A Comparison of Experimental and Computation Results of Finding Effective Characteristics of Elastic Properties of Polymer Layered Composites from Carbon and Glass Fabrics

Abstract


Anisotropy of mechanical properties of the entire material and each of its layers is characteristic for polymer layered composite materials, as well as the fact that production processes of the composite material and parts from it are often combined in time. In this case, the elastic properties and strength of the material will be different not only in the thickness of the part, but also at each point. All this leads to a complication of the design process, which is due to the need to determine the elastic properties and strength of the polymer layered composite materials, taking into account the structure of the entire material and each of its layers. This work aims at evaluating the existing computational methods of finding effective characteristics of elastic properties by comparing computation results obtained by various methods with each other, as well as with the experimental results related to elastic properties of polymer layered composite materials from carbon and glass fabrics. We estimated the computational methods of finding effective characteristics of the elastic properties of composites based on the experimental results of finding the characteristics of the elastic properties of polymer layered composite materials made of carbon and glass fabrics, differing in density and type of weaving. The experimental values of the effective characteristics of elastic properties were determined as a result of standard tensile tests of laboratory specimens. As a result of the study, it was found that all the considered models and methods give consistent results when calculating the longitudinal modulus of elasticity E 11, the results of calculating shear modulus E 33 and shear moduli G 12 and G 23 are less consistent for all the considered materials. The comparison of the results of the experimental studies and computations showed that the Chamis model and the bridge model are better than other models to predict the values of the longitudinal elastic modulus.

Full Text

Введение Современное развитие многих отраслей промышленного производства характеризуется увеличением объема и расширением номенклатуры применяемых полимерных слоистых композиционных материалов, значительная часть которых изготавливается из угле- и стеклотканей. Эти материалы обладают уникальным комплексом физико-механических свойств, к которым следует отнести сравнительно высокую удельную прочность и жесткость. Отличительными чертами этих материалов является анизотропия механических свойств всего материала и каждого его слоя и то, что процессы производства композиционного материала и детали из него часто совмещены по времени. Перечисленные особенности обусловливают возможность за счет рационального расположения тканевых слоев получить большую прочность и жесткость детали при сохранении массы детали или уменьшить массу детали при сохранении ее прочности и жесткости. В этом случае упругие свойства и прочность материала будут различными не только по толщине детали, но и в каждой ее точке. Все это приводит к усложнению процесса проектирования, которое обусловлено необходимостью определения упругих свойств и прочности полимерного слоистого композиционного материала с учетом структуры всего материала и каждого его слоя, а также характеристик физико-механических свойств его компонентов. Таким образом, наличие методов определения характеристик упругих свойств имеет решающее значение для использования рассматриваемых типов композитов в различных отраслях промышленного производства. Целью работы является оценка существующих методов вычисления эффективных характеристик упругих свойств путем сравнения результатов расчета, полученных различными методами, между собой, а также с результатами экспериментального определения упругих свойств полимерных слоистых композиционных материалов из угле- и стеклотканей. Аналитическое или численное моделирование текстильных композитов с целью оценки их упругих свойств зависит от прогноза упругих свойств однонаправленных композитов (UniDirectional - UD-композитов). Они рассматриваются как трансверсально-изотропные материалы, состоящие из двух составляющих - связующего и армирующего компонентов. В данной работе армирующим компонентом в UD-композитах являются нити из угле- или стекловолокна, связующим - эпоксидная смола. Волокна, из которых состоят нити, могут рассматриваться как анизотропные или изотропные материалы. Связующий компонент, представляющий собой эпоксидную смолу, рассматривается как изотропный материал. Эффективные матрицы жесткости и податливости трансверсально-изотропного материала определяются пятью независимыми инженерными константами: продольным и поперечным модулями Юнга Et и Ep; (t - направление вдоль волокна (рис. 1, а), p - направление поперек волокна); продольным и поперечным модулями сдвига Gtp и Gp; главным коэффициентом Пуассона νtp. Коэффициент Пуассона νp связан с поперечным модулем сдвига Gp и поперечным модулем Юнга Ep зависимостью . Инженерные константы UD-композита зависят от характеристик упругих свойств армирующего и связующего компонентов и объемной доли армирующего компонента (объемной доли волокна в композите). UD-композиты представляют собой основной элемент моделирования всех слоистых композитов из тканей. Композиционные материалы, армированные тканями (Woven-композиты), рассматриваются как ортотропные материалы. Эффективные матрицы жесткости и податливости ортотропного материала определяются девятью независимыми инженерными константами: модулями Юнга E11, E22 и E33, модулями сдвига G12, G23 и G13 и главными коэффициентами Пуассона ν21, ν31, ν32 (направление осей показано на рис. 1, б). Ввиду симметрии матрицы податливости существуют зависимости (без суммирования). Матрица податливости [S] ортотропного материала предоставляется следующим образом: .(1) Для тканых слоев, имеющих одинаковые нити основы и утка, которые расположены под углом 90°, систему координат, в которой определяются инженерные константы, можно выбрать таким образом, что будут выполняться равенства , и . Таким образом, эффективные матрицы жесткости и податливости ортотропного материала определяются шестью независимыми инженерными константами E11, E33, G12, G23, ν21, и ν31. Инженерные константы тканого слоя, а значит, и его матрицы жесткости и податливости можно определить, используя различные микромеханические модели, которые можно разделить на феноменологические, в которых структура композита не учитывается, структурно-феноменологические, в которых структура композита учитывается через поправочные коэффициенты или функции, и структурные. а б Рис. 1. Композиционные материалы (без связующего компонента): а - однонаправленный композит; б - тканый слой Fig. 1. Composite materials (without a binder): a) is a unidirectional composite; b) is a woven layer К феноменологическим моделям, не учитывающим структуру композита, следует отнести модели Фойгта (Voigt) [1] и Рейсса (Reuss) [2]. Значения упругих модулей, полученных с использованием этих моделей, образуют так называемую вилку Фойгта - Рейсса, которая для практического использования часто оказывается слишком широкой. Более узкий интервал упругих модулей в этом случае может быть определен с помощью вилки Хашина - Штрикмана (Hashin - Shtrikman) [3]. Для более точного определения упругих модулей необходимо использовать модели, которые учитывают структуру композита. Принимая во внимание то, что микромеханические модели в лучшей степени разработаны для UD-композитов, отметим, что оправданным представляется подход, согласно которому тканый слой рассматривается как двухслойный, состоящий из двух UD-слоев (псевдослоев), соответствующих нитям основы и нитям утка. После определения инженерных констант или матриц жесткости и податливости инженерные константы всего тканевого слоя находятся с применением моделей Фойгта (Voigt) [1] и Рейсса (Reuss) [2] или путем осреднения матриц жесткости каждого псевдослоя, с использованием следующей зависимости [4]: , (2) где - компоненты тензора жесткости модулей упругости слоя s; - объемная концентрация компонента s в N-компонентном композите (в рассматриваемом случае ). Подробное сравнительное обзорное исследование по моделированию упругих свойств UD-композитов с использованием наиболее известных доступных аналитических микромеханических моделей, а также метода конечных элементов (FEM) представлено в работе [5]. Там же представлены выводы, полученные при сравнении результатов, полученных с помощью широкого ряда аналитических и численных моделей, с доступными экспериментальными данными для различных типов UD-композитов. 1. Краткое описание моделей и методов вычисления эффективных характеристик упругости композитов Прогнозирование механических свойств UD-композитов было основной целью многих исследований. Предложены различные микромеханические модели для оценки упругих свойств UD-композитов. Эти модели можно разделить на четыре категории: феноменологические модели, полуэмпирические модели, модели упругого приближения и модели гомогенизации. К феноменологическим моделям (phenomenological models) относится модель, построенная на правиле смесей (Rule of Mixture - ROM). К полуэмпирическим моделям (semi-empirical models) относятся модель, построенная на модифицированном правиле смесей (Modified Rule of Mixture - MROM), модель Халпина - Цая (Halpin - Tsai model) [6] и модель Чамиса (Chamis model) [7]. В полуэмпирических моделях для повышения точности вычисления инженерных констант в правило смесей вводятся корректирующие коэффициенты. К моделям упругого приближения (Elasticity approach models) относят модели Хашина - Розена [8] и Кристенсена [9]. К моделям гомогенизации (Homogenization models) относят модель Мори - Танака (Мори - Tanaka model - M-T) [10], модель двойного включения (DI) [11] и мостовую модель (Bridging mode) [14, 15]. Для прогнозирования механических свойств композитов широко используется численное моделирование методом конечных элементов (FEМ). 1.1. Правило смесей (Rule of Mixture - ROM) Первыми и наиболее простыми моделями, которые были предложены и использованы для оценки свойств композитов, являются модели Фойгта (Voigt) [1] и Рейсса (Reuss) [2]. Модель Фойгта основывается на предположении о том, что в репрезентативной ячейке композита действуют постоянные деформации, в то время как модель Рейсса - на предположении о постоянстве напряжений. При отсутствии учета структуры композита, полученные с использованием этих моделей значения упругих модулей, образуют вилку Фойгта - Рейсса. Верхнее значение вычисляется по модели Фойгта, нижнее - по модели Рейсса. Точность определения характеристик упругих свойств UD-композитов можно повысить, если для вычисления и использовать модель Фойгта , , (3) а для вычисления и - модель Рейсса , . (4) 1.2. Модифицированное правило смесей (Modified Rule of Mixture - MROM) Для повышения точности определения E22 и G12 в выражения для их вычисления (3) и (4) были введены корректирующие коэффициенты [5]: , (5) . (6) После этого выражения для определения E22 и G12 приобрели следующий вид: , , (7) где - корректирующий коэффициент (предпочтительное значение ). Для вычисления и в модифицированном правиле смесей используются выражения (3). 1.3. Модель Халпина - Цая (Halpin-Tsai) В модели Халпина - Цая [6] для вычисления E22 и G12 используются следующие выражения: , , (8) где , - корректирующие коэффициенты . , , (9) , , - модули Юнга армирующего и связующего компонентов; - модули сдвига армирующего и связующего компонентов. Для вычисления и в модели Халпина - Цая используются выражения (3). 1.4. Модель Чамиса (Chamis) Модель Чамиса [7] является наиболее часто используемой и считается самой точной моделью, применяемой для определения характеристик упругих свойств композитов. В этой модели константы E11 и ν12 UD-композита определяются так же, как и в модели ROM (3), в то время как для других модулей Vf заменяется его квадратным корнем , , . (10) 1.5. Модели Хашина - Розена (Hashin and Rosen) и Кристенсена (Christensen) Модель Хашина - Розена [8] первоначально была предложена для оценки упругих свойств цилиндров из UD-композитов. Для вычисления модуля Юнга E11, коэффициента Пуассона ν12 и модуля сдвига G12 в ней использовались следующие выражения: , , (11) . Для повышения точности вычисления поперечного модуля сдвига G23 Кристенсен [9] предложил обобщенную самосогласованную модель, модуль сдвига G23 в которой определялся путем решения уравнения , (12) где - коэффициенты, вычисляемые по следующим зависимостям: , где , , , , , , , . 1.6. Модель Мори - Танака (Mori - Tanaka) Модель Мори - Танака [10] широко используется для моделирования различных видов композиционных материалов. Она основывается на решении задачи об одном эллипсоидальном включении с модулем упругости , которое расположено в бесконечной матрице с модулем упругости , данном Эшелби [11, 12]. В указанных работах установлено, что под действием однородных деформаций на удаленной границе поле деформации во включении также однородно и связано с деформацией на удаленной границе следующим образом: , (13) где - область включения; - микроскопическая координата; - тензор концентрации деформаций, имеет следующее выражение: , (14) - поляризационный тензор, который может быть вычислен по тензору Эшелби по зависимости . (15) Следует отметить, что как модель Мори - Танака, так и модель двойного включения, построенные на тензоре концентрации деформации, определяют макроскопическую жесткость композита следующим выражением: . (16) Модель Мори - Танака основывается на допущении, что тензор концентрации деформаций равен . Таким образом, модель Мори - Танака имеет следующую физическую интерпретацию: поведение каждого включения похоже на поведение изолированного включения в материале, средняя деформация в котором соответствует деформации на удаленной границе. 1.7. Модель двойного включения (Double inclusion model - D-I) Модель двойного включения (D-I) была предложена Нематом-Насером (Nemat-Nasser) и Хори (Hori) [13]. Она основана на предположении о том, что каждое включение (I) жесткости C1 окружено в его близком окружении действительным матричным материалом жесткости C0, а вне этих областей имеется эталонный носитель жесткости Cr. Таким образом, реальный композит заменяется на эквивалентный, состоящий из фиктивной эталонной матрицы жесткости Cr, в которой находится включение жесткости C1, покрытое материалом жесткости C0. 1.8. Мостовая модель (Bridging mode) Мостовая модель [14, 15] разработана для прогнозирования жесткости и прочности UD-композитов. Инженерные константы в ней E22 и G12 определяются следующим образом: , (17) , (18) где aij являются компонентами матрицы [A] мостовой модели; и - компонентами матриц податливости волокон и матрицы соответственно. Для вычисления и в мостовой модели используются выражения (3). 1.9. Численное моделирование методом конечных элементов (FEМ) В настоящее время для моделирования композитов кроме традиционно используемого метода асимптотического осреднения [4, 16] широкое распространение получили численные методы гомогенизации и гетерогенизации, которые позволяют проводить анализ механического поведения композитов на нескольких масштабных уровнях, осуществляя переходы с более низкого уровня на более высокий (гомогенизация), а также обратный переход (гетерогенизация). Наиболее перспективными считаются технологии, использующие многомасштабные методы. К числу последних следует отнести многомасштабный метод конечных элементов [17-20], гетерогенный многомасштабный метод конечных элементов [21], расширенный метод конечных элементов [22]. Решение ряда задач может быть выполнено методом «локальных гетерогенизаций» на основе концепции гибридной модели композита, предложенной А.И. Боровковым и В.А. Пальмовым [23]. Анализ численных методов определения упругих свойств содержится в работах [24-26], а результаты сопоставления вычисленных инженерных констант с результатами их экспериментального определения - в работах [27-29]. Ряд наиболее простых и универсальных методов решения типовых задач механики композитов реализован в некоторых распространенных системах автоматизированного инженерного анализа. В данной работе используется прямой метод гомогенизации, основанный на решении упругой задачи на ячейке периодичности многомасштабным методом конечных элементов, который реализован в программе ANSYS/Material Designer [30, 31]. Также используется метод конечных элементов, реализованный в программе DIGIMAT/Mark. 2. Описание материалов и методик лабораторных испытаний, результаты испытаний Сравнение результатов использования аналитических моделей и численных методов с имеющимися экспериментальными данными осуществлено для двух видов Woven-композитов - углерод/эпоксидного композита (CF/EP) и стекло/эпоксидного композита (GF/EP). Каждый вид был представлен двумя композитами, которые различались тканями и связующим компонентом. Основные характеристики тканевых слоев исследуемых композитов приведены в табл. 1. Характеристики физико-механических свойств волокон и эпоксидных смол исследуемых композитов приведены в табл. 2. Внешний вид тканей показан на рис. 2. Испытаниям были подвергнуты лабораторные образцы из четырех пластин, изготовленных из тканевых слоев, характеристики которых представлены в табл. 1. Таблица 1 Характеристики тканевых слоев Table 1 Characteristics of fabric layers Наименование характеристики Номер тканевого слоя первый второй третий четвертый Марка ткани углеткань 200 г/м2, 3К, плейн углеткань 200 г/м2, 3К, твил 2/2 стеклоткань 200 г/м2, плейн стеклоткань 200 г/м2, твил 2/2 Толщина ткани, мм 0,24 0,2 0,18 0,15 Плотность укладки нитей, см-1 8,33 4,62 7,2 13,5 Количество филаментов в нить 3000 3000 3000 3000 Диаметр филаментов, мкм 5,319 7,139 4,895 3,575 Относительный объем армирующего компонента в нити 0,7 0,7 0,7 0,7 Относительный объем армирующего компонента в ткани 0,463 0,556 0,452 0,542 Ширина сечения нити, мм 1,011 2,183 1,141 0,73 Высота сечения нити, мм 0,12 0,1 0,09 0,075 Удельная плотность нити, текс 120 216 120 216 Расстояние между нитями, мм 1,2 2,16 1,39 0,74 Марка связующего компонента эпоксидная система Epolam 2017 эпоксидная система SIN EpoxySystem Примечание: 1. Относительный объем армирующего компонента в нити равен 0,7. 2. Высота сечения нити равна половине толщины ткани. Таблица 2 Характеристики физико-механических свойств материалов [32] Table 2 Characteristics of physical and mechanical properties of materials [32] Наименование характеристики Наименование материала углеродное волокно стекловолокно эпоксидные смолы Плотность, г/см3 1,8 2,52 1,4 Модуль упругости, ГПа 290 73 3,7 Коэффициент Пуассона 0,22 0,33 0,35 а б в г Рис. 2. Внешний вид тканей: а - углеткань 200 г/м2, 3К, плейн; б - углеткань 200 г/м2, 3К, твил 2/2; в - стеклоткань 200 г/м2, плейн; г - стеклоткань 200 г/м2, твил 2/2 Fig. 2. View of fabrics: a) a carbon fabric 200 g/m2, 3K, plain; b) a carbon fabric 200 g/m2, 3K, twill 2/2; c) a glass fabric 200 g/m2, plain; g) a glass fabric 200 g/m2, twill 2/2 Тканевые слои в каждой пластине были ориентированы одинаково. Пластины были изготовлены по технологии вакуумной инфузии. Особенности технологии изготовления пластин и подготовки исходных данных для построения микромеханических моделей изложены в работах [33, 34], а результаты применения моделей - в работах [35, 36]. Из каждой пластины были вырезаны 10 лабораторных образцов. Испытания на растяжение осуществлены согласно ГОСТ 25.601-80 [37]. При проведении испытаний использована универсальная испытательная машина МИ-40КУ с числовым программным управлением. Толщина лабораторных образцов соответствовала толщине пластин. Лабораторные образцы из пластин вырезались вдоль направления нитей основы. В процессе проведения испытаний определялись значения модуля упругости при растяжении. Математические ожидания и стандартные отклонения определенных экспериментально значений модуля упругости при растяжении исследуемых пластин приведены в табл. 3. Таблица 3 Результаты экспериментальных исследований Table 3 Experimental results Наименование характеристики Номер материала первый1 второй третий четвертый Математическое ожидание, ГПа 53,3 60,1 15,6 18,4 Стандартное отклонение, ГПа 5,6 6,1 1,65 1,79 Примечание. 1Характеристики тканевых слоев приведены в табл. 1. 3. Результаты вычисления эффективных характеристик упругих свойств композитов Для определения эффективных характеристик упругих свойств рассматриваемых композитов требуется определение эффективных характеристик нитей, входящих в состав тканевых слоев. Каждая нить может быть представлена как UD-композит, состоящий из элементарных волокон (филаментов), пустоты между которыми заполнены связующим компонентом. Для вычисления эффективных характеристик упругих свойств могут быть использованы все перечисленные в первом разделе модели и методы. Результаты вычисления эффективных характеристик упругих свойств нитей с использованием программ DIGIMAT (DM) и ANSYS/Material Designer (MD), а также с использованием модели Чамиса и заимствованные из работ [38, 39] данные представлены в табл. 4. Сопоставление значений эффективных характеристик упругих свойств угле- и стеклонитей, полученных с использованием программ DIGIMAT (DM) и ANSYS/Material Designer (MD), а также с использованием модели Чамиса, позволяют считать их достаточно хорошо согласованными. Различие между вычисленными и заимствованными из работы [5] данными, достигающими по модулю упругости Et 29 %, может быть объяснено различием химического состава и физико-механических свойств филаментов. Таблица 4 Характеристики упругих свойств нитей Table 4 Characteristics of elastic properties of yarns Наименование нити Наименование материала Et, ГПа Ep, ГПа Gtp, ГПа Gp, ГПа νtp Нить из углеволокна (DM) 209,6 19,53 7,84 6,69 0,25 Нить из углеволокна (MD) 204,2 17,83 7,67 6,23 0,246 Нить из углеволокна (Chamis) 204,1 21,26 6,31 6,31 0,259 Нить из углеволокна (работа [38]) 232 15 24 5,033 0,279 Нить из стекловолокна (DM) 52,18 15,51 5,4 6,1 0,335 Нить из стекловолокна (MD) 52,19 17,18 6,23 6,2 0,339 Нить из стекловолокна (Chamis) 52,21 17,98 5,32 5,32 0,336 Нить из стекловолокна (работа [39]) 73,1 73,1 29,95 29,95 0,22 Результаты вычисления инженерных констант полимерных тканевых слоев, полученные с помощью моделей Рейсса (Reuss), Фойгта (Voigt), Хашина - Штрикмана (Hashin - Shtrikman), феноменологической модели, основанной на правиле смесей (ROM), полуэмпирической модели, основывающейся на модифицированном правиле смесей (МROM), модели Хэльпина - Цая (Halpin - Tsai) и модели Чамиса (Chamis), модели Хашина - Розена (Hashin - Rosen), модели Кристенсена (Chistensen), модели Мори - Танака (Mori - Tanaka), модели двойного включения (Double Inclusion), мостовой модели (Bridging model), метода конечных элементов (FEM), а также инженерные константы, полученные экспериментально, приведены в табл. 5-8. При вычислении инженерных констант с помощью модели Мори - Танака (Mori - Tanaka), модели двойного включения (Double Inclusion) использовалась программа DIGIMAT, при вычислении методом конечных элементов - программа ANSYS/Material Designer. Геометрические модели используемых при этом репрезентативных ячеек,показаны на рис. 3, характеристики репрезентативной ячейки - в табл. 1, внешний вид тканей - на рис. 2. Анализ представленных в табл. 5-8 результатов позволяет сделать следующие общие для четырех рассматриваемых материалов выводы: - использование вилок Фойхта - Рейсса и Хашина - Штрикмана позволяет лишь очень грубо оценить значения модулей продольной упругости и сдвига. Как и должно быть, вилка Фойхта - Рейсса шире вилки Хашина - Штрикмана. Все вычисленные с использованием других моделей и методов значения упругих модулей располагаются внутри вилок Фойхта - Рейсса и Хашина - Штрикмана; - значения модуля продольной упругости E11, вычисленные с использованием всех моделей и методов, имеют сравнительно небольшой разброс и полностью помещаются в диапазон разброса экспериментальных значений; - значения инженерных констант E33, G12, G23, ν21, и ν31 имеют существенно больший разброс. Для них в наибольшей мере согласованными оказались значения, полученные с помощью модели Мори - Танака (Mori - Tanaka), модели двойного включения (Doubl eInclusion) и метода конечных элементов (FEM); - значения коэффициента Пуассона, полученные с помощью модели Мори - Танака (Mori - Tanaka), модели двойного включения (Double Inclusion) и метода конечных элементов (FEM), оказались согласованными между собой и существенно отличными от значений, полученных с использованием других моделей. а б в г Рис. 3. Репрезентативные ячейки: а - углеткань 200 г/м2, 3К, плейн; б - углеткань 200 г/м2, 3К, твил 2/2; в - стеклоткань 200 г/м2, плейн; г - стеклоткань 200 г/м2, твил 2/2 Fig. 3. Representative cells: a) a carbon fabric 200 g/m2, 3K, plain; b) a carbon fabric 200 g/m2, 3K, twill 2/2; c) a glass fabric 200 g/m2, plain; g) a glass fabric 200 g/m2, twill 2/2 Таблица 5 Результаты вычисления инженерных констант (первая пластина) Table 5 Results of calculating engineering constants (the first plate) Модель или метод вычисления Обозначение инженерной константы E11, ГПа E33, ГПа ν12 ν13 G12, ГПа G23, ГПа Reuss 5,53 5,53 0,377 0,377 2,01 2,01 Voigt 118,85 118,85 0,259 0,259 47,21 47,21 Hashin - Shtrikman (bottom) 7,52 7,52 0,355 0,355 2,78 2,78 Hashin - Shtrikman (top) 87,87 87,87 0,380 0,380 31,83 31,83 ROM 52,46 5,92 0,304 - 1,81 - MROM 52,79 6,6 0,304 - 2,21 - Halpin - Tsai 53,05 7,11 0,304 - 3,74 - Chamis 53,62 8,25 0,304 0,630 2,63 2,53 Hashin - Rosen - - 0,299 - 2,89 - Cristensen 51,83 4,67 0,299 0,585 2,89 2,89 Mori - Tanaka 53,43 9,13 0,041 0,457 2,69 2,57 Double Inclusion 53,63 9,53 0,042 0,453 2,90 2,74 Bridge 51,50 9,53 0,304 - 8,14 - FEM 51,75 8,92 0,041 0,457 2,62 2,47 Experimental 53,3±10,97 - - - - - Таблица 6 Результаты вычисления инженерных констант (вторая пластина) Table 6 Results of calculating engineering constants (the second plate) Модель или метод вычисления Обозначение инженерной константы E11, ГПа E33, ГПа ν12 ν13 G12, ГПа G23, ГПа Reuss 6,66 6,66 0,38 0,38 2,42 2,42 Voigt 142,07 142,07 0,26 0,26 56,47 56,47 Hashin - Shtrikman (bottom) 9,51 9,51 0,35 0,35 3,52 3,52 Hashin- Shtrikman (top) 112,08 112,08 0,39 0,39 40,27 40,27 ROM 62,43 6,73 0,294 - 2,09 - MROM 62,79 7,461 0,294 - 2,61 - Halpin - Tsai 63,17 8,21 0,29 - 4,90 - Chamis 63,74 9,35 0,29 0,61 3,04 2,90 Hashin - Rosen - - 0,29 - 3,69 - Cristensen 61,93 5,73 0,29 0,56 3,69 3,69 Mori - Tanaka 63,56 10,44 0,04 0,45 3,13 2,97 Double Inclusion 63,86 11,04 0,04 0,44 3,45 3,23 Bridge 61,46 11,04 0,29 - 9,62 - FEM 63,78 10,77 0,04 0,44 3,25 3,27 Experimental 60,1±11,96 - - - - - Таблица 7 Результаты вычисления инженерных констант (третья пластина) Table 7 Results of calculating engineering constants (the third plate) Модель или метод вычисления Обозначение инженерной константы E11, ГПа E33, ГПа ν12 ν13 G12, ГПа G23, ГПа Reuss 5,42 5,42 0,377 0,377 1,97 1,97 Voigt 116,10 116,10 0,259 0,259 46,11 46,11 Hashin- Shtrikman (bottom) 7,33 7,33 0,355 0,355 2,71 2,71 Hashin - Shtrikman (top) 85,23 85,23 0,379 0,379 30,90 30,90 ROM 15,63 5,64 0,343 - 1,73 - MROM 16,02 6,43 0,343 - 2,08 - Halpin - Tsai 16,08 6,55 0,343 - 3,63 - Chamis 16,60 7,58 0,343 0,755 2,43 2,16 Hashin - Rosen - - 0,342 - 2,82 - Cristensen 15,03 4,44 0,342 0,570 2,82 2,82 Mori - Tanaka 16,36 7,40 0,142 0,200 2,38 2,38 Double Inclusion 16,46 7,62 0,146 0,436 2,59 2,48 Bridge 14,75 7,62 0,343 - 7,58 - FEM 16,6 7,19 0,140 0,197 2,30 2,26 Experimental 15,6±3,23 - - - - - Таблица 8 Результаты вычисления инженерных констант (четвертая пластина) Table 8 Results of calculating engineering constants (the fourth plate) Модель или метод вычисления Обозначение инженерной константы E11, ГПа E33, ГПа ν12 ν13 G12, ГПа G23, ГПа Reuss 6,46 6,46 0,377 0,377 2,35 2,35 Voigt 138,57 138,57 0,258 0,258 55,07 55,07 Hashin - Shtrikman (bottom) 9,16 9,16 0,351 0,351 3,39 3,39 Hashin - Shtrikman (top) 108,21 108,21 0,390 0,390 38,93 38,93 ROM 18,14 6,30 0,342 - 1,96 - MROM 18,14 6,30 0,34 - 1,96 - Halpin - Tsai 18,69 7,40 0,342 - 4,69 - Chamis 19,20 8,42 0,342 0,767 2,75 2,38 Hashin - Rosen - - 0,341 - 3,55 - Cristensen 17,59 5,19 0,341 0,555 3,55 3,55 Mori - Tanaka 18,96 8,32 0,137 0,193 2,69 2,69 Double Inclusion 19,16 8,64 0,143 0,434 2,99 2,84 Bridge 17,27 8,64 0,342 - 8,76 - FEM 19,09 8,54 0,14 0,20 2,81 2,87 Experimental 18,4±3,51 - - - - - 4. Сопоставление результатов экспериментального и расчетного определения эффективных характеристик упругих свойств композитов В данном разделе представлено сравнение результатов вычисления инженерных констант E11, E33, G12, G23, ν21 и ν31 для четырех материалов с использованием рассматриваемых моделей и методов с имеющимися экспериментальными данными. Сопоставление осуществляется в характерном для CF/EP- и GF/EP-композитов диапазоне изменения относительного объема армирующего компонента (от 0,4 до 0,6). Анализ вычисленных значений инженерных констант для всех исследованных композитов (см. табл. 5-8) еще раз подтвердил сделанный во многих работах вывод о том, что модель Рейсса не применима для оценки характеристик упругих свойств в направлении армирования, а модель Фойгта не применима для оценки характеристик упругих свойств в направлении поперек армирования. Поэтому в дальнейшем сопоставлении результатов экспериментального и расчетного определения характеристик упругих свойств модели Рейсса и Фойгта не используются. 4.1. Сопоставление значений продольного модуля Юнга (Longitudinal Young’s modulus) E11 Зависимости продольного модуля упругости E11 от относительного объема армирующего компонента для четырех рассматриваемых материалов представлены на рис. 4. Сопоставление графиков зависимостей свидетельствует об их согласованности. Для первого CF/EP композита график зависимости, полученный FEM, при лежит несколько ниже других кривых. При этом следует отметить, что зависимости для вычисления E11 в моделях ROM, MROM, Chamis, Halpin - Tsai и Bridging совпадают. Результаты вычисления E11 с использованием всех рассматриваемых моделей и методов не противоречат экспериментальным данным - вычисленные значения лежат в доверительном интервале этой случайной величины (доверительная вероятность 0,95). Из-за отсутствия экспериментальных данных для исследуемых материалов результаты вычисления значений инженерных констант E33, G12, G23, ν21, и ν31 сравниваются только между собой, т.е. сравниваются значения, вычисленные с использованием различных моделей и методов. г в б а Рис. 4. Зависимости продольного модуля упругости E11 от относительного объема армирующего компонента: а - первый материал; б - второй; в - третий; г - четвертый Fig. 4. Dependences of the longitudinal elastic modulus E11 on the relative volume Reinforcing component: a) is the first material; b) is the second one; c) is the third one; d) is the fourth one г в б а Рис. 5. Зависимости модуля упругости E33 от относительного объема армирующего компонента: а - первый материал; б - второй; в - третий; г - четвертый Fig. 5. Dependences of the elastic modulus E33 on the relative volume reinforcing component: a) is the first material; b) is the second one; c) is the third one; d) is the fourth one 4.2. Сопоставление значений продольного модуля Юнга (Longitudinal Young’s modulus) E33 Зависимости продольного модуля упругости E33 от относительного объема армирующего компонента для четырех рассматриваемых материалов представлены на рис. 5. Сопоставление графиков зависимостей свидетельствует об их плохой согласованности. Для всех четырех материалов максимальные значения модуля дает модель двойного включения, минимальные значения - модель Кристенсена. Расхождение максимальных и минимальных значений превышает 60 %. Достаточно близкие значения получены с использованием моделей Мори - Танака (Mori - Tanaka), двойного включения (Double Inclusion) и метода конечных элементов (FEM), а также модели Чамиса (Chamis). Диапазон разброса результатов расчета модуля упругости E33для CF/EP композитов больше, чем для GF/EP-композитов во всем диапазоне изменения . 4.3. Сопоставление значений модуля сдвига (Shear modulus) G12 Зависимости модуля сдвига G12 от относительного объема армирующего компонента для четырех рассматриваемых материалов представлены на рис. 6. Сопоставление графиков зависимостей свидетельствует о том, что для всех четырех материалов модель MROM дает завышенные результаты, модели MROM и Halpin - Tsai занижают результаты. Для GF/EP-композитов модель Кристенсена так же, как и модель MROM, завышает значения модуля сдвига, но в меньшей степени. Расхождение между полученными значениям модуля сдвига повышается с увеличением относительного объема армирующего компонента. 4.4. Сопоставление значений модуля сдвига (Shear modulus) G23 Зависимости модуля сдвига G23 от относительного объема армирующего компонента для четырех рассматриваемых материалов представлены на рис. 7. Сопоставление графиков зависимостей свидетельствует об их удовлетворительной согласованности при значениях . При больших значениях относительного объема армирующего компонента расхождение между полученными значениям модуля сдвига увеличивается до величин, превышающих 15 %. Лучше согласованы результаты вычислений, полученные для CF/EP-композитов. Следует заметить, что модели Рейсса, Фойгта, Хашина - Штрикмана, ROM, МROM и модели Хэльпина - Цая не позволяют вычислить все инженерные константы рассматриваемых композитов. г в б а Рис. 6. Зависимости модуля сдвига G12 от относительного объема армирующего компонента: а - первый материал; б - второй; в - третий; г - четвертый Fig. 6. Dependences of shear modulus G12 on the relative volume Reinforcing component: a) is the first material; b) is the second one; c) is the third one; d) is the fourth one г в б а Рис. 7. Зависимости модуля сдвига G23 от относительного объема армирующего компонента: а - первый материал; б - второй; в - третий; г - четвертый Fig. 7. Dependences of shear modulus G23 on the relative volume Reinforcing component: a) is the first material; b) is the second one; c) is the third one; d) is the fourth one г в б а Рис. 8. Зависимости коэффициента Пуассона ν12 от относительного объема армирующего компонента: а - первый материал; б - второй; в - третий; г - четвертый Fig. 8. Dependences of Poisson's ratio ν12 on the relative volume Reinforcing component: a) is the first material; b) is the second one; c) is the third one; d) is the fourth one 4.5. Сопоставление значений коэффициента Пуассона (MajorPoisson’sratio) ν12 Зависимости коэффициента Пуассона ν12 от относительного объема армирующего компонента для четырех рассматриваемых материалов представлены на рис. 8. Графики зависимостей, полученные с использованием моделей ROM, МROM, Хэльпина - Цая и Чамиса, образуют одну группу хорошо согласованных кривых, а кривые, полученные с использованием моделей Мори - Танака, двойного включения и методом конечных элементов, - вторую группу. Расхождение между вычисленными значениям коэффициента Пуассона между этими группами превышает 200 %. Следует заметить, что в моделях ROM, МROM, Хэльпина - Цая и Чамиса для вычисления значений коэффициента Пуассона ν12 используется единая зависимость. Заключение В работе оценены существующие модели и методы, используемые для вычисления эффективных характеристик упругих свойств полимерных слоистых композитов, путем сравнения результатов вычислений, полученных различными методами, между собой, а также с результатами экспериментального определения упругих свойств четырех CF/EP и GF/EP Woven-композитов. Эти композиты различались материалом волокон, плетением тканей и объемным содержанием армирующего компонента. При вычислении инженерных констант использовалось большинство известных аналитических микромеханических моделей, а также применялся метод конечных элементов. Анализ результатов вычисления показал, что все аналитические модели и численные методы показывают достаточно хорошее соответствие значений продольного модуля Юнга E11. Полученные с использованием всех рассматриваемых моделей и методов значения модуля Юнга не противоречат экспериментальным данным - вычисленные значения лежат в доверительном интервале этой случайной величины. Результаты вычисления модуля поперечной упругости E33 свидетельствуют об их плохой согласованности. Максимальные значения модуля дает модель двойного включения, минимальные значения - модель Кристенсена. Достаточно близкие значения получены с использованием моделей Мори - Танака, двойного включения и метода конечных элементов, а также модели Чамиса. Результаты вычисления модуля сдвига G12 и G23 менее согласованы, чем продольного модуля Юнга E11 для всех рассматриваемых материалов. Модель MROM дает завышенные значения модуля сдвига G12, модели MROM и Хэльпина - Цая занижают результаты вычислений. Результаты вычисления модуля сдвига G23 свидетельствует об их удовлетворительной согласованности при значениях . Лучше согласованы результаты вычислений, полученные для CF/EP-композитов. Результаты вычисления коэффициента Пуассона ν12 также менее согласованы, чем продольного модуля Юнга E11 для всех рассматриваемых материалов. Графики, полученные с использованием моделей ROM, МROM, Хэльпина - Цая и Чамиса образуют одну группу хорошо согласованных кривых, а кривые, полученные с использованием моделей Мори - Танака, двойного включения и методом конечных элементов, - вторую группу. Следует заметить, что результаты вычисления всех инженерных констант, полученные с использованием моделей Мори - Танака, двойного включения, Чамиса и метода конечных элементов, показывают достаточно хорошую согласованность. Также следует заметить, что эти модели, в отличие от моделей Рейсса, Фойгта, Хашина - Штрикмана, ROM, МROM и модели Хэльпина - Цая, позволяют вычислить все инженерные константы слоистых композитов. Использование метода конечных элементов для вычисления значений продольного модуля Юнга E11 для первого CF/EP-композита при дало заниженные значения. Возможной причиной этого могло явиться низкое качество конечно-элементной сетки для композитов, имеющих большой относительный объем армирующего компонента. Основными возможными направлениям дальнейшей работы по повышению достоверности определения эффективных характеристики полимерных слоистых композитов из угле- и стеклотканей являются: - увеличение объема экспериментальных данных, которые могут быть использованы для оценки существующих и перспективных методов вычисления эффективных характеристик; - совершенствование методов вычисления эффективных характеристик слоистых композитов, использующих как метод асимптотического осреднения [4, 16], так и метод конечных элементов [17-22]; - учет при вычислении эффективных характеристик действительной структуры композита, включая технологические дефекты и искажения структуры слоистого композита, обусловленные укладкой ткани на криволинейную поверхность [40-42]; - вычисление эффективных характеристик упругих свойств совместно с характеристиками разрушения.

About the authors

A. Yu Muyzemnek

Penza State University

T. N Ivanova

Institute of Mechanics FGBUN “Udmurt Federal Research Center, Ural Branch of RAN”

E. D Kartashova

Penza State University

References

  1. Voigt W. Uber die Beziehung zwischen den beiden Elastizitats konstanten Isotroper Korper // Wied. Ann. - 1889. - Vol. 38. - P. 573-587.
  2. Reuss A. Berechnung der Fliessgrense von Mischkristallen auf Grund der Plastizitätsbedingung für Einkristalle // Zeitschrift Angewandte Mathematik und Mechanik. - 1929. - No. 9. - P. 49-58.
  3. Hashin Z., Shtrikman S. A variational approach to the elastic behavior of multiphase minerals // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 1963. - Vol. 11, no. 2. - P. 127-140.
  4. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. - М.: Изд-во Моск. ун-та. 1984. - 336 с.
  5. Comparative Review Study on Elastic Properties Modeling for Unidirectional Composite Materials / R. Younes, A. Hallal, F. Fardoun, F.H. Chehade // Composite Materials Book 1 Chapter August. - 2012. doi: 10.5772/50362 http://dx.doi.org/10.5772/50362
  6. Halpin J.C., Kardos J.L. The Halpin-Tsai equations: A review // Polymer Engineering and Science. - 1976. - Vol. 16, no. 5.
  7. Chamis C.C. Mechanics of composite materials: past, present, and future // Journal of Composites Technology and Research. - 1989. - No. 11. - P. 3-14.
  8. Hashin Z., Rosen B.W. The elastic moduli of fiber reinforced materials // Journal of Applied Mechanics, Trans ASME. - 1964. - No. 31. - P. 223-232.
  9. Christensen R.M. A critical evaluation for a class of micromechanics models // Journal of Mechanics and Physics of Solids. - 1990. - Vol. 38, no. 3. - P. 379-404.
  10. Mori T., Tanaka K. Average stress in matrix and average elastic energy of materials with misfitting inclusions // Acta Mettall. - 1973. - No. 21. - P. 571-574.
  11. Doghri I. Mechanics of deformable solids. Linear, nonlinear, analytical and computational aspects. - Springer, Berlin, 2000.
  12. Eshelby J.D. The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion and related problems // Proc. Roy. Soc. London, Ser. A. - 1957. - Vol. 241. - P. 376-396.
  13. Nemat-Nasser S. and Hori M. Micromechanics: overall properties of heterogeneous solids. - Elsevier Science, 1993.
  14. Huang Z.M. Simulation of the mechanical properties fibrous composites by the bridging micromechanics model // Composites Part A. - 2001. - Vol. 32. - P. 143-172.
  15. Huang Z.M. Micromechanical prediction of ultimate strength of transversely isotropic fibrous composites // International Journal of Solids and Structures. - 2001. - Vol. 38. - P. 4147-4172.
  16. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах // Математические задачи механики композиционных материалов. - М.: Наука, 1984. - 352 с.
  17. Nou N., Efendiev Y. Multiscale Finite Element Methods: Theory and Applications. B. Springer, 2009. 241 p.
  18. Shurina E.P., Kutischeva A.Y. Numerical Determination of the Effective Elasticity Tensor of an Heterogeneous Solid // 14th International Scientific - Technical Conference on Actual Problems of Electronic Instrument Engineering (APEIE-2018) - 44894: Proceedings. - Novosibirsk, 2018. - Vol. 1, part 4. - P. 294-297.
  19. Finite element modeling of a multi-physics poro-elastic problem in multiscale media / M.I. Epov, E.P. Shurina, N.B. Itkina, A.U. Kutischeva, S.I. Markov // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2019. - Vol. 352. - P. 1-22.
  20. Шурина Э.П., Кутищева А.Ю. Вычисление эффективного тензора упругости гетерогенных сред с включениями // Высокопроизводительные вычислительные системы и технологии. - 2018. - Т. 1, № 8. - С. 59-63.
  21. Abdulle A. The Finite Element Heterogeneous Multiscale Method: a computational strategy for multiscale PDEs // Multiple scales problems in Biomathematics, Mechanics, Physics and Numerics. - 2009. - Vol. 31.
  22. Baydoun M., Fries T.P. Crack propagation criteria in three dimensions using the XFEM and an explicit-implicit crack description // International Journal of Fracture. - 2012. - Vol. 178, no. 1-2. - P. 51-70.
  23. Белов Д.А., Боровков А.И., Пальмов В.А. Новый метод восстановления микронапряжений в гомогенизированных композитах // Научно-технические ведомости. СПбГПУ. - 2008. - № 6. - C. 50-57.
  24. Соловьев А.Н., Зиборов Е.Н., Шевцов С.Н. Определение упругих свойств армированных композиционных материалов на основе конечно-элементного моделирования // Наука Юга России (Вестник Южного научного центра). - 2016. - Т. 12, № 2. - C. 3-10.
  25. Kasiviswanathan V., Arockiarajan A. Analytical, numerical and experimental studies on effective properties of layered (2-2) multiferroiccomposites // Sensors and Actuators. - 2015. - Vol. 236. - P. 380-393.
  26. Vilchevskaya E., Sevostianov I. Effective elastic properties of a particulate composite with transverselyisotropic matrix // International Journal of Engineering Science. - 2015. - Vol. 94. - P. 139-149.
  27. Экспериментально-теоретическое исследование механического поведения 3D композитов при квазистационарном разрушении / М.В. Цепенников, А.А. Стром, И.А. Повышев, О.Ю. Сметанников // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2016. - № 2. - С. 143-158. doi: 10.15593/perm.mech/2016.2.10
  28. Lomov S.V., Ivanov D.S., Verpoest I. Meso-FE modelling of 3-axial braided composites // Proceedings of 8th international conference on textile composites. - Nottingham, 2006, October. - P. 16-18.
  29. Цепенников М.В., Повышев И.А., Сметанников О.Ю. Численная модель разрушения конструкций из тканых композиционных материалов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Прикладная математика и механика. - 2012. - № 10. - С. 225.
  30. Comparative Review Study on Elastic Properties Modeling for Unidirectional Composite Materials / R. Younes, A. Hallal, F. Fardoun, F.H. Chehade // Composites and Their Properties, Chapter 17. - 2012.
  31. Kouznetsova V., Geers M.G.D., Brekelmans W.A.M. Multi-scale constitutive modelling of heterogeneous materials with a gradient-enhanced computational homogenization scheme // International journal for numerical methods in engineering. - 2002. - Vol. 54. - P. 1235-1260. doi: 10.1002/nme.541
  32. Композиционные материалы: cправочник / В.В. Васильев, В.Д. Протасов, В.В. Болотин и др.; под общ. ред. В.В. Васильева, Ю.М. Тарнопольского. - М.: Машиностроение, 1990. - 512 с.
  33. Муйземнек А.Ю., Савицкий В.Я., Нестеров С.А. Особенности подготовки исходных данных для построения микромеханических моделей слоистых пластиков // Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и обществе. - Пенза: ИИЦ ПГУ. - 2015. - № 1. - С. 152-162.
  34. Муйземнек А.Ю. Савицкий В.Я. Технологическое обеспечение изготовления изделий из слоистых пластиков, армированных волокнами из стекла и углерода // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - Пенза: ИИЦ ПГУ. - 2015. - № 2. - С. 171-181.
  35. Богомолов А.И., Муйземнек А.Ю., Карташова Е.Д. Модели сопротивления деформированию и разрушению дискретно-тканевых преград при ударном нагружении // Известия вузов. Поволжский регион. Технические науки. - 2018. - № 2. - С. 154-167.
  36. Компьютерное моделирование сопротивления деформированию и разрушения дискретно-тканевых оболочек бронешлема при высокоскоростном ударе / И.Е. Жуков, А.В. Миляев, А.Ю. Муйземнек, А.А. Котосов // Актуальные проблемы защиты и безопасности: cб. тр. XX Всерос. науч.-практ. конф., 3-6 апреля 2017 года. - 2017, Т. 2. - С. 143-148.
  37. ГОСТ 25.601-80. Расчеты и испытания на прочность. Методы механических испытаний композиционных материалов с полимерной матрицей (композитов). Метод испытаний плоских образцов на растяжение при нормальной и повышенной температурах.
  38. Huang Z.M. Micromechanical prediction of ultimate strength of transversely isotropic fibrous composites // International Journal of Solids and Structures. - 2001. - Vol. 38. - P. 4147-4172.
  39. Shan H.Z., Chou T.W. Transverse elastic moduli of unidirectional fiber composites with fiber/matrix interfacial debonding // Composites Science and Technology. - 1995. - Vol. 53. - P. 383-391.
  40. Карташова Е.Д., Муйземнек А.Ю. Технологические дефекты полимерных слоистых композиционных материалов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2017. - № 2. - С. 79-89.
  41. Карташова Е.Д., Муйземнек А.Ю. Влияние технологических отклонений расположения армирующего в полимерном слоистом композиционном материале на сопротивление деформированию и разрушению // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2017. - № 3 (43). - С. 134-145.
  42. Компьютерное моделирование драпировки ткани в процессе производства слоистых композитов / Е.Д. Карташова, А.А. Косова, А.А. Желудкова, А.Ю. Муйземнек // Информационные технологии в науке и образовании. Проблемы и перспективы. (МСНПК-2017). - 2017. - С. 325-327.

Statistics

Views

Abstract - 49

PDF (Russian) - 37

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2021 Muyzemnek A.Y., Ivanova T.N., Kartashova E.D.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies