Full Text

При измельчении материалов наибольшее применение получили механические способы воздействия, отличающиеся относительной простотой осуществления [1-6]. В идеале правильная организация процесса измельчения и работы измельчителей должна основываться на точных взаимосвязях между характеристиками измельчаемого материала и энергетическими параметрами, характеризующими работу измельчителей, при максимальном их согласовании еще на стадии проектирования. На сегодняшний день процессы измельчения широко распространены во многих сферах производства (строительной, горнодобывающей, пищевой, химической и т.д.). Например, в горнодобывающей отрасли продукты измельчения используются для обогащения полезных ископаемых, в строительстве - для получения однородных смесей, в химической - для ускорения протекания химических процессов и т.д. Анализ исследований показывает, что за последнее время именно обобщенному теоретическому описанию процессов дробления не уделялось достаточно внимания и работ, посвященных непосредственно изучению механизма измельчения материала при дроблении, а особенно его теоретическому описанию, не так уж много, как и исследователей, занимающихся этим вопросом. При этом в доступных для изучения теоретических исследованиях имеется сильный уклон в сторону теоретического описания процессов разрушения материалов только в привязке к предлагаемым авторами исследований усовершенствованиям в конструкции или улучшениям отдельных технических параметров измельчительных машин, как правило, путем некоторой переработки существующих теорий и гипотез измельчения. В то же время общие вопросы теоретического математического описания процессов разрушения материалов, разработки новых теорий (гипотез) измельчения или существенной модернизации существующих с целью большего приближения их к реальности остаются за пределами внимания исследователей, возможно, по причине существенной сложности такой работы. Таким образом, исходя из анализа литературных источников можно предположить, что в теоретических исследованиях процессов измельчения материалов, касающихся разработки новых научных принципов их теоретического описания, образовался определенный застой (или пробел). При этом анализ результатов исследований, так или иначе касающихся вопросов теоретического описания процессов измельчения, показывает, что в таких работах зачастую игнорируются обобщенные теоретические подходы. Так, например, в качестве нового подхода предлагается параметры дробления, в частности мощность, определять по большей части на основе экспериментов [7-9], например, методом последовательного учета переменных, т.е. достаточно приблизительно, поэтому полученные новые формулы носят эмпирический и полуэмпирический характер и сильно зависят от типа дробилки и даже от конкретной модели, на которой они были получены. Либо, как уже отмечалось, методики носят узкоспециализированный характер и привязаны к предлагаемым авторами исследований новым способам организации измельчения [10-13]. Либо авторы определяют напряжения и объем разрушаемого материала, а значит, работу и мощность по приближенным формулам [14-16], например через относительные деформации материала [14, 15], что не отражает реального процесса разрушения и дает, соответственно, весьма далекие от реальности результаты. По поводу последнего заметим, что такой подход к теоретическому описанию в свое время проверялся авторами путем получения подобных зависимостей и последующего расчета по полученным формулам. Результаты расчета были весьма и весьма далеки от реальности, поэтому авторами такой подход был отвергнут и в результате дальнейших исследований предложена модель, которая и представлена в данной работе и результаты расчета по которой существенно более близки к реальности. Кроме того, для определения параметров механических процессов достаточно широко применяется также и метод конечных элементов [17, 18]. Однако результаты расчетов, полученные с помощью компьютерного моделирования, не позволяют всецело учесть физико-механические особенности процесса измельчения. Важным параметром любых машин для механического измельчения материалов является количество энергии, которое машина затрачивает на измельчение материала от исходного до конечного размера, характеризуемое работой и мощностью на измельчение. Между механизмом измельчения и затрачиваемой энергией существует взаимосвязь [19-26]. В общем, реальная зависимость между расходом энергии, т.