Full Text

Введение При исследовании напряженного состояния вблизи особых точек однородных и составных деформируемых тел (вершин клиньев, конусов, трещин, ребер (пересечений образующих поверхностей) и т.п.) обычно рассматривается локальная задача в криволинейной системе координат, полюс которой помещается в особую точку [1-17 и др.]. Асимптотическое решение такой задачи разыскивается в виде разложения по собственным функциям однородных задач с множителями , где r - расстояние до особой точки, а - соответствующее собственное значение. По значениям выносится суждение о характере напряженного состояния вблизи особой точки. В рассматриваемом подходе, во-первых, не принимаются и не могут быть приняты во внимание ограничения, задаваемые непосредственно в особой точке. В полюсе тензорные характеристики (напряжения, деформации, перемещения) не определены, так как здесь отсутствует взаимно-однозначное соответствие между физической точкой тела и ее криволинейными координатами. Во-вторых, особая точка рассматривается как математическая (не имеющая линейных размеров), поскольку допускается, что параметр r может принимать сколь угодно малые значения. Такое представление о точке сплошной среды не соответствует ее постулатам, согласно которым точкой является представительный объем материала тела, имеющий конечный характерный размер. Данное несоответствие приводит к тому, что при построении решения асимптотическим методом в окрестности особой точки используется представление о напряжениях и деформациях в элементарных объемах с характерными размерами, меньшими характерных размеров макроскопических представительных объемов изучаемых тел. Фактически это означает переход на микро-уровень с сохранением физических уравнений макроуровня. Данное обстоятельство ограничивает достоверное применение асимптотических методов областью вне малой окрестности особой точки. Внутри такой окрестности возможность использования асимптотического решения требует дополнительного изучения. Отождествление особой точки с представительным объемом тела дает возможность сформулировать в ней задаваемые ограничения (граничные условия, условия непрерывности параметров состояния на поверхностях соединения, кинематические ограничения и т.п.). При этом оказывается, что необычность особых точек проявляется в том, что количество независимых ограничений в них оказывается большим, чем количество ограничений в обычных точках границы тела, поэтому задачи для тел с особыми точками являются переопределенными. Ограничения на параметры состояния в особых точках представляют собой систему линейных неоднородных алгебраических равенств. Изучение этих равенств позволяет в зависимости от геометрических и материальных параметров элементов конструкции установить возможные варианты постановки задачи механики деформируемого твердого тела, содержащего особую точку, выявить критические сочетания конструктивных параметров и параметров нагрузки. Все это необходимо для построения решения, удовлетворяющего всем ограничениям в особой точке и согласующегося вне малой окрестности с решениями, получающимися классическими методами. В настоящей работе развиваемый авторами подход [18-20] применяется для исследования напряженно-деформированного состояния (НДС) в вершине и ее окрестности составного клина с жестко защемленными образующими. Асимптотическое решение подобной задачи рассматривалось, например, в работах [7-9]. 1. Постановка задачи о формировании ограничений в вершине клина Рассматривается часть конструкции, представляющая собой плоский клин, составленный из двух изотропных линейно-упругих элементов 1, 2, скрепленных между собой (рис. 1). Образующие клина защемлены. Орты и перпендикулярны образующим, а орты , перпендикулярны соответственно направлениям , . Углы , при вершинах, составляющих клин элементов, подчинены условиям . (1) Рис. 1. Составной клин Fig. 1. Compound wedge Вводится ортонормированная декартова система координат с началом в точке А (вершине клина). Ось направляется по касательной к линии соединения составляющих клин элементов во внешнюю, относительно клина, область. Приняты обозначения - компоненты тензоров соответственно напряжений и деформаций в k-м (k = 1,2) составляющем элементе клина. - модуль Юнга, модуль сдвига, коэффициент Пуассона, коэффициент температурной деформации в k-м элементе клина; - относительные удлинения линейных элементов в точке А, направленных по образующим AB и AC; и - изменения в процессе деформирования соответственно углов , ; - приращение температуры. Считается, что составной клин находится в условиях плоской деформации. Согласно принятой концепции в окрестности точки А рассматриваются две особые точки. Это представительный объем тела 1, содержащий точку А, и представительный объем тела 2, содержащий эту же точку. Указанные представительные объемы находятся в однородном НДС и взаимодействуют по линии соединения. Это взаимодействие характеризуется условиями: непрерывности напряжений и деформаций на линии соединения (2) отсутствия относительных удлинений в направлении образующих составного клина (3) отсутствия сдвига между направлениями AB и AC (4) С введением обозначений (5) равенства (2)-(4) для случая, когда и (случай и рассматривается в п. 2) приводятся к системе уравнений (6) При построении равенств (5), (6) использовались физические уравнения линейной термоупругости и формула , (7) определяющая сдвиг в произвольной точке сплошной среды между линейными элементами с направлениями , и углом между ними. Здесь - относительные удлинения в точке сплошной среды в направлении ортов , соответственно; - координаты единичного тензора. Задача состоит в исследовании (в зависимости от материальных и геометрических параметров) существования решений системы уравнений (6) и ее аналогов в случаях определении в каждом решении независимых ограничений на параметры состояния в особой точке. 2. Общее исследование системы уравнений (6) 2.1. , . Данное условие обеспечивает существование третьего из равенств системы уравнений (6). Эта система автономна относительно деформаций , , , . Ее определитель вычисляется по формуле (8) Определитель (8) зависит от пяти безразмерных параметров . Если сочетание этих параметров не обращает в нуль определитель (8), уравнения (6) имеют единственное решение , (9) где (i = 1, 2, 3, 4) - определители матриц, получающихся последовательной заменой столбцов матрицы системы уравнений (6) столбцом свободных членов: (10) Определители (10) одновременно обращаются в нуль в случаях: 1) Q = 0. Это возможно в случае отсутствия температурной нагрузки или при условии зависимости между материальными характеристиками скрепляемых тел, обращающих в нуль коэффициент при (5): . (11) Если определитель (8) в данном случае не равен нулю, все деформации (9) в особых точках обращаются в нуль. С учетом зависимости (5) в особых точках формулируются шесть ограничений на деформации. Если определитель (8) обращается в нуль, уравнения (6) становятся линейно зависимыми. Количество независимых ограничений на компоненты деформации определяется рангом матрицы системы; 2) . Система (6) приводится к трем линейным неоднородным уравнениям относительно четырех компонентов деформации (12) Если коэффициенты Пуассона скрепляемых тел различны ( ), ранг системы (12) равен трем, и компоненты деформации связаны независимыми соотношениями Когда коэффициенты Пуассона скрепляемых тел одинаковы ( ), но вследствие различия коэффициентов линейного расширения ( ), ранг системы уравнений (12) равен двум, а ранг ее расширенной матрицы - трем. Уравнения несовместны. Это означает, что при стремлении к деформации в вершине клина неограниченно возрастают; 3) . Система (6) принимает вид (12), поэтому справедливы результаты, приведенные в п.2). 2.2. Стороны угла представляют собой прямую. При деформировании окрестности точки А прямые переходят в прямые, поэтому сдвиг между образующими развернутого угла равен нулю. Следовательно, условие (4) ( ) при переходит в условие Уравнения (6) принимают вид (13) Определитель матрицы системы уравнений (13) не обращается в нуль, поэтому ранг системы равен четырем, она имеет единственное решение Компоненты деформаций в особых точках подчиняются шести условиям, НДС здесь полностью определено. 2.3. Случай аналогичен предыдущему. Компоненты деформации находятся по формулам 2.4. Из уравнений (6) следуют два ограничения на компоненты деформации в вершине клина Еще два ограничения вытекают из равенств (5). Суммарное количество ограничений равно четырем. 3. Частные случаи соединения элементов Рассматриваются наиболее интересные, по мнению авторов, варианты геометрических параметров вблизи вершины клина: 3.1. (случай рассмотрен в п. 2.2, 2.4) Определитель (8) преобразуется к виду (14) где Если определитель (14) не обращается в нуль, уравнения (6) имеют единственное решение вида (9), в котором определяется равенством (14), а определители вычисляются по формулам (15) Параметры состояния в вершине клина подчинены шести ограничениям, НДС здесь полностью определено. При выполнении накладываемого на материальные и геометрические параметры условия (16) определитель (14) обращается в нуль. Равенство (16) определяет угол скрепления элементов 1, 2, при котором ранг матрицы системы уравнений (6) оказывается меньше четырех. Область существования такого угла в пространстве параметров ( ) с учетом положительности величин V и W определяется неравенством (17) Если , неравенство (17) выполняется независимо от значений . При этом . Возможные случаи поведения решений уравнений (6) в зависимости от приведены в п. 2.1.2. Когда , неравенство (17), определяющее область существования угла , удовлетворяющего условию (16), распадается на две группы неравенств (18) (19) Для некоторых значений g области, ограниченные неравенствами (18), (19) в плоскости представлены на рис. 2. Рис. 2. Области существования решения уравнения (16) оказываются ниже кривой (а) в соответствии с (18) или выше кривой (б) в соответствии с (19) для значений параметра g: 1 - 0,05; 2 - 0,1; 3 - 0,2; 4 - 0,5; 5 - 0,9; 6 - 1,111; 7 - 2; 8 - 5; 9 - 10; 10 - 20 Fig. 2. Regions of existence for equation solution (16) are below the curve (a) in accordance with (18) or above the curve (b) in accordance with (19) for the value of parameter g: 1 - 0,05; 2 - 0,1; 3 - 0,2; 4 - 0,5; 5 - 0,9; 6 - 1,111; 7 - 2; 8 - 5; 9 - 10; 10 - 20 Для каждого сочетания материальных параметров, удовлетворяющего неравенствам (18) или (19), существует два угла и , определяемые равенством (16). При и ранг системы уравнений (6) равен трем. Ее решение существует лишь при условии обращения в нуль всех определителей (15). Это возможно лишь при Q = 0 (см. п. 2.1). В этом случае из уравнений (6) следуют зависимости между деформациями (20) Равенства (20) и (5) в сумме составляют пять независимых ограничений на компоненты деформаций в вершине клина. Когда выполняется условие , ранг расширенной матрицы оказывается больше ранга матрицы системы. Уравнения (6) несовместны. В этом случае углы и следует считать критическими, так как при приближении сочетания материальных параметров к значению, удовлетворяющему (16), компоненты деформации в вершине клина неограниченно возрастают. 3.2. Определитель (8) преобразуется к виду (21) где Когда определитель (21) не обращается в нуль, решение уравнений (6) запишется равенствами (9), в которых определяется равенством (21), а - формулами (22) НДС в особых точках полностью определено. Коэффициент а в равенстве (21) обращается в нуль в двух случаях: когда g = 1 или когда безразмерные параметры задачи связаны соотношением . (23) При a = 0 определитель (21) обращается в нуль при условии . (24) Если g = 1, а параметры удовлетворяют условию , существует решение уравнения (24). При ранг матрицы системы уравнений (6) равен трем. Определители (22) одновременно обращаются в нуль только при Q = 0, поэтому возможны случаи: 1) . Ранг расширенной матрицы оказывается больше, чем ранг системы (6), эти уравнения несовместны. Угол является критическим углом скрепления элементов 1,2; 2) Q = 0. Компоненты деформаций при в особых точках подчиняются ограничениям Когда и коэффициент a обращается в нуль вследствие зависимости (23), уравнение (24) решения относительно не имеет. Когда коэффициент а не обращается в нуль, исследование существования решений уравнения (21), подчиненных условию , (25) проводится в два этапа. Во-первых, в ортогональной системе координат определяются непересекающиеся поверхности, удовлетворяющие условию , (26) определенные на множестве (27) Поверхности (26) упорядочиваются в соответствии с неравенством . Далее изучается существование решения уравнения (согласованного с условием (25)) в точках поверхностей (26) и в точках ( ), находящихся в пространственных областях между плоскостью g = 0 и поверхностью , между смежными поверхностями (26) и выше поверхности . В результате установлено, что в каждой точке множества (27) существует четыре корня: два корня в области между плоскостью g = 0 и поверхностью и два корня выше поверхности . В точках поверхностей и корни совпадают между собой. Для примера все эти корни в случае приведены на рис.3. Рис. 3. Корни уравнения (21) в точке ( ) в зависимости от параметра g: а - в области ; б - в области Fig. 3. Roots of equation (21) at the point ( ) depending on parameter g: а - in the region of ; b - in the region of На поверхности g(0,4; 0,3) = 0,167264 корни совпадают на поверхности g(0,4; 0,3) = 15,9428 корни совпадают . Данный пример показывает, что при фиксированных корни уравнения (21) существуют не при всех значениях параметра g. Если же сочетание материальных параметров попадает в какую-либо из областей существования корней уравнения , то при имеется два угла скрепления элементов или , которые следует считать критическими при температурной нагрузке, так как при таких углах система уравнений (6) оказывается несовместной. Если , ранг системы уравнений (6) равен трем, и между компонентами деформаций в особых точках оказываются справедливыми зависимости 3.3. Определитель (8) записывается равенством (28) где Определитель (28) обращается в нуль при выполнении равенства g = 1 (случай рассмотрен в п. 2.2) или равенства (29) Если ни одно из этих равенств не выполняется, ранг матрицы системы уравнений (6) равен четырем. Она имеет единственное решение вида (9), в котором определяется равенством (28), а определители вычисляются по формулам (30) НДС в особой точке полностью определено. Изучим существование решения системы уравнений (6) при выполнении равенства (29), которое накладывает ограничения на материальные характеристики . (31) Эти ограничения выполняются, если оказывается справедливой какая-либо из двух групп (32), (33) неравенств (32) (33) Для примера области существования значений углов , удовлетворяющих уравнению (29), приведены на рис. 4 (серый цвет) в плоскости при некоторых фиксированных значениях параметра g. В каждой точке области, определяемой неравенствами (32), (33), существуют два угла скрепления и , при которых ранг матрицы уравнений (6) равен трем. Ранг расширенной матрицы зависит от значения Q. Если Q = 0, ранг расширенной матрицы совпадает с рангом матрицы системы. Между компонентами деформации оказываются справедливы зависимости Рис. 4. Области существования решения уравнения (30) для различных значений g: а - g = 0,5; б - g = 3 Fig. 4. Regions of existence for equation solution (30) are for different values of g: а - g = 0,5; б - g = 3 При ранг расширенной матрицы превосходит ранг матрицы системы, уравнения (6) несовместны. Углы и являются критическими, так как особые точки в этом случае являются точками сингулярного поведения параметров состояния. 3.4. Определитель в данном случае принимает вид (28), а - вид (30). Определитель (28) обращается в нуль при g = 1 (случай изучен в п. 2.2), при (случай изучен в п. 2.4) и при выполнении условия (29). В последнем случае вследствие того, что находится в области допустимых значений, вторые неравенства в группах (32), (33) не будут строгими. Вместо них получим соответственно Кроме того, для каждого сочетания материальных параметров ( ) из областей допустимых значений (исключая решение , изученное в п. 2.4) существуют четыре угла , связанные равенствами при которых ранг матрицы системы уравнений (6) равен трем. Эти углы скрепления элементов 1, 2 являются критическими, так как обусловливают сингулярность параметров состояния в особых точках при температурной нагрузке. 4. Пример. Температурное нагружение составного клина с развернутым углом при вершине ( ) Случай описан в п. 3.3. В особой точке (точке А - вершине клина) (рис. 5) все компоненты деформации известны, они вычисляются по формулам (9) и (5). Количество заданных ограничений в особых точках избыточно, поэтому задача не является классической. Материальные параметры имеют значения: , , , . Модуль варьируется, убывает, приближаясь к критическому значению . При уравнение (29) имеет решения . Решение неклассической задачи при нагрузке строилось итерационным конечно-элементным методом, описанным в работе [20]. КЭ-сетка сгущалась к особой точке. Характерный размер 4-угольного 8-узлового КЭ-элемента вблизи нее равнялся 2 мкм. Рис. 5. Составной клин с развернутым углом при вершине, а = 1 см Fig. 5. Wedge with vertex angle, а = 1 cm Решение в окрестности особых точек иллюстрируется на рис.6, где приведены напряжения в окрестности особых точек при различных на линии соединения элементов (рис. 6, а) и на линии заделки BC (рис. 6, б). Рис. 6. Напряжения в окрестности особых точек: а - на линии соединения AD ; 1 - 2 - 3 - б - по защемленному краю CB: 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - Fig. 6. Stresses in the regions of singular points: а - at cross line AD 1 - 2 - 3 - б - along fastened end CB: 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - Выполняются все задаваемые для этих напряжений ограничения. Максимальными напряжения оказываются не в особой точке, а в малой ее окрестности. С приближением сочетания материальных параметров к критическому значению напряжения неограниченно возрастают. Аналогичные результаты справедливы и для напряжений На рис. 7 представлено решение рассматриваемой задачи для перемещений. Рис. 7. Поверхности перемещений: а - б - Fig. 7. Surfaces of dislocations: а - b - Видно, что они удовлетворяют граничным условиям (обращаются в нуль в заделке) и непрерывны на линии соединения составляющих пластинку элементов. В таблице сравниваются с аналитическим решением напряжения в особых точках, вычисленные итерационным методом и методом конечных элементов (ANSYS). Сравнение точного и численных решений в особых точках в элементах 1,2 конструкции ( ) Comparing point and numerical solutions at singular points in elements of 1,2 construction ( ) Напряжения, ГПа Точное решение Итерационное ANSYS-решение Номер элемента 1 2 1 2 1 2 -5,58 -6,84 -5,62 -6,79 -0,0528 -0,0957 -3,11 -3,11 -3,13 -3,09 -0,138 -0,212 0,00 0,00 7,17 -5,92 0,0990 0,146 Напряжения , отвечающие итерационному методу, на семь порядков меньше максимальных напряжений в этих точках, поэтому естественно считать их равными нулю. Из таблицы видно, что итерационное решение задачи с достаточной точностью определяет напряженное состояние в особых точках. Значения всех напряжений непосредственно в особых точках, вычисленные в пакете ANSYS, в разы отличаются от точных значений (см. таблицу). Значительное отклонение ANSYS-решения от точного обусловлено тем, что классический подход не в состоянии построить решение, удовлетворяющее избыточно заданным ограничениям в особых точках. Вне окрестности особых точек радиусом 5-10 характерных размеров макроскопического представительного объема материала ANSYS-решение совпадает с итерационным. Вычисления выполнялись на суперкомпьютере ТЕСЛА-ПГУ научно-образовательного центра параллельных и распределенных вычислений Пермского государственного национального исследовательского университета. Заключение В работе показано, что задачи МДТТ с особыми точками образуют новый класс задач, в которых количество заданных в этих точках условий переопределено и зависит от сочетания материальных и геометрических параметров, рассматриваемых элементов конструкций. Предлагаемый подход к изучению НДС в особых точках и их окрестностях позволяет построить задаваемые ограничения, изучить их, адекватно поставить задачу МДТТ; построить решение, согласованное со всеми задаваемыми ограничениями. Такое решение вне малой окрестности особой точки согласуется с решениями, получаемыми классическими методами. Это обстоятельство дает возможность оценить область вблизи особой точки, вне которой справедливо асимптотическое решение. Характерный размер такой области составляет пять-десять характерных размеров макроскопического представительного объема материала деформируемого тела. Проведенное исследование открывает перспективы для разработки методов исследования класса задач МДТТ с избыточно заданными ограничениями. Полученные результаты могут найти применение в механике композитов, механике разрушения и трещин.

About the authors

V M Pestrenin

Perm State National Research University

Email: PestreninVM@mail.ru

I V Pestrenina

Perm State National Research University

Email: IPestrenina@gmail.com

L V Landik

Perm State National Research University

Email: LidiaLandik@gmail.com

References

Statistics

Views

Abstract - 153

PDF (Russian) - 58