Full Text

Введение Математическое моделирование процессов деформирования при циклических нагружениях в основном строится на вариантах теории пластического течения при комбинированном упрочнении, обзор и анализ которых содержится в работах [1-18]. Основной проблемой построения этих вариантов является формулировка достаточно адекватных эволюционных уравнений для смещения центра поверхности нагружения (тензора микронапряжений [1]). В настоящее время в практических расчетах наибольшее применение нашли три варианта-модели пластичности: модель Коротких [6-8], модель Бондаря [2-5] и модель Шабоши [9, 13, 18]. Все эти модели прошли достаточную верификацию [2, 4-18] на широкомспектре конструкционных сталей и сплавов и программ экспериментальных исследований. Далее в работе будет рассматриваться только модель Бондаря [19], в которой на основе анализа петли пластического гистерезиса выделены три типа микронапряжений, отвечающие за смещение центра поверхности нагружения. Для каждого типа микронапряжений сформулировано свое эволюционное уравнение. Это позволило построить вариант теории пластического течения при комбинированном упрочнении. Развитие этого варианта на процессы термопластического деформирования содержится в работе [20], а термовязкопластического - в работе [21]. Для описания процесса накопления повреждений формулируется [2-5, 19] кинетическое уравнение накопления повреждений, где в качестве энергии, расходуемой на создание повреждений в материале, принимается работа микронапряжений на поле пластических деформаций. Впервые кинетическое уравнение на основе работы микронапряжений было рассмотрено в работе [22] при исследовании малоцикловой прочности конических оболочек при теплосменах в условиях сложного неизотермического нагружения. В работе [19] на основе анализа экспериментальных данных от малоцикловой до многоцикловой усталости (от 101 до 106 циклов) получено, что работа микронапряжений второго типа на поле пластических деформаций постоянна и, следовательно, может считаться характеристикой разрушения материала. На основе этих результатов формулируется кинетическое уравнение для описания нелинейных процессов накопления повреждений [19], которое в работе [20] обобщено на неизотермические процессы, а в работе [21] - на процессы, развивающиеся во времени с учетом охрупчивания и залечивания материала. В настоящей работе на основе общих уравнений теории пластичности [19] рассматривается упругопластическое циклическое деформирование и мало-многоцикловая усталость в условиях одноосного напряженного состояния. Рассматривается работа микронапряжений второго типа на поле пластических деформаций и формулируется критерий мало-многоцикловой усталости. Определяются его асимптоты при малоцикловом и многоцикловомнагружениях. Проводится сопоставление расчетных и экспериментальных результатов по усталости при одноблочном и многоблочных циклических нагружениях. Анализируются процессы вышагивания (ratcheting) и посадки петли пластического гистерезиса при несимметричных циклических нагружениях, а также эффект малого цикла в большом.Выявляются механические аспекты каждого типа микронапряжений. 1. Основные положения и уравнения теории Материал однороден и начально изотропен.Рассматриваются малые деформации поликристаллических конструкционных сталей и сплавов. В процессе упругопластического деформирования в материале может возникать только пластическая деформационная анизотропия. Ниже приводятся основные уравнения теории [19]. , (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Здесь - тензоры скоростей полной, упругой и пластической деформаций; - тензор напряжений, девиаторы напряжений, активных напряжений и микронапряжений [1]; - накопленная пластическая деформация; - модуль Юнга, коэффициент Пуассона, модуль сдвига; - микронапряжения первого, второго и третьего типов; - определяющие функции, выражающиеся через материальные. Тензор характеризует смещение центра поверхности нагружения (анизотропное упрочнение), а скаляр - отвечает размеру (радиусу) поверхности нагружения и характеризует изотропное упрочнение. Определяющие функции выражаются через материальные следующим образом: (11) (12) . (13) Для описания нелинейных процессов накопления повреждений вводится [19] следующее кинетическое уравнение накопления повреждений: (14) (15) Здесь - мера повреждения материала и - функция и параметр нелинейности процесса накопления повреждений (при процесс накопления повреждений является линейным). Таким образом, данный вариант теории замыкают следующие материальные функции и параметры, подлежащие экспериментальному определению: - упругие параметры; - модули анизотропного упрочнения; - модули вышагивания; - функция изотропного упрочнения; - энергия разрушения; - параметр нелинейности процесса накопления повреждений. Базовый эксперимент и метод идентификации материальных функций и параметров изложен в работе [19]. 2. Мало-многоцикловая усталость при одноосном напряженном состоянии При одноосном растяжении-сжатии микронапряжения второго типа и пластические деформации: (16) где и - микронапряжения второго типа и пластическая деформация вдоль оси растяжения-сжатия. В этом случае уравнение (6) примет вид (17) Рассматривается циклическое одноосное нагружение, когда пластическая деформация на п-м полуцикле меняется от до , а микронапряжение второго типа меняется от до (рис. 1). Интегрирование уравнения (17) при начальных условиях , дает формулу для определения микронапряжений на -м полуцикле (18) Рис. 1. Изменение микронапряжения при циклическом одноосном нагружении Fig. 1. Changes inback stresses under cyclic uniaxial loading В случае циклического деформирования с размахом пластической деформации формула (18) примет вид (19) Из формулы (19) можно получить связь между микронапряжениями в конце -го и -го полуциклов: (20) Или вместо (20) можно записать эту связь в виде смешанной прогрессии (21) Из формулы (21) следует, что . (22) Но так как , то . (23) Таким образом, через несколько циклов деформирования процесс образования и сжатия микронапряжений практически стабилизируется, и стабилизированные значения микронапряжений в конце полуциклов растяжения и сжатия, соответственно, будут выглядеть как (24) (25) Далее, рассматривая работу микронапряжений второго типа на полуциклах растяжения и сжатия и учитывая состояние стабилизации, можно получить (26) Тогда, основываясь на (26), критерий мало-многоцикловой усталости будет иметь вид (27) Здесь - число циклов до разрушения. При размахе пластической деформации , т.е. примногоцикловой усталости , уравнение (27) приводится к виду (28) А при размахе , т.е. при малом числе циклов до разрушения , уравнение (27) приводится к виду . (29) Ответственность за накопление повреждений микронапряжений второго типа иллюстрируется результатами, приведенными на рис. 2, где показаны изменения работы микронапряжений второго (кривые 1 и 2) и третьего (кривая 3) типов, соответствующие экспериментальным [23, 24] значениям числа циклов до разрушения для нержавеющей стали , материальные функции для которой приведены в работе [19]. Результаты, приведенные на рис.2, показывают, что энергия разрушения, равная работе микронапряжений второго типа, на поле пластических деформаций является постоянной величиной на диапазоне числа циклов до разрушения от 102 до 106 и может быть принята в качестве характеристики разрушения материала. Кривая мало-многоцикловой усталости, полученная на основе критерия (27), показана на рис. 3 сплошной линией, а экспериментальные результаты [23] для нержавеющей стали светлыми кружками. Расчетные и экспериментальные результаты показывают выход на асимптоту (29) при и на асимптоту (28) при . Экспериментальные результаты, приведенные в работе [25], также показывают выход кривых усталости на эти асимптоты для ряда материалов. Таким образом, можно говорить о том, что конструкционные стали и сплавы при малом числе циклов до разрушения имеют показатель степени в критерии усталости, равный 1, а при большом числе циклов до разрушения показатель степени в критерии усталости равен . Во всем диапазоне числа циклов до разрушения (от 101 до 107 циклов, эксперименты [23-25]) критерий усталости имеет вид (27). На рис. 3 пунктирной кривой показаны результаты, полученные на основании критерия Коффина-Мэнсона [26] при показателе степени, равном . Из этих результатов следует, что в данном случае критерий Коффина-Мэнсона удовлетворительно соответствует эксперименту в диапазоне числа циклов до разрушения от до циклов. Рис. 2. Изменения работы микронапряжений второго (кривые 1 и 2) и третьего (кривая 3) типов Fig. 2. Changes in work of back stresses of second (curve 1 and 2) and third (curve 3) types Рис. 3. Кривая мало-многоцикловой усталости нержавеющей стали Fig. 3. Curve of low-high fatigue for stainless steel Результаты экспериментальных исследований [25] многоцикловой усталости при показывают, что может иметь место значительное снижение долговечности особенно при повышенных температурах испытаний. В этом случае длительность испытаний приближается к часам, и снижение долговечности может быть объяснено охрупчиванием материала и, соответственно, снижением энергии разрушения. Это явление может быть описано в рамках варианта теории, что и сделано в работах [2, 27]. Изменение накопленной пластической деформации от числа циклов до разрушения для нержавеющей стали приведено на рис. 4, где сплошная кривая - расчет, а светлые кружки - эксперимент [23]. Из этих результатов следует, что накопленная пластическая деформация не зависит от числа циклов до разрушения и является постоянной величиной при . На постоянстве предельной накопленной пластической деформации построен критерий Колмогорова [28], применяемый в процессах обработки металлов давлением. При накопленная пластическая деформация связана с числом циклов до разрушения степенной зависимостью. На основе такой степенной зависимости и построен критерий усталости в работах Темиса [29]. Далее рассматривается несимметричное циклическое нагружение, имеющее квазистатическую составляющую , в условиях одноосного напряженного состояния. В этом случае кинетическое уравнение (14) примет вид (30) так как и . Рис. 4. Изменение накопленной пластической деформации от числа циклов до разрушения для нержавеющей стали Fig. 4. Relation between accumulated plastic deformation and number of cycles before fracture for stainless steel Но при статическом разрушении , где - истинная деформация разрушения, и тогда (31) что соответствует деформационно-кинетическому критерию Гусенкова-Шнейдеровича [30]. Таким образом, кинетическое уравнение (14) при произвольном процессе циклического нагружения автоматически учитывает квазистатические и усталостные повреждения. В работе [31] приводятся результаты экспериментальных исследований нелинейных процессов накопления повреждений, где за меру повреждения принимается относительная объемная доля дефектов, определяемых на основе ультразвуковых и металлографических исследований. Результаты этих испытаний представлены в виде зависимостей повреждения ω от относительного числа циклов нагружения для различных режимов одноосного нагружения. Эти зависимости хорошо аппроксимируются степенной функцией со степенями, соответствующими режимам нагружения, т.е. . (32) Так как , а , где - работа микронапряжений второго типа на пластических деформациях цикла, то вместо (32) следует выражение . (33) Дифференцируя левую и правую части (33) по времени и используя (33), можно получить следующее кинетическое уравнение, совпадающее с (14), . (34) Показатель степени , характеризующий нелинейность процесса накопления повреждений, по экспериментальным данным [31], меняется в интервале от 0 до 1 с увеличением размаха деформации на цикле и при достаточно большом размахе деформации приближается к единице, а процесс накопления повреждений становится практически линейным. Поэтому в качестве меры, которая может характеризовать интенсивность циклического деформирования, принимается относительная величина микронапряжений второго типа, т.е. функция нелинейности процесса накопления повреждений может быть представлена в следующем виде: , (35) где - параметр нелинейности процесса накопления повреждений (практически для всех конструкционных сталей и сплавов ). Тем более при больших размахах деформаций, а также при квазистатической деформации, когда интенсивность практически равна , согласно (34) и (35), процесс накопления повреждений близок к линейному. Нелинейный процесс накопления повреждений при различных размахах деформации одноблочного циклического нагружения, полученный на основании расчета по уравнениям (1)-(13) варианта теории и кинетическому уравнению (14) для нержавеющей стали приведен на рис. 5. Результаты на рис. 5 показывают, что с увеличением размаха Рис. 5. Нелинейный процесс накопления повреждений при различных размахах деформации одноблочного циклического нагружения для нержавеющей стали Fig. 5. Nonlinear damage accumulation at different scales of deformation with regard to single-block cyclic loading for stainless steel деформации процесс накопления повреждений приближается к линейному и накопление повреждений происходит с начальной фазы процесса циклического нагружения, т.е. в данном случае отсутствует первая стадия накопления повреждений. Далее по мере уменьшения размаха деформации на начальном этапе появляется первая стадия накопления повреждений, на которой повреждение мало, т.е. практически отсутствует. Продолжительность первой стадии накопления повреждений увеличивается с уменьшением размаха деформации. Все эти выводы согласуются с результатами экспериментальных исследований [6, 31]. Нарушение правила линейного суммирования повреждений при многоблочном изменении размаха деформации и различных уровнях предварительного циклирования приведены в работе [19], где теоретические исследования на основании данного варианта теории сопоставляются с результатами экспериментальных исследований [23]. На рис. 6 Рис. 6. Суммирование повреждений при двублочном изменении размаха деформации Fig. 6. Damage summation at double-block alteration of deformation scale приведены результаты расчетов и экспериментов [23] при двухблочном изменении размаха деформации, где результаты расчетов изображены сплошными линиями, а результаты экспериментов [23] темными кружками при возрастании размаха деформации и светлыми кружками при убывании размаха деформации . Наблюдается существенное отклонение от правила линейного суммирования повреждений при удовлетворительном соответствии результатов расчетов и экспериментов [23]. 3. Вышагивание (ratcheting) и посадка петли пластического гистерезиса В настоящее время значительное количество работ в области пластичности посвящено теоретическим и экспериментальным исследованиям [10-19] процесса вышагивания (ratcheting) петли пластического гистерезиса при несимметричных мягких (контролируемые напряжения) режимах нагружения. В основном построение вариантов теории происходит в рамках модели Шабоши, увеличивая количество параметров и эволюционных уравнений. В данной работе рассматриваются возможные вклады в процесс вышагивания каждого типа микронапряжений, т.е. определяется механический смысл каждого типа в процессе циклического нагружения. При несимметричном мягком циклическом нагружении в условиях одноосного напряженного состояния (растяжение-сжатие) напряжение на цикле меняется от до . Так как а то несимметричность нагружения характеризуется микронапряжениями и или и Далее рассматривается поочередно характер изменения микронапряжений каждого типа. Изменение микронапряжений третьего типа имеет место только при циклических нагружениях с размахом деформации меньше [19], что сравнимо с величиной технического допуска . Особенностью изменения микронапряжений третьего типа является возврат циклической петли в свое начало, и если , то петля остается несимметричной, а если - петля будет симметричной. Поэтому механический смысл микронапряжений третьего типа заключается в том, что они позволяют описать известный экспериментальный эффект [32] малого цикла в большом. Таким образом, микронапряжения третьего типа при несимметричном циклическом нагружении сразу стабилизируются и сохраняют свою симметричность или несимметричность, т.е. не могут обеспечить процесс вышагивания (ratcheting). Микронапряжения второго типа при несимметричном мягком циклическом нагружении за несколько первых циклов стабилизируются, и процесс вышагивания замедляется. Длительность процесса вышагивания может быть увеличена при значительном уменьшении параметра β - на два порядка меньше значений β для конструкционных сталей и сплавов. Поэтому механический смысл микронапряжений второго типа заключается в обеспечении процесса вышагивания на первых циклах несимметричного мягкого нагружения. Хотя основное предназначение микронапряжений второго типа заключается в их ответственности за процесс накопления повреждений. Процесс вышагивания (ratcheting) при несимметричном мягком циклическом нагружении имеет значительную длительность и может быть затухающим, постоянным или прогрессирующим [10-19]. Выше показано, что микронапряжения второго и третьего типов не обеспечивают достаточную длительность процесса вышагивания. Микронапряжение первого типа согласно (5) и (11) вычисляются по следующим формулам: Тогда для -го и -го циклов имеют место соотношения Переходя от приращений к дифференциалам и деля левую и правую часть на дифференциал возрастающего от цикла к циклу параметра, например накопленную пластическую деформацию, можно получить следующее дифференциальное уравнение: . (36) Как было указано ранее, процесс вышагивания может быть затухающим, постоянным или прогрессирующим. Тогда для изменения пластической деформации в процессе вышагивания может быть введена следующая степенная зависимость: (37) где при затухающее вышагивание; постоянное вышагивание; прогрессирующее вышагивание. Объединяя (36) и (37), можно получить следующее уравнение: (38) Интегрируя левую и правую часть уравнения (38), используя начальные условия и разрешая относительно , можно получить (39) или окончательно (40) Процесс вышагивания (ratcheting) петли пластического гистерезиса иллюстрируется на рис. 7, где приводится изменение средней деформации цикла и циклические диаграммы при блочном изменении среднего напряжения цикла в условиях постоянной величины амплитуды напряжения цикла. Сплошные кривые соответствуют расчету на основе варианта теории пластичности, а светлые кружки - эксперименту [33, 34]. Далее рассматривается посадка петли пластического гистерезиса при несимметричном жестком (контролируемые деформации) циклическом нагружении в условиях одноосного напряженного состояния (растяжение-сжатие) при размахе пластической деформации и средней деформации цикла . При размахе микронапряжения третьего типа имеют симметричную структуру , а при - фиксированную несимметричную структуру, не изменяющуюся в процессе циклического нагружения, т.е. Микронапряжения второго типа за несколько циклов стабилизируются, и структура их становится симметричной, т.е. . Что касается микронапряжений первого типа, то они обеспечивают длительную посадку петли пластического гистерезиса (в течение порядка 1000 циклов) либо к симметричной структуре при , либо несимметричной при , обусловленной несимметричностью петли микронапряжений третьего типа. При посадке петли напряжения растяжения и сжатия связаны с микронапряжениями следующими зависимостями: (41) Рис. 7. Поведение средней деформации цикла (а) и циклические диаграммы (б) при блочном изменении среднего напряжения цикла Fig. 7. Behavior of average cycle deformation (a) and cyclic diagrams (b) under block alteration of average cycle stress Из формулы (40) можно получить (42) Накопленная пластическая деформация определяется следующим образом: . (43) Используя выражения (41)-(43), можно получить следующую зависимость: (44) Логарифмируя левую и правую части зависимости (44), можно получить линейную зависимость в логарифмических координатах (45) которая по углу наклона прямой и точки пересечения с осью ординат позволяет определить модули вышагивания и . Посадка петли пластического гистерезиса определяется зависимостью (41), где при постоянной средней деформации цикла и уменьшающемся модуле среднее напряжение цикла уменьшается так же, как . Процесс посадки петли пластического гистерезиса можно описать также на основе уравнения, аналогичного уравнению (6) или (17) для микронапряжений второго типа при достаточно малом . Тогда среднее значение микронапряжений первого типа на основании зависимости (22) примет следующий вид: , (46) где - некоторая константа, а - номер полуцикла. Используя (46), для среднего напряжения цикла можно получить следующую зависимость: (47) где асимптотическое значение среднего напряжения цикла, обусловленное микронапряжением третьего типа; - начальное среднее значение микронапряжения первого типа; - номер цикла. Далее вместо (47) имеет место следующее выражение: (48) Логарифмируя левую и правую части зависимости (48), можно получить линейную зависимость в логарифмических координатах (49) которая по углу наклона прямой позволяет определить значение модуля . Процесс посадки петли пластического гистерезиса в условиях жесткого несимметричного циклического нагружения нержавеющей стали иллюстрируется на рис. 8, где приведены циклические диаграммы для 1-го и 300-го циклов нагружения, а также изменения максимальных , минимальных и средних напряжений на цикле. Сплошными кривыми на рис. 8, а и б показаны результаты расчетов на основе варианта теории пластичности, а светлыми кружками - результаты экспериментов, проведенных в НИИ Механики ННГУ. Результаты расчетов без учета изменения модуля показаны на рис. 8, б также сплошными кривыми. Микронапряжения первого типа вносят также свой существенный вклад в адекватное описание процессов нестационарного жесткого циклического нагружения при блочном изменении размаха деформации. В моделях Коротких [6-8] и Шабоши [9, 13, 18] для описания этих процессов вводится поверхность памяти, и процессы деформирования разделяются на монотонные и циклические, что существенно усложняет уравнения