Full Text

Введение В последние годы активно развиваются технологии 3D-печати полимерами с добавлением армирующих компонентов [1-11]. Одним из способов является печать расплавленным термопластичным связующим совместно с непрерывным волокном на основе стекло- или углеволокна, предварительно пропитанным связующим для обеспечения необходимой жесткости. Такое связующее обеспечивает связь между монофиламентами в жгуте волокна, а термопластичная матрица обеспечивает хорошие межслойные механические свойства и высокую ударную вязкость композита [5-6]. Объемное содержание волокна при такой технологии составляет до 30 %. Данный метод является хорошей заменой громоздким и дорогостоящим роботизированным комплексам выкладки в тех случаях, когда требуется изготовить новые детали относительно небольших размеров (детали БПЛА, кронштейны, лопасти) в малом количестве. Среди производителей оборудования для 3D-печати непрерывным волокном стоит выделить компании «Анизопринт» (Россия) и Markforged (США). По сравнению с выкладочным комплексом головка 3D-принтера способна как плавно изменять направление ориентации волокна, так и достаточно резко повернуть траекторию выкладки. Это позволяет технически реализовывать оптимальные ориентации слоев, которые могут быть определены расчетными методами. Например, реализовать укладки с небольшим варьированием направления волокна внутри одного слоя для повышения устойчивости композитной панели [12]. С развитием технологии 3D-печати геометрия изделий менее подвержена производственным ограничениям. Это в свою очередь делает актуальной задачу оптимизации геометрической формы изделия в очень разнообразных постановках. Многие исследования при решении таких задач используют подход, известный как топологическая оптимизация. В работах [13-28] предложены общие подходы и алгоритмы решения задачи топологической оптимизации с целью максимизации жесткости изделия (или минимизации энергии упругих деформаций) материала. Численная реализация алгоритмов обычно осуществляется в совокупности с решением задачи деформирования методом конечных элементов. При рассмотрении анизотропного материала увеличивается количество параметров, входящих в постановку задачи, а также ограничений на них. Наиболее важным из таких параметров является угол, задающий направление печати волокном. Одним из способов является комбинирование топологической оптимизации с дискретным выбором ориентации волокна внутри конечного элемента оптимизируемого объема. В данном направлении можно выделить работы [29-30]. Тем не менее они имеют ряд недостатков: в первой рассматриваются только дискретные непроизвольные углы ориентации, во второй работе авторы анализируют балочные конструкции; также в обоих случаях рассматриваются плоские задачи. В предлагаемой работе рассматривается более общий алгоритм поиска оптимального решения, основанный на градиентном методе. Предлагаемый подход наиболее эффективно можно использовать при работе с 3D-печатью композитным материалом, при создании изделий на основе выкладочных машин, а также более абстрактных конструкционных элементов, если их механические свойства можно улучшить анизотропной линейно-упругой моделью материала. 1. Постановка задачи оптимизации Топологическая оптимизация конструкций позволяет выбрать оптимальную геометрию изделия, при этом возможно появление полостей, новых свободных поверхностей, изменение топологии оптимизируемой детали. Для математической постановки оптимизации, следуя [8, 9], предположим, что оптимизируемое тело разбито на большое количество малых в сравнении с подобластей (рис. 1). При работе алгоритма в сочетании с методом конечных элементов в качестве удобно рассматривать пространство, занимаемое самими элементами, используемыми в моделировании. Теперь, если в такой дискретной постановке соотнести каждую подобласть - элементу параметр , так, что если , то материал в данной области отсутствует, а если , то материал присутствует, задача формализуется в некотором приближении. Степень точности, как и в методе конечных элементов, определяется количеством таких подобластей и соответствующих им параметров . Таким образом, задача оптимизации состоит в выборе такого набора нулей и единиц { , , … …}, чтобы достичь необходимого оптимума. В расслабленной постановке предполагается, что значения параметров меняются непрерывно в диапазоне , это позволяет применять градиентные методы оптимизации, а после получения решения по степени близости параметра к 0 или 1 интерпретировать результат для выбора дискретного значения [13-15]. При этом можно положить, что - это функция координат, и если точка среды имеет координаты x внутри элемента с индексом n, то , в противном случае Определяющие соотношения для материала, свойства которого зависят от параметра , записываются в виде , где p - безразмерный параметр, как правило, больший единицы. Тогда можно рассмотреть, например, задачу минимизации энергии деформаций внутри по всем : (1) где = ; - компоненты тензора малых деформаций. Если добавить ограничения на общую массу используемого материала и ограничения на параметры то получим наиболее известную постановку задачи топологической оптимизации [1-28]. Популярность такой задачи объясняется возможностью выразить градиент для целевой функции (1), для любого . Рис. 1. Разбиение области оптимизации на подобласти Fig. 1. Dividing the optimization area into sub-areas (2) При этом градиент имеет существенно локальное выражение. В случае нагружения тела сосредоточенной силой минимизация энергии деформации строго эквивалентна максимизации жесткости конструкции, что придает данной задаче понятный физический смысл. Доказательство можно найти, например, в работе [13]. В случае работы с анизотропным материалом и возможностью выбирать наравне с плотностью ориентацию материала необходимо дополнить искомые параметры. Если рассматривать выкладочные машины или системы с печатью непрерывным волокном, то на данный момент достаточно рассмотреть только один угол ориентации α, указывающий направление выкладываемого волокна. Таким образом, с учетом ориентации материала или угла направления волокна определяющие соотношения примут следующий вид: (3) где - упругие модули анизотропного материала в зависимости от угла ориентации волокна в подобласти . Такие формулы широко применяются и известны в теории слоистых композитов. Аналогично параметру плотности примем, что - это функция координат x, такая что , в противном случае . Здесь параметр можно рассматривать как угол выкладки волокна экструдером или композитной пленки выкладочной машины. В таком случае в качестве конкретного вида линейно-упругих модулей имеет смысл рассмотреть трансверсально изотропное тело. Таким образом, задача оптимизации в случае изменяемого угла ориентации материала будет выглядеть следующим образом: (4) где , , (5) При этом ограничения на величины углов можно не рассматривать в силу периодичности зависимостей модулей от ориентации армирования . 2. Градиент энергии деформации Для решения поставленной задачи необходимо получить выражение для градиента целевой функции (4), аналогичное (2). Следуя работам [13, 14], рассмотрим принцип виртуальных работ: где - перемещения, отвечающие равновесию; - напряжения, полученные при помощи поля перемещений ; - массовая сила; - поверхностные нагрузки; - произвольное поле перемещений, удовлетворяющее граничным условиям; - деформации, полученные на поле перемещений . Теперь можно записать следующие выражения: где - тензор деформаций, полученный на поле перемещений . Последняя скобка тождественно равна нулю, что делает данное выражение верным. Теперь, дифференцируя по параметру α, принимая в расчет, что произвольное, но постоянное поле перемещений , можно получить следующее выражение: Далее Теперь можем записать И окончательно, подставляя вместо перемещения, полученные для равновесия , можно заметить, что Тогда для градиента энергии деформации можно получить следующее выражение: (6) Соотношение (6) дополняет соотношение (2) для получения градиентов по всем используемым параметрам. Далее, используя метод градиентного спуска, можно задавшись начальными параметрами , , получать оптимальные решения или, более строго, точки локальных минимумов системы. 3. Численная реализация Имея полный набор градиентов от целевой функции, возможно решать задачу оптимизации методом градиентного спуска. Для параметра плотности ρ можно воспользоваться хорошо зарекомендовавшим себя вариантом поиска минимума в задачах топологической оптимизации [13]: Здесь - множитель, который выбирается на каждом шаге из условия ограничения массы (6), степень параметра плотности р регулирует контрастность результата, типовое значение 3, параметры и регулируют скорость сходимости, типовые значения 0,5 и 0,2 соответственно. Для параметра угла ориентации никаких ограничений в нашей задаче нет, поэтому используем классический градиентный метод: где , и - параметры, контролирующие процесс сходимости. Типовые значения параметров = 1, = 0,5 и 4. Примеры решения конкретных задач Предложенные алгоритмы были всторены в систему конечно-элементного анализа Abaqus, что позволяет рассмотреть конкретные примеры анализа. В качестве первой задачи рассмотрим изгиб консоли. Ограничения по массе выберем 30 % от начальной массы. Свойства материала, получаемые при изготовлении на системах 3D-печати компании «Анизопринт», приведены в таблице. Механические свойства материала Material mechanical properties E1, ГПа E2, ГПа G12, ГПа ν12 145 8,34 4,71 0,233 Конкретные значения упругих констант не столь важны для рассматриваемого анализа, важны только относительные величины. При изменении величины нагрузки, масштаба модели и пропорциональном увеличении жесткостей результат анализа не изменится. На рис. 2 показана схема нагружения и результат оптимизации: распределение параметров плотности и распределение углов ориентации материала α. Угол ориентации отсчитывается от нулевого направления, которое схематично обозначено на рисунке и совпадает с ребром оптимизируемого объема. Начальными параметрами и α были 0,3 и 0 соответственно для всех элементов анализируемого объема. в б а Рис. 2. Изгиб консоли: а - постановка задачи, плоскость выкладки волокна; б - распределение плотностей ρ; в - распределение параметров угла ориентации α° Fig. 2. Bending of the cantilever: a - statement of the problem, a plane of the fiber placement; b - density distribution ρ, c - distribution of the orientation angle parameters α° Видно, что значения плотности не везде равны строго единице, это связано с тем, что в анализе используется расслабленная постановка, где параметр может изменяться в пределах На рис. 2 скрыт материал, плотность которого меньше < 0,3. В соответствии с уравнением (3) жесткость материала падает при уменьшении параметра плотности, причем в данном примере параметр p=3, что снижает жесткость до ~3 % от изначальной. б а Рис. 3. Изгиб консоли в трехмерной постановке: а - распределение плотностей ρ; б - распределение параметров угла ориентации α° Fig. 3. Bending of the console in a three-dimensional setting a - distribution of densities ρ; b - distribution of parameters of the orientation angle α° На рис. 3 показан результат оптимизации в полной трехмерной постановке. Видно, что общая форма повторяет двумерную задачу, а наибольшая разница проявляется в местах приложения нагрузки и закреплений. в б а Рис. 4. Изгиб шарнирно опертой балки: а - постановка задачи, плоскость выкладки волокна; б - распределение плотностей ρ; в - распределение параметров угла ориентации α° Fig. 4. Bending of a hingedly supported beam: a - the problem statement, the plane of the fiber placement; b - density distribution ρ, c - distribution of orientation angle parameters α° На рис. 4 показан результат оптимизации для нагружения шарнирно опертой балки с центральным приложение сосредоточенной нагрузки. В качестве ограничения по массе выбрано значение 15 % от изначальной массы. Видно, что конструкция имеет явно выраженный трехмерный вид, несмотря на то, что печать производится в плоскости по слоям. Интересен горизонтальный элемент, подкрепляющий основные силовые опоры. Можно сделать вывод, что в оптимальной конструкции задействуется изгибная жесткость материала. Имеет смысл отметить, что во всех представленных примерах результатом являются воспроизводимые технологически конструкции. Видно, что изменение всех параметров довольно гладкое, но тем не менее перенос геометрии в специализированные программы подготовки к 3D-печати требуют определенной работы конструктора. Таким образом, результаты такого типа оптимизации имеет смысл рассматривать как прообраз конструкции, позволяющий выбрать оптимальную силовую схему изделия. Заключение В работе представлен алгоритм оптимизации конструкций, получаемых посредством технологии 3D-печати с использованием непрерывного волокна. Приведены выражения для градиентов энергии деформации в зависимости от всех используемых параметров, то есть плотностей и углов ориентации материала. Рассмотрены конкретные задачи оптимизации.

About the authors

B. N Fedulov

Skolkovo institute of science and technology; Lomonosov Moscow State University

A. N Fedorenko

Skolkovo institute of science and technology

F. K Antonov

Anisoprint LLC

E. V Lomakin

Lomonosov Moscow State University

References

Statistics

Views

Abstract - 370

PDF (Russian) - 278