Full Text

1. Методы определения обобщенных масс Определение обобщенных модальных параметров, к которым относятся обобщенные массы, жесткости и коэффициенты демпфирования, является важной частью решения задач динамики [1-5]. Можно определить их с помощью расчетных методов, например методом конечных элементов, а также получить экспериментально, при проведении модальных испытаний [6, 7]. Для экспериментального определения обобщенных характеристик были выбраны метод механической догрузки, метод введения квадратурной составляющей силы и метод комплексной мощности, как наиболее применимые в испытаниях. 1.1. Метод механической догрузки Метод добавочных масс, называемый иначе методом механической догрузки [8], заключается в определении величин приведенных масс (обобщенная масса численно равна приведенной в точке нормировки, т.е. отнесенной к квадрату амплитуды перемещений) за счет изменения собственной частоты тона колебаний с помощью установки на испытываемую конструкцию дополнительных сосредоточенных масс в точках возбуждения. При этом предполагается, что из-за незначительности дополнительных масс форма колебаний практически не меняется. Примем обозначения соответственно для обобщенной массы и собственной частоты колебаний j-го тона исходной системы, - собственной частоты колебаний j-го тона измененной системы (после установки дополнительных масс Реальная система может быть в какой-то степени нелинейной, поэтому измерения во всех вариантах выполняют при поддержании одинаковых амплитуд колебаний. Для уменьшения случайных ошибок измерений строят зависимости резонансной частоты и амплитуды колебаний от величины догрузки, при этом оценивается линейность графиков. Недостатком данного метода является необходимость установки специальных грузов, что может вызывать практические трудности, требует дополнительного времени измерений и вносит изменения в динамические свойства конструкции. 1.2. Метод добавления квадратурных составляющих сил возбуждения Метод добавления квадратурных составляющих сил возбуждения [9] заключается во введении составляющей, сдвинутой по фазе на ±90° по отношению к действующим силам и, значит, к одному из опорных сигналов генератора (с фазовым углом 0°). Обобщенные характеристики тонов рассчитываются по изменению частоты фазового резонанса после введения квадратурной составляющей возбуждения, которая эквивалентна силам инерции некоторой дополнительной массы. Разность частот по отношению к первоначальной (синфазной) составляющей возбуждения достигается путем получения нового фазового резонанса измененной системы после введения квадратурной составляющей. Недостатком способа является отсутствие критерия для обоснования выбора диапазона частот вынужденных колебаний в окрестности резонансной частоты, в котором реализуются режимы «фиктивного» фазового резонанса. Поскольку обобщенные характеристики рассчитываются по разности частот фазового резонанса, каждая из которых определяется с некоторой погрешностью, то при малой разности погрешность в обобщенных характеристиках может быть значительной. 1.3. Метод комплексной мощности Метод комплексной мощности использует мощность, добавленную в конструкцию для измерения обобщенных параметров [9-11]. Мощность измеряется как комплексное значение при прохождении диапазона частоты вблизи резонанса. Построение реальной части комплексной мощности (активной мощности) как функции от частоты приводит к кривой, достигающей максимума на резонансной частоте. Мнимая часть мощности (реактивная мощность) переходит от положительных значений к отрицательным, пересекая ноль на резонансе. Обязательным требованием метода является то, что участок вблизи резонанса должен показывать линейное поведение. Из наклона реактивной мощности в окрестности резонанса можно рассчитать обобщенную жесткость, а из максимума активной мощности и обобщенной жесткости - коэффициент демпфирования. Недостатками метода является высокий разброс характеристик, чувствительность к погрешностям экспериментальных данных, неприменимость для нелинейных конструкций и конструкций с низким демпфированием. 2. Результаты модальных испытаний динамически подобной модели Динамически подобная модель (ДПМ) крыла (рис. 1) предназначена для исследования характеристик аэроупругости в АДТ. При создании ДПМ использована балочная схематизация. Основным силовым элементом модели является лонжерон, который представляет собой балку переменного прямоугольного сечения, выполненную из высокомодульного однонаправленного углепластика. На балку-лонжерон, перпендикулярно оси жесткости, установлены нервюры. Внутренний свободный объем между силовыми элементами конструкции и обшивкой заполнен формообразующим заполнителем. Рис. 1. Схема модели Fig. 1. Model’s scheme Результаты модальных испытаний ДПМ приведены в табл. 1 и на рис. 2. Схемы расположения точек измерения и возбуждения колебаний приведены на рис. 1. Характеристики собственных тонов колебаний (частоты и коэффициенты демпфирования) даны в табл. 1. Таблица 1 Результаты модальных испытаний - характеристики собственных тонов колебаний Table 1 Modal test results - characteristics of normal modes Тон колебаний f, Гц ξ, % Приведенные массы КС, кг МД, кг КМ, кг ВИК I 11,38 0,33 211,2 180,9 114,5 ВИК II 36,07 0,73 18,9 17,6 16,4 ВИК III 76,59 0,85 5,4 6,2 6,3 КрК I 97,20 1,18 7,1 7 6,5 Примечание: КС - метод квадратурной составляющей силы; МД - метод механической догрузки; КМ - метод комплексной мощности. Рис. 2. Отклонение результатов от среднего значения Fig. 2. The deviation of results from the average value На рис. 4 и в табл. 1 представлены значения приведенных масс, определенные тремя методами, описанными в подразд. 1. Ниже использованы следующие обозначения: - ВИК I - вертикальный изгиб крыла первого тона; - ВИК II - вертикальный изгиб крыла второго тона; а б в г Рис. 3. Формы собственных колебаний ДПМ: а - вертикальный изгиб крыла I тона; б - вертикальный изгиб крыла II тона; в - вертикальный изгиб крыла III тона; г - кручение крыла I тона Fig. 3. DSM mode shapes: а - first vertical bending mode; b - second vertical bending mode; c - third vertical bending mode, d - first torsion mode - ВИК III - вертикальный изгиб крыла третьего тона; - КрК I - кручение крыла первого тона. Приведенные массы тонов изгиба крыла определены при возбуждении в точке F1, тона кручения - в точке F2. При этом обобщенная жесткость и демпфирование вычислялись по формулам: , где - обобщенная масса; - круговая частота собственного тона колебаний; - доля от критического демпфирования колебаний, ; - логарифмический декремент колебаний, ; - обобщенная жесткость и демпфирование для рассматриваемого k-го тона. Анализ погрешностей методов определения обобщенных масс (рис. 2) показал наибольший разброс значений по методам добавления квадратурной составляющей силы и методу комплексной мощности. Поэтому для дальнейших расчетов использовались обобщенные характеристики, определенные методом механической догрузки. На рис. 3 представлены формы собственных колебаний динамически подобной модели крыла. 3. Расчет флаттера ДПМ крыла на основе обобщенных параметров Для проведения экспериментальных исследований явлений аэроупругости в АДТ высоких скоростей необходимо было определить границы флаттера ДПМ [3, 12-22]. Поскольку в аэродинамической трубе высоких скоростей существует опасность мгновенного разрушения [23] ДПМ и повреждения ее элементами лопаток компрессора АДТ, для расчета на флаттер созданы две математические модели. Первая из них создана на основе экспериментально определенных обобщенных характеристик, собственных частот, форм и коэффициентов демпфирования колебаний. Вторая математическая модель создана по отсечно-балочной схематизации на основе конструкторской документации и верифицирована по результатам модальных испытаний крыла путем сравнения частот и форм собственных колебаний. В задаче о флаттере целью расчета является нахождение границы устойчивости, т.е. параметров потока (ρ, M, V), при которых возможны незатухающие колебания [24-30]. Граница устойчивости в пространстве параметров потока (ρ, M, V) определяется путем последовательного изменения одного из параметров при фиксированных остальных. Значение скорости (или плотности, в зависимости от варьируемого параметра), при котором один из коэффициентов демпфирования обращается в ноль, считается критическим. Тем самым становится известной одна из точек границы устойчивости, а мнимая часть «теряющего устойчивость» корня есть значение круговой частоты флаттера. Существуют различные методы решения уравнений флаттера. К одним из распространенных методов относится «p-k-метод» [31]. Основным уравнением для «p-k-метода» для нахождения границы устойчивости является следующее выражение: (2) где - матрица инерционных коэффициентов; - матрица жесткости; - матрица демпфирования; - вектор перемещений; - аэродинамические силы, действующие на ЛА, ; D и B - матрицы аэродинамического демпфирования и жесткости, являются функциями плотности потока, числа Маха и числа Струхаля (приведенной частоты); ρ - плотность невозмущенного потока; V - скорость невозмущенного потока; Sh = ωb/V - число Струхаля, или приведенная частота, где b - характерный размер летательного аппарата; M = V/a - число Маха (a - скорость звука). Для выполнения расчета на флаттер необходимо сформировать матрицы обобщенных масс, жесткостей и демпфирования по результатам модальных испытаний. Данные матрицы в нормальных координатах являются диагональными: где , , - диагональные матрицы обобщенных масс, жесткости и демпфирования соответственно; - вектор обобщенных аэродинамических сил; - вектор нормальных координат; - собственные значения системы (корни характеристического полинома); - собственный вектор системы; - безразмерная переменная: , . Система считается устойчивой, если все системы будут отрицательны. Решение уравнения (2) находят итерациями. Обычно итерации проводят только для корней с положительной мнимой частью, для которых вычисляются аэродинамические матрицы. Вычисления повторяются до тех пор, пока на очередном шаге изменения параметров потока хотя бы одна из вычисляемых величин g не изменит знак. Геометрия первой математической модели сформирована согласно КД. Конструкция летательного аппарата схематизируется системой пластин, отражающих геометрию крыла. Используются формы колебаний, полученные в модальных испытаниях, деформации переносятся на аэродинамическую сетку с использованием сплайнов. В расчете учитывались первые четыре тона колебаний ДПМ: первый-третий вертикальные изгибы и кручение первого тона крыла. В качестве диагональных элементов матрицы обобщенных масс используются значения приведенных масс с учетом нормировки. Расчет на флаттер на основе обобщенных характеристик, полученных в результате испытаний ДПМ, выполнен при разных значениях относительной плотности. Аэродинамические свойства моделировались системой несущих плоскостей. Критическая скорость флаттера определялась через интерполяцию по числу Струхаля. Расчеты были проведены для чисел Маха от 0,2 до 0,8 и трех значений относительной плотности воздуха ρотн, равных 0,5; 1; 1,5. Также расчет на флаттер для ДПМ был выполнен в программе КС-М [32], использующей полиномиальный метод Ритца для определения собственных форм и частот колебаний конструкции. Математическая модель создавалась по отсечно-балочной схеме на основе исходных данных, полученных по конструкторской документации. В табл. 2 приведено сравнение собственных частот расчетной модели КС-М с результатами испытаний. Положения узловых линий по исследуемым тонам колебаний практически совпадали. Таблица 2 Сравнение результатов Table 2 Сomparison of results Тон колебаний НЧИ f, Гц КС-М f, Гц Погрешность, % ВИК I 11,38 11,44 -0,5 ВИК II 36,07 36,17 -0,3 ВИК III 76,59 77,75 -1,5 КрКр I 97,20 97,92 -0,7 Расчет на флаттер в КС-М проводится c использованием линейной нестационарной аэродинамики для чисел Маха от 0,2 до 0,8 и трех значений относительной плотности воздуха. Получено, что в расчетах низшей формой флаттера является изгибно-крутильный флаттер крыла. На рис. 4 показано сравнение критических скоростных напоров (q) при разных значениях относительной плотности воздуха, полученных с использованием обобщенных характеристик (ОХ) и КС-М. Сравнение результатов расчетов, выполненных на основе обобщенных характеристик и в программном комплексе КС-М, показало различие по критическим скоростным напорам от 1 до 6 % для значений чисел Маха от 0,2 до 0,8 и трех значений относительных плотностей. Рис. 4. Сравнение результатов расчета на флаттер Fig. 4. Comparison between flutter analysis results Необходимо отметить, что различия по критическим скоростным напорам связаны c вычислениями аэродинамики в программе расчета границ флаттера с использованием обобщенных характеристик, основные соотношения которой описаны в [31]. Заключение В работе представлены используемые на практике методы определения обобщенных характеристик, а также приведен пример оперативного анализа границ динамической устойчивости ДПМ на основе обобщенных модальных параметров. Сравнение данного метода с результатами расчета в программном комплексе КС-М показало хорошую сходимость (различие по критическим скоростным напорам флаттера составило не более 6 %), что указывает на перспективность предлагаемого метода.

About the authors

K. I Barinova

The Central Aerohydrodynamic Institute named after N.E. Zhukovsky

A. V Dolgopolov

The Central Aerohydrodynamic Institute named after N.E. Zhukovsky

O. A Orlova

The Central Aerohydrodynamic Institute named after N.E. Zhukovsky

M. A Pronin

The Central Aerohydrodynamic Institute named after N.E. Zhukovsky

References

Statistics

Views

Abstract - 604

PDF (Russian) - 457