Full Text

Течение пластического материала вблизи поверхностей трения значительно отличается от течения в основном объеме. В частности, это следует из исследований процессов обработки металлов давлением [1-7]. В связи с таким различием в течении материала вблизи поверхностей трения возникает значительный градиент свойств материала, что приводит к формированию тонкого слоя материала вблизи поверхности трения, свойства которого могут оказывать положительное влияние на эксплуатационные характеристики изделий [8-16]. Аналогичные результаты получены при исследовании технологических процессов со снятием стружки [9-13]. В [14] отмечается, что при моделировании процессов резанья использование вблизи поверхностей трения тех же определяющих уравнений, что и в основном объеме материала, недопустимо. Это заключение справедливо и для моделирования процессов обработки материалов давлением. В [17, 18] для предсказания формирования микроструктуры материала в тонком слое вблизи поверхности трения в процессах обработки материалов давлением предложен подход, основанный на коэффициенте интенсивности скорости деформации. Коэффициент интенсивности скорости деформации для модели идеально жесткопластического материала введен в [19]. Этот коэффициент контролирует величину эквивалентной скорости пластической деформации вблизи поверхности максимального трения. Результат, полученный в [19], обобщен на некоторые модели вязкопластических материалов в [20, 21], на модель двойного сдвига в [22] и на модель двойного скольжения и вращения в [23]. Описание модели двойного сдвига, которая используется в настоящей статье, представлено в [13]. Коэффициент интенсивности скорости деформации зависит от параметров краевой задачи и модели материала. Обзор решений для коэффициента интенсивности скорости деформации содержится в [25]. Все эти решения получены для пластически несжимаемых материалов. Целью настоящего исследования является определение влияния пластической сжимаемости на величину коэффициента интенсивности скорости деформации на примере осадки полосы между двумя параллельными плитами в условиях плоскодеформированного состояния. Принимается модель двойного сдвига, учитывающая пластическую сжимаемость материала [26]. Постановка задачи Рассмотрим слой материала, сжимаемый двумя параллельными плитами в условиях плоскодеформированного состояния (рисунок). Материал подчиняется модели двойного сдвига [26]. Текущую толщину слоя обозначим , текущую ширину . Предполагается, что . Скорость движения каждой плиты равна U. Решение строится для мгновенного напряженно-деформированного состояния. Краевая задача имеет горизонтальную и вертикальную оси симметрии. Оси декартовой системы координат совпадают с этими осями симметрии. В связи с этим достаточно рассмотреть первый квадрант. Приближенное решение, построенное ниже, является обобщением решения Прандтля для сжатия слоя идеально жесткопластического материала между параллельными плитами [27]. В частности, краевые условия при и не могут быть удовлетворены точно. В решении Прандтля эти условия удовлетворяются в интегральном смысле. В рассматриваемом случае такой подход также возможен. Однако эти условия не оказывают никакого влияния на окончательный результат исследования и поэтому не включены в постановку краевой задачи. Остальные краевые условия выполняются точно. Рис. Геометрическая схема процесса Fig. Geometry of the process Компоненты тензора напряжения в декартовой системе координат обозначим , и . Одно из краевых условий для напряжений следует из симметрии краевой задачи. В частности, (1) при . Второе краевое условия для напряжений должно быть сформулировано при . Известно, что уравнения для напряжений при применении модели двойного сдвига являются гиперболическими [26]. Примем, что поверхность совпадает с огибающей семейства характеристик. Проекции вектора скорости на оси декартовой системы координат обозначим и . Одно из краевых условий для скоростей следует из симметрии краевой задачи. В частности, (2) при . Второе краевое условие для скоростей следует из закона движения плит: (3) при . Уравнения модели двойного сдвига включают условие пластичности Кулона-Мора и закон пластического течения. В условиях плоскодеформированного состояния эти уравнения, учитывающие пластическую сжимаемость материала, приведены в [26]. Условие пластичности имеет вид (4) Здесь p - линейный инвариант тензора напряжения; - квадратичный инвариант тензора напряжения; - угол внутреннего трения и k - коэффициент сцепления. Отметим, что в [26] предполагается, что . Общий вид условия пластичности Кулона-Мора используется в [13]. Пусть - угол между осью x и максимальным главным напряжением, отсчитываемый от оси против хода часовой стрелки. Тогда компоненты тензора напряжения выражаются как (5) Направление течения материала в первом квадранте (см. рисунок) показывает, что . В этом случае из (5) следует, что (6) Уравнения закона пластического течения имеют вид (7) Здесь обозначает полную производную по времени, а величина характеризует пластическую сжимаемость материала. Пластически несжимаемый материал получается при . В общем случае величина определяется историей деформирования. Однако в публикуемой работе, следуя [26], предполагается, что - постоянная величина. При и уравнения (7) сводятся к уравнениям ассоциированного закона течения. Уравнения (4), (5) и (7) дополняются уравнениями равновесия в форме (8) Система уравнений (4), (5) и (8) является гиперболической. Уравнения характеристик этой системы имеют вид [13, 26] (9) Таким образом, огибающая характеристик совпадает с поверхностью , если или при . Принимая во внимание (6), краевое условие для напряжений на поверхности плиты записываем в форме (10) при , где . Общее решение По аналогии с решениями аналогичных краевых задач [26-30] полагаем, что и не зависят от . Величина p исключается с помощью (4). В частности, (11) Тогда уравнения (5) принимают вид (12) Подставляя (12) в (8) и учитывая, что не зависит от , найдем (13) Исключим в этих уравнениях производную . В результате получим (14) Так как не зависит от х, то общее решение этого уравнения имеет вид (15) Здесь - произвольная функция своего аргумента. Подставим (15) в первое уравнение системы (13). В результате получим (16) Это уравнение может быть представлено в форме (17) Левая сторона этого уравнения является функцией z, а правая - функцией y. Поэтому уравнение (17) может иметь решение, только если (18) где C - постоянная величина. Общее решение уравнения (18) имеет вид , где - постоянная интегрирования. С учетом (15) это решение может быть представлено как (19) Из (17) и (18) получаем уравнение для в виде (20) Общее решение этого уравнения имеет форму (21) Здесь - постоянная интегрирования. Из (1), (5) и (6) следует, что при . Подставляя это краевое условие в (21), найдем, что . Тогда решение (21) преобразуется к виду (22) Для определения B воспользуемся краевым условием (10). Подставляя его в (21), найдем (23) При вычислении интеграла, входящего в (19), удобно перейти от интегрирования по y к интегрированию по с помощью (20). Тогда, принимая во внимание (15), (24) Здесь необходимо исключить B с использованием (23). Постоянная не может быть определена без введения краевого условия для напряжений в интегральном виде. Зависимость компонент тензора напряжения от декартовых координат вычисляется из (12) при помощи (22) и (24) в параметрическом виде. Перейдем к определению поля скорости. По аналогии с решениями аналогичных краевых задач [26-30] примем, что (25) Тогда, краевые условия (2) и (3) выполняются. Подставляя (25) во второе уравнение системы (7), получим . Интегрируя это уравнение, найдем (26) Здесь функция интегрирования не зависит от x. Подставляя (25) и (26) в первое уравнение системы (7) и используя (20) для исключения производной , получим (27) Вычислим производную . Так как не зависит от x и , то (28) Из (22) следует, что (29) Тогда (30) Подставляя (20), (25) и (30) в (28), можно убедиться, что . В этом случае уравнение (27) принимает вид (31) Интегрируя и исключая B с помощью (23), найдем (32) Здесь - постоянная интегрирования. Подставляя (32) в (26), получим (33) Уравнения (22), (25) и (33) определяют зависимость проекций вектора скорости от декартовых координат в параметрическом виде. Постоянная не может быть найдена без введения краевого условия для скоростей в интегральном виде. Коэффициент интенсивности скорости деформации Коэффициент интенсивности скорости деформации введен в [19] для случая идеально жесткопластического материала и является коэффициентом при главном сингулярном члене в разложении второго инварианта тензора скорости деформации в ряд в окрестности огибающей семейства характеристик. Это разложение имеет вид (34) при . Здесь определения для второго инварианта тензора скорости деформации выписано для случая плоской деформации; , и - компоненты тензора скорости деформации; D - коэффициент интенсивности скорости деформации и s - расстояние по нормали от огибающей. Очевидно, что при . Поскольку и ограничены, то поведение второго инварианта тензора скорости деформации вблизи огибающей полностью контролируется сдвиговой скоростью деформации. Из (20), (23), (25) и (33) находим (35) Из (10) следует, что при . Таким образом, при . Вблизи точки сдвиговая скорость деформации представляется выражением (36) при . Уравнение (20) вблизи огибающей (или ) имеет вид (37) при . Решение этого уравнения, удовлетворяющее краевому условию при , имеет форму (38) при . Подставляя (38) в (36) и исключая B при помощи (23), найдем (39) при . В рассматриваемом случае . Поэтому, сравнивая (34) и (39), получаем выражение для коэффициента интенсивности скорости деформации в виде (40) В случае идеально жесткопластического материала ( и ) это выражение совпадает с полученным в [25]. Выводы Объемная пластическая деформация влияет на коэффициент интенсивности скорости деформации. Из (40) и (41) следует, что если материал разрыхляется при пластической деформации ( ), то коэффициент интенсивности скорости деформации меньше в предположении о пластической несжимаемости материала. Если материал уплотняется ( ), то объемная пластическая деформация уменьшает коэффициент интенсивности скорости деформации. Таким образом, в соответствии с теорией [17, 18], величина влияет на формирование свойств материала в тонком слое вблизи поверхностей трения.

About the authors

E. A Lyamina

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics RAS; Samara National Research University

O. V Novozhilova

Bauman Moscow State Technical University

References

Statistics

Views

Abstract - 222

PDF (Russian) - 114