Full Text

Введение Механические свойства материалов, содержащих дефекты различного характера, трещины, поры, таких как конструкционные графиты, бетон, некоторые горные породы, демонстрируют зависимость от условий нагружения [1, 9, 12, 23, 24, 26, 27]. К такого рода материалам, демонстрирующим зависимость от вида деформированного состояния, также относятся и металлы, в частности некоторые марки стали, чугуна, меди и алюминия [28-33]. Для подобных материалов характерны следующие свойства [1, 5-7, 13, 26]: отсутствие единой диаграммы связи эквивалентного напряжения с эквивалентной деформацией , где , , различие модуля упругости при растяжении и сжатии, под которым понимаются секущие модули при линейной аппроксимации диаграмм деформирования, зависимость объемных деформаций от сдвиговых. Такие эффекты можно трактовать как зависимость свойств материалов от вида напряженного (деформированного) состояния. Анализ экспериментальных данных показывает, что наиболее ярко подобная связь проявляется с ростом деформации в нелинейной области деформирования [6]. В работе [10] описываются особенности построения определяющего соотношеня, учитывающего изменение механических свойств горных пород под действием объемного давления. В работе [13] предлагается определяющее соотношение для горных пород, учитывающее зависимость свойств от давления, а также предлагаются экспериментальные методы определения материальных постоянных. В работах [14, 15] исследуется зависимость прочности песчаника от вида напряженного состояния, приводятся результаты одноосных и трехосных испытаний и предлагается соответствующее определяющее соотношение. В работе [16] проводятся исследования пористых горных пород, в частности мела, и предлагается определяющее соотношение, которое проверяется по результатам трехосных испытаний с учетом влажности образцов. В работе [17] исследуются горные породы и предлагается определяющее соотношение, которое описывает эффект уменьшения твердости при увеличении деформации (разупрочнение). Задача построения определяющих соотношений теории пластичности деформационного типа, учитывающих зависимость от вида напряженного состояния, характеризуемого параметром , рассматривается в работе [1]. В упомянутой работе предлагаются соотношения, описывающие зависимость деформации от напряжения. Существует широкий класс задач, в которых постулируется кинематика (представление для перемещений), например задачи плоской деформации. В таких задачах (исходя из соответствующих предположений) считается известной форма представления поля перемещений. В таком случае автоматически удовлетворяются уравнения совместности деформаций. Для решения этого класса задач требуется найти обратное определяющее соотношение, описывающее зависимость напряжений от деформации. Аналитический вывод соотношения, обратного рассматриваемому в работе [1], является достаточно трудоемкой задачей и возможен только в случае некоторых упрощений [2]. В данной работе используется методика построения модели материала, описывающей зависимость напряжения от деформации с учетом вида напряженного состояния на основании обработки результатов механических испытаний. Несмотря на то что сегодня интерес специалистов направлен преимущественно на изучение более общих теорий пластичности, например теории пластического течения [14-22, 25], деформационная теория сохраняет свою актуальность при исследовании поведения материалов в условиях пропорционального нагружения [8]. В [1] предлагается потенциал деформаций, имеющий вид Здесь первое слагаемое соответствует линейно-упругому потенциалу, функция характеризует нелинейность диаграмм деформирования и обычно аппроксимируется степенной функцией , а функция - зависимость диаграмм деформирования от вида напряженного состояния. Из потенциала такого вида выведем соотношения между деформациями и напряжениями: (1) Отсюда можно выразить связь между эквивалентными напряжениями и деформациями, а также между сверткой тензоров напряжений и деформаций: В случае n = 2, соответствующем прямолинейным диаграммам деформирования, а также для линейной функции вида напряженного состояния где С - параметр вида напряженного состояния, данное определяющее соотношение обращается следующим образом [2]: (2) где - параметр вида деформированного состояния. Нахождение точного определяющего соотношения, обратного (1), при нелинейности диаграмм деформирования приводит к слишком громоздким выкладкам и возможно только приближенно (в рядах). Для такого обращения должен быть заранее выбран вид функции что приведет к потере общности. В основе всякой математической модели материала должны быть экспериментальные данные. Любым механическим испытаниям свойственно наличие погрешностей, связанных с неидеальностью материала, невозможностью получения абсолютно идентичных образцов. Эти свойства в особой мере присущи материалам из рассматриваемого класса, например горным породам. Следовательно, наличие громоздкого и неудобного, но «точного» обратного соотношения для большей части его возможных применений нецелесообразно. Более простым представляется построение «обратного» определяющего соотношения, по возможности перенимающего свойства и качества исходного на базе результатов испытаний. Для такого определяющего соотношения константы материала можно найти непосредственно из экспериментальных данных без необходимости их специального пересчета (напомним, что аналитическое представление обратной функции от (1) выражено в рядах), что в некоторых случаях может оказаться удобнее. При построении теории исходим из следующих гипотез: · Существует потенциал соотношения между напряжениями и деформациями. · Деформации считаются малыми. · Учитывается зависимость потенциала только от первого инварианта деформаций и интенсивности деформаций, что позволит нам охарактеризовать деформированное состояние в среднем. Зависимостью от параметра Надаи-Лоде возможно пренебречь [1, 6, 12, 11], поскольку между тремя главными инвариантами деформаций, характеризующими деформированное состояние, существует только два связывающих их независимых соотношения, и нам будет достаточно ε и ε0. Таким образом, искомые определяющие соотношения остаются тензорно-линейными (но при этом сохраняется возможность описывать поведение «физически нелинейной» среды). · Определяющие соотношения включают, как частные случаи, соотношения нелинейной теории упругости и закон Гука. Для общности можно перейти от параметра вида напряженного состояния к параметру вида деформированного состояния и затем рассматривать вместо потенциала деформаций потенциал . Определяющие соотношения и экспериментальные данные Потенциальная функция деформационых соотношений может быть выбрана в следующем виде: (3) Тогда в случае c = 0, из (3) получим закон Гука. Из формы представления потенциальной функции (3) непосредственно следует наличие зависимостей между инвариантами напряжений и деформаций: (4) Суть дальнейшей работы сводится к следующему: необходимо подобрать экспериментальные данные, позволяющие в каждый момент эксперимента получать значения ; затем по таким экспериментальным данным с помощью методов регрессионного анализа строятся «поверхности» вида , которые аппроксимируются функциями вида (4). Указанным критериям соответствуют экспериментальные данные, опубликованные в работе [3]. В ней приводятся результаты испытаний различных горных пород, проведенных на установке пропорционального нагружения. Полученные в опытах деформации малы, поэтому можно считать, что для описания поведения материала применимы потенциальные соотношения нелинейной теории упругости. Исследования выполнялись в условиях объемного напряженного состояния при На основании анализа экспериментальных данных примем: Таким образом, определяющие соотношения (4) примут следующий вид: (5) (6) (7) Сравним (5) с определяющим соотношением (2), являющимся частным случаем общего определяющего соотношения (1) [1, 2], в результате находим, что С точностью до переобозначения констант, данное соотношение совпадает с (5) при k = 1. Достаточным условием единственности решения краевой задачи является выпуклость потенциала [3]: где Воспользовавшись тем, что свертка симметричного и антисимметричного тензора равна нулю, а также свойствами получим где Тогда условия единственности можно сформулировать следующим образом: Также для единственности решения краевой задачи необходима положительность энергии деформации: Для определяющих соотношений (5) найдем константы материала для некоторых горных пород, воспользовавшись методом наименьших квадратов. Результаты приведены в табл. 1. Таблица 1 Результаты обработки экспериментальных данных Table 1 Results of experimental data analysis Порода e, МПа c, МПа k b, МПа Талькохлорит 5961 -6000 0,6644 33 590 Известняк 846 -5000 0,4464 5738 Полученные постоянные материала удовлетворяют условиям единственности для всех рассмотренных в экспериментах комбинаций первого инварианта деформаций и интенсивности деформаций. На рис. 1, 2 представлены результаты сопоставления экспериментальных данных с теоретическими зависимостями для талькохлорита и известняка. Маркерами обозначены экспериментальные точки, сплошными линиями - отклик математической модели на соответствующую программу нагружения. В большинстве экспериментальных результатов, анализируемых в статье, условия соответствовали пропорциональности изменения главных напряжений. В случае рассматриваемых ниже экспериментов по испытанию бетона одно из главных значений тензора напряжений равнялось нулю, так что условие пропорциональности выполнялось для напряжений в плоскости. Для каждого вида испытаний можно получить зависимость между объемной деформацией и интенсивностью деформации. Несмотря на линейную зависимость гидростатической компоненты напряжений и интенсивности напряжений от первого инварианта тензора деформаций в соотношениях (6) и (7), зависимость нелинейная и определяется свойствами материала и программой эксперимента. Данная зависимость оказывает влияние на вид представленных ниже графиков (рис. 1-5). Результаты сравнения показывают, что предлагаемое определяющее соотношение с удовлетворительной точностью описывает поведение талькохлорита при испытаниях на пропорциональное нагружение практически во всем диапазоне изменения напряжений. Максимальное относительное отклонение теоретических значений инвариантов напряжения от экспериментальных не превышает 20 %. Для известняка соответствие экспериментальных данных с моделью хуже: максимальное отклонение для значений составляет 20 %, а для значений - несколько выше. При оценке качества модели следует учитывать, что разброс первичных экспериментальных данных для горных пород может достигать 20 %. Рис. 1. Сопоставление экспериментальных данных испытаний талькохлорита с расчетными для различных значений параметра вида напряженного состояния Fig. 1. Comparison of experimental data of talcochlorite tests with calculated data for different values of the stress state type parameter Рис. 2. Сопоставление экспериментальных данных испытаний известняка с расчетными для различных значений параметра вида напряженного состояния Fig. 2. Comparison of experimental data of limestone tests with calculated data for different values of the stress state type parameter Испытания бетона в условиях двухосного нагружения проводятся уже на протяжении более чем 100 лет. Целью экспериментаторов, как правило, является определение критериев прочности бетона различных марок. В некоторых работах приводятся графики, описывающие процесс деформирования образцов. Следует отметить существенный разброс в результатах испытаний, проводимых различными авторами. В частности, значения прочности для двухосного сжатия могут отличаться в 4 раза [27]. Воспользуемся результатами экспериментов на двухосное пропорциональное нагружение, приведенными в [27]. Испытывался бетон марки М-300 (табл. 2, рис. 3). В состав бетона входил гравий, с максимальным диаметром частиц наполнителя 15 мм. Соотношение между водой и цементом 0,9, объемное содержание цемента в растворе - 190 кг/м3. Образцы заливали в горизонтальные металлические формы с точной геометрией, вручную уплотняли, выдерживали во влажной среде в течение 7 дней и затем оставляли в помещении с относительной влажностью 68 % и температурой 20 °С на 21 день. Эксперимент осуществлялся в специально изготовленной испытательной машине для двухосного нагружения. Усилие на образцы передавалось через стальные плиты, причем поверхность плит, контактирующая с бетоном, имела частые глубокие канавки, так что плита представляла собой «щетку». Такая форма плит обеспечивала уменьшение трения между ней и испытываемым образцом. Двухосное нагружение обеспечивалось гидравличесикими цилиндрами с максимальным усилием сжатия в 75 т и максимальным усилием растяжения в 40 т. Постоянство соотношения главных напряжений обеспечивалось с помощью специального гидравлического распределительного устройства. Для испытаний на растяжение образцы бетона склеивались с нагрузочными плитами с помощью эпоксидного клея. Результаты данных испытаний также были обработаны способом, описанным выше. Были определены постоянные материальной функции. Результаты сопоставления экспериментальных данных с расчетными представлены на рис. 6. Некоторая «волнистость» полученных диаграмм связана с погрешностями оцифровки графиков из статьи. Следует отметить, что возникающая в связи с этим ошибка по порядку величины меньше, чем разброс экспериментальных данных испытаний бетона, который может составлять порядка 10-20 %. Таблица 2 Результаты обработки экспериментальных данных для бетона Table 2 Results of experimental data analysis for concrete Марка бетона e, МПа c, МПа k b, МПа Бетон М-300 166,8 -3790 0,38 7601 Бетон HSLW М-700 12 520 -1446 0,8725 24 070 Рис. 3. Сопоставление экспериментальных данных испытаний бетона М-300 с расчетными для различных соотношений для сжатия по двум осям (cc) и для сжатия с растяжением (tc). Точками отмечены результаты испытаний, сплошными линиями - модель Fig. 3. Comparison of experimental test data for M-300 concrete with calculated data for different ratios of for compression along two axes (cc) and for compression with tension (tc). The test results are marked with dots, and the model is marked with solid lines Рис. 4. Сопоставление экспериментальных данных испытаний бетона М-300 с расчетными для различных соотношений для растяжения по двум осям (tt). Точками отмечены результаты испытаний, сплошными линиями - модель Fig. 4. Comparison of experimental test data for M-300 concrete with calculated data for different ratios of for two-axis tension (tt). The test results are marked with dots, and the model is marked with solid lines Соответствие модели результатам испытаний несколько хуже, чем в случае горных пород. Для двухосного сжатия и сжатия с растяжением относительное отклонение экспериментальных значений от теоретических не превышает 25 %, для - 20 %. Следует отметить неприменимость предлагаемой модели для описания двухосного растяжения. В работе [26] описываются аналогичные испытания по двухосному нагружению различных марок бетона. Были обработаны результаты исследований механического поведения образцов высокопрочного легковесного бетона (HSLWC) марки М-700 (см. табл. 2, рис. 4). Состав смеси на 0,1 м³ бетона: 40 кг цемента, 3,4 кг микрокремнезема, 61 кг мелкого заполнителя, 67 кг крупного заполнителя, 75 мл замедлителя схватывания бетона, 1000 мл суперпластификатора. Плотность смеси составила 1950 кг/м3. Бетон заливали в плексигласовые формы, уплотнение обеспечивалось помещением форм на 60 с на вибрирующий с частотой 40 Гц стол. После затвердевания образцы накрывали пластиковыми крышками, чтобы избежать высыхания. Через два дня после затвердевания образцы вынимали из форм и помещали в резурвуар с чистой водой на 56 дней. Затем образцы помещали в комнату с относительной влажностью 99 % и постоянной температурой 20 °С. За два дня до испытаний образцы извлекали из комнаты, после чего их поверхности шлифовались алмазным диском для обеспечения необходимой точности геометрии. Конструкция испытательной машины и нагрузочных плит аналогична описанной выше. Двухосное нагружение обеспечивалось линейными актуаторами с сервоприводами с обратной связью, обеспечивающими максимальное усилие в 710 кН. Поверхностные деформации на плоскостях образцов, контактирующих с нагрузочными плитами, измерялись с помощью экстензометров, приклеенных к образцам с помощью эпоксидного клея, деформации в направлении действия сил и деформация на свободной поверхности измерялись с помощью высокоточных LVDT-датчиков. Для двухосного сжатия и сжатия с растяжением относительное расхождение между экспериментальными значениями и теоретическими не превышает 10 %, для - 15 %. Для условий растяжения максимальное относительное различие между экспериментальными и теоретическими значениями для не превышает 20 %, для отклонение несколько больше. Рис. 5. Сопоставление экспериментальных данных испытаний бетона HSLW М-700 с расчетными для различных соотношений для сжатия по двум осям (cc) и для сжатия с растяжением (tc). Точками отмечены результаты испытаний, сплошными линиями - теоретические зависимости Fig. 5. Comparison of experimental test data for HLSW M-700 concrete with calculated data for various ratios of for compression along two axes (cc) and for compression with tension (tc). Test results are marked with dots, and theoretical dependencies are marked with solid lines Рис. 6. Сопоставление экспериментальных данных испытаний бетона HSLW М-700 с расчетными для различных соотношений для растяжение по двум осям (tt). Точками отмечены результаты испытаний, сплошными линиями - модель Fig. 6. Comparison of experimental test data for HLSW M-700 concrete with calculated data for different ratios of for two-axis tension (tt). The test results are marked with dots, and the model is marked with solid lines Различные образцы бетона, как и рассмотренные горные породы, демонстрируют зависимость своих механических свойств от вида напряженного состояния. Особенно существенно от вида напряженного состояния зависит предел прочности. Требуется проведение дальнейших исследований для обоснования применимости определяющих соотношений вида (5). Заключение Предлагаемые определяющие соотношения учитывают зависимость механических свойств от вида напряженного (деформированного) состояния. Определяющие соотношения такого типа могут быть полезны для описания механического поведения широкого класса материалов, например металлов, горных пород, пластиков. В данной работе выведены условия на материальные параметры определяющего соотношения, обеспечивающие единственность решения краевой задачи. С помощью методов регрессионного анализа обработаны результаты испытаний на сложное нагружение различных горных пород и марок бетона, определены значения механических характеристик. Установлена ограниченная применимость предлагаемого определяющего соотношения. Найдено относительное отклонение между экспериментальными данными и результатами, предсказываемыми моделью.

About the authors

E. V Lomakin

Lomonosov Moscow State University

P. V Tishin

Lomonosov Moscow State University

References

Statistics

Views

Abstract - 486

PDF (Russian) - 368