The nonstationary thermoelectric elasticity problem for a long piezoceramic cylinder

Abstract


А new closed-loop solution for the coupled nonstationary problem of thermoelectric elasticity is designed for a long piezoceramic radially polarized cylinder. The case of the nonstationary load acting on its inner cylindrical surface is considered as a function of temperature change at a given law of the convection heat exchange on the outer face wall (boundary conditions of heat conductivity of the 1st and 3rd types). Electrodynamic cylinder surfaces are connected to a measuring device with a high input resistance (electric idling). We investigate the problem where the rate of the temperature load changes does not affect the inertial characteristics of the elastic system. It makes it possible to expand the initial linear computational relations with the equilibrium, electrostatics and heat conductivity equations with respect to the radial component of the displacement vector, electric potential as well as the function of temperature field changes. Hyperbolic LS-theory of the thermal conductivity is used in the computations. The problem is solved with a generalized method of biorthogonal finite integral transformation based on a multicomponent ratio of eigen functions of two homogeneous boundary value problems. The structural algorithm of this approach allows identifying a conjugated operator, without which it is impossible to solve non-self-conjugated linear problems in mathematical physics. The resulted computational relations make it possible to determine the stress-strain state, temperature and electric fields induced in the piezoceramic element under an arbitrary external temperature effect. By connecting the electroelastic system to the measuring tool, we can find voltage. Firstly, the analysis of the numerical results allows identifying the rate of the temperature load changes, at which it is necessary to use the hyperbolic theory of thermal conductivity. Secondly, it allows determining the physical characteristics of the piezoceramic material for the case when the rate of changing the body volume leads to a redistribution of the temperature field. The developed computational algorithm can be used to design non-resonant piezoelectric temperature sensors.

Full Text

Введение В настоящее время пьезокерамические материалы используются при разработке датчиков температуры, работа которых основана на зависимости электрического поля, индуцируемого в пьезокерамическом элементе, от величины внешнего температурного воздействия [1-7]. Для расширения функциональных возможностей измерительных приборов данного типа возникает необходимость углубленного анализа нестационарных процессов, позволяющего понять эффект взаимодействия механических, температурных и электрических полей. Математическая формулировка начально-краевых задач термоэлектроупругости включает систему несамосопряженных дифференциальных уравнений, исследование которых в последнее время, как правило, проводится при использовании численных методов [8-12]. Однако достаточно слабые эффекты взаимодействия полей различной физической природы удается проанализировать только с помощью замкнутых аналитических решений. При этом проблема интегрирования исходных расчетных соотношений и построение общего решения приводит к проведению расчетов в упрощенной постановке, а именно: исследуются несвязанные задачи [13,14] или анализируются бесконечно длинные тела [15-17]. Замкнутые решения динамических задач термоэлектроупругости представлены в немногих исследованиях [5, 14-17]. В работе [5] на основании известных характеристик вынужденных стационарных электроупругих колебаний исследовалась плотность распределения температуры по длине конструкции. Статья [14] посвящена анализу напряженно-деформированного состояния длинного полого цилиндра в рамках LS-теории теплопроводности [18] при тепловом ударе без учета влияния электрического потенциала на термоупругие поля. В [15, 16] рассматриваются связанные задачи классической CTE-теории [19] для однородного и неоднородного пьезокерамических неограниченных слоев. Использование преобразования Лапласа позволило сформулировать в пространстве изображений интегральное уравнение Фредгольма, которое реализовывалось численным методом. В работе [17] предложена модель электротермоупругого полупространства с неоднородным покрытием, где для построения решения использовался численно-аналитический метод. Можно отметить также работы [20-22], в которых используется нелинейная теория термоэлектроупругости, позволяющая описать отклик пьезокерамических конструкций с учетом неоднородных начальных условий. Целью настоящей работы является решение связанной нестационарной задачи термоэлектроупругости для длинного полого пьезокерамического цилиндра при действии на его поверхностях температурной нагрузки и учете конвекционного теплообмена с окружающей средой [19] с использованием гиперболической LS-теории теплопроводности [18]. Рассматривается случай, когда скорость изменения нагрузки существенно меньше скорости распространения упругих волн, что позволяет не учитывать инерционные свойства конструкции и использовать в расчетах уравнения равновесия [23, 24]. 1. Постановка задачи. Пусть полый длинный незакрепленный пьезокерамический цилиндр занимает в цилиндрической системе координат область : . Рассматривается случай действия на внутренней ( ) цилиндрической поверхности нестационарной нагрузки в виде функции изменения температуры (граничное условие 1-го рода), а на внешней ( ) лицевой поверхности задан закон конвекционного теплообмена (граничное условие 3-го рода) и известна температура окружающей среды . Внутренняя электродированная поверхность заземлена, а внешняя подключена к измерительному прибору с большим входным сопротивлением, что соответствует режиму электрического холостого хода. В общем случае дифференциальные уравнения равновесия, электростатики и теплового баланса на основании гиперболической зависимости Лорда - Шульмана имеют вид [18, 25-27] , (1) где - компоненты тензора механических напряжений; - радиальная составляющая вектора индукции электрического поля; объемная плотность энтропии; ; соответственно приращение, текущая температура, а также температура первоначального состояния тела, при котором отсутствуют механические напряжения; время релаксации; коэффициент теплопроводности материала. Уравнения осесимметричного состояния электроупругой анизотропного среды при радиальной поляризации пьезокерамического материала с гексагональной кристаллической решеткой класса 6 mm записываются следующим образом [17, 27]: (2) а объемная плотность энтропии при разложении в ряд Тейлора, с учетом условия , определяется зависимостью [15] (3) В равенствах (2),(3) - радиальная составляющая векторов перемещений; потенциал электрического поля; модули упругости, пьезомодули и коэффициент диэлектрической проницаемости электроупругого материала ; коэффициент объемной теплоемкости материала; компоненты тензора температурных напряжений; компонента тензора пирокоэффициентов; оператор . В результате подстановки (2), (3) в (1) получаем следующую систему дифференциальных уравнений термоэлектроупругости и краевые условия рассматриваемой задачи в безразмерной форме: (4) , (5) , ; (6) где , , , , , , , , , , , , , коэффициент теплоотдачи. Расчетные соотношения (5) учитывают отсутствие механических напряжений на цилиндрических поверхностях, заземление внутренней ( ) и подключение к измерительному прибору внешней ( ) электродированных поверхностей, а также граничные условия теплопроводности. С учетом заземления металлической подложки, напряжение холостого хода определяется потенциалом электрического поля на внешней поверхности цилиндра: (7) 2. Построение общего решения. На первом этапе решения выполняется процедура приведения расчетных соотношений (4)-(6) к виду, позволяющему в дальнейшем использовать метод конечных биортогональных интегральных преобразований [28]. Для этого вводятся новые функции , , связанные с , , следующими соотношениями: , , (8) , где Подстановка (8) в (4)-(6) при удовлетворении условий (9) позволяет получить краевую задачу относительно функций , , с однородными граничными условиями: , (10) , ; , , , (11) , ; , ; (12) где , , . Начально-краевую задачу (10)-(12) решаем, используя структурный алгоритм биортогонального конечного интегрального преобразования (КИП) [28]. Для этого вводим на сегменте [R, 1] КИП с неизвестными компонентами собственных вектор-функций ядер преобразований : (13) где собственные значения соответствующих однородных линейных краевых задач относительно сопряженных и инвариантных компонент вектор-функций ядер КИП ( ). В результате использования алгоритма КИП [22] получаем задачу для трансформанты : , (14) , ; (15) а также две системы дифференциальных уравнений, граничные условия относительно неизвестных компонент преобразований : , (16) , ; , , (17) , ; и : , (18) , ; , , , (19) , ; где , , . Задача для трансформанты (14), (15) и сопряженная однородная задача (16), (17) относительно компонент ядра получены в результате применения вырожденного преобразования (13), а соотношения (18),(19) построены путем применения к полученной (сопряженной) задаче (16),(17) аналогичного (13) КИП с компонентами ядра . Общий интеграл уравнения (14) с учетом начальных условий (15) имеет вид (20) где корни характеристического уравнения: . В уравнении теплопроводности (10) перераспределение тепла в теле при малых значениях коэффициентов происходит за счет учета скоростей изменения его объема и напряженности электрического поля. Это приводит к тому, что связанность термоупругих полей в большей степени оказывает влияние на трансформанту нагрузки и незначительно - на форму функций , [23, 24]. Учитывая данный факт, при решении систем (16), (18) принимаем значения и в результате получаем следующие выражения функций , : , (21) , , , где , , , , , , , , , , , , . В равенствах (21) - обыкновенные функции Бесселя 1-го и 2-го родов нулевого порядка, - неэлементарные функции Ломмеля [29], , постоянные интегрирования. Подстановка , в соответствующие граничные условия (17),(19) формирует две системы алгебраических уравнений, решение которых позволяет определить постоянные интегрирования , и собственные значения Окончательные выражения функций получим, применяя к трансформанте (20) формулы обращения (13). В результате, с учетом (8), имеем: (22) Полученные выражения являются сходящимися в силу полноты систем функций на интервале . Функции определяются при решении следующих дифференциальных уравнений: (23) , . что позволяет существенно упростить правые части расчетных соотношений (10). В результате подстановки выражений в (23) формируются две системы уравнений относительно и . Их решение, при удовлетворении условий (9), позволяет определить функции . 3. Численный анализ результатов. В качестве примера рассматривается радиально поляризованный пьезокерамический цилиндр ( ) состава ПКР-35, который для электроупругих материалов имеет относительно большой коэффициент линейного температурного расширения ( ) [30]. В расчетах использовались следующие физические характеристики материала [30, 31, 32]: H/м2, Ф/м, Дж/(м3 К), Kл/(м2 К), Кл/м2, H/(м2 К), Вт/(м K), 5.6 Вт/(м2 K), с. Рассматривается случай действия на внутренней поверхности ( ) температурной нагрузки в виде (24) где единичная функция Хэвисайда ( при , при ), , максимальное значение внешнего температурного воздействия и соответствующее ему время в размерной форме ( , ), . На рис. 1 представлены графики изменения функций по радиальной координате в различные моменты времени ( м, с). Цифрами 1-3 соответственно обозначены результаты, полученные при значениях . Анализ представленных графиков позволяет сделать следующие выводы: 1. При достижении температурной нагрузки максимальных значений (рис. 1, а, кривая 1) температурное поле изменяется в области, близкой с лицевой нагреваемой поверхности ( ). В дальнейшем температурное поле цилиндра растет (рис. 1, а, кривая 2), и полный прогрев пьезокерамической конструкции наблюдается при (рис. 1, а, кривая 3). 2. Наибольшие значения индуцируемого электрического поля наблюдаются при достижении температурной нагрузки максимальных значений (рис. 1, б, кривая 1). Далее, при постоянном значении температурной нагрузки происходит уменьшение численных значений (рис. 1, б, кривые 2, 3). а б Рис. 1. Графики изменения функций по радиальной координате в различные моменты времени: а - ; б - (1 - ; 2 - ; 3 - , ) Fig. 1. Graphs of changes in functions along radial coordinate at different moments: а - ; б - (1 - ; 2 - ; 3 - , ) На рис. 2 показаны графики изменения перемещений во времени в случае достижения нагрузки максимальных значений за период время (с) ( ). Сплошной и пунктирной линией соответственно обозначены результаты, полученные при использовании гиперболической и параболической теорий теплопроводности. Результаты расчета показывают, что при исследовании пьезокерамических радиально поляризованных цилиндров уточненную теорию Лоренца - Шульмана необходимо использовать при очень быстром изменении температурной нагрузки ( c). Это приводит увеличению перемещений до . Рис. 2. Графики изменения функции по времени Fig. 2. Graphs of function change by time При этом необходимо дать оценку влияния сил инерции упругой системы на напряженно-деформированное состояние рассматриваемой конструкции при высокоскоростном температурном воздействии. Численные результаты расчета задачи электроупругости для длинного цилиндра [33] позволяют сделать вывод, что при гармоническом воздействии силы инерции необходимо учитывать при следующем соотношении частоты вынужденных колебаний и первой частоты собственных колебаний : . Принимая и учитывая численные результаты расчета, приведенные в работе [33], получаем, что при данные характеристики оказывают влияние на деформированное состояние электроупругой системы. Таким образом, построенный алгоритм расчета, позволяющий учесть инерцию теплового потока, справедлив при (с). На рис. 3, 4 представлены графики изменения температуры по радиальной координате и разности потенциалов во времени . Сплошной и пунктирной линиями соответственно обозначены результаты, полученные с учетом и без учета скорости изменение объема электроупругого тела ( ). В настоящем примере при вычислении температурного поля и разности потенциалов наибольший эффект связанности наблюдается соответственно при и . В дальнейшем данный эффект снижается. Заключение. Полученные численные результаты позволяют сделать вывод, что при исследовании работы электроупругого цилиндра, выполненного из пьезокерамического материала с коэффициентом линейного температурного расширения , необходимо учитывать связанность температурных и упругих полей. При этом вследствие различных скоростей распространения электромагнитных и термоупругих полей можно не принимать во внимание влияние скорости изменения напряженности на температурное поле. Рис. 3. Графики изменения по радиальной координате в различные моменты времени (1 - ; 2 - ) Fig. 3. Graphs of change along radial coordinate at different moments (1 - , 2 - ) Рис. 4. Графики изменения разности потенциалов во времени Fig. 4. Graphs of difference in potentials within time Построенный алгоритм решения позволяет также учесть передачу тепла в виде теплового излучения. В этом случае нелинейное граничное условие теплопроводности 3-го рода удовлетворяется путем организации итерационного процесса.

About the authors

D. A Shlyakhin

Samara State Technical University

M. A Kalmova

Samara State Technical University

References

  1. Козлов В.Л. Оптоэлектронные датчики. - Минск.: Изд-во Белорус. гос. ун-та, 2005. -116 с.
  2. Кульчин Ю.Н. Распределенные волоконно-оптические измерительные системы. - М.: Физматлит, 2001. - 272 с.
  3. Дмитриев С.А., Слепов Н.Н. Волоконно-оптическая техника: современное состояние и новые перспективы: сб. ст. - 3-е изд. - М.: Техносфера, 2010. - 608 с.
  4. Паньков А.А. Математическое моделирование пьезоэлектролюминесцентного эффекта и диагностика распределения давления по длине оптоволоконного датчика// Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2016. - № 4. - С. 259-272.
  5. Паньков А.А. Резонансная диагностика распределения температуры пьезоэлектролюминесцентным оптоволоконным датчиком по решению интегрального уравнения Фредгольма // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2018. - № 2. - С. 72-82.
  6. Ларионов В.А. Резистивный датчик температуры с метрологическим контролем // Датчики и системы. - 2015. - № 9-10. - С. 76-78.
  7. Казарян А.А. Тонкопленочный датчик давления и температуры // Датчики и системы. - 2016. - № 3. - С. 50-56.
  8. Abbas I.A., Youssef H.M. Finite element analysis of two-termoperature generalized magneto-thermoelasticity // Arch Appl Mech. - 2009. - № 79. - P. 917-925.
  9. T. He [et al.] A generalized electromagneto-thermoelastic problem for an infinitely long solid cylinder // European Journal of Mechanics A-Solids. - 2005. - Vol. 24. - P. 349-359.
  10. Youssef H.M. Theory of two-temperature generalized thermoelasticity // IMA J. Appl. Math. - 2006. - Vol. 71(3). - P. 383-390.
  11. Kulikov G.M., Mamontov A.A., Plotnikov S.V. Coupled thermoelectroelastic stress analysis of piezoelectric shells // Composite Structures. - 2015. - Vol. 124. - P. 65-76.
  12. Куликов Г.М., Плотникова С.В. Решение трехмерных задач термоупругости для слоистых оболочек из функциональных материалов // Вестник ТГТУ. - 2015. - Т. 21, № 1. - С. 185-190.
  13. Фирсанов В.В., Нгуен, Ле Хунг. Напряженно-деформированное состояние произвольных оболочек с учетом термоэлектрического воздействия на основе уточненной теории // Тепловые процессы в технике. - 2010. - № 3. - С. 110-117.
  14. Abbas I.A., Zenkour A.M. LS model on electro-magneto-thermoelastic response of an infinite functionally graded cylinder // Composite Structures. - 2013. - Vol. 96. - P. 89-96.
  15. Ватульян А.О., Кирютенко А.Ю., Наседкин А.В. Плоские волны и фундаментальные решения в линейной термоэлектроупругости // ПМТФ. - 1996. - Т. 37, № 5. - С. 135-142.
  16. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Динамическая задача термоэлектроупругости для функционально-градиентного слоя // Вычислительная механика сплошных сред. - 2017. - Т. 10, № 2. - С. 117-126.
  17. Белянкова Т.И., Калинчук В.В. К моделированию преднапряженного термоэлектроупругого полупространства с покрытием // Изв. РАН. МТТ. - 2017. - № 1. - С. 117-135.
  18. Lord H., Shulman Y. A generalized dynamical theory of thermoelasticity // Elasticity. -1967. - P. 299-309.
  19. Коваленко А.Д. Введение в термоупругость. - Киев: Наук. думка, 1965. - 204 с.
  20. Montanaro A. Some theorems of incremental thermoelectroelasticity // Arch. Mech. - 2010. - Vol. 62. - P. 49-72.
  21. Ueda S. Thermally induced fracture of a functionally graded piezoelectric layer/ Journal of Thermal Stresses. - 2004. - Vol. 27(4). - P. 291-309.
  22. Yang J.S., Equations for Small Fields Superposed on Finite Biasing Fields in a Thermoelectroelastic Body // IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectricts, and Frequency Control. - 2003. - Vol. 50/2. - P. 187-192.
  23. Шляхин Д.А., Даулетмуратова Ж.М. Нестационарная осесимметричная задача термоупругости для жесткозакрепленной круглой пластины // Инженерный журнал: наука и инновации. -2018. - Вып. 5(77). DOI.1018698/2308-6033-2018-5
  24. Шляхин Д.А., Даулетмуратова Ж.М. Нестационарная связанная осесимметричная задача термоупругости для жесткозакрепленной круглой пластины // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. -2019. - № 4. - С. 191-200. doi: 10.15593/perm.mech/2019.4.18
  25. Лычев С.А., Манжиров А.В., Юбер С.В. Замкнутые решения краевых задач связанной термоупругости // Изв. РАН. МТТ. - 2010. - № 4. - С. 138-154.
  26. Радаев Ю.Н., Таранова М.В. Волновые числа термоупругих волн в волноводе с теплообменом на боковой стенке // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. - 2011. - № 2(23). - С. 53-61.
  27. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Механика связанных полей в элементах конструкций. - Киев: Наук. думка,1989. - 279 с.
  28. Сеницкий Ю.Э. Биортогональное многокомпонентное конечное интегральное преобразование и его приложение к краевым задачам механики // Известия вузов. Математика. - 1996. - № 8. - С. 71-81.
  29. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Наука,1965. - 703 с.
  30. ГОСТ Р 8.945-2018. Теплофизические характеристики пьезокерамик на основе ниобата лития в диапазоне температур от 300 К до 900 К. - М.: Стандартинформ, 2018. (www.docs.cntd.ru).
  31. Панич А.А. Мараховский М.А., Мотини Д.В. Кристаллические и керамические пьезоэлектрики // Инженерный вестник Дона. - 2011. - № 1 (www.indon.ru).
  32. Бабенков М.Б. Анализ распространения гармонических возмущений в термоупругой среде с релаксацией теплового потока // ПМиТФ. - 2013. - № 2(54). - С. 126-137.
  33. Шляхин Д.А. Динамическая осесимметричная задача прямого пьезоэффекта для анизотропного пьезокерамического радиально поляризованного цилиндра // ПМиТФ. -2010. - № 1(51). - С. 153-161.

Statistics

Views

Abstract - 27

PDF (Russian) - 22

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2021 Shlyakhin D.A., Kalmova M.A.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies