Full Text

Введение Экспериментальные исследования трещиностойкости адгезионных слоев используют в качестве образца двухконсольную балку (ДКБ-образец). Непосредственно из эксперимента получают зависимость внешней нагрузки от перемещения консоли (R-кривая). Обработка результатов строится на модели линейно-упругого тела и уравнениях Ирвина [1]. При этом исследуется участок устойчивого продвижения трещиноподобного дефекта в адгезионном слое. Трещиноподобный дефект в адгезионном слое моделируется слоем нулевой толщины. В качестве механических характеристик материала в рассмотрение вводятся предельные значения коэффициентов интенсивности напряжений как в классическом их понимании [1-3], так и с учетом выраженных пластических свойств [4-7]. Данные характеристики являются следствием сингулярного распределения поля напряжений в вершине трещиноподобного дефекта. Широкое распространение получили когезионные модели [8-16], для которых используется задание закона распределения сил сцепления априори. Достижение предельных значений когезионных сил рассматривается в виде характеристики материала, которая в свою очередь зависит от выбранного закона распределения сил сцепления. Наряду с классической моделью трещины в виде математического разреза имеют место представления трещиноподобного дефекта в виде разреза с характерной толщиной [17-24]. В данном случае в состояние разрушения вовлекается материальный объем слоя взаимодействия [22-24], лежащего на продолжении физического разреза с линейным параметром . При этом механические свойства слоя взаимодействия соответствуют материалу, где трещиноподобный дефект будет формироваться. Если рассматривается зарождение трещины в адгезионном слое, соединяющем тела, толщины которых существенно превосходят толщину адгезионного слоя, то при моделировании процесса зарождения трещины адгезионный слой может быть заменен слоем взаимодействия с механическими характеристиками адгезива и толщиной . При напряженное состояние в концевой области трещины будет стремиться к бесконечности, однако в отличие от математического разреза будет зависеть от механических свойств слоя взаимодействия. Для описания напряженно-деформированного состояния предлагается ввести в рассмотрение локальные напряжения (ЛН) и локальные деформации (ЛД), которые при относительно малых толщинах слоя взаимодействия становятся независимыми от толщины. Из анализа экспериментальных R-кривых ряда адгезивов [25] получены характеристики напряженного состояния зоны предразрушения в виде энергетического произведения (ЭП) [23] и локальных напряжений. При различии в модулях упругости и примерном равенстве коэффициентов Пуассона ЛН принимают практически равные значения, однако ЭП в этом случае имеют существенное различие. Для смолы Sikaforce 7752 значение ЭП совпало с экспериментальными данными по нахождению критического потока энергии при инициализации трещины [26]. 1. Постановка задачи На рис. 1 показан слоистый композит длиной , состоящий из трех тел. Пластины 1 и 2 с одинаковыми толщинами и механическими свойствами по длине связаны слоем взаимодействия 3 толщиной . Правый торец образца жестко закреплен от перемещений, на левых торцах консолей действует антисимметричная нагрузка в виде изгибающего момента М. Вся остальная поверхность образца свободна от внешней нагрузки. Полагаем материалы консолей и слоя упругими. Композит рассматриваем в состоянии плоской деформации. Для описания взаимодействия слоя 3 с телами 1 и 2 применим концепцию «слоя взаимодействия». В этом случае равновесие тел 1 и 2 согласно работе [23] запишем в вариационной форме для тела 1: (1) и тела 2: (2) где , - площади тел 1 и 2; , - тензоры напряжений и деформаций; , - тензоры средних напряжений и деформаций слоя с соответствующими компонентами: ; ; ; (3) ; ; , (4) где , - соответственно компоненты векторов перемещений верхней и нижней границ слоя; ; , - граница приложения внешней нагрузки для тела 1 и 2; - двойное скалярное умножение; - скалярное умножение. 