Modeling the Mechanical Response of Auxetic Metamaterials to Dynamic Effects

Abstract


The paper investigates the mechanical response of a 3D auxetic structure created on the basis of a unit cell with pre-buckled structural elements to dynamic loading. The aim of the work is to study deformations of the auxetic structure made of an alpha titanium alloy during uniaxial compression at 100 m/s, to evaluate dissipative properties of the structure during high-speed deformation, and to estimate the characteristic time of the metamaterial’s compaction with a relative density of 0.0115. The numerical simulation of the metamaterial at effective strain rate of 2000 1/s has been performed using LS DYNA solver. To describe the mechanical behavior of the titanium alloy in frame elements, we use a model of an elastic-plastic damaged medium, which takes into account the strain rate sensitivity of the plastic flow, temperature changes due to dissipative effects, and the effect of the stress state triaxiality parameter on nucleation and growth of structural damages. The numerical studies have shown that the auxetic effect in the studied metamaterial is retained under high-rate elastoplastic deformation. At a speed of the uniaxial compression of 100 m/s, deformation in the volume of the metamaterial proceeds nonuniformly. Under dynamic loading of the considered auxetic metamaterial, the deformation and fracture modes depend not only on the parameters of the cell geometry, but also on the mechanical behavior of the framework material, as well as on the relative density. This makes it possible to control the deformations of the cells under mechanical stress. Layers of compacted cells are formed near the dynamic loading surface. The instability of the cells of the auxetic metamaterials increases the absorbed energy. The calculated value of the specific absorbed energy under dynamic uniaxial compression reaches 3.4 kJ/kg, and is comparable with the values for frame structures made of Ti-6Al-4V with an equivalent specific mass density. The results indicate the possibility of creating protective structures using auxetic cellular structures on the base of the pre-buckled elements of the rolled metal.

Full Text

Введение Метаматериалы с отрицательным коэффициентом Пуассона, или ауксетические механические метаматериалы, исследуются в течение последних 30 лет [1-5]. Механические метаматериалы представляют группу искусственных структур с необычными механическими свойствами, обусловленными геометрией их структурных элементов, а не составом материала. Ауксетические метаматериалы представляют один из трех основных классов механических метаматериалов, обладающих определенным сочетанием модуля Юнга E, модуля сдвига μ, модуля объемного сжатия K и коэффициента Пуассона ν [6-18]. Интерес к ауксетическим материалам обусловлен уникальным комплексом их механических свойств, включая высокие показатели удельного поглощения механической энергии. В настоящее время предложено более 7 топологических схем ауксетических метаматериалов, обладающих отрицательным коэффициентом Пуассона (при μ > K) [12]. Четыре подкласса ауксетических метаматериалов разработаны на основе структурного дизайна c использованием исходных возвратных структур, микроструктур с открытыми ячейками, вращающимися квадратами или треугольниками [13]. Ряд ауксетических структур построены с использованием хиральных строительных блоков, хиральных или антихиральных решеток, часть - с использованием принципов оригами [13, 14]. Исследованные типы ауксетических метаматериалов демонстрируют сочетание высокой удельной жесткости и прочности [6]. Некоторые материалы обладают высокой скоростной чувствительностью деформационного упрочнения, что существенно влияет на характер их механического отклика на динамические воздействия [8-11]. Развитие аддитивных технологий, включая селективное лазерное плавление, позволило создать и исследовать ауксетические метаматериала с различной топологией ячеек [7, 12, 15]. Вместе с тем были выявлены проблемы и ограничения в создании ауксетических метаматериалов с помощью аддитивных технологий производства, включая высокую стоимость конечного материала, неизбежную пористость в структурах, которая отрицательно влияет на механическое поведение под нагрузкой, отсутствие 3D иерархических систем, которые демонстрируют удовлетворительное поведение при повторном сжатии [15, 16]. Результаты теоретических и экспериментальных исследований показали, что механические свойства ауксетических структур могут быть изменены с помощью варьирования топологических параметров [1, 12, 17, 18]. Это позволяет управлять упругими характеристиками метаматериалов, их удельными диссипативными свойствами, удельными прочностными свойствами, теплофизическими характеристиками. В данной работе методом численного моделирования исследовалась реакция на динамические воздействия объема метаматериала, полученного трансляцией трехмерной ауксетической решетки. Ауксетичность достигается за счет использования криволинейных элементов ячеек, которые могут быть изготовлены из проката металлов и сплавов. Использование таких элементов открывает возможность производства и применения более дешевых, но не менее эффективных ауксетических метаматериалов из легких сплавов. Применение проката для изготовления каркасных элементов позволяет управлять механическими свойствами материала каркаса в широком диапазоне. 1. Модельная ауксетическая ячеистая структура и метаматериала В работе рассмотрен вариант ауксетической структуры, построенной трансляцией элементарной ячейки с изогнутыми стуктурными элементами, описываемой с помощью четырех параметров: длины стороны кубической ячейки L, расстояния между верхними и нижними дугами a, ширины Dw и толщины Da структурных элементов [18]. При построении модельного объема метаматериала предполагалось, что геометрические параметры могут изменяться в следующих диапазонах: L ]0; +∞[; a ]0; L/2[; Dw ]0,a]; Da ]0; 2a]. Ячейка состояла из дугообразных элементов, имевших прямоугольное поперечное начальное сечение с размерами Dw×Da. Дугообразные элементы ориентированы выпуклостью внутрь объема ячейки. Структура ячейки метаматериала обеспечивает эффект ауксетичности при сжатии. Моделировался механический отклик объема метаматериала V ~ 10 218 313 мм3 с массой 0,843 кг и относительной плотностью ρ/ρs ~ 0,0185 на нагружение со стороны жесткой пластины, движущейся с постоянной скоростью. Конечно-элементная модель объема метаматериала показана на рис. 1. Рассмотренный модельный объем имел размеры 215×215×215 мм, а геометрические характеристики ячейки были приняты следующими: L = 54 мм, a = 5,95 мм, Da = 0,6 мм, Dw = 6 мм. Конечно-элементная модель была создана путем дискретизации каркасной структуры метаматериала с помощью структурированной трехмерной сетки шестигранных элементов. Для решения задачи применялся решатель программного комплекса LS-DYNA, входящий в состав WB ANSYS (ANSYS, Inc., Канонсбург, Пенсильвания, США). Расчеты проводились с использованием схемы второго порядка точности и условия устойчивости решения Куранта - Фридрихса - Леви. Процесс деформации каркасных элементов при воздействии импульсной нагрузки на верхнюю поверхность описывается системой уравнений сохранения (массы, импульса и энергии), кинематическими уравнениями и определяющим уравнением повреждаемой упругопластической среды. а б Рис. 1. Конечно-элементная модель объема ауксетического метаматериала (a) и элемент ауксетической конструкции (б) Fig. 1. A finite element model of the volume of the auxetic metamaterial (a), and an element of the auxetic structure (b) (1) (2) (3) (4) (5) где ρ - массовая плотность; ui - компоненты вектора скорости материальных частиц; σij - компоненты тензора напряжений; p(m) - давление; xi - декартово координаты, i = 1, 2, 3; E - удельная внутренняя энергия; - компоненты тензора скорости деформации и тензора изгиба - кручения; - компоненты тензора скорости упругой и пластической деформации соответственно; - компоненты девиатора тензора скорости пластической деформации; - холодное давление; Γ - коэффициент Грюнайзена; T - температура; ET - тепловая часть удельной внутренней энергии; Cp -удельная теплоемкость; D(•)/Dt - производная Яуманна; μ - модуль сдвига; λ - пластический множитель, полученный из условия Φ - пластический потенциал. Напряжения течения и модель повреждения были откалиброваны с использованием данных из ранее проведенных нами исследований поведения сплава Ti-5Al-2.5Sn [19]. Параметры состояния определялись с использованием данных по альфа-титану [20, 21]. Температурная зависимость модуля сдвига μ для альфа-титанового сплава описывается уравнением [22, 23] (6) где μ0, μ1, μ2 - постоянные материала; ρ0 - начальная массовая плотность; p - давление. Холодная часть давления рассчитывается с использованием уравнения Берча-Мурнагана (7) где B0, B1 - модуль всестороннего сжатия и его производная соответственно. Применение уравнения в форме (7) обусловлено необходимостью определения давлений для материальных частиц после уплотнения ячеек метаматериала. Напряжение пластического течения в широком диапазоне скоростей деформации и температурах до 1150 К описывается уравнением (8) где σs - напряжение течения; S2 - вторая составляющая девиатора тензора главных напряжений; n1, n2, σ0, A0, α0, α1, β0, β1 - константы материала; N - параметр релаксации напряжений при развитии локализации пластического течения на мезоскопическом уровне; - эквивалентная скорость пластической деформации; - нормирующая постоянная. Расчеты проводились с использованием следующих значений коэффициентов для титанового сплава ВТ5-1: σ0 = 0,8 ГПа; α0 = 0,0016; α1 = 0,002; С0 = 0,47 ГПа; β0 = 0,00017; A0 = 0,9 ГПа; = 1,0 с-1; = 39,5 ГПа; = 0,05 ГПа-1, = 0,0089 К-1, B0 = 115,5 ГПа, B1 = 4,9; Pmin = -4,9 ГПа. Мы использовали комбинированные параметры скорости термоактивационной деформации, включенные в дислокационную модель пластического течения [24, 25]. Температура при высокоскоростной деформации рассчитывалась в адиабатическом приближении с учетом диссипативного эффекта пластического течения (9) где T0 - начальная температура; ρs = 4,408· 10-6 кг / мм3; Cp = 458 + 0,35T - 1,929·10-4 T2 +8,758 10-8T3 Дж/кг·К [19, 24, 26]. Удельная поглощенная энергия при деформации объема метаматериала определялась по формуле (10) где m - масса метаматериала; Fz - эффективное усилие сопротивления деформированию объема метаматериала; uz - перемещение границы объема метаматериала при его сжатии. Альфа-титановые сплавы проявляют вязкий характер разрушения в широком диапазоне скоростей деформации, температуры и величины параметра трехосности напряженного состояния [27, 28]. Поэтому для описания механического отклика ауксетических структур важно адекватно учесть развитие повреждений и разрушения материала каркасных элементов. В данной работе была использована феноменологическая модель эволюции повреждений GISSMO (Generalized Incremental Stress State dependent Model). Модель позволяет прогнозировать развитие повреждений и вязкого разрушения сплавов [29]. Модель GISSMO успешно применялась для прогнозирования вязкого разрушения конструкций из титановых сплавов, в том числе 3D-структур, полученных по аддитивным технологиям [30, 31]. Для учета возможности откольного разрушения при высоких отрицательных давлениях в модель был дополнительно включен критерий по величине давления Pmin (11) где ΔD - приращение параметра поврежденности; - приращение эквивалентной пластической деформации; - приращение параметра устойчивости пластического течения; - до разрушения пластической деформации; η = -p/σeq - параметр трехосности напряженного состояния; DMGEXP, FADEXP, ECRIT - константы материала; σs - предел текучести; σ* - предел текучести поврежденной среды; D - параметр поврежденности; F - параметр устойчивости пластического течения. Связь накопленных повреждений с тензором напряжений определена, пока значение параметра F не достигает единицы. При моделировании использовались следующие коэффициенты модели Значения пластической деформации до разрушения от параметра трехосности напряженного состояния η показаны в таблице. Деформации до разрушения от параметра трехосности напряженного состояния Strain to fracture versus the stress triaxiality values -1 0,9 -1 1,5 -1 10 -0,4 0,6 -0,4 0,7 -0,4 10 -0,33 0,45 -0,33 0,45 -0,33 10 0 0,4 0 0,7 0 1,2 0,33 0,28 0,33 0,47 0,33 0,85 0,45 0,24 0,45 0,45 0,45 0,75 0,56 0,2 0,56 0,25 0,56 0,6 1 0,2 1 0,25 1 0,6 Начальные условия были заданы в предположении об отсутствии предварительных напряжений и деформаций в структурных элементах метаматериала, находящихся в однородном температурном поле с начальной температурой T0. Динамическое воздействие осуществляется посредством воздействия на ячеистый материал жесткой стенки, движущейся с постоянной скоростью V0, вектор которой принимался коллинеарным нормали к подвижной поверхности. На нижней неподвижной поверхности опорной пластины были заданы контактные условия для соответствующих каркасных элементов. Под воздействием жесткой подвижной поверхности объем метаматериала сжимался в осевом направлении метаматериала с эффективной скоростью деформации ~V0/L. Поверхности каркасных элементов в начальном состоянии задавались свободными от нагрузок. В процессе деформации метаматериала появлялись зоны контакта между элементами каркаса. При появлении таких зон в них задавались контактные граничные условия. Начальное напряженное состояние в зоне стыков каркасной конструкции задавалось равным нулю. 2. Результаты моделирования и их обсуждение На рис. 2 показаны расчетные эквивалентные напряжения в структурных элементах метаматериала. Наибольшие эквивалентные напряжения действуют в зоне соединения структурных элементов при одноосном сжатии объема метаматериала. Результаты моделирования демонстрируют эффект макроскопической ауксетичности у рассмотренной ячеистой структуры метаматериала. При одноосном сжатии модельного объема отсутствуют поперечные деформации при отсутствии ограничений на боковых поверхностях. Слои потерявших устойчивость ячеек метаматериалов начинают образовываться вблизи контактной поверхности нагружающей пластины. После уплотнения слоя ячеек нагрузка передается к следующим слоям ячеек метаматериала. Рис. 2. Эквивалентные напряжения в ауксетическом метаматериале при одноосном сжатии с эффективной скоростью деформации 2000 с-1 в моменты времени: a - 0,4 мс; б - 0,8 мс; в - 1,2 мс; г - 1,6 мс Fig. 2. Equivalent stresses in the auxetic metamaterial under uniaxial compression with an effective rate of 2000 s-1 at times of (a) 0.4 ms, (b) 0.8 ms, (c) 1.2 ms, (d) 1.6 ms Полученные результаты свидетельствуют о том, что процесс уплотнения метаматериалов протекает неравномерно во времени и неоднородно в объеме. Уплотнение метаматериала при осевом сжатии объема метаматериала достигается за счет уплотнения слоев ячеек. До уплотнения ячеек эффективная массовая плотность изменяется незначительно, а коэффициент Пуассона остается близким к начальному значению. Деформация ячеек метаматериала развивается в волнах квазиизэнтропического сжатия, что сопровождается уменьшением эффективных скоростей деформации. Увеличение эффективной скорости волн напряжения вызвано увеличением эффективного модуля объемной упругости метаматериала вследствие его уплотнения за счет перемещений структурных элементов в ячейках. Полученные результаты согласуются с экспериментальными данными о закономерностях деформации и послойном разрушении ячеек ауксетических метаматериалов [6, 30-36]. На рис. 3 показано изменение величины адсорбированной энергии в процессе осевого сжатия объема ауксетического метаматериала. В моменты времени, соответствующие точкам A, B, C, D, Е, начинается уплотнение последующих слоев ячеек метаматериала. При этом эффект ауксетичности пропадает, и уплотненный материал реагирует на механические воздействия аналогично материалам с невысокой пористостью. Резкое возрастание адсорбированной энергии после уплотнения ячеек в объеме метаматериала связано с ростом давления при дальнейшем сжатии объема. Возрастание поглощенной механической энергии при динамическом сжатии ячеистых ауксетических структур определяется преимущественно работой эквивалентных сдвиговых напряжений на пластических деформациях. Полученные результаты находятся в хорошем согласии с данными об адсорбированной энергии при сжатии и сдвиге различных конструкционных сплавов и перспективных ячеистых структур [33, 37]. Рассмотренные модельные ауксетические структуры, созданные из элементов титанового проката, обладают в 3,5 раза более высокими показателями поглощения энергии по сравнению с каркасными структурами из Ti-6Al-4V с эквивалентной удельной массовой плотностью. Рис. 3. Поглощенная энергия (АE) ауксетического метаматериала при динамическом сжатии Fig. 3. Absorbed energy (AE) of the auxetic metamaterial under dynamic compression Расчетные показатели поглощения энергии при деформации у рассмотренной ауксетической структуры сопоставимы с соответствующими характеристиками каркасных структур Кагоме (Kagome) из Ti-6Al-4V, полученных с помощью селективного лазерного спекания [33]. На рис. 4 показаны расчетные значения интегральных усилий, действующих на поверхности нагружающей и опорной пластин. В момент времени A на рис. 4, a волна напряжений, распространявшаяся по ячейкам метаматериала, достигла поверхности опорной пластины. а б Рис. 4. Результирующая сила на подвижной пластине (линия 1) опорной пластине (линия 2) при импульсном нагружении с амплитудой 100 м/с при 295 К. Усилия в начальный момент нагружения (а), усилия при уплотнении слоев ячеек метаматериала (б) Fig. 4. The resulting forces on the movable plate (curve 1) of the base plate (curve 2) under impulse loading with an amplitude of 100 m/s at 295 K. (a) Forces at the initial moment of loading, (b) forces upon compaction of the layers of the cells of the metamaterial Возрастание сопротивления деформированию на рис. 4, a обусловлены окончанием процесса коллапса слоя ячеек метаматериала. Релаксация усилий обусловлена потерей устойчивости каркасной структуры ячеек метаматериала в следующем слое и протеканием деформации их уплотнения. Уплотнение слоя исследуемого ауксетического метаматериала толщиной 215 мм завершалось за 2 мс при скорости сжатия 100 м/с. Учитывая, что скорость продольной упругой волны в титановом сплаве составляет 6,15 км/с, слой ауксетического метаматериала задерживает импульс нагружения на 1,965 мс и уменьшает энергию удара. Неравномерная деформация объемов ауксетического метаматериала может быть использована при разработке защитных устройств, позволяющих избежать передачи волн напряжений с большой интенсивностью. Использование эффекта локализации неупругой деформации позволяет управлять процессом поглощения энергии всей конструкцией и контролировать процесс разрушения. Выводы Методом численного моделирования исследован механический отклик на динамическую нагрузку 3D ауксетической структуры метаматериала на основе предварительно изогнутых элементов. Показано, что ауксетический эффект рассмотренной структуры сохраняется при высокоскоростном упругопластическом деформировании. При скорости нагружения 100 м/с в рассмотренном метаматериале деформация протекает неоднородно с формированием уплотненных слоев ячеек вблизи поверхности нагружения. Неустойчивость ячеек ауксетических метаматериалов при динамическом нагружении способствует увеличению адсорбированной энергии. Результаты численного моделирования позволили оценить диссипативные свойства. Расчетная величина удельной поглощенной энергии при динамическом одноосном сжатии достигает 3,4 кДж/кг и сопоставима со значениями для каркасных структур из Ti-6Al-4V с эквивалентной удельной массовой плотностью. Режимы деформации и разрушения при динамическом нагружении рассмотренного ауксетического метаматериала зависят не только от параметров геометрии ячейки, но и от механического поведения материала каркаса, а также от относительной плотности. Это позволяет управлять деформациями ячеек при механических воздействиях. Полученные результаты свидетельствуют о возможности создания защитных конструкций с использованием ауксетических ячеистых структур созданных с использованием предварительно изогнутых элементов из металлического проката.

About the authors

V. V Skripnyak

National Research Tomsk State University

M. O Chirkov

National Research Tomsk State University

V. A Skripnyak

National Research Tomsk State University

References

  1. Cellular auxetic structures for mechanical metamaterials: A review / P.U. Kelkar, H.S. Kim, K.-H. Cho, J.Y. Kwak, C.-Y. Kang, H.-C. Song // Sensors. - 2020. - Vol. 20. - Article number 3132. doi: 10.3390/s20113132
  2. Колпаков А.Г. К определению усредненных характеристик упругих каркасов// Прикладная математика и механика. - 1985. - Т. 99, вып. 6. - С. 969-977/
  3. Algrem R.F. An isotropic three-dimensional structure with Poisson's ratio =-1 // J Elasticity. - 1985 - Vol. 15. - P.427-430. doi: 10.1007/BF00042531
  4. Материалы с отрицательным коэффициентом Пуассона / Д.А. Конек, К.В. Войцеховски, Ю.М. Плескачевский, С.В. Шилько // Механика композитных материалов и конструкций. - 2004. - Т. 10. - С. 35-69.
  5. Городцов В.А., Лисовенко Д.С. Ауксетики среди материалов с кубической анизотропией // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2020. - № 4. - С. 7-24. doi: 10.31857/S0572329920040054
  6. Zhang J., Lu G., You Z. Large deformation and energy absorption of additively manufactured auxetic materials and structures: A review // Composites Part B: Engineering. - 2020. - Article number 108340. doi: 10.1016/j.compositesb.2020.108340
  7. Auxetic metamaterials and structures: A review / X. Ren, R. Das, P. Tran, T.D. Ngo, Y.M. Xie // Smart Materials and Structures. - 2018. - Vol. 27, no 2. - Article number 023001. doi: 10.1088/1361-665x/aaa61c
  8. Influences of material and geometry in the performance of auxetic composite structure under blast loading / G. Imbalzano, P. Tran, P.V.S. Lee, D. Gunasegaram, T.D. Ngo // Applied Mechanics and Materials. - 2016. - Vol. 846. - P. 476-481. doi: 10.4028/www.scientific.net/amm.846.476
  9. Dynamic crushing of double-arrowed auxetic structure under impact loading / X. Zhao, Q. Gao, L. Wang, Q. Yu., Z.D. Ma // Materials & Design. - 2018. - Vol. 160. - P. 527-537. doi: 10.1016/j.matdes.2018.09.041
  10. Li C., Shen H.S., Wang H. Nonlinear dynamic response of sandwich plates with functionally graded auxetic 3D lattice core // Nonlinear Dynamics. - 2020. - Vol. 100. - P. 3235-3252. doi: 10.1007/s11071-020-05686-4
  11. Qiao J.X., Chen C.Q. Impact resistance of uniform and functionally graded auxetic double arrowhead honeycombs // International Journal of Impact Engineering. - 2015. - Vol. 83. - P. 47-58. doi: 10.1016/j.ijimpeng.2015.04.005
  12. Mechanical metamaterials associated with stiffness, rigidity and compressibility: A brief review / X. Yu, J. Zhou, H. Liang, Z. Jiang, L. Wu // Progress in Materials Science. -2018. - Vol. 94. - P. 114-173. doi: 10.1016/j.pmatsci.2017.12.003
  13. Meena K., Singamneni S. A new auxetic structure with significantly reduced stress concentration effects // Materials & Design. - 2019. - Vol. 173. - Article number 107779. doi: 10.1016/j.matdes.2019.107779
  14. Mechanical design and multifunctional applications of chiral mechanical metamaterials: A review / W. Wu, W. Hu, G. Qian, H. Liao, X. Xu, F. Berto // Materials & Design. - 2019. - Vol. 180. - Article number 107950. doi: 10.1016/j.matdes.2019.107950
  15. Auxetic cellular structures through selective electron beam melting / P. Schwerdtfeger, R. Heinl, F. Singer, C. Körner // Phys. Status Solidi B. - 2010. - Vol. 247. - P. 269-272. doi: 10.1002/pssb.200945513
  16. Chen D., Zheng X. Multi-material additive manufacturing of metamaterials with giant, tailorable negative Poisson’s ratios / P. Schwerdtfeger, R. Heinl, F. Singer, C. Körner // Scientific Reports. - 2018. - Vol. 8. - Article number 9139. doi: 10.1038/s41598-018-26980-7.
  17. Review on auxetic materials / W. Yang, Z. M. Li, W. Shi, B. H. Xie, M. B. Yang // J. Mater. Sci. - 2004. - Vol. 39. - P. 3269-3279.
  18. Computational investigation of the effective mechanical behavior for 3D pre-buckled auxetic lattices / F. Albertini, J. Dirrenberger, A. Molotnikov, C. Sollogoub // J. Appl. Mech. - 2019. - Vol. 86, no. 11. - Article number 111003. doi: 10.1115/1.4044542
  19. Skripnyak V.V., Skripnyak E.G., Skripnyak V.A. Fracture of titanium alloys at high strain rates and under stress triaxiality // Metals. - 2020. - Vol. 10. - Article number 305. doi: 10.3390/met10030305
  20. Experimental study on the dynamic tensile behavior of a poly-crystal pure titanium at elevated temperatures / W. Huang, X. Zan, X. Nie, M. Gong, Y. Wang, Y.M. Xia // Mater. Sci. Eng. A. - 2007. - Vol. 443. - P. 33-41. doi: 10.1016/j.msea.2006.06.041
  21. Strain-rate-dependent tensile response of Ti-5Al-2.5Sn alloy / B. Zhang, J. Wang, Y. Wang, Y. Wang, Z. Li // Materials. - 2019. - Vol. 12. - Article number 659. doi: 10.3390/ma12040659-8
  22. Bros H., Michel M.-L., Castanet R. Enthalpy and heat capacity of titanium based alloys // J. Therm. Anal. - 1994. - Vol. 41. - P. 7-24. doi: 10.1007/bf02547007
  23. Dynamic strain-rate effect on uniaxial tension deformation of Ti5Al2.5Sn α-titanium alloy at various temperatures / B. Zhang, J. Wang, Y. Wang, Z. Li, Y. Wang // Mater. High Temper. - 2019. - Vol. 36. -P. 1-10. doi: 10.1080/09603409.2019.1638659
  24. Armstrong R.W., Zerilli F.J. Dislocation mechanics aspects of plastic instability and shear banding // Mech. Mater. - 1994. - Vol. 17. - P. 319-327. doi: 10.1016/0167-6636(94)90069
  25. Gao C.Y., Zhang L.C., Yan H.X. A new constitutive model for HCP metals // Mater. Sci. Eng. A. - 2011. - Vol. 528. - P. 4445-4452. doi: 10.1016/j.msea.2011.02.053
  26. Donachie M.J., Jr. Titanium. A Technical Guide, 2nd ed. - USA: Materials Park, OH: ASM, 2000. -381 p.
  27. Experimental study on the dynamic tensile behavior of a poly-crystal pure titanium at elevated temperatures / W. Huang, X. Zan, X. Nie, M. Gong, Y. Wang, Y.M. Xia // Mater. Sci. Eng. A. - 2007. - Vol. 443. - P. 33-41. doi: 10.1016/j.msea.2006.06.041
  28. Needleman A., Tvergaard V., Bouchaud E. Prediction of ductile fracture surface roughness scaling // J. Appl. Mech. - 2012. - Vol. 79. - Article number 031015. doi: 10.1115/1.4005959
  29. Xiao Y., Hu Y. An extended iterative identification method for the GISSMO model // Metals. - 2019. - Vol. 9. - Article number 568. doi: 10.3390/met9050568
  30. Mechanical characterisation of auxetic cellular structures built from inverted tetrapods / N. Novak, M. Vesenjak, L. Krstulović-Opara, Z. Ren // Composite Structures. - 2018. - Vol. 196. - P. 96-107. doi: 10.1016/j.compstruct.2018.05.024
  31. Tabacu S., Ducu C. Numerical investigations of 3D printed structures under compressive loads using damage and fracture criterion: Experiments, parameter identification, and validation // Extreme Mechanics Letters. - 2020. - Vol. 39. - Article number 100775. doi: 10.1016/j.eml.2020.100775
  32. Additively-manufactured lightweight metamaterials for energy absorption / M. Mohsenizadeh, F. Gasbarri, M. Munther, A. Beheshti, K. Davami // Materials & Design. - 2018. - Vol. 139. - P. 521-530. doi: 10.1016/j.matdes.2017.11.037
  33. Ullah I., Brandt M., Feih S. Failure and energy absorption characteristics of advanced 3D truss core structures // Materials & Design. - 2016. - Vol. 92. - P. 937-948. doi: 10.1016/j.matdes.2015.12.058
  34. Kolken H.M.A., Zadpoor A.A. Auxetic mechanical metamaterials // RSC Advances. - 2017. - Vol. 7. - P. 5111-5129. doi: 10.1039/c6ra27333e
  35. Mechanical properties of sandwich composites with 3d-printed auxetic and non-auxetic lattice cores under low velocity impact / S. Hou, T. Li, Z. Jia, L. Wang // Materials & Design. - 2018. - Vol. 160. - P. 1305-1321. doi: 10.1016/j.matdes.2018.11.002
  36. Crushing behavior of graded auxetic structures built from inverted tetrapods under impact / N. Novak, M. Borovinšek, M Vesenjak, M. Wormser, C. Körner, S. Tanaka, K. Hokamoto, Z. Ren // Physica Status Solidi B. - 2018. - Vol. 256. - Article number 1800040. doi: 10.1002/pssb.201800040
  37. Al-Rifaie H., Sumelka W. The development of a new shock absorbing uniaxial graded auxetic damper (UGAD) // Materials. - 2019. - Vol. 12. - Article number 2573. doi: 10.3390/ma12162573

Statistics

Views

Abstract - 31

PDF (Russian) - 20

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2021 Skripnyak V.V., Chirkov M.O., Skripnyak V.A.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies