращения, к которым относятся компенсаторные сильфоны. Целью данной работы является расчет прочности сильфона как упругой гофрированной оболочки с жидкостью внутри при колебаниях. Решены задачи о свободных и вынужденных колебаниях оболочки, содержащей идеальную сжимаемую жидкость. Рис. 1. Внешний вид компенсаторного сильфона Fig. 1. A compensatory bellows Существует много теорий оболочек, они находят свое применение в разных областях техники. Авторы прикладных работ по классической теории следуют представлениям Кирхгофа - Лява [4, 5], по неклассической - учитывают дополнительные степени свободы элемента оболочки [6-8]. В данной работе использован вариант классической теории оболочек как поверхностей с материальными нормалями, построенный на основе механики Лагранжа [9-11]. Эта теория эффективно применялась разными авторами для решения различных задач: для оболочек вращения с произвольным меридианом проведены расчеты статики [12] и динамики [13, 14], решены задачи о колебаниях оболочек в жидкости и распространении волн в них [15-18]. Моделирование сильфонных компенсаторов как упругих гофрированных оболочек проведено в работах [19, 20] для решения задач статики и устойчивости. 1. Уравнения теории тонких оболочек вращения Оболочка рассматривается как материальная поверхность, частицы которой обладают пятью степенями свободы: тремя трансляциями и двумя поворотами. Движение определяется вектором малых перемещений u и вектором малого поворота в касательной плоскости. Вводится вектор изменения нормали к оболочке: (точка означает малое приращение при деформации). По выражению работы внешнего распределенного момента вводится соответствующая обобщенная сила: . Деформация поверхности определяется тензорами . (1) Здесь - оператор Гамильтона на поверхности; - второй метрический тензор. Значками отмечены составляющие в касательной плоскости, симметричная часть и транспонирование. Поворот связан с перемещением (согласно кинематической гипотезе Кирхгофа): . (2) Принцип виртуальной работы позволяет вывести всю систему уравнений. Силовые факторы в оболочке вводятся как множители Лагранжа: и - симметричные тензоры сил и моментов, - вектор перерезывающих сил; все они лежат в касательной плоскости. Из вариационной постановки следуют уравнения баланса сил и моментов: , , (3) и граничные условия на контуре в общем виде: , (4) где и - внешняя распределенная нагрузка и момент на поверхности, и - на контуре. Всего в компонентах имеем пять уравнений равновесия и четыре скалярных условия на контуре оболочки. На отрезке внутреннего контура длиной с нормалью действует (со стороны ) сила и момент , . Для оболочки из изотропного материала соотношения упругости имеют вид: , , , (5) Здесь - первый метрический тензор на поверхности (единичный тензор в касательной плоскости); коэффициенты взяты как в пластине Кирхгофа; E - модуль упругости материала оболочки; h - ее толщина; - коэффициент Пуассона. Соотношений упругости для вектора перерезывающих сил в классической теории нет, вместо него имеем соотношение (2). Далее рассмотрим оболочку, поверхность которой образована вращением меридиана вокруг оси x. Меридиан задается зависимостью цилиндрических координат от дуговой координаты: , , его положение на поверхности определяется углом (рис. 2). Радиус-вектор точек поверхности задается равенством , , где i, j, k - орты декартовой системы координат вдоль осей x, y, z соответственно. Орт касательной к параллели: . Для ортов касательной и нормали к меридиану в его плоскости имеем , , , , , где ω - кривизна меридиана, а - параллели. Рис. 2. Поверхность вращения Fig. 2. The revolution surface Вектор перемещений оболочки имеет три компоненты: . По формулам (1), (2) определим компоненты вектора поворота и тензоров деформации: , , , (6) С использованием уравнений (5) запишем соотношения сил и моментов: , , , , (7) Систему в компонентах замыкают уравнения баланса (3): (8) . , где - масса оболочки на единицу площади. Из (4) следуют четыре скалярных условия на контуре оболочки. В случае заделки: , . На свободном контуре с нормалью задается растягивающая сила , изгибающий момент и две комбинации, связывающие крутящий момент с компонентами силы: , Будем рассматривать вынужденные колебания под действием периодической нагрузки где n - целое число, - частота нагрузки. Остальные функции ищем в аналогичном виде: пропорциональны , а неизвестные - . Из уравнений (6)-(8) для амплитуд получим систему, приведенную в [13], вида (9) для столбца неизвестных, задаваемых на краях оболочки. Система обыкновенных дифференциальных уравнений (9) дополняется четырьмя граничными условиями на каждом крае оболочки. Эта краевая задача решается методом конечных разностей [21]. В случае свободных колебаний оболочки в системе (9) все внешние нагрузки равны нулю ( и ), а частота неизвестна и должна быть найдена. Граничные условия однородны. Применяя метод конечных разностей, из (9) придем к однородной системе линейных алгебраических уравнений: (10) где - столбец значений амплитуд в N узлах сетки ( ). Частоты , при которых система (10) имеет нетривиальное решение, - собственные частоты оболочки, так будет при условии . (11) Корни уравнения (11) могут быть найдены, например, методом дихотомии [21]. 2. Определение нагрузки со стороны жидкости Во многих инженерных расчетах для описания взаимодействия упругих тел с жидкостью используется модель идеальной жидкости. При расчетах колебаний тел применяют формулу для присоединенной массы [22, 23], ее значение для тел разной формы различно и зависит от ориентации тела относительно направления его движения [24-28]. Как известно, для кругового цилиндра, движущегося в жидкости в направлении, перпендикулярном образующей оси, присоединенная масса равна массе жидкости в объеме цилиндра. Обзор научно-технической литературы показал, что в настоящее время не существует корректной модели расчета присоединенной массы гофрированной оболочки. В работах [22, 29] сложнопрофильную оболочку приближенно разбивают на цилиндрические поверхности и находят присоединенную массу для гофры суммированием масс для каждой части. В данной работе предлагается при расчете присоединенной массы гофрированной оболочки заменить ее на цилиндрическую поверхность с радиусом по средней линии гофры. Гидромеханическая задача будет рассмотрена в двумерной постановке для круга в предположении, что скорости движения жидкости вдоль оси цилиндра существенно меньше скоростей движения в плоскостях, перпендикулярных его оси. Отметим также, что в большинстве трудов присоединенные массы определяют для недеформируемых тел, при расчетах колебаний тонкостенной оболочки это может привести к большим погрешностям. В работе [30] выведена формула для присоединенной массы идеальной несжимаемой жидкости внутри кругового цилиндра, зависящей от формы его деформирования. При нормальном смещении контура цилиндра по закону присоединенная масса (12) где n - число волн вдоль окружности; - плотность жидкости; R - радиус цилиндра. При имеем случай колебания жесткого кругового цилиндра, и формула дает известный результат - массу жидкости в объеме цилиндра. Формула (12), учитывая влияние деформации поверхности цилиндра на присоединенную массу, все же не учитывает влияние частоты колебаний тела на присоединенную инерцию. Для устранения этого недостатка необходимо ввести в рассмотрение сжимаемость жидкости, поэтому далее будем использовать акустическое приближение [31]. Рассмотрим движение идеальной сжимаемой жидкости с малыми возмущениями давления , плотности и скорости v. Будем считать, что массовые силы отсутствуют, и v - малые одного порядка. Тогда, пренебрегая малыми второго порядка, для жидкости получим следующую систему уравнений: - уравнение баланса сил, (13) , - уравнение состояния, (14) - уравнение неразрывности. (15) Из этой системы получим волновое уравнение для давления: . (16) Здесь с - скорость звука в жидкости. Пусть стенки кругового цилиндра радиуса R перемещаются по закону: (17) Перепишем волновое уравнение (16) в полярных координатах: . (18) На поверхности цилиндра должно выполняться условие непроницаемости и безотрывности течения: (19) Здесь было учтено уравнение баланса (13). Решение ищем в виде , из (19) получим граничное условие для неизвестной функции давления P(r): (20) Из (18) следует обобщенное уравнение Бесселя: , (21) его решение выражается через функции Бесселя 1-го рода и Неймана [32]: . (22) Из условия ограниченности решения в нуле, с учетом асимптотики функций Неймана, следует: A2 = 0. Вторую константу найдем из условия (20), таким образом, получим решение задачи: (23) На давление жидкости влияет частота колебаний цилиндра и его нормальное смещение. Жидкость оказывает на внутреннюю стенку цилиндра давление . В уравнении баланса сил будем иметь следующую распределенную нормальную нагрузку с учетом инерции от распределенной массы самого цилиндра: Таким образом, получили, что инерционные силы сжимаемой жидкости линейно выражаются через нормальное ускорение колеблющегося цилиндра. Коэффициент при ускорении называется обобщенной присоединенной массой [33-35]: (24) Отметим, что Mn - это масса на единицу площади; чтобы ее сравнить с результатом Горелова (12), необходимы дополнительные выкладки из статьи [30]. В ней найдено приращение гидродинамического давления при деформировании контура цилиндра по закону : откуда получаем выражение обобщенной присоединенной массы несжимаемой жидкости: (25) Нетрудно показать, что при , т.е. формула (25) представляет собой асимптотику массы Mn при малой частоте колебаний. Это иллюстрирует график, показанный на рис. 3. По оси абсцисс на нем отложена безразмерная частота , а по оси ординат - обобщенные массы, обезразмеренные на множитель : показаны сплошными линиями и - пунктирными. Формула (25) будет хорошо работать при малых частотах колебаний, в другом случае необходимо учитывать сжимаемость жидкости и использовать формулу (24). При дальнейших расчетах колебаний гофрированной оболочки с жидкостью внутри используем обе формулы - (24) и (25), сравнивая результаты. Рис. 3. Зависимость безразмерных присоединенных масс от безразмерной частоты при различных n: 1 - n = 1; 2 - n = 2; 3 - n = 3; 4 - n = 4 Fig. 3. Dependence of non-dimensional added masses on non-dimensional frequency at different n: 1 (n = 1); 2 (n = 2); 3 (n = 3); 4 (n = 4) 3. Расчет колебаний компенсаторного сильфона Проведем расчет свободных и вынужденных колебаний компенсаторного сильфона как упругой гофрированной оболочки. Ее меридиан удобно задать в виде , , (26) где , - образующие радиусы; m - число волн по длине оболочки; - длина оболочки (рис. 4). Рис. 4. Меридиан гофрированной оболочки Fig. 4. The corrugated shell meridian Для каждой точки меридиана вычисляется дуговая координата по формуле затем строятся интерполяции , и рассчитываются остальные коэффициенты системы (9): , Расчеты проводились для сильфона Ду200 с параметрами: R = 118 мм, xL = 320 мм, Rс = 16,5 мм. Толщина однослойного сильфона 3,5 мм, число волн m = 7. Материал - коррозионно-стойкая жаропрочная сталь 08Х18Н10Т c модулем упругости E = 210 ГПа, коэффициентом Пуассона ν = 0,28 и плотностью кг/м3. Скорость звука в жидкости м/с, плотность жидкости кг/м3. При расчете собственных частот предполагалось, что один край сильфона жестко заделан, другой свободен. Учет жидкости существенно изменяет собственные частоты сильфона (таблица), это необходимо принимать во внимание при его проектировании и эксплуатации. Заметим, что учет несжимаемой жидкости в модели дает несколько завышенные значения частот по сравнению с учетом сжимаемой жидкости, однако относительные погрешности частот в рассмотренном диапазоне не превышают 2 %. Частоты свободных колебаний Frequency of free oscillations Номер гармоники n Частота, Гц без жидкости несжимаемая жидкость с массой mn сжимаемая жидкость с массой Mn 1 146 587 97 342 97 341 2 1189 1243 906 929 902 926 3 2873 3733 2042 2843 2019 2792 Рассмотрим далее вынужденные колебания сильфона, вызванные поперечным смещением одного торца по закону: , где - вибрационная амплитуда. Здесь предполагается, что форма поперечного сечения остается окружностью. В компонентах для амплитуд при имеем на этом торце такие граничные условия: На рис. 5 представлены вычисленные перемещения и деформированная форма сильфона при амплитуде мм и частоте вибрации рад/с (50 Гц); на рис. 6 показаны усилия и изгибающий момент на его внутреннем контуре. После определения сил и моментов необходимо вычислить напряжения на лицевых поверхностях [9]: (27) где компоненты тензоров деформации и силовых факторов определяются по формулам (5)-(7). Далее находятся компоненты девиатора напряжений и норма Мизеса : (28) Начало пластических деформаций в оболочке определяется условием текучести [36]: , (29) где - предел текучести материала при растяжении. а б Рис. 5. Перемещения сильфона (а): 1 - окружное ; 2 - осевое ; 3 - нормальное ; деформированная форма сильфона (б) Fig. 5. The bellows displacements (a): 1 is circular ; 2 is axial ; 3 is normal ; (b) is a deformed bellows а б Рис. 6. Усилия в сильфоне (а): 1 - ; 2 - ; 3 - ; изгибающий момент (б) Fig. 6. Forces in the bellows (а): 1 - ; 2 - ; 3 - ; bending moment (b) Расчеты показали, что максимум нормы Мизеса соответствующий приложенному перемещению мм, равен 19,2 МПа. Предел текучести стали при растяжении МПа. Учитывая линейность задачи и формулу (29), можно утверждать, что пластическая деформация в сильфоне на частоте 50 Гц начнется при значении вибрационного смещения торца равном 0,62 мм. Полученные в работе уравнения и разработанный алгоритм расчета колебаний гофрированной оболочки с жидкостью внутри могут служить основой для анализа динамики компенсаторных сильфонов под произвольной нагрузкой. Заключение Проведены расчеты свободных и вынужденных колебаний трубопроводного компенсаторного сильфона с учетом содержащейся в нем жидкости. Выведена и использована в расчетах формула для обобщенной присоединенной массы идеальной сжимаемой жидкости. Расчеты показали, что учет жидкости в сильфоне вносит значительную корректировку в значения собственных частот, при высокочастотных колебаниях необходимо учитывать сжимаемость жидкости. Рассмотрена задача о вынужденных колебаниях сильфона под вибрационным смещением его торца, найдено критическое значение перемещения, при котором сильфон переходит в пластическое состояние. Заметим, что примененная классическая теория оболочек позволяет учитывать их многослойность, при условии приведения характеристик нескольких слоев к характеристикам усредненного слоя [37]. Это дает возможность анализировать влияние водородной коррозии на колебания компенсатора путем введения ослабленного коррозией внутреннего слоя [38].

About the authors

T. V Zinovieva

Institute for Problems in Mechanical Engineering, Russian Academy of Sciences

V. A Piskunov

Concern Avrora Scientific and Production Association JSC

References

Statistics

Views

Abstract - 490

PDF (Russian) - 361