2 1 3 0 x2 x1 Рис. 1. Модель ДКБ-образца Fig. 1. DCB model Постулируется жесткое сцепление между границами области 3 и областями 1, 2: (5) наряду с равенством компонент векторов напряжений границ слоя и сопрягаемых им пластин. В силу симметрии задачи проекции поля перемещений удовлетворяют условиям , . Для материала слоя взаимодействия 3 определяющие соотношения считаем справедливыми для средних компонент тензоров напряжений и деформаций. При упругом деформировании слоя связь средних напряжений и деформаций определяется законом Гука: . (6) Таким образом, достаточно ограничиться рассмотрением тела 1. В этом случае из (4) и (6) и разрешающая система уравнений (1), (2) преобразуется в вариационное уравнение (7) Рассмотрим определяющие соотношения консоли в форме закона Гука: (8) где , - модуль упругости и коэффициент Пуассона; - объемная деформация; - символ Кронекера; . Для упрощения задачи принимаем, что поле перемещений в теле 1 определено следующим образом с учетом условия (5): ; (9) . (10) Входящие в представление (9), (10) параметр имеет геометрический смысл малого угла поворота материальной нормали к плоскости в теле 1. Согласно распределению (9), (10) деформации будут определяться в виде ; (11) ; (12) . (13) Выражения (11), (12), как теория Тимошенко [27] и работы [28-30], учитывают сдвиговые деформации и повороты нормалей в теле. Рассмотрим работу внутренних напряжений для тела 1 с учетом заданных полей деформаций (11)-(13): (14) Введем в рассмотрение обобщенные силы ; (15) (16) и обобщенный момент . (17) Интегрируем по частям ряд слагаемых в (14) с учетом (15)-(17) и третье слагаемое в левой части (7): ; (18) ; (19) ; (20) ; (21) . (22) Рассмотрим правую часть (7): . (23) Подставив (14), (18)-(23) в (7) и приравняв слагаемые при равных вариациях, приходим к двум системам дифференциальных уравнений для участка , , ; (24) для участка , , (25) с условиями сопряжения ; (26) ; (27) ; (28) ; (29) ; (30) (31) и естественными граничными условиями ; (32) ; (33) , (34) а на правом торце рассматриваем граничные условия ; (35) ; (36) . (37) С учетом (11)-(13) и условия плоской деформации ( ), определяющие соотношения (8), запишем в виде ; (38) , (39) где , . Из (6) и (3) получим связь напряженного состояния в слое взаимодействия и его граничным перемещением на участке : ; (40) ; (41) , (42) где ; ; ; . Запишем выражения обобщенных сил: (43) (44) и момента: (45) В результате задача (24), (25) с учетом (40)-(45) и условий сопряжения (26)-(31) становится замкнутой. Граничные условия (32)-(37) дают решение поставленной задачи. 2. Решение задачи Рассмотрим участок . Из системы (24), граничных условий (32)-(34) и условий сопряжения (29)-(31) приходим к следующим условиям на левой границе участка : ; (46) ; (47) . (48) Из (25), (40), (41) для участка получим (49) Решение системы (49) при , дано в работе [31]. Получим решение (49) в предположении . Проинтегрируем второе уравнение системы (49) с учетом третьего: , (50) где . Из первых уравнений системы (49) с учетом (50) получим линейную неоднородную систему дифференциальных уравнений второго порядка: (51) Преобразуем систему (51) к следующему виду: (52) где ; ; ; . Рассмотрим однородную систему (53) Характеристическое уравнение однородной системы (53) имеет вид . (54) Корни биквадратного уравнения имеют вид , , где - дискриминант. На рис. 2 показана зависимость значения дискриминанта от десятичного логарифма отношения толщины слоя к высоте консоли . Расчет проводился при м, модуль упругости материала адгезива соответствовал характеристикам эпоксидной смолы: Па. Для консоли модуль упругости материала соответствовал стали: Па. График 1 построен для ; график 2 - для . Рис. 2. Зависимость дискриминанта от относительной толщины слоя Fig. 2. Dependence of the discriminant on the relative layer thickness Из рисунка видно, что для относительно малых значений толщины слоя значение дискриминанта положительно. В рамках данной работы будем рассматривать только такой диапазон относительных толщин. На рис. 3 показана зависимость значения от десятичного логарифма отношения толщины слоя к высоте консоли для допустимого диапазона толщин при различных модулях упругости слоя и сопрягаемого им материалов. Графики 1 и 2 на рис. 3 соответствуют расчётным значениям характеристик композита, рассмотренных выше. Из рисунка видна асимптотическая сходимость при к положительному значению. Рис. 3. Зависимость значения от относительной толщины слоя Fig. 3. Dependence of the value on the relative layer thickness Следовательно, в рассматриваемом диапазоне толщин слоя уравнение (54) имеет четыре вещественных корня: ; ; ; . Введем обозначения , , тогда , , и запишем общее решение (49) на участке : (55) где ; . В решении (55) имеем 6 постоянных интегрирования. Условия (35)-(37), (46)-(48) определяют систему линейных уравнений для их нахождения. На рис. 4 показано распределение напряжений в слое для м, м, м, м при следующих механических характеристиках композита: Па, Па, Напряжения отнесены к напряжению отрыва в вершине слоя, получаемому для длины консоли м, . Кривые 1 и 3 соответствуют напряжениям , кривые 2 и 4 - напряжениям . Кривые 1 и 2 построены для м, а 3 и 4 - для м. Из рис. 4 видно, что увеличение длины консоли слабо влияет на распределение напряжений в слое. Однако для достаточно больших длин слоя система становится жесткой, ее определитель стремится к нулю. Данный факт является следствием того, что элементы строк, отвечающие в матрице за условия (37) и (48), становятся близкими при больших значениях . Рассмотрим случай . Из граничных условий (36)-(38) в решении (55) получим . (56) Из (46), (47) приходим к двум линейным уравнениям, решение которых приводит к следующему результату: ; . (57) Рис. 4. Распределение напряжений в слое в зависимости от относительной длины консоли Fig. 4. Distribution of stresses in the layer depending on the relative length of the console Напряженное состояние слоя, рассчитанное для м, и решение с постоянными (56), (57) практически совпали. На рис. 5 показано распределение напряжений в слое для м, м, при рассматриваемых механических характеристиках композита. Напряжения отнесены к напряжению отрыва в вершине слоя. Кривая 1 соответствует напряжению , кривая 2 - напряжению , а кривая 3 - напряжению . В этом случае в слое реализуется равенство двух главных напряжений . На рис. 6 показано распределение напряжений слоя при различных значениях коэффициента Пуассона, - значение напряжения отрыва в вершине слоя при Остальные геометрические и механические характеристики считались заданными выше. Кривая 1 соответствует напряжению , кривая 2 - напряжению , а кривая 3 - напряжению для Кривая 4 соответствует напряжению , кривая 5 - напряжению , а кривая 6 - напряжению для Рис. 5. Трехосное напряженное состояние в слое Fig. 5. Triaxial stress state in the layer Рис. 6. Напряженное состояние слоя при различных значениях коэффициента Пуассона Fig. 6. Stress state of the layer at different values of Poisson's ratio Из рис. 6 видно, что значение коэффициента Пуассона адгезива играет существенную роль в напряженном состоянии слоя. При значениях коэффициента Пуассона, близких к 0,5, в слое будет реализовываться гидростатическое растяжение, что даже при наличии упругопластических свойств адгезива не приведет к его пластическим деформациям при нагружении по моде I. Верификация упрощенных решений строится на решении общей постановки задачи. В этом случае, как правило, используются численные методы решения. Для решения вариационных постановок задач широкое распространение получил метод конечных элементов в различных модификациях [32-34]. Рассмотрим решение двумерной задачи на основе вариационной постановки (7) с определяющими соотношениями (6), (8). Решение строилось на основе квадратичного распределения поля перемещений на конечном элементе, приводящего к взаимосвязи между глобальными узловыми силами и узловыми перемещениями в конечно-элементном континууме. Грань элемента соответствовала толщине слоя. Обобщенный момент задавался парой узловых сил, действующих на расстоянии h, приложенных к левому торцу консоли. На рис. 7 и 8 показано сравнение напряжений в слое, рассчитанных на основе решения (55)-(57), и прямого конечно-элементного решения при следующих длинах участков: м, м, при единичном обобщенном моменте, задаваемом парой узловых сил на левом торце консоли. Характеристики композита брались следующими: Па, Па, , , м, м. Напряжения отнесены к напряжению , полученному в решении (56)-(58). На рис. 7 кривая 4 соответствует напряжению , кривые 5 и 6 - напряжениям , при конечно-элементном решении. Кривая 1 соответствует напряжению , а кривые 2 и 3 - напряжениям , при аналитическом решении (55)-(57). Расчет был выполнен для коэффициента Пуассона На рис. 8 представлен аналогичный расчет для Рис. 7. Сравнение расчетов МКЭ и аналитического решения при значении коэффициента Пуассона Fig. 7. Comparison of FEM calculations and analytical solutions at the value of Poisson's ratio Из графиков на рис. 7 и рис. 8 видно, что упрощенное аналитическое решение (55)-(57) в слое близко к конечно-элементному решению общей вариационной постановки. Максимальное отличие значений напряжений в вершине слоя составляет порядка 10 %. Кроме того, в упрощенном решении имеет место менее выраженное падение напряжений и большее обжатие слоя. Данные отличия являются следствием гипотезы (14) для поля перемещений в консоли. Рис. 8. Сравнение расчетов МКЭ и аналитического решения при значении коэффициента Пуассона Fig. 8. Comparison of FEM calculations and analytical solutions at the value of Poisson's ratio 3. Определение энергетического произведения и его свойства При дальнейшем изложении для анализа критических состояний в вершине тонких адгезионных слоев будем использовать аналитическое решение (55)-(57), поскольку расчет методом конечных элементов требует значительно больших вычислительных ресурсов для образцов при соответствии размера грани конечного элемента толщине слоя. Рассмотрим механические и прочностные характеристики ряда адгезионных слоев, приведенные в работе [25]. Araldite AV138: Па, , Н/м; Araldite 2015: Па, , Н/м; Sikaforce 7752: Па, , Н/м, где - критический поток энергии. Проведенный анализ напряженного состояния в адгезивном слое показывает, что компоненты напряжений стремятся к бесконечности при стремлении толщины слоя к нулю. Поэтому необходимо ввести характеристики напряженно-деформированного состояния, регулярные относительно изменения толщины СВ. В работе [23] в качестве такой характеристики используется энергетическое произведение (ЭП) в вершине адгезионного слоя. На рис. 9 показана зависимость ЭП в адгезионном слое от десятичного логарифма отношения толщины слоя к высоте консоли h при рассматриваемых характеристиках консоли: Па, , м. Толщина слоя варьировалась от м до м. График 1 построен для адгезива Araldite AV138, график 2 - для адгезива Araldite 2015, график 3 - для адгезива Sikaforce 7752. Безразмерное ЭП на рис. 9 определено в виде отношения ЭП адгезива к ЭП адгезива Araldite AV138, полученного при м. Рис. 9. Зависимость ЭП от толщины слоя Fig. 9. Dependence of the EP on the layer thickness На рис. 9 видно, что при уменьшении относительной толщины адгезионного слоя значение ЭП не зависит от упругих механических свойств материала слоя. Приведенные на рис. 9 зависимости получены при постоянном единичном значении внешнего момента. Однако, если подсчитывать критические значения ЭП - по предельным экспериментальным значениям линейной составляющей момента - , то будем получать различные значения для различных адгезивов. Для определения критического значения ЭП используем R-кривые (рис. 10), полученные из экспериментов на ДКБ-образцах, приведенные в работе [25]. Рис. 10. R-кривые: a - Araldite AV138; б - Araldite 2015; в - Sikaforce 7752 Fig. 10. R-curves: (a) Araldite AV138; (b) Araldite 2015; (c) Sikaforce 7752 По максимальному значению внешней нагрузки определим величину при зарождении трещины в соответствующем адгезиве. В этом случае изгибающий момент консоли оценим следующим образом: , где - максимальное значение силы Р на R-кривой для ДКБ-образца; - расстояние от точки приложения силы до адгезива; b - толщина образца. Расчетное значение определяет поток упругой энергии , перешедшей в поверхностную энергию, соответствующую инициированию трещины в адгезиве. Согласно работе [25] для ДКБ-образца с м, м, м экспериментальные значения составили кН для смолы Araldite AV138, кН для смолы Araldite 2015, кН для смолы Sikaforce 7752. Расчетные данные ЭП в данном случае составили: Н/м для Araldite AV138; Н/м для Araldite 2015; Н/м для Sikaforce 7752. Зарождающийся трещиноподобный дефект, согласно вычислительной сходимости рис. 9, определялся относительным размером . В работе [26] приведены значения для инициализации трещины в адгезиве Sikaforce 7752, соответствующие различным методам расчета. Так, среднее значение для CCM-метода составило Н/м, для метода CBT Н/м, для метода CBBM Н/м. Таким образом, значение практически совпало с данными работы [26] для смолы Sikaforce 7752. 4. Локальные напряжения и деформации Наряду с ЭП в качестве регулярных характеристик будем использовать тензор локальных напряжений и тензор локальных деформаций По определению ЭП получим На рис. 11 показана зависимость локальных напряжений при единичной внешней нагрузке слоя от десятичного логарифма отношения толщины слоя к высоте консоли h для упругих свойств рассматриваемых адгезивов. Графики 1 и 2 построены для локальных напряжений и адгезива Araldite AV138, графики 3 и 4 - для напряжений и адгезива Araldite 2015, график 5 и 6 - для напряжений и адгезива Sikaforce 7752. На рисунке видно, что для относительно малых толщин локальные напряжения не зависят от толщины. Для адгезивов с различными упругими характеристиками значения локальных напряжений в точке зарождения дефекта существенно отличаются, когда внешняя нагрузка одинакова. При этом, согласно рис. 9, ЭП не зависит от упругих свойств адгезива. В то же время, зная критическое значение ЭП для данного адгезива, можно определить соответствующее значение внешней нагрузки. Рис. 11. Зависимость локальных напряжений от толщины слоя Fig. 11. Dependence of local stresses on the layer thickness Приведем расчетные данные для локальных напряжений в момент трещинообразования: , , Н/м для Araldite AV138; , , Н/м для Araldite 2015; , , Н/м для Sikaforce 7752. Зарождающийся трещиноподобный дефект определялся относительным размером . Результаты расчета показывают, что локальные напряжения в направлении отрыва в момент зарождения трещины принимают близкие значения при различных значениях критического ЭП. Приведем значения локальных деформаций в момент трещинообразования: , для Araldite AV138; , для Araldite 2015; , для Sikaforce 7752. В момент трещинообразования деформация для рассматриваемых адгезивов остается неизменной, однако деформация для адгезивов с большей предельной деформацией принимает большее значение. Заключение Напряженно-деформированное состояние в слое взаимодействия адгезива описывается локальными напряжениями, деформациями и ЭП, которые не являются сингулярными и зависимыми от толщины слоя взаимодействия. Для фиксированной внешней нагрузки показана сходимость ЭП при уменьшении относительной толщины слоя взаимодействия к величине, которая не зависит от свойств адгезива. Предложена методика определения критического значения ЭП, соответствующего инициированию трещины в адгезиве, на основе использования максимальной внешней нагрузки из экспериментальных R-кривых. При критической нагрузке инициирования трещины локальная деформация в направлении отрыва существенно (на несколько порядков) превышает локальную деформацию в ортогональном направлении. При этом локальные напряжения и деформации отрыва вносят основной вклад в формирование ЭП.

About the authors

V. E Bogacheva

Tula State University

V. V Glagolev

Tula State University

L. V Glagolev

KBP named after academician A. Shipunov

A. A Markin

Tula State University

References

Statistics

Views

Abstract - 330

PDF (Russian) - 203