Full Text

Введение Поликристаллические материалы - наиболее распространенные конструкционные материалы. Они представляют собой агрегаты монокристаллических зерен. Обычно микроструктура этих материалов является стохастической: формы, размеры и кристаллографическая ориентация зерен случайны. Во многих случаях размеры зерен (десятки микрометров) намного меньше характерных размеров деталей машин, например диаметров отверстий для болтовых соединений и других концентраторов напряжений. В этих ситуациях вполне разумно рассматривать поликристаллы как однородные материалы с некоторыми эффективными свойствами и игнорировать микроструктуру. Здесь усредненные поля напряжений и деформаций являются гладкими детерминированными функциями. В других случаях важна структура зерен: дисперсионное упрочнение, скопление дислокаций, локализация очагов возникновения усталостных трещин при сверхвысокоцикловой усталости и т.д. Здесь решающее значение имеют локальные неоднородности (мезо-) деформаций и напряжений. Локальные поля - это случайные, сильно флуктуирующие функции. Предельные значения этих флуктуаций существенно влияют на некоторые критические редкие события. Например, в современных высокочистых конструкционных сплавах, получаемых современными металлургическими методами, большие дефекты, такие как поры или инородные включения, встречаются редко. При отсутствии крупных дефектов зарождение трещин при сверхвысокоцикловой усталости (с очень малыми амплитудами макронапряжений) происходит в объеме материала внутри микроструктурных особенностей. Экспериментально было обнаружено, что при низкой внешней нагрузке первые повреждения или пластические сдвиги происходят в предпочтительно ориентированных зернах (названных мягкими зернами) и внутри специфических скоплений зерен (названных экстремальными микроструктурами или экстремальными кластерами) [1-5]. Мягкое зерно имеет благоприятную кристаллографическую ориентацию, которая приводит к максимальным разрешающим напряжениям сдвига в легких плоскостях скольжения. Экстремальный кластер увеличивает напряжения в мягком зерне кластера по сравнению с мягким зерном в произвольной окружающей микроструктуре. Увеличение локальных напряжений/деформаций возникает в значительной степени вследствие взаимодействия зерен [2]. Скачки локальных напряжений в кластере могут иметь решающее значение, когда макронапряжения низкие, но амплитуда скачков напряжений достаточно высока. Это могут быть случаи гиперцикловой усталости, хрупкого разрушения зерен из-за скола, возникновения ползучести при низких нагрузках и т.д. Все эти явления начинаются в одном конкретном зерне, а затем распространяются на весь материал. Для каждого явления и вида нагрузки существуют определенные кластеры соседних зерен, в которых создаются состояния с экстремальной деформацией/напряжением в некотором зерне. Взаимодействие зерен привлекает значительное экспериментальное и теоретическое внимание в материаловедении [6-11]. Есть основания полагать [2], что взаимодействие с соседними и более удаленными зернами вносит определяющий вклад в амплитуду мезодеформаций, больший, чем случайная форма зерен. Взаимодействие зерен в значительной степени определяет структуру экстремальных кластеров. Экспериментально наблюдаемые кластеры представляют собой несколько смежных, почти одинаково ориентированных зерен [5]. Фактически они составляют одно большое зерно, иногда называемое суперзерном [12]. Вполне естественно ожидать существования других форм экстремальных кластеров, состоящих из большего количества зерен, в которых могут возникать очень высокие локальные мезодеформации. Поэтому представляет интерес поиск возможных паттернов экстремальных кластеров для различных материалов и оценка максимально достижимых локальных деформаций (напряжений) в зернах при различных условиях нагружения. Современные методы рентгеновской компьютерной микротомографии с использованием синхротронного излучения, нейтронографии и другие прецизионные методы позволяют измерять деформации внутри отдельных зерен [13-17]. Таким образом, обнаружение мягких зерен в данном образце материала является доступной экспериментальной задачей. Экспериментальный поиск экстремальных кластеров намного сложнее из-за низкой вероятности случайного образования этих очень специфических кластеров. Появление экстремального кластера в образце материала - редкое явление. В настоящее время в материаловедении и инженерной практике интенсивно изучаются различные классы таких явлений, связанных с большими отклонениями от средних или равновесных значений параметров стохастических систем: термодинамические, структурные, композиционные и кинетические флуктуации, фрустрация и вырождение равновесных состояний (например, в стеклах и других аморфных материалах), неопределенности в измерениях, стохастичность в моделировании и симулировании и др. [24]. Эти явления критически влияют не только на вариативность физических свойств материалов, но и на надежность изделий, стабильность технологий, вносят стохастические переменные в процессы конструирования. Экспериментальный поиск паттернов редких экстремальных кластеров в поликристаллах потребует огромного количества образцов материала и больших затрат времени. Поэтому весьма желателен эффективный вычислительный инструмент поиска. Гипотетически, чтобы решить эту задачу с помощью вычислений, необходимо решить серию краевых задач механики твердого тела для ряда поликристаллических тел фиксированной формы при фиксированных условиях нагружения, но с различными случайными микроструктурами, и выбрать одно тело (образец) с экстремальным кластером. Для этого требуется сгенерировать очень большое количество компьютерных моделей образцов поликристаллов, численно решить соответствующие уравнения для каждой модели и, наконец, выбрать модель с экстремальным кластером. Такой подход прямого компьютерного моделирования широко используется в вычислительном материаловедении поликристаллов [18, 19]. Основное препятствие при поиске паттернов кластеров этим методом - это значительная вычислительная работа. Другая проблема заключается в том, что в настоящее время можно проводить численный анализ моделей образцов, содержащих всего несколько сотен зерен. В связи с этим возникает вопрос о статистической достаточности этих компьютерных моделей, поскольку даже небольшой реальный образец поликристаллического материала содержит многие миллионы зерен. В этой статье мы используем другой вычислительный подход, основанный на теоретико-полевом рассмотрении краевой задачи деформирования поликристаллического тела [20]. 1. Теоретико-полевое описание упругого деформирования поликристаллического тела и алгоритм поиска экстремальных кластеров Теоретико-полевой подход к проблеме деформирования поликристаллов основан на интегральных уравнениях для глобального тензора деформаций в неоднородном теле. Многие авторы (большое количество ссылок на ранние работы содержится в [21]) написали такие уравнения в различных эквивалентных формах. Впервые подобное уравнение в современном виде вывел Р. де Вит применительно к проблемам теории дислокаций [22]. Для случая большого поликристаллического тела оно имеет вид , (1) где - тензор модулей упругости поликристаллического тела; - осредненный по объему тела V тензор; - тензор Грина неограниченной однородной среды с осредненным тензором модулей, определяемый через вторые производные функции Грина равенствами , а есть решение краевой задачи для тела с осредненным тензором , которое считается известным. Здесь и далее индексы после запятой обозначают дифференцирование по соответствующей координате. Предполагается суммирование по повторяющимся индексам. Для нетекстурированного поликристаллического тела осредненный тензор модулей упругости изотропен и имеет вид , (2) где и - осредненный объемный модуль и модуль сдвига; и - шаровая и девиаторные части единичного симметричного тензора 4-го ранга. Тензор Грина изотропной среды известен: , (3) где , а функция зависит только от углов (4) есть направляющие косинусы радиус-вектора . Использование в уравнении (1) решения для осредненного тела не всегда удобно, в частности для целей настоящей статьи. Ниже будет показано, что в качестве можно взять решение для любого другого тела сравнения (по терминологии [25]). Приведем вывод интегрального уравнения для тензора деформаций в этом случае, который отличается от классического вывода уравнения (1). Ограничимся однофазными поликристаллами без текстуры. Кристаллографические оси кристаллитов ориентированы в пространстве случайным образом и для разных кристаллитов не коррелируют друг с другом. Поликристаллический агрегат представляет собой область объема V с внешней границей S, состоящей из подобластей (кристаллитов) с объемами и границами . Объем V равен сумме , где N - полное количество кристаллитов в теле. Все кристаллиты прочно связаны на своих границах, поэтому декартовы проекции вектора смещений являются непрерывными функциями координат. Тензор модулей упругости поликристаллической среды , (5) где - индикаторная функция ξ-го кристаллита (равна единице в и нулю в противном случае); - тензор модулей упругости ξ-го кристаллита в глобальной системе координат. Тензор постоянен в пределах любой области и скачкообразно изменяется при пересечении границ из-за изменения ориентации кристаллической решетки кристаллита в пространстве. Компоненты вектора перемещений удовлетворяют дифференциальным уравнениям (6) где - объемная сила. Граничные условия примем в кинематическом виде (7) где - гладкая функция координат. Микроструктура поликристаллического твердого тела задается тензорной функцией модулей упругости . Представим глобальный тензор модулей упругости в виде суммы постоянного изотропного тензора тела сравнения и флуктуирующей части . (8) Тензор модулей упругости тела сравнения равен , где и - объемный модуль и модуль сдвига этого тела. Рассмотрим две краевые задачи. Первая задача является исходной - для перемещений в неоднородном теле (6), которое после разложения глобального тензора (8) принимает вид . (9) Вторая задача ставится для вектора перемещений в изотропном теле сравнения (такой же формы и размеров, как исходное тело) (10) и с граничными условиями как в (7) . (11) Введем функцию Грина для тела сравнения посредством уравнения (12) с граничными условиями на границе тела (13) Нахождение функции Грина для тела конечных размеров - трудная задача. Аналитические выражения известны лишь для частных случаев. Однако существуют численные методы нахождения таких функций Грина [26, 27]. Используя теорему Грина, преобразуем уравнение (10) в интегро-дифференциальное: (14) Аналогичное преобразование сделаем для уравнения (9) (15) В первом интеграле в (15) производим интегрирование по частям (16) Дифференцирование функции Грина в последнем объемном интеграле (16) производится по координате , что отмечено штрихом у индекса после запятой . В силу граничных условий (13), для функции Грина поверхностный интеграл в (16) обращается в ноль, и интегро-дифференциальное уравнение (15) упрощается: (17) В силу граничных условий (7) и (11) для векторов перемещений обеих задач поверхностные интегралы в (14) и (17) совпадают. Вычитая из уравнения (17) уравнение (14), получаем . (18) Дифференцируя (18) по и замечая, что , получаем интегральное уравнение для градиента деформаций . (19) Симметризацией по индексам m и n получаем искомое интегральное уравнение для глобального тензора деформаций в поликристаллическом теле , (20) где есть тензор Грина тела сравнения. Внешне уравнение (20) совпадает с уравнением (1), если в последнем формально заменить тензор Грина осредненной среды на тензор Грина тела сравнения , а тензор - на тензор . Для вычисления тензора деформаций по уравнению (20) для большого поликристаллического тела в точках вдали от границ можно использовать в качестве тензора Грина тела сравнения тензор Грина неограниченной среды с модулями упругости и . Тензор Грина будет определяться выражениями (3) и (4) с заменой осредненных модулей на модули тела сравнения. В качестве последних в настоящей работе будут использоваться макроскопические эффективные модули, определяемые экспериментально. Решение континуального уравнения (20) осуществляется так же, как и уравнения (1) - путем дискретизации и трансформации интегрального уравнения в систему линейных алгебраических уравнений [23]. Для этого сначала глобальный тензор разлагается на сумму локальных деформаций в зернах : , (21) в результате чего уравнение (20) распадается на систему уравнений для локальных полей . (22) Для приближенного решения (22) применяется кусочно-постоянная аппроксимация внутризеренных полей . Каждое зерно разбивается на большое число малых субзерен, а внутризеренные поля представляются в виде суперпозиции субзеренных полей (латинский индекс "a" нумерует субзерна внутри ξ-го зерна), каждое из которых полагается постоянным внутри субзерна. В итоге система интегральных уравнений (22) трансформируется в систему линейных алгебраических уравнений для сублокальных полей (детали преобразований приведены в [23]): (23) где коэффициенты взаимодействия субзерен ; (24) описывают взаимодействие субзурен в одном зерне и в разных зернах соответственно, - единичный тензор, n - число субзерен в каждом η-м зерне. Система (23) решается методом теории возмущений по межсубзеренному взаимодействию [28], представляемому всеми членами под знаками двойной суммы (по зернам и субзернам). Решение для каждого субзерна представляется в виде суммы поправок различных порядков (25) В первом порядке по взаимодействию для поправок нулевого и первого порядка остается система уравнений , , (26) где новый коэффициент описывает взаимодействие a-го субзерна в ξ-м зерне с η-м зерном в целом. В упомянутой выше статье показано, что в зернах в виде выпуклых многогранников поправки нулевого порядка почти постоянны во внутренних частях зерен (до 90 % по объему). В частности, в сферическом зерне поправки нулевого порядка для каждого зерна постоянны и совпадают с решением Эшелби для сферического включения. Важным следствием структуры системы (26) является то, что вклад в деформацию в каком-либо субзерне от взаимодействий с другими субзернами аддитивен. Аддитивность позволяет вычислять вклад от взаимодействий с другими зернами раздельно. Это означает, что достаточно решить множество редуцированных систем (26) только с одним членом в сумме в правой части, т.е. для каждого взаимодействующего зерна по отдельности, а затем сложить все полученные «парные» вклады взаимодействий. Свойство аддитивности взаимодействий является большим вычислительным преимуществом теоретико-полевого подхода при поиске паттернов экстремальных кластеров. Традиционный вычислительный метод поиска экстремальных кластеров состоит в следующем. Необходимо сгенерировать большое количество компьютерных моделей поликристаллического тела с различными микроструктурами. Каждая модель должна содержать большое число зерен, чтобы быть статистически адекватной реальному макроскопическому телу, состоящему из многих миллионов зерен. Затем для каждой модели решить краевую задачу деформирования и выбрать модель, в которой в каком-либо зерне интересующая компонента деформации (или любая комбинация компонент тензора деформаций) имеет максимальное значение. Окружение этого зерна в выбранной модели и будет экстремальным кластером. Огромное число зерен в реальном образце поликристаллического материала и бесконечное количество возможных случайных микроструктур делает этот путь нереализуемым. Аддитивность теоретико-полевого подхода дает альтернативный путь поиска, кардинально сокращающий требуемый объем вычислительной работы. Предлагаемый алгоритм состоит в следующем. Фиксируется одно (ξ-е) зерно, включая его форму, размеры и ориентацию кристаллографических осей, и какое-либо (a-е) субзерно в нем. Затем для заданных граничных условий решаем первое уравнение в (26) для поправки нулевого порядка . Это решение не зависит от всех других зерен в поликристалле. Далее выбираем какое-либо соседнее η-е зерно и генерируем большой массив случайных конфигураций этого зерна. Для каждой конфигурации этого зерна получаем решение нулевого порядка. Эти решения не зависят друг от друга. После этого уравнения второй строки в редуцированной системе (26) для поправок первого порядка в a-м субзерне ξ-зерна решаются для каждой конфигурации η-зерна, но только с одним членом в сумме правой части уравнения. Максимальное значение из массива полученных решений определяет экстремальную конфигурацию η-зерна и его экстремальный вклад в деформацию ξ-зерна. Такая процедура проводится для всех остальных соседних и удаленных зерен тела. Сумма этих поправок дает решение для экстремальной деформации в данном субзерне ξ-го зерна. Это максимально возможная деформация в выбранной точке ξ-го зерна. Совокупность всех окружающих η-х зерен в экстремальных конфигурациях составляет экстремальный кластер для заданных условий. Эту процедуру легко провести для очень большого количества зерен, вплоть до всего поликристаллического образца с миллионами зерен. Флуктуации механических полей в поликристаллах обусловлены случайными формами зерен, случайными ориентациями кристаллографических осей зерен и взаимодействием зерен. Определенные сочетания этих факторов могут приводить к маргинальным всплескам деформаций в некоторых зернах. В настоящей работе мы ограничимся влиянием последних двух стохастических факторов. Некоторые исследователи [2 и др.] называют взаимодействие зерен главным фактором амплитуд флуктуаций и формирования экстремальных кластеров. 2. Паттерны экстремальных кластеров при одноосном растяжении Применим описанный алгоритм поиска экстремальных кластеров к четырем различным поликристаллам с разной упругой симметрией и степенью анизотропии зерен. Вычислительные эксперименты проведем на модельном поликристаллическом теле с зернами кубической формы. Тело предполагается достаточно большим, так что к нему применим изложенный выше математический формализм. На рис. 1 показано поперечное сечение центральной части модельного поликристалла вместе с осями глобальной системы координат. Затененное зерно в центре есть ξ-е зерно, в котором будет разыскиваться максимально достижимая деформация, обусловленная взаимодействием с окружающими зернами и ориентаций кристаллографических осей этих зерен. Рис. 1. Модельный поликристалл Fig. 1. A model polycrystal Экстремальные кластеры могут генерировать максимум любого компонента тензора деформации (или любых комбинаций компонентов деформации) в интересующем зерне. Мы рассмотрим простое одноосное растяжение вдоль координатной оси x3 и будем искать максимальную деформацию растяжения в центре центрального зерна. Случайность микроструктуры в этой модели состоит из случайных ориентаций кристаллографических осей зерен. Зафиксируем кристаллографические оси центрального зерна параллельно осям координат и найдем ориентации кристаллографических осей окружающих зерен, при которых эти зерна вносят максимальную добавку к деформации в центральном зерне при фиксированной нагрузке. Интенсивность упругого взаимодействия, характеризуемая коэффициентами , уменьшается с увеличением расстояния между зернами. Для удаленных зерен оно падает обратно пропорционально расстоянию в кубе. Для соседних зерен падение намного медленнее [23]. Таким образом, взаимодействие упругих зерен является дальнодействующим. Все зерна удобно разделить на группы по расстояниям от интересующего зерна: первые соседи (на расстоянии одного размера зерна), вторые соседи (на расстоянии двух зерен), третьи соседи и т.д. Первая группа содержит 26 зерен, вторая группа - 98 зерен, третья - 218 зерен и т. д. Зерна каждой группы на рис. 1 окрашены одинаково. Континуальные распределения случайных ориентаций кристаллографических осей зерен мы заменили на 106 случайных дискретных кристаллографических ориентаций для каждого зерна. Тензор модулей упругости зерна в глобальной системе координат связан с тензором в кристаллографической системе обычными формулами преобразования , где - направляющие косинусы осей глобальной системы координат относительно кристаллографической системы координат ξ-го кристаллита. Направляющие косинусы задаются случайными углами Эйлера. Равновероятность дискретных ориентаций обеспечивается специальной плотностью распределением углов Эйлера [29] для нетекстурированного поликристалла. Все необходимые вычисления включают численное интегрирование для коэффициентов и решение систем линейных алгебраических уравнений. Обе операции - это очень быстро выполняемые компьютерные процедуры. 2.1. Экстремальные кластеры в материалах с кубической упругой анизотропией зерен Рассмотрим два поликристалла кубической сингонии со слабой и сильной анизотропией зерен - молибден и медь. Для молибдена упругие постоянные монокристалла зерна в кристаллографической системе координат, использованные в вычислениях: , , , фактор анизотропии Зинера 0,707. Эти и другие числовые данные по механическим свойствам, использованные в расчетах, взяты из [30, 31]. Макроскопические упругие постоянные поликристаллического молибдена: модуль Юнга , модуль сдвига , коэффициент Пуассона Эти значения используются в формуле (3) для тензора Грина вместо осредненных макроскопических модулей и . Поликристалл молибдена подвергнут одноосному растяжению с макронапряжением (остальные ), что соответствует однородной макродеформации , . Для данного случая и во всех нижерассмотренных значение одноосного макронапряжения выбрано так, чтобы продольная макродеформация была одной и той же для всех примеров. В интегральной форме краевой задачи деформирования эти значения макродеформаций входят в качестве параметров в исходное уравнение (1) и его трансформированную алгебраическую форму (23). В табл. 1 представлены вычисленные вклады трех групп соседних зерен: 26 ближайших зерен-соседей, 98 вторых по удалению зерен и 218 третьих по удалению зерен с экстремальной ориентацией каждого из этих 342 взаимодействующих с центральным зерном зерен. Приведены как максимальные положительные вклады, так и минимальные отрицательные вклады. Первые обусловливают абсолютный максимум искомой деформации, вторые - абсолютный минимум на ансамбле всех возможных микроструктур. Полная деформация в центральном зерне равна сумме вкладов от всех трех групп зерен Вычисления для следующих по удалению групп не вызывают затруднений и здесь не приводятся. Данные табл. 1 соответствуют двум локальным экстремальным микроструктурам из всех зерен-соседей, максимизирующим и минимизирующим искомую деформацию в центральном зерне. Для промежуточных (неэкстремальных) ориентаций зерен каждой группы аддитивные поправки распределены между маргинальными значениями, показанными в табл. 1. Среднее значение для поправок на ансамбле всех возможных промежуточных ориентаций зерен каждой группы близко к нулю. Таблица 1 Молибден: экстремальные деформации и вклады различных групп зерен Table 1 Molybdenum. Extreme strains and contributions of different groups of grains Макродеформация Вклады групп зерен Полная деформация Центр ξ-го зерна максимум 2,7585∙10-4 0,5949∙10-4 0,3969∙10-4 0,2687∙10-4 4,0190∙10-4 минимум -0,5092∙10-4 0,3776∙10-4 -0,2299∙10-4 1,6418∙10-4 Поправки от взаимодействия с удаленными группами зерен убывают довольно медленно. Наши расчеты показали, что только для расстояния 6-7 диаметров зерен вклад удаленной группы падает до 1 % поправки нулевого порядка. Однако экстремальные ориентации удаленных групп зерен представляют исключительно теоретический интерес, поскольку одновременная специфическая ориентация большого количества зерен имеет очень низкую вероятность. Интерес могут представлять отдельные удаленные зерна в специфических позициях относительно центрального зерна, дающие намного (иногда на порядок и более) больший вклад, чем зерна такого же удаления в других позициях. Поэтому здесь мы ограничимся анализом экстремальных кластеров, обусловленных взаимодействием с первым (ближайшим), вторым и третьим по удалению окружением соседних зерен. Данные табл. 1 и таблиц, приведенных ниже, иллюстрируют дальнодействующий характер упругого взаимодействия. Максимальная деформация в центральном зерне превосходит макродеформацию на 43 %. Экстремальные поправки от взаимодействия соответствуют весьма специфическим ориентациям каждого из взаимодействующих зерен в кластере. Ориентации задаются углами Эйлера кристаллографических осей, которые фиксируются разработанным алгоритмом. На рис. 2 схематично показаны ориентации кристаллографических осей зерен в двух экстремальных кластерах для вертикального сечения образца, показанного на рис. 1. Чтобы сделать этот и рисунки ниже менее громоздкими, мы показали только первые и вторые соседние зерна. На рис. 2, а изображен кластер, максимизирующий деформацию в центральном зерне, на рис. 2, б - кластер, минимизирующий деформацию. Маленькие значки внутри зерен схематично визуализируют ориентацию кристаллографических осей каждого зерна в кластере с помощью проекций воображаемого куба (показанного в центре рис. 2), жестко связанного с кристаллографическими осями зерен (ортогональными его граням). Вращение этого куба эквивалентно вращению кристаллографических осей зерна. Вычислительный алгоритм дает точные ориентации по углам Эйлера. Кристаллографические оси зерен в обоих крайних кластерах имеют весьма симметричную ориентацию относительно центра кластера. Зерна образуют характерные паттерны микроструктуры. a б Рис. 2. Экстремальные кластеры в молибдене: а - максимизирующий; б - минимизирующий Fig. 2. Extreme clusters for molybdenum: a - maximizing; b - minimizing Обратимся к максимизирующему кластеру. Вычисления показали, что положительные вклады от различных одинаково удаленных зерен существенно (более чем на порядок) различаются. Например, только два зерна из первой группы соседей - одно чуть выше и одно чуть ниже центрального зерна - дают одну треть общего вклада 26 ближайших зерен. Эти два зерна и центральное зерно одинаково ориентированы. Фактически они составляют одно суперзерно тройной длины. В целом взаимодействие зерен приводит к умеренной концентрации деформации в молибдене. Даже довольно большой экстремальный кластер из 125 зерен, изображенный на рис. 2, а, дает увеличение макродеформации всего на 25 %. В качестве другого примера рассмотрим поликристалл меди. Монокристаллы зерен меди сильно анизотропны. Их упругие постоянные , , , фактор анизотропии Зинера 3,277. Макроскопические упругие модули поликристаллической меди равны модуль Юнга , модуль сдвига , коэффициент Пуассона Как и в предыдущем примере образец поликристаллической меди подвергнут одноосному растяжению , что соответствует однородной макродеформации , В табл. 2 приведены вычисленные вклады трех групп соседних зерен в экстремальных конфигурациях всех 342 взаимодействующих зерен, соответствующих максимальному положительному и минимальному отрицательному вкладам. В максимизирующем экстремальном кластере максимальная деформация растяжения в центральном зерне превышает макродеформацию в 3,3 раза. В минимизирующем экстремальном кластере центральное зерно испытывает значительное сжатие в направлении внешней нагрузки, хотя макродеформация является растягивающей положительной. Таким образом, в поликристалле меди с сильно анизотропными зернами состояние отдельных зерен может качественно отличаться от макросостояния тела. Роль межзеренного взаимодействия в меди намного выше, чем в молибдене. На рис. 3 показаны ориентации кристаллографических осей зерен в двух экстремальных кластерах для вертикального сечения образца. Таблица 2 Медь: экстремальные деформации и вклады различных групп зерен Table 2 Copper. Extreme strains and contributions of different groups of grains Макродеформация Вклады групп зерен Полная деформация Центр ξ-го зерна максимум 3,9961∙10-4 2,6949∙10-4 1,9967∙10-4 1,2063∙10-4 9,8940∙10-4 минимум -2,9653∙10-4 -2,0143∙10-4 -1,2169∙10-4 -2,2004∙10-4 сжатие a б Рис. 3. Экстремальные кластеры в меди: а - максимизирующий, б - минимизирующий Fig. 3. Extreme clusters in copper: a - maximizing, b - minimizing В случае меди в максимизирующем кластере нельзя выделить суперзерно. Экстремальный кластер имеет более сложную структуру. Как и в поликристалле молибдена вклады разных равноудаленных зерен сильно различаются по величине. Вклады двух ближайших зерен-соседей - одного над и второго под центральным зерном - составляют 18,1 % от общего вклада взаимодействия со всеми 26 ближайшими зернами. Хотя это в процентном выражении и меньше, чем в молибдене, но в таком трех зеренном кластере в центральном зерне генерируется деформация , что превосходит макродеформацию на 49,5 %. Даже такой малый кластер дает весьма существенную концентрацию деформаций. В то же время вероятность спонтанного образования такого маленького кластера намного выше, чем больших кластеров. С другой стороны, в сильно анизотропной меди влияние удаленных зерен намного сильнее, чем в слабо анизотропном молибдене. Большие экстремальные кластеры в меди генерируют очень большую концентрацию деформаций. 2.2. Экстремальные кластеры в материалах с гексагональной упругой анизотропией зерен Рассмотрим два поликристалла с гексагональной упругой симметрией и слабой и сильной анизотропией зерен - титан и цинк. Для гексагональных кристаллов степень анизотропии принято характеризовать отношением периодов кристаллической решетки вдоль гексагональной оси и в перпендикулярном направлении . Параметр Зинера может быть рассчитан и для этих кристаллов, но здесь он менее информативен. Монокристалл титана имеет следующие значения компонент тензора модулей упругости в кристаллографической системе координат: , , , , . Отношение периодов кристаллической решетки Макроскопические упругие постоянные поликристаллического титана: модуль Юнга , модуль сдвига , коэффициент Пуассона Поликристалл титана подвергнут одноосному растяжению , соответствующему макродеформациям , В табл. 3 представлены вычисленные экстремальные вклады трех групп соседних зерен с экстремальной ориентацией каждого зерна, соответствующие максимальному положительному и минимальному отрицательному вкладам взаимодействий в деформацию центрального зерна. Моделирование показало, что, как и в случае кубической упругой симметрии зерен, как аддитивные поправки от одного зерна, так и суммарные поправки от группы зерен при ориентациях окружающих зерен заключены между маргинальными значениями, приведенными в табл. 3. Максимальная деформация превосходит макродеформацию на 37,6 %. Экстремальные вклады соответствуют определенным ориентациям всех 342 взаимодействующих зерен, схематически изображенных на рис. 4, на котором для краткости показаны только первые две группы зерен-соседей. Значки внутри зерен условно показывают ориентации кристаллографических осей каждого зерна в кластере посредством проекций гексагона на плоскость рисунка. Вращение гексагона в пространстве привязано к поворотам кристаллографических осей. Углы поворотов для экстремальных ориентаций вычисляются алгоритмом. Одинаково ориентированные зерна в центральном ряду на рис. 4, а образуют одно длинное суперзерно. Всего лишь два зерна из этого ряда - одно сверху и другое снизу центрального зерна - дают 34,7 % от общего вклада 26 ближайших зерен. a б Рис. 4. Экстремальные кластеры в титане: а - максимизирующий; б - минимизирующий Fig. 4. Extreme clusters for titanium: a - maximizing; b - minimizing Влияние этих двух зерен очень сильное в сравнении с другими зернами. В целом суммарный эффект взаимодействий в титане довольно низкий. Большой 125-зеренный кластер (см. рис. 4, а) дает увеличение локальной деформации над макродеформацией всего на 26,8 %, а намного больший 343-зеренный кластер (не показан на рисунке) - только на 37,6 %. В качестве последнего примера рассмотрим поликристаллический цинк - материал с сильно анизотропными зернами. Тензор модулей упругости монокристалла цинка имеет следующие значения компонентов в кристаллографической системе координат: , , , , . Отношение периодов кристаллической решетки равно Макроскопические упругие постоянные поликристаллического цинка равны: модуль Юнга , модуль сдвига , коэффициент Пуассона Поликристалл цинка подвержен одноосному растяжению с напряжением Это соответствует макродеформациям , В табл. 3 показаны вклады трех групп зерен в двух экстремальных конфигурациях, дающих соответственно максимальные положительные и минимальные отрицательные поправки от взаимодействий в деформацию в центральном зерне кластера. Приведены также решения для полной деформации, соответствующие абсолютному максимуму и абсолютному минимуму деформации в центральном зерне, теоретически достижимым при заданном макронагружении. В промежуточных, неэкстремальных конфигурациях всех зерен кластера полная деформация в центральном зерне флуктуирует в широких пределах между маргинальными значениями от -3,6629∙10-4 до +10,6668∙10-4. Эти пределы соответствуют учету взаимодействия до удаления на три размера зерна. При учете взаимодействий с более удаленными зернами пределы флуктуаций еще более расширяются. Вклады от каждой групп зерен по отдельности, как и в предыдущих примерах, флуктурируют в почти симметричных пределах со средним значением, близким к нулю, и медленно убывают с расстоянием. Эффект взаимодействия анизотропных зерен цинка на мезодеформации очень сильный. Экстремальные кластеры производят очень высокую концентрацию деформаций. В максимизирующем кластере деформация растяжения в центральном зерне превосходит макродеформаци в 3,5 раза. В минимизирующем кластере центральное зерно подвергается сильному сжатию . Таблица 3 Цинк: экстремальные деформации и вклады различных групп зерен Table 3 Zinc. Extreme strain and contributions of different groups of grains Макродеформация Вклады групп зерен Полная деформация Центр ξ-го зерна максимум 4,5535∙10-4 2,8716∙10-4 1,9449∙10-4 1,2968∙10-4 10,6668∙10-4 минимум -3,6581∙10-4 -2,1001∙10-4 -1,4382∙10-4 -3,6629∙10-4 a б Рис. 5. Экстремальные кластеры в цинке: а - максимизирующий; б - минимизирующий Fig. 5. Extreme clusters for zinc: a - maximizing; b - minimizing На рис. 5 показаны паттерны 125-зеренных кластеров, дающие максимальную и минимальную деформации в центральном зерне. В поликристаллическом цинке межзеренное взаимодействие деформаций очень велико. Всего два зерна, одно непосредственно слева, а другое непосредственно справа от центрального, дают рост мезодеформации на 66,5 % выше макродеформации. Эти зерна образуют небольшое суперзерно, ориентированное перпендикулярно направлению растяжения. Не очень большой кластер из 26 ближайших зерен производит концентрацию деформаций в 247,5 % от макродеформации. Кроме упомянутого суперзерна, из трех зерен в этом кластере можно выделить несколько других малых субкластеров из трех зерен, дающих рост концентрации деформаций на 40-50 % каждый по отдельности. Таким образом, в цинке может случайно появиться довольно большое число малых, следовательно, имеющих заметную вероятность образования, субкластеров с существенной концентрацией мезодеформаций. Заключение Экспериментально обнаруженные экстремальные кластеры (ссылки приведены во введении) состоят всего из 3-4 зерен. Концентрация деформаций в кластерах обусловлена в значительной степени взаимодействием зерен в них [2]. Целью работы являлось теоретически показать, что в больших кластерах, в которых взаимодействует гораздо большее число зерен, чем в экспериментально наблюденных, возможна очень высокая концентрация, а также найти возможные паттерны таких кластеров. Для этого в работе предложен эффективный вычислительный метод поиска экстремальных кластеров зерен, основанный на теоретико-полевом подходе к описанию деформирования поликристаллов. Преимущества метода следуют из аддитивности решения краевой задачи деформирования в интегральной форме по взаимодействию деформаций. В качестве примера применения метода произведен вычислительный поиск паттернов кластеров, в которых достигает экстремума продольная компонента деформации при простом одноосном растяжении. Вычисления выполнены для двух наиболее распространенных сингоний конструкционных материалов - кубической и гексагональной плотной упаковки. В каждой из них исследованы поликристаллические материалы с низкой и высокой степенями анизотропии зерен. Во всех рассмотренных случаях экстремальные кластеры имеют форму симметричных паттернов. В целом симметрия паттернов соответствует направлению нагрузки и ориентации кристаллографических осей зерна, в котором ищется максимальная деформация. Некоторые взаимодействующие зерна, особенно вне вертикальных или горизонтальных рядов на вышеприведенных рисунках, имеют по нескольку эквивалентных ориентаций, дающих одинаковый вклад. На всех рисунках показана только одна из этих возможных эквивалентных ориентаций для каждого зерна. Наличие эквивалентных ориентаций зерен повышает вероятность случайной реализации экстремальных кластеров или субкластеров в материалах. Приведенные в таблицах значения экстремальных деформаций являются абсолютными. Они соответствуют вполне определенным ориентациям взаимодействующих зерен (схематически изображенным на рисунках). Вычислительные эксперименты показали, что фактически вклад каждого зерна является пологой функцией углов Эйлера ориентации зерна в окрестности экстремумов. Разработанный алгоритм позволяет вычислять вероятность того, что при случайной выборке какое-либо из взаимодействующих зерен окажется в позиции с аддитивным вкладом, превышающим наперед заданное значение. Например, вероятность зерну слева от центрального зерна на рис. 5 слева (цинк) оказаться в конфигурации, которая дает вклад не менее 50 % от максимально возможного для этого зерна, составляет 0,154. Такая же вероятность для зерна справа от центрального зерна. Эти вероятности достаточно высоки для случайного образования малого экстремального кластера в стохастической микроструктуре большого поликристаллического тела. Такой кластер из трех зерен приведет к увеличению деформации на 33,25 % по сравнению с макродеформацией. Большие экстремальные кластеры имеют гораздо меньшую, но все же конечную вероятность возникновения. Редкие явления образования крупных кластеров могут быть причиной, например, большого разброса пределов усталости поликристаллических материалов при сверхвысокоцикловых испытаниях, экспериментально измеряемых на стандартных образцах. Появление достаточно большого экстремального кластера в калибровочной части одного образца может привести к значительному отклонению (уменьшению) предела выносливости этого образца от среднего значения по партии образцов. Экстремальные кластеры работают как своеобразные упругие линзы. Они «преломляют» внешнюю нагрузку и «фокусируют» ее на центральном зерне. Некоторые экстремальные кластеры увеличивают деформации в определенных зернах, а другие - уменьшают их. Диапазон изменения состояния выбранного зерна очень широк. Для поликристаллов с сильно анизотропными зернами мезоскопическое состояние интересующего зерна может качественно отличаться от макроскопического состояния образца. Здесь мы рассмотрели только простой случай одноосного растяжения и нашли кластеры, максимизирующие только одну компоненту деформации, поскольку одной из целей была демонстрация вычислительной работоспособности метода. Метод применим для поиска экстремальных кластеров при произвольном трехосном нагружении и нахождения микроструктур, приводящих к максимумам любых комбинаций компонентов тензора мезодеформаций, включая мезонапряжения, являющиеся в соответствии с законом Гука линейными комбинациями деформаций. Экстремальные кластеры для других типов макронагружения и тех, в которых максимума достигают другая компонента деформации или какая-либо комбинация компонентов мезодеформации, будут иметь разные паттерны. Эти другие паттерны могут быть менее симметричными.

About the authors

A. A Tashkinov

Perm National Research Polytechnic University

V. E Shavshukov

Perm National Research Polytechnic University

References

Statistics

Views

Abstract - 342

PDF (Russian) - 284