е. работой и мощностью измельчения и размером, формой, взаимным расположением кусков материала, его прочностью, хрупкостью, однородностью и рядом других физико-механических свойств и факторов, довольно сложная и в настоящее время не поддается точному аналитическому описанию [15, 18, 19, 22, 24, 26]. Поэтому на практике для нахождения работы измельчения применяют упрощенные зависимости, основанные на положениях и формулах механики упругодеформируемого твердого тела, которые в целом удовлетворительно описывают процессы измельчения с точки зрения качества. Так, например, для определения работы измельчения при дроблении в подавляющем большинстве случаев применяют теорию или гипотезу Кирпичева-Кика [14, 15, 18, 23], согласно которой работа, необходимая для измельчения, прямо пропорциональна объему измельчаемого материала. При этом возникает необходимость в определении объема разрушаемого материала. В настоящее время в силу практической сложности осуществления этого процесса определение объема разрушаемого материала производится весьма приближенно. Например, объем разрушаемого материала может определяться как разность объемов кусков исходного материала и кусков готового продукта, причем с существенными допущениями [14, 15, 18]. В этом случае результат определения работы и мощности дробления также оказывается очень приблизительным, а часто весьма далек от реальности и в последующем требует существенного практического уточнения, чтобы получить удовлетворительную количественную оценку энергоемкости процесса дробления. Еще сложнее обстоит дело с определением затрат энергии и мощности на дробление материалов в новых дробильных машинах, рабочие органы которых отличаются от традиционных по форме или конструкции. Поэтому в первом приближении для более точной количественной оценки энергоемкости процесса дробления возникает необходимость в разработке такой уточненной, но при этом достаточно общей методики определения объема разрушаемого материала, которая позволит находить этот объем как можно точнее и, по возможности, близко к его реальному значению, а значит, более точно рассчитывать работу и мощность, затрачиваемые на измельчение материала. В работах [27, 28] предлагается рассматривать объем материала ΔV, разрушаемого в дробилке, как сумму объемов кусков материала, поэтапно разрушаемых в камере дробления по мере погружения куска в камеру при его постепенном измельчении от исходного до конечного размера (на рис. 1 эти объемы условно показаны в виде сегмента с параметрами dсi и hi), т.е. , (1) где Vi - объем разрушаемого материала для куска заданного размера, м3 (где i=1; 2; 3; 4; ... n); n - количество кусков материала по высоте камеры дробления; z - количество кусков материала, помещающихся по ширине камеры дробления. Рис. 1. Схема для определения ΔV Fig. 1. The scheme for calculation of ΔV На практике, при проектировании дробильных машин, определив согласно формуле (1) суммарный объем ΔV материала, разрушаемого в дробилке, как сумму объемов Vi, поэтапно разрушаемых последовательными воздействиями рабочего органа, можно затем на основе вышеупомянутой гипотезы Кирпичева-Кика перейти к определению работы и мощности, потребных для измельчения материала от начальной до требуемой крупности, которые часто назначают на основе практического опыта и параметров аналогичных машин. Методика, основанная на таком подходе, позволяет существенно более точно определять объем измельчаемого материала, а значит, более точно спрогнозировать работу и мощность дробления. Для этого необходимо получить адекватные и несложные в плане практического применения расчетно-теоретические зависимости для определения объемов материалов Vi, разрушающихся при взаимодействии с рабочим органом дробильной машины, для каждого положения куска измельчаемого материала по высоте камеры дробления. Некоторые исходные предпосылки к расчетно-теоретическому описанию процесса измельчения в его прикладном аспекте, которые можно применить и для решения данной задачи, были сформулированы авторами в работах [29-32]. Ниже на основе доработанных известных подходов и моделей для новой разработанной авторами валковой дробилки с новой формой валков [33] предложен вариант прикладной механико-математической модели, описывающей разрушение куска материала в процессе дробления между выпукло-вогнутыми поверхностями новых валков, позволяющей расчетно-теоретическим путем определять объем разрушаемого куска материала, что в свою очередь позволяет производить расчет процесса измельчения по параметрам затрачиваемой работы и мощности, осуществлять проектирование или подбор дробильного оборудования. Для получения механико-математической модели разрушения куска материала между выпукло-вогнутыми поверхностями решим конструктивно-нелинейную [34] контактную задачу механики твердого тела [35-37] о статическом взаимодействии деформируемого шара радиусом R, моделирующего измельчаемый материал [38], с абсолютно жесткими цилиндрическими поверхностями выпуклого и вогнутого профилей, моделирующими валки и имеющими одинаковые радиальные размеры Rв=R (рис. 2). Рис. 2. Расчетно-теоретическая схема механической системы «шар-цилиндр» с переменным углом захвата [38] Fig. 2. Calculation and theoretical diagram of the mechanical system "ball-cylinder" with a variable angle of capture [38] В основу моделируемого физико-математического процесса положим следующие предпосылки и допущения: 1) измельчаемый материал с модулем упругости E, коэффициентом Пуассона μ - однородный, сплошной, изотропный и подчиняющийся закону Гука [34, 35, 38], а его прочностные свойства соответствуют хрупкому напряженному состоянию с разными временными сопротивлениями при сжатии μвс и растяжении σвр << σвc [35, 39], что характерно, например, для мрамора, гранита, песчаника и т.п. [39,40]; 2) силы трения PT = const, играющие роль механического фактора, удерживающего вращающимися валками разрушаемый камень от выталкивания, не учитываются (рис. 2); 3) пренебрегаем собственным весом G0 шара по сравнению с усилием дробления P << G0 [38]; 4) при рассмотрении напряженного состояния разрушаемого материала в процессе дробления учитываются только местные (контактные) деформации, что является обоснованием с общепринятой в настоящее время точки зрения, применительно к сферической модели; 5) в отличие от щековых дробилок, где угол захвата α = α0 = const, здесь α - переменная величина, изменяющаяся в пределах [38] (2) 6) теоретически при αmax = 33,40 и коэффициенте трения f [41] камня о сталь, равном примерно 0,3 [38], реактивные контактные равнодействующие (рис. 2) , (3) а в случае α = αmin = 0 силовой параметр P станет максимальным, Pm = max, и такое граничное (неустойчивое) расположение контактирующих тел, изображенное на рис. 3, пойдет в запас мощности привода, необходимой для дробления материала; Рис. 3. Расчетная модель взаимодействия деформируемого шара с поверхностями валков при разрушении камня и адекватные наибольшие контактные давления qm1, qm2 Fig. 3. Computational model of the interaction of a deformable ball with the surfaces of the rolls during the destruction of a stone and adequate maximum contact pressures qm1, qm2 7) общая несущая способность шара при его дроблении зависит от величины равных нормальных напряжений (4) в центре сферического тела (рис. 3 и 4), которые определяются из решения известной классической задачи теории упругости [42, 43] (формула Вебера, 1952 г.) для сосредоточенных сжимающих сил Pm, действующих согласно рис. 3: ; (5) 8) с целью математического интерпретирования предельного состояния шара используем критерий прочности Кулона-Мора (рис. 4) в виде равенства [35, 39, 40] (6) Критерий широко применяется в проектно-технических расчетах для хрупких материалов, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию (σвс >> σвр) (см. предпосылку 1)); Рис. 4. Схематическое моделирование задачи Вебера [42, 43] о напряженном состоянии сферы радиусом R, нагруженной уравновешенной системой сил, приложенных в полюсах Fig. 4. Schematic modeling of the Weber problem [42, 43] about the stress state of a sphere of radius R, loaded by a balanced system of forces applied at the poles 9) потенциальную энергию деформации UK, тождественную механической работе AK, необходимой для крупного и среднего дробления (измельчения), аппроксимируем экспериментально подтвержденной и проверенной на практике формулой (объемной гипотезой) Кирпичева-Кика [38] , (7) где V - объем разрушенного вещества, м3. Подставляя напряжения σвс, σвр в соответствии с решением (5) в условие несущей способности (6), получаем аналитическую зависимость между экстремальной силой дробления Pm = max и радиусом R шаровой модели: (8) На рис. 5 изображен график параболической функции (8), построенной по численным данным табл. 1 для высокопрочного гранита [39, 40, 44] при σвр = 0,3 ∙ 9,81 = = 2,943 МПа (Н/мм2), σвс = 26 ∙ 9,81 = 255 МПа(Н/мм2), когда (8') Таблица 1 Результаты расчета Pm по формуле (8') в пределах 0 << R << 70 мм Table 1 Pm calculation results by formula (8') within 0 << R << 70 mm R, мм 0 10 20 30 40 50 60 70 Pm ∙ 10-3, Н 0 1,3015 5,206 11,714 20,325 32,538 46,856 63,776 Рис. 5. Графическая иллюстрация функциональной зависимости (8) в численном виде (8') Fig. 5. Graphic illustration of the functional dependence (8) in the numerical form (8') Основой последующего математического моделирования являются фундаментальные соотношения Герца-Штаермана [36, 37], описывающие контакт упругодеформируемой сферы радиусом R с абсолютно жестким цилиндром (рис. 6, а), а также взаимодействие физически линейного шара и твердого тела в виде цилиндрического желоба (рис. 6, б). Соответствующие расчетные формулы [46], адаптированные к тематике данной теоретической работы, включают: · полные эллиптические интегралы K(ξ), L(ξ) [47] соответственно 1-го и 2-го рода в форме Лежандра, а также D(ξ) [46, 47]: (9) ; (10) а б Рис. 6. Частные случаи осесимметричных контактных задач теории упругости [36, 37, 45, 46] при первоначальном соприкосновении тел в точке Fig. 6. Particular cases of axisymmetric contact problems of the theory of elasticity [36, 37, 45, 46] at the initial contact of bodies at a point · модуль или эксцентриситет ξ контурных эллипсов областей контакта (0 ≤ ξ < 1), определенный из трансцендентного уравнения [46] , (11) где i = 1 - для схемы рис. 6, а; i = 2 - для схемы рис. 6, б; A1, B1, A2, B2 - геометрические характеристики (Ai ≤ Bi), зависящие от радиусов кривизны Rв, R физико-механических систем, изображенных на рис. 6, а и 6, б [39, 46]: ; (12) ; (13) · равнодействующие P функций реактивных распределенных сил q1, q2 (см. рис. 2 и 6); · экстремальные контактные давления q01, q02 и соответствующие сближения или местные абсолютные деформации (перемещения) U1, U2 в точках O1, O2 (см. рис. 6): ; (14) ; (15) ; (16) (17) где npi, nui - безразмерные параметры-коэффициенты (i = 1, 2) [48], ; (18) (19) для вычисления которых можно воспользоваться специальными таблицами в работах [39] и [46] в зависимости от ξ, Ai, Bi, а значения полных эллиптических интегралов (8) имеются в справочнике [47]; · наибольшие сжимающие напряжения σmax1, σmax2, которые возникают в центре контактных площадок (см. рис. 6), [46] . (20) Что касается решения трансцендентного уравнения (11), то для удобства его практического применения в конкретных контактных задачах в работе [46] приводится необходимый график, который воспроизводится на рис. 7 с помощью значений эллиптических интегралов [47] и цикличных данных [46], задаваясь эксцентриситетом ξ на замкнутом интервале (0 ≤ ξ ≤ 1) (табл. 2) в сочетании с процедурой линейной интерполяции. Рис. 7. Решение уравнения (10) Fig. 7. Solution of Eq. (10) Таблица 2 Количественная информация о функции (10) Table 2 Values of function (10) ξ 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Ai / Bi 1 0,9698 0,8773 0,7154 0,4636 0 Продолжая общее решение задачи, · представляем нелинейные зависимости P = P(U1), P(U2), используя соотношения (14) и (16): ; (21) ; (22) · выводим формулу энергии местной деформации Up измельчаемого материала для произвольной величины силы P в пределах 0 ≤ P ≤ PДМ, принимая во внимание предпосылку 4) и конструктивно-нелинейную особенность выражений (21), (22) [34, 45]: (23) Отсюда с учетом подстановки (21), (22) следует и реализация процедуры интегрирования [47, 48]: (24) Заменяя в (24) перемещения U1 и U2 согласно (14), (16) при P = PДМ (см. рис. 3), будем иметь окончательное аналитическое выражение Uрд = Uрд (Рдм), определяющее работу Ард(Рдм), требуемую для измельчения сферической модели твердого вещества (см. рис. 2) в виде функции Ард = Ард(Рдм), представляемой формулой (25) в зависимости от силы дробления (8). Приравнивая правые части энергетических условий (7) и (25), будем иметь формулу, позволяющую вычислять объем материала V, который образовался в процессе дробления шаровой модели: (26) В качестве характерного примера практического использования теоретических соотношений (8), (12), (13), (25), (26), рассмотрим алгоритм расчета основных параметров Рдм, Ард, V, описывающий измельчение частиц из гранита, имеющего физико-механические константы [18, 19, 23]: σвр = 2,943 МПа (Н/мм2), σвс = 255 МПа(Н/мм2), E = 48060 МПа(Н/мм2), µ = 0,15 и радиусы поверхностей контакта R = 70 мм, Rв = 133 мм (см. рис. 2). 1. Усилие разрушения Рдм определяем в соответствии с (8), табл. 1 и графиком на рис. 6: (27) 2. Безразмерные характеристики A1 / B1, A2 / B2 определяем по формулам (12), (13): ; (28) (29) 3. Коэффициенты nu1, nu2 определяем по справочникам [39] или [46] в зависимости от результатов (28), (29) и с применением линейной интерполяции: (30) Табличная информация (табл. 3) из источников [39, 46] в сокращенном виде охватывает необходимый диапазон 0,454 ≤ Ai / Bi ≤ 0,6816 (i = 1,2), где коэффициенты np1, np2, используемые при вычислении максимальных контактных давлений (14), (16) и сжимающих напряжений (20), имеют следующие значения: (31) Таблица 3 Фрагмент данных (14) [25] при i = 1 и i = 2 Table 3 Fragment of data (14) [25] with i = 1 and i = 2 Ai / Bi ξ2 npi nui 0,6816 0,400 0,9919 0,9919 0,6384 0,450 0,9890 0,9889 0,5942 0,500 0,9853 0,9852 0,5489 0,550 0,9805 0,9804 0,5022 0,600 0,9746 0,9744 0,4540 0,650 0,9669 0,9667 4. Потенциальная энергия Uрд = Aрд, при которой происходит разрушение твердого вещества (в данном случае гранита), определяется равенством (25) с учетом (27) и (30): (32) 5. Объем измельченного материала V определяется по аналитическому соотношению (26) и результату (32): (33) Дополняем алгоритмический процесс (27)-(33) проверочной количественной оценкой промежуточных механико-геометрических характеристик: а) наибольшие по модулю сжимающие напряжения |σmax1|, |σmax2| в точках O1, O2 эллиптических площадок контакта (см. рис. 3 и 6) [36, 37, 45, 46] и местные абсолютные деформации (сближения) UM1, UM2, базирующиеся на цифровой информации (27), (30), (31) и формулах (14)-(17), (20), рассчитываются следующим образом: (34) (35) (36) (37) б) начальный объем V0 [48] и вес G0 куска гранита в форме шаровой модели (см. рис. 2) до измельчения при плотности γM = 2,5 ∙ 10-6 кг/мм3 = 2,5 ∙ 10-6 ∙ 9,81 ≈ ≈ 24,525 ∙ 10-6 Н/мм3 [39] определяется так: (38) (39) На основании расчетов (34)-(39) можно констатировать, что усиление неравенства (34)-(37), (39): · подтверждает физико-математическую корректность использования контактных моделей Герца-Штаермана [36, 37] (см. рис. 6, а, б) для описания процесса измельчения материала; · доказывает правомерность введения допущения (4), которое предполагает не учитывать влияние на напряженно-деформированное состояние шара его собственного веса ; · гарантирует с учетом условий прочности (34) (35) разрушение частицы гранита путем ее раздавливания усилием дробления Преимущества данной модели перед другими в том, что она позволяет более точно определять объем разрушаемого материала, в то время как практически все существующие модели делают это довольно приближенно. Опираясь в своей основе на гипотезу Кирпичева-Кика, существующие модели измельчения предлагают находить объем измельчаемого материала на основании достаточно больших допущений и упрощений, что в итоге дает большое отклонение в сторону завышения или занижения определяемой работы и мощности измельчения. Поэтому разрабатываемая модель решает прежде всего задачу более точной оценки объема измельчаемого материала, а значит, и более точного определения затрачиваемой на измельчение мощности. Именно подход с точки зрения механики твердого тела, который ранее для этих целей не использовался, по нашему мнению, может помочь в решении этой задачи. Данная модель является первым базовым шагом в разработке новой методики нахождения параметров работы дробильных машин, в частности мощности и производительности. Имея модель измельчения одного шарообразного куска материала и возможность определять для него разрушенный объем, можно в дальнейшем по определенному алгоритму, который в данной работе не приводится, так как относится уже непосредственно к конструкции дробильных машин, распространить этот процесс на измельчение всего материала в камере дробления, а значит, более точно определить объем одновременно измельчаемого материала и мощность привода дробилки и ее производительность. Общая адекватность предлагаемой модели с точки зрения качественного описания процесса измельчения обусловлена использованием проверенных практикой положений и теорий механики упругодеформируемого твердого тела. В то же время для проверки количественной адекватности предложенной прикладной модели практическим потребностям проектировщиков дробильного оборудования необходима ее экспериментальная проверка с целью уточнения и, если необходимо, определения возможных корректировочных коэффициентов путем проведения испытаний на действующей модели дробилки. Такая проверка целесообразна, если предложенные подходы и итоговая модель будут признаны приемлемыми и адекватными по результатам данной теоретической работы. Поэтому экспериментальная проверка адекватности предлагаемой модели дробления является задачей дальнейших исследований. Проведенные исследования и их анализ позволяют сделать следующие выводы: 1) решена новая фундаментально-прикладная контактная задача теории упругости о статическом силовом взаимодействии сферической модели измельчаемого твердого вещества с недеформируемыми цилиндрическими поверхностями выпуклого и вогнутого валков (см. рис. 2); 2) сформулированный математический алгоритм доведен до простых конечных формул (8), (12), (13), (25), (26), апробированных численным примером разрушаемого шара из гранита; 3) полученные результаты для одиночного измельчаемого шара (см. рис. 2) возможно модифицировать и обобщить применительно к определению мощности привода и производительности реальной дробилки в зависимости от скорости вращения валков; 4) в последующем полученные результаты (механико-математическую модель) возможно распространить и на процессы измельчения между поверхностями другой формы, характерной для измельчителей традиционной конструкции, например между двумя плоскими поверхностями, между двумя выпуклыми поверхностями и др.

About the authors

G. A Guryanov

D. Serikbayev East Kazakhstan Technical University

B. M Abdeev

D. Serikbayev East Kazakhstan Technical University

S. R Baigereyev

D. Serikbayev East Kazakhstan Technical University

V. A Kim

D. Serikbayev East Kazakhstan Technical University

A. D Suleimenov

D. Serikbayev East Kazakhstan Technical University

References

Statistics

Views

Abstract - 294

PDF (Russian) - 209