Non-stationary axisymmetric waves in electromagnetoelastic space with a spherical cavity

Abstract


We consider the associated non-stationary problem of propagation of axisymmetric disturbances from a spherical cavity in electromagnetoelastic space. It is assumed that the medium is a homogeneous isotropic conductor. Linear equations of motion of an elastic medium are used taking into account the linearized Lorentz forces, as well as Maxwell's equations, together with the linearized generalized law. The initial conditions are zero, at the boundary of the cavity defined displacement and the tangential component of the electric field. The desired functions are arranged in series of Legendre and Gegenbauer polynomials, as well as in series according to a small parameter characterizing the connection of mechanical and electromagnetic fields. Apart from that the applicable Laplace transform in time is used. The result is a recurrence of the small parameter sequence of boundary value problems, the solution of which is represented in the integral form with kernels in the form of volume and surface Green's functions. Images of Green's functions are found in an explicit manner. Their "elastic" part due to the relation between the modified Bessel functions and elementary functions is reduced to the sum of products of rational functions of the parameter of the Laplace transform to the exponent that lets you find exactly the originals using the corresponding theorems of operational calculus. The “Electromagnetic” part of the Green's function is being constructed in a quasi-static approximation. As a result, in the space of the original resolution of the system is became possible to build recurrence equations which allows finding and moving all the components of the electromagnetic field. In calculating its constituent integrals quadrature formulas are used. The examples of computations are provided. The numerical study of the convergence of series in the small parameter is presented.

