Full Text

Введение Причинами возникновения термоупругой неустойчивости (ТУН) [1] скользящего контакта в узлах трения современных машин и механизмов, как в машиностроении, так и на транспорте, являются повышение скоростного режима их эксплуатации, несовершенство конструкций и материалов изготовления, усложнение условий эксплуатации. Стремительное развитие неустойчивости, проявляющееся прежде всего в галопирующем росте температуры и напряжений на контакте, может привести к возникновению нештатных ситуаций, аварий. Экспериментально ТУН обнаруживалась и исследовалась в различных технических системах со скользящим фрикционным контактом, в том числе в дисковых тормозных системах [1-4], в уплотнениях валов [5] и др. Меры по предотвращению возникновения термоупругой неустойчивости на этапе проектирования триботехнического устройства заключаются в подборе геометрических параметров и материалов устройства. Для этого развиваются математические модели скользящего фрикционного контакта с учетом разогрева от трения. Для определения параметров контакта, при которых возникает ТУН, Dow и Burton [6] предложили использовать метод малых возмущений, который на сегодняшний день остаётся основным методом прогнозирования ТУН [6-15]. Однако, метод малых возмущений может дать ответ только на вопрос, является ли система устойчивой при заданных параметрах, но не позволяет определить характеристики скользящего контакта, такие как напряжения или температуру. Часто для их нахождения используются численные методы. На основе результатов анализа принимаются решения по конструкции и комплектации узла трения, позволяющие избежать возникновения эксплуатационной ТУН [16-17]. Эксплуатация узлов трения сопряжена с изменением термомеханических свойств контактирующих материалов, что также может со временем привести к возникновению ТУН. Во избежание таких ситуаций и для снижения уровня их возникновения необходима ранняя (упреждающая) диагностика возникновения ТУН на стадии эксплуатации узлов трения. Одним из методов диагностики ТУН скользящего контакта является мониторинг развития основных её параметров, таких как температура и напряжения в узлах трения. Для построения эффективной системы мониторинга необходим теоретический прогноз основных физических и механических параметров устойчивого и неустойчивого скользящего контакта с учетом трения и тепловыделения от трения. Это требует решения динамических и квазистатических задач термоупругости о скользящем фрикционном контакте с учетом его разогрева от трения. Наиболее универсальным аналитическим методом решения начально-краевых задач термоупругости является метод интегральных преобразований. В работе [18] рассмотрена термоупругая задача о скольжении плиты по поверхности слоя на недеформируемом основании с фрикционным тепловыделением с помощью метода интегральных преобразований. Получено асимптотическое решение задачи при малых, средних и больших значениях времени и установлен критерий возникновения ТУН. В работе [19] для решения квазистатической термоупругой задачи об износе покрытия на жёстком основании при скользящем термофрикционном контакте используется интегральное преобразование Лапласа, получено асимптотическое решение задачи при малых значениях времени. В работах [20-21] решение термоупругодинамической задачи о скольжении плиты по поверхности покрытия с учетом тепловыделения от трения построено в виде рядов по собственным числам задачи. Был исследован процесс развития температуры и напряжений на контакте во времени при термоупругодинамической неустойчивости контакта. Отметим, что в большинстве работ, посвященных исследованию термоупругой неустойчивости (ТУН), в качестве области ТУН принимается параметрическая область неустойчивых решений квазистатической задачи термоупругости о скользящем фрикционном контакте. В работах [11, 12, 20-21] было показано, что область неустойчивых решений квазистатических задач термоупругости является подобластью области неустойчивых решений соответствующих динамических задач. Другими словами, при тех же параметрах, при которых решение квазистатической задачи устойчиво, решение соответствующей динамической задачи может быть неустойчиво. Это обусловливает важность изучения устойчивости решений задач о скользящем термофрикционном контакте в динамической постановке с целью предотвращения возникновения аварийных ситуаций, связанных с ТУН. Для мониторинга параметров контакта на практике широко используются пьезоэлектрические датчики. Поведение пьезоэлектрических материалов при контактном взаимодействии исследуется в рамках контактных задач электроупругости [22-24] и электротермоупругости [25]. Хрупкость и термочувствительность не позволяет размещать пьезодатчики непосредственно на контакте. В работе [26] рассматривалась задача о скольжении жёсткого тела по поверхности упругого покрытия при наличии между покрытием и жёстким основанием пьезоэлектрической прослойки. Электромеханические характеристики прослойки описывались упрощенными уравнениями пьезоэффекта [27]. Здесь с целью изучения влияния механических и электрических характеристик пьезоэлектрической прослойки на устойчивость скользящего контакта рассматривается нестационарная задача термоэлектроупругости о скольжении жёсткой плиты по поверхности термоупругого покрытия при наличии между покрытием и подложкой теплоизолированной пьезоэлектрической прослойки, включенной в замкнутую электрическую цепь. 1. Постановка задачи индикации параметров скользящего контакта Для исследования возможности индикации температуры и напряжений, возникающих на скользящем контакте, рассматривается нестационарная динамическая контактная задача термоэлектроупругости о скольжении с постоянной скоростью жёсткой полуплоскости I по поверхности упругого покрытия A, сцепленного по нижней грани с электроупругой нетеплопроводной прослойкой B, вектор поляризации которой ортогонален её граням. По нижней своей грани прослойка сцеплена с недеформируемой подложкой в виде полуплоскости II (рис. 1). Полуплоскость I в процессе скольжения внедряется в упругое покрытие по нормали к его поверхности. Скольжение теплоизолированной недеформируемой полуплоскости I по поверхности упругого покрытия осуществляется с учётом кулоновского трения, порождающего тепло. Тепловой поток, образующийся за счёт трения на контакте, направлен в упругое покрытие A. Грани электроупругой прослойки B покрыты электродами с подведенной разностью потенциалов. В начальный момент смещения их скорости в покрытии и в электроупругой прослойке равны нулю, как и начальная температура в покрытии. II I Рис. 1. Схема рассматриваемой контактной задачи Fig. 1. Scheme of the considered contact problem Согласно формулировке рассматриваемой задачи о деформации двухслойного покрытия все основные физические параметры - температура, напряжения, смещения, электрическая индукция, напряжённость электрического поля - не зависят от выбора горизонтальной координаты и являются функциями только вертикальной координаты и времени. В этом случае поведение термоупругого покрытия A описывается системой дифференциальных уравнений плоской теории упругости совместно с уравнением теплопроводности (1) в которых u(z,t), w(z,t) - вертикальное и горизонтальное смещения в термоупругом покрытии; , - нормальные и касательные напряжения; - температура; ρ - плотность; κ - коэффициент температуропроводности. Формулы Дюамеля-Неймана [28] устанавливают связь между напряжениями, смещениями и температурой, , (2) где λ, μ - постоянные Ламе; α - коэффициент линейного расширения. Подставляя (2) в (1), получим уравнения термоупругости для покрытия A: , (3) , , (4) (5) где a, b - скорости продольной и поперечной упругих волн. Поведение электроупругой прослойки B описывается системой дифференциальных уравнений плоской теории упругости совместно с уравнениями вынужденной электростатики в акустическом приближении [27] , (6) где , - упругие смещения; , - нормальные и касательные напряжения; и - электростатическая индукция и напряженность электрического поля; - функция электростатического потенциала; - плотность материала пьезокерамики. Уравнения пьезоэффекта с вектором поляризации электроупругого материала в направлении оси z в нашем случае имеют вид (7) где , - модули упругости (измеряемые при постоянном электрическом поле); - пьезомодуль; - диэлектрическая проницаемость (измеряемая при постоянной деформации). Подставляя соотношения (5) в (4), получим уравнения электроупругости для прослойки B из пьезокерамического материала, поляризованного в направлении оси z, , (8) , , (9) (10) где , - скорости продольной и поперечной волн в прослойке B. Граничные условия сформулированной динамической задачи о скользящем контакте записываются в следующем виде: механические (11) (12) , (13) , (14) (15) (16) температурные (17) (18) и электрические (19) (20) где f - коэффициент трения; V - скорость скольжения; K - коэффициент теплопроводности; - закон внедрения полуплоскости I в упругое покрытие; h - толщина покрытия; H - толщина пьезокерамической прослойки; 2 - разность потенциалов на электродах. К дифференциальным уравнениям (3)-(5), (8)-(10) необходимо добавить нулевые начальные условия на смещения , , , , на их скорости, температуру T, потенциал ψ и закон внедрения Δ: (21) Замечание 1. Анализ поставленной задачи - дифференциальных уравнений (3)-(5) и (8)-(10) и граничных условий (11)-(20) - показывает, что вертикальные смещения в покрытии определяются независимо от горизонтальных смещений . Горизонтальные смещения определяются через вертикальные смещения после определения последних. В связи с этим горизонтальные смещения не несут существенной информации и потому здесь не рассматриваются. 2. Решение задачи в квадратурах Решение динамической начально-краевой задачи (1)-(21) строится с помощью интегрального преобразования Лапласа [29] , (22) Для этого интегральное преобразование Лапласа с учётом Замечания 1 применяется к дифференциальным уравнениям (3), (5), (8), (10) при нулевых начальных условиях (21). В результате получается система обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (23) (24) (25) (26) относительно неизвестных трансформант , , , , которые разыскиваются в виде (27) (28) (29) (30) где - неизвестные, зависящие от p. Для определения неизвестных содержащихся в (27)-(30), используются граничные условия задачи (11), (13), (15), (17)-(20) в трансформантах Лапласа, полученных после применения к граничным условиям преобразования Лапласа (31) Подставив (27)-(30) в граничные условия (31) с учётом формул для трансформант и (32) (33) получаем систему линейных алгебраических уравнений для определения , которая здесь не выписывается. Определив и подставив их в (27)-(30), а также в (32), (33), получим трансформанты , , , , , . После их обращения по Лапласу (22) получим решения постановленной задачи в виде контурных квадратур обратного преобразования Лапласа: , (34) , (35) , (36) , (37) , (38) , (39) , , , , , , , , , , , , , , где d подбирается таким образом, чтобы все изолированные особые точки подынтегральных функций в (34)-(39) лежали бы левее контура Г. Электрический ток на единицу площади, протекающий по электроду на верхней грани пьезоэлектрической прослойки при , образованный за счёт деформации пьезокерамической прослойки и разности потенциалов между верхней и нижней гранями прослойки, вычисляется по формуле (40) Исследование подынтегральных функций в (34)-(40) показывает, что все они мероморфны в комплексной плоскости переменной интегрирования , то есть имеют в качестве изолированных особых точек только полюсы. Для существования контурных квадратур в (34)-(40) необходимо наличие степенного убывания подынтегральных функций на бесконечности при . Анализ подынтегральных функций в (34)-(40) приводит к следующим оценкам при : , , , , (41) , , , Оценки (41) подынтегральных квадратур (34)-(40) показывают, что часть квадратур существует в обобщенном смысле [30] и для вычисления регулярной составляющей значения интеграла требуется регуляризация подынтегральных функций при . Регуляризация подынтегральных функций на бесконечности может осуществляться с помощью специальным образом построенных и выделенных асимптотических выражений, например [26]: , при (42) при Другой способ выделения регулярной части обобщённых квадратур - их представление в виде производных по времени от регулярных квадратур, которое применяется ниже. 3. Полюсы подынтегральных функций Полюсы подынтегральных функций в квадратурах для и являются нулями знаменателя подынтегральных функций и определяются из уравнения (43) Нули , являющиеся устранимыми особыми точками подынтегральных функций, после проверки отбрасываются, т.е. не включаются в список полюсов. Нули функции , являющиеся полюсами подынтегральных функций, существенно зависят от безразмерных параметров задачи, входящих в уравнение (43): , , , , , и др. С учётом того, что параметр содержит физическую скорость скольжения жёсткой полуплоскости I и изменяется от 0 до ∞, решения уравнения (43) определяются в зависимости от . Для получения нулевых приближений при определении нулей в уравнении (43) полагается , в результате чего оно распадается на три более простых уравнения: , Рис. 2. Схема расположения нулей n = 1,2,… функции R(ζ) в комплексной плоскости ζ: (а) при γ = 0,01, H* = 0,5, a* = 1,37, δ0 = 1,1, и различных , указанных под рисунком, (б) при γ = 0,01, a* = 1,37, δ = 1,5, δ0 = 1,1 и различных H*, указанных под рисунком Fig. 2. Location of zeros n = 1,2,… of R(ζ) in a complex plane ζ: (а) at γ = 0,01, H* = 0,5, a* = 1,37, δ0 = 1,1, and different (noted under the figure), (b) at γ = 0,01, a* = 1,37, δ = 1,5, δ0 = 1,1 and different H* (noted under the figure) Первое из этих уравнений приносит - устранимую особую точку. Второе уравнение приносит нулевые приближения в аналитической форме (44) которые располагаются на отрицательной части действительной оси. Третье уравнение существенно нелинейно и аналитического решения не имеет. Однако если занулить параметр , то из этого уравнения получим простое имеющее аналитическое решение, которое можно взять в качестве нулевого приближения решений третьего уравнения: (45) которые располагаются вдоль всей мнимой оси в комплексной плоскости . Нуль является устранимой особой точкой. После определения вида (44), (45) уравнение (43) решается численными методами с использованием методов теории функций комплексного переменного. На рис. 2 представлена карта полюсов подынтегральных функций в зависимости от и других безразмерных параметров задачи, которая показывает влияние параметров уравнения (41) на расположение полюсов в комплексной плоскости, на их движение в комплексной плоскости при изменении параметров. Анализ расположения полюсов показывает, что при любых даже сколь угодно малых для выполняется условие . 