теории и значительно увеличивает числа материальных параметров. В рассматриваемом варианте теории пластичности все три типа микронапряжений вносят свой вклад при переходе от одного размаха к другому как при увеличении, так и при уменьшении размаха, при превалирующем вкладе микронапряжений первого типа. На рис. 9 приведены изменения амплитуды напряжения и циклические диаграммы в условиях блочного изменения амплитуды деформации при симметричном жестком циклическом нагружении нержавеющей стали . На рисунке сплошные кривые соответствуют расчету, а светлые кружки - эксперименту [33, 34]. Рис. 8. Циклические диаграммы (а) для 1-го и 300-го циклов жесткого нагружения и изменения максимальных , минимальных и средних напряжений (б) на цикле для нержавеющей стали 12Х18Н9 Fig. 8. Cyclic diagrams (a) for the first and 300th cycles of loading and alterations of maximal , minimal and average stresses (b) at the cycle for stainless steel 12Х18Н9 Рис. 9. Поведение амплитуды напряжения (а) и циклические диаграммы (б) при блочном изменении амплитуды деформации цикла Fig. 9. Behavior of stresses amplitude (a) and cyclic diagrams (b) at the block alteration of cycle deformation amplitude Таким образом, механический смысл микронапряжений первого типа заключается в обеспечении описания явлений вышагивания (ratcheting) и посадки при несимметричных циклических нагружениях, а также описания переходных процессов при нестационарных циклических нагружениях. Заключение Приведены основные уравнения теории пластического течения при комбинированном упрочнении, в которой кинематическое упрочнение определяется на основе эволюционных уравнений для микронапряжений трех типов. Выявлены механические аспекты каждого типа микронапряжений: - микронапряжения первого типа обеспечивают описание явлений вышагивания (ratcheting) и посадки петли пластического гистерезиса при несимметричных мягких и жестких циклических нагружениях, а также переходных процессов при нестационарных циклических нагружениях; - микронапряжения второго типа обеспечивают процесс вышагивания (ratcheting) и посадки петли пластического гистерезиса на начальных циклах нагружения, но основное предназначение микронапряжений второго типа заключается в их ответственности за процесс накопления повреждений; - микронапряжения третьего типа обеспечивают возврат циклической петли в свое начало, что позволяет описать эффект малого цикла в большом; при малом размахе деформации при несимметричном жестком циклическом нагружении посадка петли будет осуществляться на некоторую несимметричную петлю. На основе интегрирования эволюционного уравнения для микронапряжений второго типа и вычисления работы микронапряжений второго типа на поле пластических деформаций при циклическом нагружении с постоянным размахом пластической деформации в условиях одноосного растяжения-сжатия получен критерий мало-многоцикловой усталости (от до циклов нагружения). Работоспособность критерия подтверждена результатами экспериментов. Следует отметить, что кривая мало-многоцикловой усталости может быть получена на основе предложенного критерия, используя экспериментальную стабилизированную петлю пластического гистерезиса и число циклов до разрушения только при одном размахе деформации порядка 0,015-0,02. Проанализировано расчетное и экспериментальное поведение накопленной пластической деформации при мало-многоцикловой усталости. Показано, что при малом числе циклов до разрушения предельная накопленная пластическая деформация не зависит от числа циклов до разрушения и имеет постоянное значение, а при многоцикловой усталости предельная пластическая деформация связана с числом циклов до разрушения степенной зависимостью. Приведен анализ процессов вышагивания (ratcheting) и посадки петли пластического гистерезиса при несимметричных циклических нагружениях, а также анализ нелинейных процессов накопления повреждений и деформирования при нестационарных циклических нагружениях. Сопоставления результатов расчетов и экспериментов говорят об адекватности анализируемого в настоящей работе математического моделирования процессов циклического деформирования и усталости.

About the authors

V S Bondar

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

V V Danshin

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

D A Alkhimov

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

References

Statistics

Views

Abstract - 261

PDF (Russian) - 101