Full Text

Введение В настоящее время существует несколько основных типов критериев и моделей усталостного разрушения, позволяющих оценить число циклов нагружения образца материала или элемента конструкции до разрушения по напряженному состоянию [1-4]. Ранее в работах [5-7] исследовалось напряженно-деформированное состояние и усталостная долговечность титановых дисков компрессора газотурбинного двигателя в полетных циклах нагружения. Для этого был предложен метод определения параметров изотропных многоосных критериев усталостного разрушения [8] по результатам одноосных испытаний при различных коэффициентах асимметрии цикла. Там же на основе расчетов МКЭ были определены зоны зарождения усталостных микротрещин в окрестности ободной части диска. Эти зоны близки к наблюдаемым при эксплуатации данного элемента конструкции [9], но смещены к центральной части обода. Для уточнения расположения этих зон была выдвинута гипотеза о влиянии анизотропии усталостных свойств титанового сплава, возникающей из-за текстуры, наведенной в технологических процессах изготовления полуфабрикатов (в первую очередь - прокатки). Такую анизотропию усталостных свойств называют структурной. В данной работе рассматриваются эффекты влияния только структурной анизотропии, влияние конструкционной анизотропии, связанной с накоплением усталостных повреждений [10-12], не учитывается. Следует заметить, что наведенная текстура может приводить и к анизотропии упругих свойств материала, однако влияние этого фактора требует отдельного экспериментального исследования и в данной работе также не рассматривается. Учет структурной усталостной анизотропии позволяет определить те контактные зоны диска и лопаток (из множества имеющихся по числу лопаток), где критерий усталостного разрушения выполняется при минимальной долговечности. Эффект зависимости пределов усталости от оси нагружения при одноосных усталостных испытаниях образцов с текстурой отмечен в различных источниках [13, 14]. На рис. 1 приведены полученные в работе [15] результаты, показывающие зависимость числа циклов до разрушения (N) от величины максимального напряжения в цикле ( [кгс/мм2]) для титанового сплава при различной ориентации осей текстуры и нагружения. Рис. 1. Усталостная долговечность текстурированного сплава Ti-6Al-4V [8]. Оси ориентации текстуры и нагружения в опытах были параллельны (черные кружки) и перпендикулярны (черные квадраты) Fig. 1. Fatigue durability of the textured alloy Ti-6Al-4V [8]. Axes of the texture orientation in the tests were parallel (black circles) and perpendicular (black squares) В работах [16,17] было предложено обобщение многоосного усталостного критерия на основе уравнения для повреждаемости типа Лемэтра-Шабоша на случай сплава с анизотропией усталостных свойств. В основе этого обобщения лежит замена второго инварианта девиатора напряжений на функцию Хилла, предложенную им [18] для описания анизотропной пластичности металлов: В [17] также приведены параметры функции Хилла F, G, H, L, M, N для титанового сплава Ti-6Al-4V, которые определены по результатам одноосных усталостных испытаний вдоль и поперек направления прокатки. 1. Критерии многоосного усталостного разрушения материалов с учетом анизотропии усталостных свойств В данной работе идея замены второго инварианта девиатора напряжений на функцию Хилла положена в основу обобщения классического критерия многоосного усталостного разрушения Сайнса [19] на анизотропный случай. Процедура определения параметров для этого критерия, а также классических критериев [20, 21] предложена в [8]. Кратко опишем результаты ее применения для рассматриваемого анизотропного случая. Для придания единообразной формы изотропным и анизотропным критериям вместо функции Хилла введем связанное с ней эквивалентное напряжение Хилла по формуле , , , , Модель Сайнса а) Изотропный критерий Сайнса. Обобщение одноосной усталостной кривой на случай многоосного напряженного состояния согласно [19] имеет вид , , где - сумма главных напряжений, осредненная за цикл нагружения; - изменение октаэдрического касательного напряжения за цикл; - его амплитуда; , , , - параметры, определяемые по данным эксперимента. В [8] подробно описана процедура определения параметров многоосного критерия по результатам одноосных экспериментов с разными коэффициентами асимметрии цикла. В изотропном случае параметры критерия Сайнса имеют вид , , , где и - пределы усталости по амплитудным усталостным кривым при коэффициентах асимметрии цикла и соответственно; - предел прочности. б) Анизотропный критерий Сайнса. Обобщение критерия Сайнса на анизотропный случай с учетом вышеописанной замены примем в виде , , , , Вычисление параметров обобщенного критерия по схеме, изложенной в [8], дает следующий результат: , , Имея в виду конкретный расчетный пример, рассмотренный далее, приведем приближенные значения параметров для титанового сплава Ti-6Al-4V [8, 16, 17]: предел прочности МПа; пределы усталости по амплитудным усталостным кривым при коэффициентах асимметрии и соответственно: = 400 МПа и = 300 МПа; показатель степенной зависимости от числа циклов ; модуль Юнга ГПа; модуль сдвига ГПА; коэффициент Пуассона . Значения параметров Хилла для титанового сплава с анизотропными усталостными свойствами равны [17]: F = 0,54, G = 0,34, H = 0,65, N = M = L = 2,34. 2. Расчет напряженно-деформированного состояния вращающегося диска компрессора в полетных циклах нагружения В данном разделе решается задача определения напряженно-деформированного состояния и оценки усталостной долговечности диска компрессора газотурбинного двигателя, изготовленного из титанового сплава с анизотропными усталостными свойствами. Основным силовым фактором в полетных циклах нагружения диска компрессора газотурбинного двигателя являются центробежные силы. Расчету дисков на подобные воздействия посвящена обширная литература [22-25]. Здесь предлагается метод экспресс-расчета напряженно-деформированного состояния упругого кольцевого диска переменной толщины, основанный на редукции трехмерной системы теории упругости к последовательности систем обыкновенных дифференциальных уравнений. 2.1. Упрощенная система обыкновенных дифференциальных уравнений В цилиндрической системе координат , , кольцевой диск имеет переменное сечение . Полная трехмерная система уравнений теории упругости в цилиндрической системе координат имеет вид [26] Напряжения связаны с деформациями законом Гука: , , , , Соотношения между деформациями и перемещениями имеют вид , , , , Здесь l, m - модули Ламе; r - плотность материала диска. В дальнейшем используются безразмерные напряжения, отнесенные к l + 2m, и безразмерные пространственные переменные, отнесенные к внутреннему радиусу диска а. Граничные условия при имеют вид , , Внутренний контур (r = a) считается свободным от напряжений, на внешнем контуре (r = b) приложены периодические по окружной координате нагрузки обусловленные контактом с лопатками, нагруженными центробежными силами. С учетом предполагаемой периодической зависимости радиальных нагрузок на внешнем контуре диска от угла и малой толщины диска представим смещения в следующем виде: Соответствующее представление напряжений имеет вид Коэффициенты рядов Фурье , , , , , , , , , и т.д. являются новыми (вспомогательными) искомыми функциями радиальной переменной r. Подставим выражения для смещений и напряжений в исходную систему уравнений равновесия, закона Гука и приравняем члены при одинаковых степенях z, вплоть до z3. В итоге получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для вспомогательных переменных при различных n = 0, 1, 2… где Ранее эта система уравнений была получена в [7], однако там решалась усеченная дифференциальная система для четырех главных коэффициентов разложения , , , В данном случае решается полная связанная система уравнений для всех выписанных коэффициентов рядов Фурье по угловой координате. При эта система совпадает с известными уравнениями осесимметричного деформирования диска переменной толщины [23, 27]. Граничные условия принимают вид при r = a: (1) при r = b: Для определения значений будем считать каждую лопатку пластиной прямоугольного сечения шириной d. Число лопаток равно N0, поэтому Радиальные напряжении , которые моделируют центробежное воздействие от лопаток и согласованы с ним по амплитуде [27]: , где b и b1 - внутренний и внешний радиус лопаток кольцевого диска. Периодическая функция распределения радиального напряжения на внешнем контуре (при r = b) раскладывается в ряд Фурье (один период ): (2) 2.2. Численный метод и результаты расчетов Таким образом, для различных n необходимо решать двухточечные краевые задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений c граничными условиями (1) с учетом выражений (2) для коэффициентов разложения нагрузок в ряд Фурье по угловой координате. Исследование поведения собственных чисел матрицы коэффициентов системы показало, что они быстро растут с увеличением номера n, поэтому полученная система уравнений является «жесткой». Стандартные конечно-разностные методы решения [28] полной системы уравнений, в том числе и неявные, которые применялись ранее в [7] для решения усеченной системы, не позволяют получить численное решение. Поэтому для решения двухточечной краевой задачи была использована процедура ортогональной прогонки [29-30]. После этого компоненты напряжений определялись суммированием рядов Фурье. Количество членов рядов Фурье при суммировании для практической сходимости не превышало 20. Для расчетов были выбрана форма диска, верхняя половина сечения которого показана на рис. 2, а: a = 0,05 м, b = 0,4 м, h = 0,035 м, значения параметров 600 1/c, 78 МПа, 44 МПа, 4370 (титановый сплав). а б Рис. 2. Форма диска (а) и распределение напряжений (б) Fig. 2. Disk shape (a) and stress distribution (b) На рис. 2, б показано распределение компонент напряжений по радиальной координате при (правый край корня лопатки) и при z = 0. Сплошной линией показана компонента , пунктирной линией - компонента . Таким образом, с помощью полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений удалось приближенно решить трехмерную по своей сути задачу теории упругости и определить многоосное напряженное состояние диска. 3. Влияние анизотропии усталостных свойств на зоны зарождения разрушения и долговечность конструкции На основе критериев многоосного усталостного разрушения [8] были получены распределения логарифма долговечности log (количества циклов нагружения до разрушения) по радиальной координате для титанового сплава с изотропными усталостными свойствами и с пределом усталости ~ 350 МПа. Использован модифицированный критерий Сайнса, который в анизотропном случае имеет следующий вид: В этом случае лопатки, ориентированные под разными углами к выделенному направлению х, будут находиться в разных условиях с точки зрения определения компонент напряжений, входящих в комбинацию Хилла: Соответствующие компоненты напряжений вычисляются по формулам 3.1. Распределения долговечности по радиальной координате для изотропной и анизотропной усталости Распределения логарифма долговечности (далее - просто долговечности) по радиальной координате под лопаткой в центре корневого сечения и со смещением на при z = 0 и z = zmax = h для титанового сплава с изотропными усталостными свойствами показаны на рис. 3-6. Рис. 3. Радиальное распределение долговечности (а) , изотропная усталость (б) Fig. 3. The radial distribution of durability (а) , isotropic fatigue (b) Рис. 4. Радиальное распределение долговечности (а) , анизотропная усталость (б) , Fig. 4. The radial distribution of durability (а) , anisotropic fatigue (b) , На этих рисунках значения логарифма долговечности, превышающие 8, обрезаются и приравниваются к 8. Видно, что и в изотропном, и в анизотропном случаях для данной формы диска опасным с точки зрения развития усталостного разрушения является сечение на внутренней части обода с максимальной производной толщиной диска по радиальной координате (r = 7,4). В этом сечении долговечность приближается к опасному порогу 104 циклов (подразумеваются полетные циклы нагружения) при z = zmax = h (пунктирные линии на рис. 3-6). Минимальные значения долговечности получаются в смещенной от центра сечения точке в случае учета усталостной анизотропии при значении (рис. 4, б). Соответствующая точка сечения внешнего обода диска (корневое сечение лопатки r = 8) имеет большие значения долговечности ~104,5 и менее опасна с точки зрения зарождения усталостной микротрещины. Рис. 5. Радиальное распределение долговечности (а) , анизотропная усталость (б) , Fig. 5. The radial distribution of durability (а) , anisotropic fatigue (b) , Рис. 6. Радиальное распределение долговечности (а) , анизотропная усталость (б) , Fig. 6. The radial distribution of durability (а) , anisotropic fatigue (b) , 3.2. Изолинии долговечности на опасных сечениях для изотропной и анизотропной усталости Изолинии долговечности в координатах z, в наиболее опасном сечении под лопаткой на внутренней части обода при r = 7,4 представлены на рис. 7. Полная прямоугольная зона под лопаткой занимает диапазон и -0,7 < z < 0,7, но ввиду симметрии на рис. 7 показаны долговечности для половины этой зоны от середины (z = 0) до края (z = 0,7). Результаты расчетов показаны для сплава с изотропными и анизотропными усталостными свойствами при различных углах ориентации . а - изотропный случай б - в - г - a - isotropic case b - c - d - Рис. 7. Изополосы долговечности в наиболее опасном сечении диска , , : изотропный (а) и анизотропные (б-г) случаи Fig. 7. Contour plots of durability for the most dangerous disk section , , : isotropic (a) and anisotropic (b-d)) cases Из этих рисунков видно, что в анизотропном случае зоны минимальной долговечности с N~104 здесь значительно больше, чем в изотропном (ср. рис. 7, а и рис. 7, б-г). Наименее долговечными выглядят сечения диска под лопатками, ориентированными под углом (см. рис. 7, б) к направлению оси анизотропной усталости (направлению прокатки, если говорить о технологическом процессе изготовления диска). Во всех этих случаях результаты близки и для выбранных частот вращения принимают критические значения усталостной долговечности титанового диска N ~ 104 циклов, что является недопустимым для безопасной эксплуатации. Отметим, что наиболее опасной зоной для развития усталостного разрушения диска в полетных циклах разрушения в этих экспресс-расчетах, основанных на упрощенной модели, оказалась тыльная зона ободной части диска. Она локализована во внутренней части обода, в окрестности сечения с максимальными градиентами изменения толщины (при переходе от тонкой центральной части диска к утолщенной, ободной). Заключение Предложено обобщение критерия многоосного усталостного разрушения на случай титановых сплавов, обладающих анизотропными усталостными свойствами. Разработана процедура определения параметров критерия по результатам одноосных усталостных испытаний в направлении осей, по-разному ориентированных к выделенному направлению текстуры сплава. Решена задача определения напряженно-деформированного состояния и оценки усталостной долговечности вращающегося диска переменного сечения под действием центробежных нагрузок в диске и лопатках. Получена приближенная система обыкновенных дифференциальных уравнений для напряжений и смещений кольцевого диска малой, но значительно изменяющейся по радиальной координате толщины. На внешнем контуре диска задавались переменные и периодические по углу радиальные напряжения, которые моделировали центробежное воздействие от лопаток и были согласованы с ним по амплитуде. Учитывались распределенные центробежные нагрузки в самом диске. Циклические воздействия данного типа соответствуют полетным циклам нагружения «взлет-полет-посадка» (малоцикловая усталость). На основе предложенных критериев многоосного усталостного разрушения в изотропном и анизотропном случаях были получены распределения долговечности по сечениям диска. Определены опасные сечения, зоны и сроки зарождения усталостного разрушения в диске.

About the authors

N G Burago

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences

I S Nikitin

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences; Institute for Computer Aided Design of the Russian Academy of Sciences; Moscow Aviation Institute (National Research University)

P A Yushkovsky

Moscow Aviation Institute (National Research University)

V L Yakushev

Institute for Computer Aided Design of the Russian Academy of Sciences

References

Statistics

Views

Abstract - 214

PDF (Russian) - 57