4. Эффективные решения задачи Полученные формулы (34)-(40) решения задачи в квадратурах часто более удобно записывать в виде свёрток Лапласа, представляющих интегральные уравнения Вольтерры рассматриваемой задачи (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) в которых , (53) а индекс a принимает буквенные значения: . С учётом поведения подынтегральных функций на бесконечности (41), их мероморфности в комплексной плоскости и в предположении, что все полюсы подынтегральных функций в (53) однократные, с помощью методов теории функций комплексного переменного [31] имеем (54) где полюсы даются общим списком, упорядоченным по модулю Подставляя формулы (54) в (46)-(52), получим новые формулы решения задачи в рядах по полюсам : (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) в которых При вычислении квадратур (53), понимаемых в обобщённом смысле, использовались представления в виде производных по t от соответствующих регулярных квадратур, например После вычисления регулярных квадратур под производными и последующего дифференцирования результата интегрирования получаются формулы (54). Полученные формулы (55)-(61) позволяют проанализировать решение задачи на его устойчивость [32]. В предположении, что функция является ограниченной на нетрудно получить оценку при . В этом случае для достаточно больших t должно выполняться неравенство из которого видно, что при интеграл становится больше любого положительного числа, т.е. Это свидетельствует о том, что в случае хотя бы одного с полученные решения неустойчивы. С механической точки зрения в этом случае наступает термоупругая неустойчивость скользящего контакта, которая развивается, начиная со сколь угодно малых скоростей скольжения V полуплоскости I. Полученные формулы (55)-(61) позволяют выразить температуру и напряжения на контакте через величину пьезоэлектрического тока (62) (63) , , a = T, σ, (64) , где , , , определены после формул (39), (40), как и другие параметры в (62)-(64). Эти формулы позволяют идентифицировать температуру и напряжения на контакте с током в пьезоэлектрической цепи , осуществить мониторинг температуры и напряжений на контакте. С помощью электрического тока пьезоэлектрической прослойки может осуществляться и регулирование температуры и напряжений на контакте за счёт изменения разности потенциалов в пьезоэлектрической цепи, так как приводит к деформации толщины пьезокерамической прослойки. Для проведения сравнительного анализа результатов решения рассматриваемой задачи о пьезоэлектрической прослойке с соответствующими результатами частной задачи термоупругости без пьезоэлектрической прослойки необходимо наличие основных формул этой задачи, которые можно получить либо из представленных здесь формул предельным переходом, либо вывести их заново. 5. Постановка и решение частной задачи Рассматривается задача плоской деформации о скольжении с постоянной горизонтальной скоростью жесткой полуплоскости I по поверхности упругого покрытия A толщиной h. Жесткая полуплоскость I в процессе скольжения внедряется в покрытие по нормали к его поверхности по закону . Нижняя грань покрытия жестко соединена с недеформируемой подложкой в виде полуплоскости II. Скольжение недеформируемой полуплоскости I по верхней грани упругого покрытия происходит с учетом кулоновского трения, но без учета его износа. Движущаяся полуплоскость I теплоизолирована, а поток тепла, образующийся за счет трения, направлен в покрытие. На нижней поверхности упругого покрытия поддерживается нулевая температура. Так как покрытие до начального момента находилось в покое, то его смещения и скорость смещений в начальный момент нулевые, так же как и начальная температура. Сформулированная задача приводит к начально-краевой задаче для дифференциальных уравнений (3)-(5) со следующими механическими и температурными граничными условиями: , , (65) , , (66) Начальные условия на , нулевые: , (67) Решение нестационарной начально-краевой контактной задачи с дифференциальными уравнениями (3)-(5), граничными (65)-(66) и начальными (67) условиями записывается в виде контурных квадратур обратного преобразования Лапласа , (68) , (69) , (70) где контур интегрирования , а , , , , , , указаны после (39). Исследование подынтегральных функций в (68)-(70) показывает, что все они мероморфны в комплексной плоскости переменной интегрирования и имеют в качестве изолированных особых точек только полюсы. Контур интегрирования Г проходит правее всех полюсов подынтегральных функций. В комплексной плоскости на бесконечности подынтегральные функции имеют следующее поведение: при при поэтому квадратуры в (68)-(70) понимаются в обобщённом смысле. Полюсы подынтегральных функций (68)-(70) определяются нулями знаменателя - функции R(ζ), за исключением двух устранимых особых точек и . Траектории полюсов и в комплексной плоскости при изменении от 0 до ∞ совпадают с соответствующими траекториями и исходной задачи с пьезоэлектрической прослойкой при , изображенными на рис. 2, б. Кроме того, , начиная со сколь угодно малых скоростей скольжения , как и в основной задаче о пьезоэлектрической прослойке. 6. Численные результаты Рассматривается скольжение с постоянной скоростью V = 1 м/с жёсткого тела по поверхности покрытия из алюминия (μ = 25,5·109 ГПа, ν = 0,34, K = 209,3, κ = 87,4·10-6 м2/с, α = 22,9·10-6 м2/с). Покрытие жёстко сцеплено с пьезоэлектрической прослойкой из керамики PZT-4 ( = 7500 кг/м3, = 115 ГПа, = 15,1 Кл/м2, = 5,62 Ф/м), жёстко сцепленной, в свою очередь, с недеформируемой подложкой. Толщина покрытия h = 1 мм, толщина пьезоэлектрической прослойки H = h/100, коэффициент трения f = 0,15. При этом принимается закон внедрения жёсткого тела в покрытие, состоящий из активной и пассивной фаз внедрения, в виде (71) где - наибольшая величина внедрения; - время окончания активного участка внедрения, со следующими значениями параметров: = 0,01h, = 0,1386 с, = 5 с-1. Примем . В этом случае возникающий в пьезокерамической прослойке ток будет вызван исключительно ее механической деформацией. Безразмерные параметры задачи принимают следующие значения: γ = 1,4∙10-5, = 0,0494, = 0,01, = 1,3704, = 1,0932, = 0,3857. На рис. 3 показаны графики изменения температуры и механических напряжений на контакте, а также график амплитуды тока, протекающего через пьезоэлектрическую прослойку, за промежуток времени . а б в Рис. 3. Температура T(h,t) на контакте (а); контактные напряжения s(h,t) (б) и ток на единицу площади I0(t) (в) Fig. 3. Temperature T(h,t) at the contact (a), contact stresses s(h,t) (б) and electric current per unit surface I0(t) (в) а б в г Рис. 4. Температура T(h,t) на контакте (а); контактные напряжения szz(h,t) (б); ток I0(t) (в) на промежутках t Î [0,5tε, 0,5tε + 2ta], [1,2tε, 1,2tε + 2ta], [1,4tε, 1,4tε + 2ta]; на графиках (г) представлены амплитуды низкочастотного спектра пьезоэлектрического тока I0(t) в те же промежутки времени Fig. 4. Temperature T(h,t) at the contact (а), contact stresses szz(h,t) (б), electric current I0(t) at the time periods t Î [0,5tε, 0,5tε + 2ta], [1,2tε, 1,2tε + 2ta], [1,4tε, 1,4tε + 2ta]. Amplitudes of the low-frequency spectrum of the piezoelectric current I0(t) are shown in (г) at the same time periods На рис. 4 показаны графики изменения амплитуды напряжений, температуры и тока в различные специальным образом выбранные промежутки времени длительностью , где - время прохождения упругой волны от контакта до границы раздела покрытия и пьезоэлектрической прослойки. Графики (рис. 4, г) амплитуд низкочастотного спектра пьезоэлектрического тока , выделенные из графиков (рис. 4, в), представляющих собой весь частотный спектр тока, показывают существенное сходство с графиками контактных напряжений (рис. 4, б). Это обстоятельство убеждает в возможности идентификации напряжений на контакте с помощью анализа электрического тока . В заключение заметим, что полученные формулы связи , с и (62)-(64) позволят по экспериментальным данным и построить амплитуды температуры и напряжений на контакте. Заключение Проведенные исследования с помощью постановки и решения нестационарной динамической электротермоупругой задачи о скользящем контакте установили следующее: 1) проведение мониторинга термоупругой неустойчивости скользящего контакта с использованием пьезоэлектрической прослойки возможно и предлагается его расчётная схема; 2) регулировка температуры и давления на скользящем контакте возможна либо за счёт изменения закона внедрения жёсткого тела в упругое покрытие, либо за счёт изменения разности потенциалов на электродах пьезокерамической прослойки, откуда следует, что мониторинг скользящего контакта и его регулировка могут осуществляться в автоматическом режиме.

About the authors

V B Zelentsov

Don State Technical University

B I Mitrin

Don State Technical University

A G Sukiyazov

Don State Technical University

S M Aizikovich

Don State Technical University

References

Statistics

Views

Abstract - 230

PDF (Russian) - 169