# Abstract

Plane contact problems of the elasticity theory are investigated for a wedge when Poisson’s ratio is an arbitrary smooth function with respect to the angular coordinate while shear modulus is constant. For this case Young’s modulus is also variable with respect to the angular coordinate. A finite contact domain is given on one wedge face, it does not include the wedge apex, while the other wedge face is rigidly fixed (problem A) or stress-free (problem B). To reduce the problems to integral equations with respect to the contact pressure, we use the general Freiberger type representation for the solution of elastic equilibrium equations written in polar coordinates with variable Poisson’s ratio. Exact solutions of auxiliary problems are constructed with the help of Mellin integral transforms. The regular asymptotic method employed is effective for contact domains relatively distant from the wedge apex. It is shown that logarithmic terms appear in the asymptotic solutions for the inhomogeneous material which are missing in the well-known asymptotics for the homogeneous one. In contact problem C which is corresponding to problem A, the friction and roughness are taken into account in the contact region. The roughness of the wedge surface is simulated by a Winkler type coating. The collocation method is used for solving integral equations of the second kind. Unlike problem A, in problem C the contact pressure does not have square root singularities at end-points where it takes finite values. Calculations are made for the cases when Poisson’s ratio and Young’s modulus increase or decrease from the surface of the wedge.

# Full Text

Введение Контактные задачи и их аналитические решения вызывают большой интерес в современной мировой науке и очень важны для решения многих проблем в машиностроении [1-4]. Математический аппарат контактных задач теории упругости был заложен в [5]. Аналитические методы решения задач со смешанными краевыми условиями были рассмотрены в [6]. Исследовались плоские и пространственные контактные задачи для однородных [7, 8] и анизотропных [9] тел. Развиты методы решения плоских и осесимметричных контактных задач для неоднородных тел [10, 11]. Ряд контактных задач для функционально-градиентных тел и покрытий решен в [12-17]. Рассматривалось влияние различных факторов (динамика, микрорельеф, адгезия) на поверхности контакта [18-21]. Одним из основных приближенных методов в неоднородной теории упругости является метод возмущений [22]. Для случая переменного коэффициента Пуассона точные фундаментальные решения были получены для полупространства и слоя (непрерывная зависимость коэффициент Пуассона от глубины) [23-25], для цилиндрических тел (зависимость от радиальной координаты) [26, 27] и для плоского клина (зависимость от угловой координаты) [28, 29]. Изучались контактные задачи для однородного и составного плоского и пространственного клина [5, 7, 8, 29, 30]. Для плоского клина с постоянным коэффициентом Пуассона исследовались случаи зависимости модуля упругости [31-33] или сдвига [10] от угловой координаты. Были получены приближенные решения контактных задач без трения для плоского клина с переменным коэффициентом Пуассона, когда область контакта выходит на угловую точку, основанные на специальных аппроксимациях символов ядер интегральных уравнений [28, 29]. Однако эти решения эффективны лишь для малых изменений коэффициента Пуассона, когда погрешность аппроксимации невысока. В настоящей работе рассмотрен случай, когда область контакта не выходит на угловую точку клина, для решения применяется регулярный асимптотический метод. Предлагаемый подход эффективен для областей контакта, относительно удаленных от угла клина. Для учета трения и шероховатости используется метод коллокаций. 1. Контактные задачи без трения Рассмотрим плоские контактные задачи о взаимодействии бесконечного линейно-упругого клина угла раствора a с жестким штампом по области j = , < a £ r £ b (рис. 1). Для решения задачи удобно ввести полярные координаты r, j с полюсом в вершине клина. Принимается, что вне области контакта грань j = не нагружена, трение не учитывается. Краевые условия задачи формулируются следующим образом. Грань клина j = a жестко заделана (задача А) или свободна от напряжений (задача Б). Материал клина является неоднородным: коэффициент Пуассона n = n(j), модуль сдвига постоянен: G = const. Без ограничения общности будем считать, что штамп имеет плоское основание и вдавливается без перекоса на величину d под действием силы P. В задаче А при заданных величинах a, b, a, d, G и известной функции n(j) требуется определить контактное давление sj(r,0) = -q(r) в области контакта. Затем может быть определена сила P и точка ее приложения. В задаче Б невозможно установить связь между приложенной к штампу силой P и осадкой d [7, 28, 29], поэтому вместо d заданной считается величина P. Этот известный парадокс связан с плоской постановкой задачи для клина или полуплоскости (частный случай клина) [7] и устраняется при рассмотрении пространственной контактной задачи (типа Герца) для клина с одной свободной гранью и полупространства (частный случай пространственного клина) [29]. j = 0 j = a P а б a b j = a j = P n(j), G a b n(j), G Рис. 1. Контакт штампа и клина при жесткой заделке (а) и отсутствии напряжений (б) Fig. 1. Contact of the punch and the wedge for a rigid fixation (а) and without stress (b) Для сведения контактных задач к интегральным уравнениям относительно q(r) рассмотрим вспомогательные задачи о действии заданной нагрузки на грань описанного выше неоднородного клина при разных граничных условиях на другой его грани (жесткая заделка или отсутствие напряжений). Точные решения вспомогательных краевых задач находятся на основе общего представления типа Фрайбергера [34] решения уравнений упругого равновесия в полярной системе координат при переменном коэффициенте Пуассона [28, 29]. Задачи сводятся к векторному уравнению Лапласа и скалярному уравнению Пуассона, правая часть которого зависит от функции n(j). Решения этих уравнений находятся при помощи интегрального преобразования Меллина [35]. Нормальное упругое перемещение поверхности клина под приложенной нагрузкой представляется в форме интеграла Меллина (нагрузка также находится под знаком интеграла). Приравнивая найденное упругое перемещение осадке штампа, получаем интегральное уравнение (ИУ) (1) где для задач А (m = 1) и Б (m = 2) , (2) При n(j) = const ИУ (1), (2) совпадают с известными ИУ для однородного клина [5, 7]. Предположим, что функция h(j) разлагается в ряд Фурье, и далее без ограничения общности оставим в этом разложении два члена: (3) В отличие от задачи А, в задаче Б символ ядра ИУ имеет двукратный полюс при s = 0. Это и будет препятствовать возможности найти связь между P и d в задаче Б. Переходя в ядре ИУ (1) к интегрированию по вещественной оси, используя теорию вычетов для задачи Б, после введения безразмерных величин (4) придем к ИУ (m = 1 и 2 для задач А и Б соответственно) (5) , , . Безразмерный параметр l вида (4) характеризует относительную удаленность области контакта от вершины клина. Для решения ИУ (5) применим регулярный асимптотический метод [5-8], эффективный при больших значениях параметра l (вдали от угловой точки). Как известно [6], структура асимптотики существенно зависит от поведения символа ядра на бесконечности. Для однородного материала (n1 = 0) функция экспоненциально убывает при u®¥ [7]. Здесь же имеем (6) Поведение (6) приводит к появлению в асимптотическом решении логарифмических членов, которые отсутствуют для однородного клина [6,7]. Именно на основании (6) можно показать, что для ядра ИУ (5) имеет место степенно-логарифмическое разложение по малому параметру [6, 36]: (7) . Для задачи Б разложение (7) содержит бесконечную постоянную ввиду расходимости интеграла в нуле. Регулярный асимптотический метод для обеих задач начинается с почленного дифференцирования ИУ (5) по x. После дифференцирования ИУ (5) бесконечная постоянная в ядре для задачи Б исчезает (интеграл в ядре становится сходящимся), а главный логарифмический член в (7) для обеих задач переходит в известное сингулярное ядро Коши. Асимптотическое решение разыскивается в форме степенно-логарифмического разложения по 1/l с неизвестными функциями - коэффициентами этого разложения. Группируются и приравниваются члены при одинаковых степенях . Для нахождения каждого последующего члена асимптотики возникает сингулярное ИУ с ядром Коши, правая часть которого зависит от предыдущих, уже найденных членов. Поскольку производная правой части ИУ (5) равна нулю, для первого члена асимптотики имеем однородное сингулярное ИУ с ядром Коши, нетривиальное решение которого зависит от одной произвольной постоянной [6]. Эта произвольная постоянная окончательно находится из интегрального условия равновесия штампа (8) Таким образом, контактное давление оказывается прямо пропорциональным приложенной к штампу безразмерной силе . Затем в задаче А для определения связи между силой и осадкой штампа полученное решение следует подставить в исходное ИУ (5). В задаче Б этого сделать нельзя из-за расходимости первого интеграла (7). В результате приближенное асимптотическое решение контактных задач получим в виде ( ) (9) , , . В задаче А интегральная характеристика контактного давления (8) (безразмерная вдавливающая сила) вычисляется по формуле . (10) Погрешность решения (9), (10) при l ³ 5 и не слишком малых углах a не превосходит 5 %. Это решение можно рекомендовать, когда область контакта (штамп) относительна удалена от вершины клина. p/2 3p/4 p 5p/4 a a30 2 1 p/2 3p/4 p 5p/4 a p/2 3p/4 p 5p/4 a a31 0,4 0,2 -0,2 P0 1,1 1,0 0,9 0,8 б в а Рис. 2. Графики величин (7) - а, б и (10) - в, P0 = P*/f, в задаче А: сплошные линии при n1 = 0,1, n = 1; пунктир при n1 = 0,1, n = 3; точки при n1 = -0,1, n = 1; точка-пунктир при n1 = -0,1, n = 3 Fig. 2. Plots of parameters (7) - (a, b) and (10) - (c, P0 = P*/f), in problem A: solid lines for n1 = 0,1, n = 1; dashed for n1 = 0,1, n = 3; dotted for n1 = -0,1, n = 1; dashed-dotted for n1 = -0,1, n = 3 p/2 3p/4 p 5p/4 a а -a31 0,8 0,4 -0,2 б j0 0,33 0,32 0,31 0,30 p/2 3p/4 p 5p/4 a Рис. 3. Графики величин (7) - а и (11) - б в задаче Б: сплошные линии при n1 = 0,1, n = 1; пунктир при n1 = 0,1, n = 3; точки при n1 = -0,1, n = 1; точка-пунктир при n1 = -0,1, n = 3 Fig. 3. Plots of parameters (7) - (a) and (11) - (b) in problem B: solid lines for n1 = 0,1, n = 1; dashed for n1 = 0,1, n = 3; dotted for n1 = -0,1, n = 1; dashed-dotted for n1 = -0,1, n = 3 Для задачи А на рис. 2 показано поведение постоянных a30 и a31 (7) и отнесенной к осадке силы (10) в зависимости от угла a при разных n1 и n (n0 = 0,3; в (10) взято l = 5). На основе решения (9) для давления при x = 0 получим (11) Для задачи Б на рис. 3 приведены графики зависимостей постоянной a31 (7) и отнесенного к силе давления (11) от угла a при разных n1 и n (n0 = 0,3; в (11) взято l = 5). 2. Учет трения и шероховатости Рассмотрим контактную задачу Б, которая отличается от задачи А тем, что в зоне контакта будем учитывать силы трения и шероховатость поверхности клина. Пусть силы трения подчиняются закону Кулона: где m - коэффициент трения. Шероховатость поверхности в контактных задачах будем моделировать покрытием винклеровского типа в предположении, что коэффициент постели линейно зависит от радиальной координаты. Такое покрытие вносит дополнительный вклад в нормальное перемещение в области контакта (снова используем размерные обозначения) (12) Условие контакта имеет вид (13) где - упругое нормальное перемещение точек поверхности под действием контактного давления и сил кулоновского трения, которое определяется с использованием фундаментальных решений вспомогательных краевых задач; d - осадка плоского штампа. Для изменяющегося по угловой координате коэффициента Пуассона снова принимаем закон (3). Добавляя к обозначениям (4) величину безразмерное ИУ задачи В на основании формул (12) и (13) можно записать в форме (14) Здесь ядра имеют вид (15) В формулах (15) использованы обозначения, принятые в формулах (5). В отличие от уравнения (5), ИУ (14) является уравнением второго рода. Несмотря на логарифмическую особенность ядра, его решение уже не обладает корневыми особенностями и принимает конечные значения на краях области контакта при Символы (15) характеризуются следующим поведением в бесконечности: (16) Для численного решения ИУ (14) используем метод коллокаций на основе квадратурной формулы Гаусса. Метод эффективен при не слишком малых углах a и значениях параметра l ³ 1. Для улучшения сходимости интегралов в ядре (14) на основе поведения (16) выделим из них главные части: (17) Здесь использованы значения интегралов [6, 36] (18) В правых частях формул (17) подынтегральные функции убывают на бесконечности как . На рис. 4 для задачи Б приведены графики интегральной характеристики контактных давлений в зависимости n1 при разных уровнях шероховатости (коэффициентов постели основания Винклера) для случая m = 0,2 и и различных значениях l. -0,2 0 0,2 n1 а P0 2,4 2,2 1,8 б -0,2 0 0,2 n1 P0 2,0 1,8 1,4 Рис. 4. Графики силы, отнесенной к осадке (P0 = P*/f), в задаче Б: a - при l = 1, m = 0,2; б - при l = 2, m = 0,2: сплошные линии при A* = 0,01; пунктир при A* = 0,001 Fig. 4. Plots of the force related to the settlement (P0 = P*/f) in problem C, a - for l = 1, m = 0,2; b - for l = 2, m = 0,2: solid lines for A* = 0,01; the dashed line for A* = 0,001 Как показывают расчеты, в диапазоне -0,2 £ m £ 0,2 отличие соответствующих значений P0 от приведенных на рис. 4 не превосходит 1 %. Зависимость P0 от n1 близка к линейной. Заключение Неоднородность клина по угловой координате меняет характер поведения символа ядра ИУ контактных задач на бесконечности, что приводит к появлению логарифмических членов в регулярном асимптотическом решении (9), (10). Такие члены отсутствуют в решениях для однородного клина [7]. Ранее аналогичное изменение поведения символа было отмечено в контактных задачах для неоднородной по глубине полосы (экспоненциальное убывание на бесконечности заменяется на степенное) [10]. Коэффициент Пуассона n(j) при законе изменения (3) возрастает при n1 > и убывает при n1 < от значения (от грани контакта j = 0). В задаче А при возрастающем коэффициенте Пуассона по угловой координате (при этом модуль продольной упругости также возрастает) контактные давления и сила, отнесенные к осадке штампа f, больше, чем при убывающем. С ростом l давления и сила убывают ввиду отдаления области контакта от грани с жесткой заделкой. При росте n (частоты осцилляций изменения коэффициента Пуассона) в задаче А сила возрастает при фиксированном n1 > и убывает при фиксированном n1 < . В задаче Б для неоднородного плоского клина с одной свободной от напряжений гранью невозможно установить связь между силой, приложенной к штампу, и осадкой штампа. Это находится в соответствии с известными контактными задачами для однородного плоского клина и для упругой полуплоскости (частный случай клина) [7, 37]. В случае задачи Б интегральная характеристика давлений слабо зависит от коэффициента трения, который влияет в основном на асимметрию (перераспределение) давлений по области контакта. При приближении области контакта к вершине клина (с уменьшением l) значения интегральной характеристики увеличиваются. При возрастании параметра шероховатости контактные давления снижаются. Значения P0 монотонно возрастают с ростом n1, что объясняется повышением коэффициента Пуассона вблизи грани клина в контакте. Для всех трех задач достоверность выведенных ИУ подтверждается их совпадением в частных случаях с известными для однородного материала клина [5-7, 29]. Достоверность полученных асимптотических решений (9)-(11) для задач А и Б подтверждается их совпадением в частных случаях с известными решениями ИУ для однородного материала клина [5-7]. Численные решения задачи Б, полученные по методу коллокаций, верифицировались путем увеличения числа узлов коллокаций.

### D. A Pozharskii

Don State Technical University

### E. D Pozharskaia

Don State Technical University

# References

1. Popov V.L., Heß M. Method of dimensionality reduction in contact mechanics and friction. - Berlin: Springer, 2015. - 265 p. doi: 10.1007/978-3-642-53876-6
2. Argatov I., Heß M., Pohrt R., Popov V.L. The extension of the method of dimensionality reduction to non-compact and non-axisymmetric contacts // ZAMM. - 2016. - Vol. 96, no. 10 - Р. 1144-1155. doi: 10.1002/zamm.201600057
3. Barber J.R. Contact mechanics. - Berlin: Springer, 2018. - 585 p. doi: 10.1007/978-3-319-70939-0
4. Argatov I. From Winkler’s foundation to Popov’s foundation // Facta Universitatis. Series: Mechanical Engineering. - 2019. - Vol. 17, no 2. - P. 181-190. doi: 10.22190/FUME190330024A
5. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. - М.: Наука, 1974. - 456 с.
6. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. - М.: Наука, 1986. - 336 с.
7. Александров В.М., Ромалис Б.Л. Контактные задачи в машиностроении. - М.: Машиностроение, 1986. - 176 с.
8. Alexandrov V.M., Pozharskii D.A. Three-dimensional contact problems. - Dordrecht: Kluwer, 2001. - 406 p.
9. Fabrikant V.I. Contact problem for an arbitrarily oriented transversely isotropic half-space // Acta Mechanica. - 2017. - Vol. 228, no. 4 - P. 1541-1560. doi: 10.1007/s00707-016-1788-x
10. Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред / С.М. Айзикович, В.М. Александров, А.В. Белоконь, Л.И. Кренев, И.С. Трубчик. - М.: Физматлит, 2006. - 240 с.
11. Аналитические решения смешанных осесимметричных задач для функционально-градиентных сред / С.М. Айзикович, В.М. Александров, А.С. Васильев, Л.И. Кренев, И.С. Трубчик. - М.: Физматлит, 2011. - 192 с.
12. Argatov I.I., Sabina F.J. Small-scale indentation of a hemispherical inhomogeneity in an elastic half-space // European Journal of Mechanics A/Solids. - 2015. - Vol. 53 - P. 151-162. doi: 10.1016/j.euromechsol.2015.04.003
13. Напряженно-деформированное состояние упругого мягкого функционально-градиентного покрытия при внедрении сферического индентора / С.С. Волков, А.С. Васильев, С.М. Айзикович, Н.М. Селезнев, А.В. Леонтьева // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2016. - № 4. - С. 20-34. doi: 10.15593/perm.mech/2016.4.02
14. Torsion of a circular punch attached to an elastic half-space with a coating with periodically depth-varying elastic properties / A.S. Vasiliev, M.V. Swain, S.M. Aizikovich, E.V. Sadyrin // Archive of Applied Mechanics. - 2016. - Vol. 86, no. 7 - P. 1247-1254. doi: 10.1007/s00419-015-1089-1
15. Vasiliev A.S., Volkov S.S., Aizikovich S.M. Indentation of an axisymmetric punch into an elastic transversely-isotropic half-space with functionally graded transversely-isotropic coating // Materials Physics and Mechanics. - 2016. - Vol. 28, no. 1-2. - P. 11-15.
16. Индикация термоупругой неустойчивости скользящего контакта с помощью заглубленной пьезокерамической прослойки / В.Б. Зеленцов, Б.И. Митрин, А.Г. Сукиязов, С.М. Айзикович // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2017 - № 1. - С. 63-84. doi: 10.15593/perm.mech/2017.1.05
17. Vasiliev A.S., Volkov S.S., Aizikovich S.M. Approximated analytical solution of contact problem on indentation of elastic half-space with coating reinforced with inhomogeneous interlayer // Materials Physics and Mechanics. - 2018. -Vol. 35, no. 1. - P. 175-180. doi: 10.18720/MPM.3512018_20
18. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. Динамика поверхности неоднородных сред. - М.: Физматлит, 2009. - 316 с.
19. Yastrebov V.A. Anciaux G., Molinari J.-F. From infinitesimal to full contact between rough surfaces: evolution of the contact area // International Journal of Solids and Structures. - 2015. - Vol. 52 - P. 83-102. doi: 10.1016/j.ijsolstr.2014.09.019
20. Goryacheva I.G., Makhovskaya Y. Combined effect of surface microgeometry and adhesion in normal and sliding contacts of elastic bodies // Friction. - 2017. - Vol. 5, no. 3. - P. 339-350. doi: 10.1007/s40544-017-0179-1
21. Goryacheva I.G., Tsukanov I.Y. Modeling of normal contact of elastic bodies with surface relief taken into account // Journal of Physics: Conference Series. - 2018. - Vol. 991, no. 1 - P. 012028. doi: 10.1088/1742-6596/991/1/012028
22. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. - М.: Ленанд, 2014. - 376 с.
23. Бородачев А.Н., Дудинский В.И. Жесткий штамп на упругом полупространстве с изменяющимся по глубине коэффициентом Пуассона // Прикладная механика. - 1985. - Т. 21, № 8. - С. 34-39.
24. Бородачев А.Н. Упругое равновесие неоднородного по толщине слоя // Прикладная механика. 1988. - Т. 24, № 8. - С. 30-35.
25. Кузнецов Е.А. Давление круглого цилиндра на полупространство с переменным по глубине коэффициентом Пуассона // Изв. АН СССР. МТТ. - 1985. - № 1. - С. 73-86.
26. Пожарский Д.А., Пожарская Е.Д. Контактные задачи для упругого неоднородного тела с цилиндрической шахтой // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2018. - № 4. - С. 202-210. doi: 10.15593/perm.mech/2018.4.18
27. Пожарский Д.А., Золотов Н.Б. Контактные задачи для полых цилиндров из неоднородного материала // Прикладная механика и техническая физика. - 2019. - Т. 60, № 6. - С. 130-138. doi: 10.15372/PMTF2019000
28. Пожарский Д.А. Упругое равновесие неоднородного клина с переменным коэффициентом Пуассона // Прикладная математика и механика. - 2016. - Т. 80, вып. 5. - С. 614-621.
29. Пожарский Д.А. Фундаментальные решения статики упругого клина и их приложения. - Ростов н/Д: ООО «ДГТУ-Принт», 2019. - 312 с.
30. Bach M., Pozharskii D.A. 3-D Contact problems for elastic wedges with Coulomb friction // Mathematical Methods in the Applied Sciences. - 2004. - Vol. 27, no. 2 - P. 193-220. doi: 10.1002/mma.451
31. Колчин Г.Б. Плоская задача теории упругости для неоднородного клина // Изв. АН СССР. МТТ. - 1971. - № 1. - С. 157-160.
32. Колчин Г.Б., Лапенко В.В. Интегральные преобразования в задачах теории упругости для неоднородного клина // Прикладная механика. - 1971. - Т. 11, № 7. - С. 84-89.
33. Колчин Г.Б., Лапенко В.В. Плоская задача термоупругости для неоднородного клина, жестко защемленного по одной из граней // Тепловые напряжения в элементах конструкций: сб. ст. - Вып. 18. - Киев: Наук. думка, 1978. - С. 65-68.
34. Gurtin M.E. The linear theory of elasticity. Handbuch der Physik. Vol. VIa/2. - Berlin: Springer, 1972 - Р. 1-295.
35. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. - М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1963. - 368 с.
36. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Наука, 1971. - 1108 с.
37. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости. - М.; Л.: ГИТТЛ, 1949. - 270 с.

# Statistics

#### Views

Abstract - 28

PDF (Russian) - 32

#### PlumX

Copyright (c) 2021 Pozharskii D.A., Pozharskaia E.D.