Full Text

Введение В настоящее время при проектировании различных объектов новой техники актуальными являются вопросы взаимодействия полей различной физической природы. Во многих случаях, особенно для изделий аэрокосмической отрасли, возникает необходимость учета взаимовлияния электромагнитных и механических полей. Основные результаты в этом направлении получены для стационарных процессов (см., например, [1-4]). Численно-аналитические подходы к решению стационарных задач размерностью больше единицы, в том числе для тел со сферическими границами приведены, например, в [5]. Точное решение задачи о статическом воздействии магнитного поля на тело со сферической полостью получено в работе [6]. Соответствующие нестационарные задачи исследованы в основном в одномерном случае при частичном учете влияния электромагнитного поля. Нахождение точных решений нестационарных задач приобретает особую ценность в связи с тем, что численное обращение преобразования Лапласа по времени, к которому часто прибегают при решении, является некорректной задачей. В связи с этим, как показано, например, в [7], представление решения в виде ряда Лорана по параметру преобразования Лапласа в окрестности бесконечно удаленной точки позволяет получить фундаментальное решение для пространства на начальном промежутке времени. Основные принципы построения таких решений применительно к задачам нестационарной линейной электроупругости изложены в работе [8]. Ими можно эффективно воспользоваться, например, при использовании метода граничных элементов. В [9] приведено решение одномерной, но уже связанной задачи для толстостенной сферы в случае воздействия температуры на поверхности. Явные решения для пространства со сферической полостью для случая задания магнитного поля на границе сферы, причём в случае зависимости свойств материала от температуры, приводятся в работе [10]. Вопросы нахождения аналитических решений нестационарных задач для тел сферической формы, взаимодействующих с различными средами, в том числе с учётом связанности полей и наличием пьезоэффектов, исследованы в работах [11-15]. В работах [16-18] получено решение связанной нестационарной задачи электромагнитоупругости о распространении радиальных возмущений в толстостенной сферической оболочке и пространстве со сферической полостью. Таким образом, двумерные нестационарные задачи, в которых бы учитывалась связь электромагнитных и механических полей, в настоящее время изучены недостаточно, не говоря уже о получении точных решений подобного рода проблем. Количество публикаций, посвященных исследованию подобных двумерных задач, сравнительно мало. Например, в статье [19] дано решение лишь одной составляющей этой проблемы - определение нестационарного электромагнитного поля по заданному полю перемещений в пространстве со сферической полостью. А в работе [20] построено решение второй части этого вопроса - определение напряженно-деформированного состояния той же области, заполненной упругой средой и находящейся под действием объемных сил, под которыми можно понимать возмущения, создаваемые внешним электромагнитным полем. В данной статье для этого геометрического объекта предлагается решение полной связанной нестационарной двумерной задачи электромагнитоупругости. В настоящее время авторам не известны работы, посвящённые решению двумерных связанных задач электромагнитоупругости в нестационарной постановке применительно к пространству со сферической полостью. Предложенный метод позволяет находить точные решения подобного рода задач для любого момента времени, а не только на начальном этапе и в одномерном случае, как это предлагается некоторыми авторами в предложенном выше обзоре. 1. Постановка задачи В сферической системе координат рассматривается заполненное изотропным проводником пространство со сферической полостью радиусом . Осесимметричное движение среды описывается линеаризованной моделью [21]. Она включает в себя уравнения движения (1) уравнения Максвелла (2) и линеаризованные относительно начального состояния (его компоненты обозначаются дополнительным нижним индексом «0») формулы для радиальной и тангенциальной координат силы Лоренца и обобщенный закон Ома [22]: (3) (4) Здесь и , и , и - радиальные и тангенциальные координаты векторов перемещения, напряженности электрического поля, плотности электрического тока; - ненулевая координата напряженности магнитного поля; - плотность поверхностных зарядов; точками обозначены производные по времени. В формулах (1)-(4) и далее использованы следующие безразмерные параметры (при одинаковом начертании их размерные аналоги обозначены штрихом): где - размерное время; и - некоторые характерные линейный размер и напряженность электрического поля; и - плотность и упругие постоянные Ламе среды; и - скорости распространения волн расширения-сжатия и сдвига; и - коэффициенты электропроводимости, диэлектрической и магнитной проницаемости; - скорость света. В начальный момент времени среда является невозмущенной: (5) Искомые функции предполагаются ограниченными. Поскольку методы решения задач при всех возможных граничных условиях на поверхности полости идентичны, то далее ограничимся вариантом задания кинематических возмущений и напряженности электрического поля: . (6) Отметим, что из уравнений электромагнитодинамики (2) и (4) вытекают следующие соотношения для компонент векторов напряженностей магнитного и электрического полей, а также для плотности зарядов: (7) (8) . (9) Далее будем полагать, что начальное электромагнитное поле является стационарным, радиальным и удовлетворяет условиям (10) 2. Представление решения в виде рядов Решение начально-краевой задачи (1)-(6) представляем в виде рядов по полиномам Лежандра и Гегенбауэра [23]: . (11) Тогда с учетом (10) соотношения (1), (3), (4) и (7)-(9) переходят в следующие равенства для коэффициентов этих рядов: (12) ; (13) ; (14) (15) (16) . (17) Соответствующие начальные условия вытекают из (5): (18) При этом граничные условия (6) с учетом разложений и первого соотношения в (16) переходят в следующие равенства: (19) К ним добавляются условия ограниченности искомых функций. Для решения начально-краевых задач (12)-(19) используем преобразование Лапласа по времени ( - его параметр, верхний индекс « » соответствует изображению) [24]. При этом разрешающие уравнения (12) и (15) с учетом (13) трансформируются так: (20) . (21) Изображения коэффициентов других компонент электромагнитного поля и граничные условия согласно (16), (17) и (19) определяются следующим образом: (22) ; (23) (24) К ним опять же добавляются условия ограниченности изображений. Как показано в [16], аналитически найти оригиналы решения краевых задач (20)-(24) даже при невозможно. Поэтому будем использовать разложения искомых функций в степенные ряды по малому параметру : (25) Подставляя изображения по Лапласу этих рядов в (20)-(24), приходим к следующим соотношениям: при (26) (27) (28) ; (29) при (30) (31) ; (32) (33) . (34) Соответствующие граничные условия вытекают из (24) и разложений (25): ; (35) ; (36) ; (37) . (38) Соотношения (26)-(38) являются рекуррентной по индексу последовательностью краевых задач относительно ограниченных функций. 3. Интегральные представления решения Задача (26), (30), (35) является чисто упругой. Поскольку эти вопросы подробно исследованы в работе [25], далее в граничных условиях (6) положим, что . При этом эта задача становится однородной. Следовательно, ее решение тривиальное: . (39) Решение же задачи (27), (31), (36) записываем в интегральном виде ( ): ; (40) (41) где Ядра этих представлений - функции Грина краевых задач, соответствующих уравнениям (27), (31) и граничным условиям (36), а именно ограниченные решения следующих задач ( - дельта-функция Дирака): ; Эти функции найдены в [20] и имеют следующий вид ( - функция Хевисайда): (42) (43) Здесь (44) где Отметим, что числитель и знаменатель дробей в (44) являются экспоненциальным многочленом и просто многочленом аргумента соответственно. Подробный анализ этих формул показывает, что степени числителей и меньше степени знаменателя соответственно на единицу и на двойку, что позволяет точно находить их оригиналы с помощью методов компьютерной алгебры и теорем операционного исчисления. Также в интегральном виде при и записывается решение задачи (32), (38): (45) Здесь - соответствующая объемная функция Грина, а именно ограниченное решение следующей краевой задачи: . Решение задачи (21) при , (37) с учетом (39) имеет следующий вид: , (46) где - поверхностная функция Грина, т.е. ограниченное решение следующей краевой задачи: . Функции и , а также их оригиналы в квазистатическом приближении при найдены в [19] и имеют следующий вид: (47) . Формулы для коэффициентов рядов изображений координат напряженности электрического поля следуют из (22), (45) и (46): ; (48) (49) где Соответствующие коэффициенты для изображения плотности зарядов при определяются равенствами (34), а при в силу (39) имеет место равенство . 4. Разрешающая рекуррентная система уравнений Как следует из п. 3, коэффициенты рядов (25) при каждом определяются независимыми рекуррентными системами интегральных соотношений. При эта система включает в себя соотношения (34), (40) и первое равенство в (49) с начальными условиями (39). Она является однородной и имеет тривиальное решение: . При каждом рекуррентные системы образовываются соотношениями (41), (45), (49) и (34) при , которые в пространстве оригиналов с учетом свойств преобразования Лапласа записываются так: (50) ; (51) (52) . (53) Здесь и далее звездочка обозначает свертку по времени, а дополнительный нижний индекс « » у функции соответствует результату применения к ней следующего оператора: . Начальные условия к системе (50) - (53) следуют из (39), (46), (48) и (53): (54) В соотношения (50)-(53) входят производные по времени, а также, как следует из (15) и (17), производные по радиусу. Для того чтобы избежать численного дифференцирования, необходимо их модифицировать. Прежде всего, с помощью интегрирования по частям преобразовываем формулы (51) и (52). При этом полагаем, что начальная плотность поверхностных зарядов удовлетворяет условию , а также учитываем вытекающие из формул (47) и (49) равенства В результате приходим к следующим равенствам: ; (55) (56) Здесь где Для устранения производной в формуле (53) замечаем, что согласно (17) имеет место следующее равенство: . Веденная здесь функция имеет смысл коэффициента разложения в ряды по полиномам Лежандра, коэффициента объемного расширения для поля перемещений с компонентами и . При этом равенство (53) можно преобразовать так: . (57) Тогда необходимо дополнительно построить интегральное представление для . Его получаем из (50): , (58) где . Используя результаты работы [20] и формулы (42)-(44) для ядер в (58), получаем следующий результат: Здесь где Эти формулы аналогичны (42)-(44). Отличие состоит в том, что, как показывает подробный анализ, у функций степени числителя и знаменателя совпадают. Поэтому необходимо учитывать, что их оригиналы могут содержать слагаемые , (59) которые находятся методами компьютерной алгебры и должны быть в свертках в (58) в соответствии со свойствами дельта-функции. Далее, дифференцируя равенства (50), получаем следующие интегральные представления для производных по времени: (60) где Явный вид этих ядер следует из (42)-(44): где Изображения последних функций имеют структуру (44). При этом в знаменателе степень аргумента уменьшается на единицу. Поэтому функции и могут содержать аналогичные (59) слагаемые, которые также должны быть учтены при вычислении сверток в (60). Таким образом, разрешающая рекуррентная система уравнений состоит из соотношений (50), (55), (56), (57), (58), (60) при и начальных условий (54). Она позволяет находить коэффициенты рядов (11) и (25) для перемещений, напряженностей магнитного и электрического полей, а также плотности зарядов. Соответствующие коэффициенты для плотности тока могут быть найдены по формулам (14). 5. Пример расчета Полагаем, что материал пространства - алюминий, что соответствует следующим параметрам [26] (характерная напряженность электрического поля ): . Радиус полости единичный: , начальные параметры электрического поля следующие: , а на границе полости напряженность электрического поля имеет вид , где , что соответствует таким коэффициентам: . Интегралы в рекуррентных соотношениях находились численно. Распределение по радиусу нетривиальных коэффициентов рядов (11) при для перемещений и компонентов электромагнитного поля представлены на рис. 1-8: сплошные кривые соответствуют , пунктирные - , а штрихпунктирные . Расчеты проводились с учетом первых трех членов рядов (25). Учет последующего члена практически не приводит к изменению результатов. На рис. 1-8 видно характерное убывание механических характеристик и характеристик электромагнитного поля с ростом времени, при этом для тангенциальных перемещений этот процесс менее выражен. Для тангенциальной составляющей вектора напряжённости электрического поля характерно «опрокидывание» в отрицательную область. Для плотности электрических зарядов характерна концентрация вблизи границы полости. Рис. 1. Радиальные перемещения Fig. 1. Radial displacements Рис. 2. Тангенциальные перемещения Fig. 2. Tangential displacements Рис. 3. Напряженность магнитного поля Fig. 3. Magnetic field strength Рис. 4. Радиальная координата напряженности электрического поля Fig. 4. Radial coordinate of electric field strength Рис. 5. Тангенциальная координата напряженности электрического поля Fig. 5. Tangential coordinate of electric field strength Рис. 6. Плотность зарядов Fig. 6. Density of charges Рис. 7. Радиальная координата плотности тока Fig. 7. Radial coordinate of current density Рис. 8. Тангенциальная координата плотности тока Fig. 8. Tangential coordinate of current density Таким образом, в отличие от публикаций других исследователей, предложенный в работе метод связи механических и электромагнитных полей и впервые полученная с помощью этого подхода реккурентная система уравнений позволяют находить перемещения и компоненты электромагнитного поля новой нестационарной осесимметричной связанной задачи электромагнитоупругости для проводящего пространства со сферической полостью.

About the authors

V A Vestyak

Moscow Aviation Institute (National Research University)

Email: v.a.vestyak@mail.ru

E L Kuznetsova

Moscow Aviation Institute (National Research University)

Email: vida_ku@mail.ru

D V Tarlakovski

Moscow Aviation Institute (National Research University); Lomonosov Moscow State University

Email: tdvhome@mail.ru

References

  1. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т. 5. Электроупругость; отв. ред. А.Н. Гузь. - Киев: Наукова думка, 1989. - 280 с.
  2. Gupta Mange Ram. Symmetric vibrations of an elastic semiconductor in the form of a spherical shell under mechanical, thermal and electric fields // Indian J. Pure and Appl. Math. - 1990. - Vol. 21. - No. 6. - P. 582-596.
  3. Xiao Yu, Bhattacharya Kaushik. A continuum theory of deformable, semiconducting ferroelectrics // Arch. Ration. Mech. and Anal. - 2008. - Vol. 189. - No. 1. - P. 59-95.
  4. Партон В.З., Кудрявцев Б.А., Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. - М.: Наука,1988. - 470 с.
  5. Гачкевич О.Р., Мусiй Р.С. Несущая способность электропроводящих элементов кононической формы при действии электромагнитных импульсов. Несуча здатнiсть електропровiдних елементiв канонiчноi форми за дii електромагнетних iмпульсiв // Фiз.-хiм. мех. матер. - 2010. - № 4. - С. 92-97.
  6. Дашко О.Г. Несвязанная задача магнитоупругости для ферромагнитного тела со сферической полостью // Прикл. мех. - 2007. - Т. 43, № 10. - С. 42-48.
  7. Aouadi M. Electromagneto-thermoelastic fundamental solutions in a two-dimensional problem for short time // Acta mech. - 2005. - Vol. 174. - No. 3-4. - P. 223-240.
  8. Ватульян А.О. Фундаментальные решения в нестационарных задачах электроупругости // Прикл. мат. и мех. - 1996. - Т. 60, № 2. - С. 309-312.
  9. Ding H.J., Wang H.M., Chen W.Q. Dynamic response of a pyroelectric hollow sphere under radial deformation // Eur. J. Mech. A. - 2004. - Vol. 22. - No. 4. - С. 617-631.
  10. Allam Mohmed N., Elsibai Khaled A., Abouelregal Ahmed E. Magneto-thermoelasticity for an infinite body with a spherical cavity and variable material properties without energy dissipation // Int. J. Solids and Struct. - 2010. - Vol. 47. - No. 20. - P. 2631-2638.
  11. Бабаев А.Э., Савин В.Г. Излучение нестационарных акустических волн толстостенной электроупругой сферой // Прикл. мех. - 1995. - Т. 31, № 11. - С. 25-32.
  12. Бабаев А.Э., Савин В.Г., Джулинский А.В. Аналитический метод решения задачи излучения нестационарных волн сферическим пьезопреобразователем // Теор. и прикл. мех. - 2003. - № 37. - С. 195-199, 213.
  13. Бабаев А.Э., Савин В.Г., Стадник А.И. Излучение звука системой пьезокерамических сферических оболочек при электрическом импульсном возбуждении // Прикл. мех. - 1988. - Т. 24, № 10. - С. 34-40.
  14. Бабаев А.Э., Рябуха Ю.Н., Савин В.Г. Возбуждение толстостенной пьезокерамической сферы нестационарными электрическими импульсами // Изв. АН. Мех. тверд. тела. - 1995. - № 5. - С. 94-101.
  15. Савин В. Г., Моргун И. О. Преобразование электрических импульсов в акустические экранированной сферической пьезокерамической оболочкой // Прикл. мех. - 2007. - Т. 43, № 2. - С. 133-142.
  16. Vestyak V.A., Lemeshev V.A., Tarlakovskii D.V. The Propagation of Time-Dependent Radial Perturbations from a Spherical Cavity in an Electromagnetoelastic space // Doklady Physics. - 2010. - Vol. 55. - Iss. 9. - P. 468-470.
  17. Вестяк В.А., Тарлаковский Д.В. Одномерные нестационарные волны в толстостенной электромагнитоупругой сфере // Эколог. вестн. науч. центров ЧЭС. - 2011. - № 4. - С. 16-21.
  18. Вестяк В.А., Тарлаковский Д.В. Исследование нестационарных радиальных колебаний электромагнитоупругой толстостенной сферы с помощью численного обращения преобразования Лапласа // Вестн. Твер. гос. ун-та. Серия: Прикладная математика. - 2014. - № 1. - Вып. 9. - С. 51-64.
  19. Vestyak V.A., Igumnov L.A., Tarlakovsky D.V. Electromagnetic filds in movings space with spherical enclosure // Materials physics and mechanics (MPM). - 2015. - Vol. 23. - No. 1. - P. 31-35.
  20. Вестяк В.А., Тарлаковский Д.В. Нестационарные осесимметричные объемные возмущения в пространстве со сферической полостью // Методи розв'язування прикладних задач механiки деформiвного твердого тiла: збiрник наукових праць Днiпропетр. нацiон. ун-та. - Днiпропетровськ: Наука i освiта, 2010. - Вип. 11. - С. 49-56.
  21. Tarlakovskii D.V., Vestyak V.A., Zemskov A.V. Dynamic processes in thermo-ectro-magneto-elastic and thermo-elasto-diffusive media // Encyclopedia of Thermal Stresses. Vol. 2. - Dordrecht, Heidelberg, New York, London: Springer, 2014. - P. 1064-1071.
  22. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. - 287 с.
  23. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям: с формулами, графиками и математическими таблицами: пер. с англ. - М.: Наука, 1979. - 832 с.
  24. Лаврентьев М.А, Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1973. - 736 c.
  25. Gorshkov A.G., Tarlakovskiy D.V. Transient Aerohydroelasticity of Spherical Bodies. - Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 2001. - 289 p.
  26. Григорьев И.С., Мейлихов Е.З. Физические величины: справочник. - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.

Statistics

Views

Abstract - 282

PDF (Russian) - 16

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2016 Vestyak V.A., Kuznetsova E.L., Tarlakovski D.V.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies