Full Text

Введение Вопросы рационального проектирования разнообразных ледовых морских сооружений являются крайне важными на сегодняшний день в связи с растущим геополитическим и экономическим интересом к Арктическому региону. Существенной характеристикой ледяного поля, требующей особого изучения, является анизотропия прочностных свойств морского льда как по площади ледяного поля, так и по толщине [1, 2]. В связи с возможным использованием льда как материала для различных инженерных решений, в качестве опоры или площадки приема транспортных средств и грузов, для безопасности работ на льду особое значение имеет оценка несущей способности ледяного покрова, у которого возможно образование опасных мест, таких как полынья, промоины, проталины и т.п. В таких местах резко снижаются прочностные свойства льда и их границы при моделировании можно считать свободными отверстиями. В настоящее время обязательной составной частью расчетов ответственных ледовых площадок становится учет влияния пластических деформаций льда [3-6]. В связи с этим в предлагаемой работе разработана методика для определения предельной нагрузки ослабленных ледяных нагружаемых площадок, которые моделируются, как и в [7], идеальной жесткопластической пластиной на несжимаемом основании. Пластина имеет свободно опертый или защемленный произвольный кусочно-гладкий внешний контур. В центральной части пластины находится свободное отверстие (полынья). Толщина пластины уменьшается при приближении к границе отверстия. Пластина находится под действием нагрузки, распределенной по локальной области около отверстия. Учитывается свойство разной сопротивляемости льда при растяжении и сжатии. В литературе жесткопластический анализ такой задачи проведен только в случае отсутствия отверстия и при постоянной толщине. Для свободно опертой круглой пластины без отверстия при осесимметричном нагружении точное идеальное жесткопластическое решение на основе условия пластичности для моментов типа Треска построено в [7], упругое - в [8]. В рамках жесткопластической модели на основе принципа виртуальной работы случай ледяных пластин произвольного контура постоянной толщины, нагружаемых по произвольной области, рассмотрен в работе [9], криволинейных пластин, усиленных жесткой шайбой - в [10]. Предлагаемая работа является развитием методики, разработанной в [9, 10], на случай криволинейных ледяных пластин переменной толщины с отверстием. Упругая бесконечная ледяная пластина с круглым отверстием на упругом основании, переменной толщиной вблизи отверстия рассмотрена в [11]. Динамическое деформирование жесткопластических криволинейных пластин постоянной и переменной толщины под действием равномерно распределенной нагрузки изучалось в [12-14]. В работе [15] проведен жесткопластический осесимметричный анализ плавающей ледяной пластины при условии пластичности Треска под действием локальной ударной нагрузки без учета сопротивления основания. В [16, 17] рассмотрено увеличение несущей способности ледяной плиты, усиленной различными видами геосинтетических материалов, которая моделируется как упругая пластина на упругом основании. Несущая способность ледяных балок в рамках модели упругопластической среды с образованием пластических шарниров оценена в [18] численно с помощью программного комплекса LS-DYNA. 1. Основные предположения и геометрические соотношения Рис. 1. Криволинейная пластина. Схема деформирования 1 Fig. 1. Curvilinear plate. Deformation scheme 1 Рассмотрим тонкую идеальную жесткопластическую пластину с произвольным выпуклым кусочно-гладким свободно опертым или защемленным контуром (рис. 1). Пластина находится на несжимаемом основании. В центральной части пластины находится свободное отверстие с произвольным контуром . Около отверстия расположена двусвязная область с контурами и , имеющая переменную толщину. Область нагружена произвольной распределенной нагрузкой . Пусть уравнение контура пластины записано в декартовых координатах в параметрической форме , ( ). Радиус кривизны контура за исключением особых точек , . (1) Для определенности считаем, что контуры ( ) симметричны относительно оси , контур пластины имеет особенности только при , и геометрические размеры пластины по оси не меньше, чем по оси . Также считаем, что нагрузка распределена симметрично относительно оси и ее главный момент относительно оси равен нулю. Введем криволинейную ортогональную систему координат ( ) (см. рис. 1), связанную с координатами ( ) соотношениями [9, 12]: , , . (2) Кривые находятся на расстоянии от контура внутрь пластины и имеют радиус кривизны . Прямые являются перпендикулярами к контуру (радиус кривизны ). Система координат ( ) является левой (см. рис. 1). Элемент площади в координатах ( ) равен . Уравнение имеет вид ( ). Для гладкого криволинейного контура справедливо равенство [9] . (3) Все нормали к контуру , опущенные внутрь пластины на ось , попадут на линию (см. рис. 1). Уравнение линии в координатах ( ) имеет вид ( ), где [12] . (4) Обозначим через . В случае гладкого контура будет выполняться . Для кусочно-гладкого контура линия походит через особые точки контура (которые в силу сделанного предположения расположены при , то есть при или ) и . Границы контуров , заданы; в координатах ( ) они имеют вид (см. рис. 1; ) : , , , : , , , где , ( ). В силу симметрии будем рассматривать только половину пластины при . В зависимости от соотношения величин , , , , линия расположена внутри контура , пересекает или . Для определенности считаем, что если пересекает или , то пересекает только в двух местах. Случаи, когда прямая пересекает или в одном месте, анализируются аналогично. Обозначим , . Возможны три варианта для определения области . А) (прямая находится внутри контура и не пересекает его); : при ; (5) Б) (прямая пересекает и находится внутри ); , , , : при , , (6) при ; В) (прямая пересекает контуры и ); , , : при , , (7) при . Считаем, что толщина пластины зависит только от координаты и изменяется симметрично относительно срединной поверхности пластины. Причем толщина изменяется только в области , а вне она постоянна. Тогда толщина пластины в области равна , где - толщина на контуре и вне области ; - невозрастающая функция, ( - область всей пластины). Нагрузка, действующая в области задана как , где - константа, - функция координат, симметричная относительно оси . Под действием нагрузки нагруженная часть пластины около отверстия движется вниз в направлении действия нагрузки. Поскольку пластина находится на несжимаемом основании, то часть пластины у внешнего контура движется вверх. В связи с этим, при построении решения, как и в [9, 10], можно считать, что для пластины с произвольным кусочно-гладким контуром в предельном состоянии возможна схема деформирования с образованием пластического шарнира на линии и ещё одной шарнирной замкнутой кривой - линии , движущейся поступательно вверх (рис. 1, 2). Поскольку движется поступательно, то на ней прогибы пластины равны. Обозначим область пластины между контуром линией и область, ограниченную линией через и соответственно. Области , являются линейчатыми поверхностями. Обозначим угол поворота вверх плоскости пластины на контуре через и угол вращения вниз области вокруг кривой через . Считаем, что и не зависят от параметра . Так же как в [9, 10, 12], из равенства прогибов на линии следует, что линия расположена на одинаковом расстоянии от контура , которое обозначим через . По смыслу задачи нагруженная область движется в направлении действия нагрузки и находится внутри контура , тогда . Уравнение линии в координатах ( ) имеет вид . Возможны два случая, когда (рис. 1, схема 1) и (рис. 2, схема 2). При линия полностью находится внутри области , и так как , то схема 1 допустима только при , т.е. для гладкого контура . Для материалов, имеющих разные значения предела текучести на растяжение и сжатие , в том числе для льда, предельный изгибающий момент для пластины толщиной равен , где Рис. 2. Криволинейная пластина. Схема деформирования 2 Fig. 2. Curvilinear plate. Deformation scheme 2 ([3, 19]). С учетом переменной толщины рассматриваемой пластины предельный изгибающий момент в области равен , а вне - , где . 2. Определение предельной нагрузки при схеме 1 Рассмотрим подробно схему 1 (см. рис. 1) ( ). Принцип виртуальной работы для рассматриваемой пластины имеет вид [20] (8) , (9) . (10) Здесь , - работа внешних и внутренних сил соответственно; - сила сопротивления основания; - прогиб; - поверхностная плотность материала пластины; - количество линий разрыва поля перемещений; - линии разрыва поля перемещений, включая контур пластины; - разрыв угла поворота плоскости пластины на ; - изгибающий момент на ; - элемент линии ; и - главные кривизны поверхности прогибов пластины. Верхним индексом « » обозначены кинематически допустимые величины. Кинематически допустимые прогибы в разных областях пластины (11) Область в рассматриваемом случае определена как : при . Область для вариантов (5)-(7) определяется как А) : при ; Б, В) : при , ; (12) при . Рис. 3. Прогибы пластины в сечении для схемы 1 Fig. 3. Plate deflections in the section for scheme 1 Прогибы в сечении для схемы 1 изображены на рис. 3. Условие несжимаемости основания имеет вид . (13) Если считать, что сопротивление не зависит от координат пластины, выражение (9) с учетом (13) примет вид (14) , ; Здесь , - положительные константы, различные для вариантов (5) - (7) задания области . Величина является полной приложенной нагрузкой. Работу внутренних сил (10) можно представить в виде суммы работ: , где - работа внутренних сил на контуре ; - внутри области ; - на контуре ; - внутри области ; - на прямой . На контуре нормальный изгибающий момент равен ( при защемлении контура и при его свободном опирании), разрыв угла поворота на равен и в области кривизны , . Разрыв угла поворота на равен . Нормальный изгибающий момент на равен и на он равен . В области кривизны , . Тогда с учетом (3) получим ; Выражение для , можно получить, как в [12, 13], учитывая, что в области переменная толщина пластины: Для случая А (5) справедливо, что и . Полная работа внутренних сил будет определяться как , (15) где для различных вариантов (5)-(7) после вычисления интегралов является известной функцией только величины . Подставляя выражения (14), (15) в (8), получим равенство (16) Условие несжимаемости основания (13) при учете (11)-(12) имеет выражение: которое можно записать в виде , (17) , где для вариантов (5)-(7) после вычисления интегралов является известной функцией только величины . Подставляя (17) в (16) и учитывая, что - произвольный параметр в кинематически допустимом поле прогибов (11), для нагрузки получим выражение . (18) Видно, что нагрузка в выражении (18) является функцией только величины . Предельную нагрузку для схемы 1 определим из (18) как . (19) 3. Определение предельной нагрузки при схеме 2 Рассмотрим подробно схему 2 (см. рис. 2) . Так же рассматриваем только половину пластины при . При кривая пересекает линию , для определенности считаем, что точек пересечения две - и с координатами и соответственно (в координатах ( )). В силу равенства (4) значения определяются через величину и являются решениями уравнения ( , ). (20) Для схемы 2 кинематически допустимые прогибы в разных областях пластины определяются соотношениями (11), в которых области и определены следующим образом: (21) Работа внешних сил (9) для схемы 2 имеет выражение (14), в котором константы , вычисляются при варианте (7). Работа внутренних сил (10) при схеме 2 вычисляется аналогично смехе 1. Тогда имеем ; ; . Для полной работы внутренних сил получим выражение (22) Условие несжимаемости основания (13) для схемы 2 при учете (11), (21) имеет выражение которое можно записать в виде , (23) Функции , , , обозначенные в (22), (23), после вычисления в них интегралов являются известными функциями только величины . Подставляя выражения (22) и (14) при варианте (7) в уравнение (8), получим равенство, из которого при учете (23) и того, что - произвольный параметр в кинематически допустимом поле прогибов (11), (21), для нагрузки при схеме 2 получим выражение . (24) Предельную нагрузку для схемы 2 вычислим из (24): . (25) Если пластина имеет кусочно-гладкий контур , то и она деформируется по схеме 2, а ее предельная нагрузка . Пластина с гладким контуром в общем случае может деформироваться как по схеме 1, так и по схеме 2, поэтому ее предельная нагрузка , (26) где , определены в (19), (25). Из выражений (14), (18), (24) видно, что функция , характеризующая распределение нагрузки по поверхности пластины, входит только в две интегральные константы , . Поэтому если две различно распределенные нагрузки, действующие на геометрически равные пластины, имеют одинаковые интегральные характеристики , , то предельные значения этих нагрузок будут совпадать. Предлагаемое решение будет также справедливо для пластин переменной толщины без отверстия, на несжимаемом основании, если принять . 4. Численные примеры В качестве примера рассмотрим эллиптическую пластину с полуосями и , где (рис. 4). Уравнение контура имеет вид , , поэтому , , , . Считаем, что величины , являются постоянными и . При этом прямая линия находится внутри контура и реализуется случай А (5) со схемой деформирования 1. Пусть в области толщина пластины задана в виде линейной функции , то есть . Рис. 4. Пластина в форме эллипса Fig. 4. Plate in the shape of an ellipse Тогда для схемы 1 функции , в (15), (17) имеют вид ; . С учетом последних выражений равенство (18) примет вид ; (27) , , , , , , , , , , В выражении для половины длины контура эллипса учтено его приближенное значение [21]. Рассмотрим знаменатель выражения (27). Обозначим через минимальный положительный корень уравнения . Поскольку , то Из анализа выражения (27) следует, что функция имеет единственный минимум на интервале при . Предельная нагрузка . (28) Значение определяется из условия и удовлетворяет уравнению (29) Рассмотрим несколько действующих поверхностных нагрузок, имеющих одинаковую полную нагрузку , равную . Тогда , и у всех этих нагрузок будут одинаковые . Имеем 1) равномерно распределенную нагрузку . Для нее 2) синусоидальную нагрузку 3) линейную нагрузку ; Для рассматриваемой эллиптической пластины на рис. 5 приведена зависимость безразмерной полной предельной нагрузки от величины , , - площадь всей эллиптической пластины). Считалось , , , . Кривые 1-3 (см. рис. 5) относятся к случаю свободного опирания контура ( ) при действии нагрузок 1)-3) соответственно. Кривые 4-6 (см. рис. 5) изображают решение в случае защемления внешнего контура пластины ( ) и нагрузок 1)-3). Во всех рассмотренных примерах реализуется схема 1, а определяется из (27)-(29). Для разных значений параметра величина , равная площади нагружаемой области, различна. Из рис. 5 видно, что распределение нагрузки по нагружаемой области, даже при одинаковой полной нагрузке, существенно влияет на величину полной предельной нагрузки. Из рассмотренных трех примеров распределения нагрузки наименьшая полная предельная нагрузка будет в случае нагрузки вида 2), когда больше всего нагружена область вблизи отверстия (см. рис. 5, кривые 2, 5). Рис. 5. Безразмерная полная предельная нагрузка f в зависимости от параметра области нагружения ε Fig. 5. Dimensionless full limit load f depending on the loading area parameter ε Заключение На основе модели идеального жесткопластического материала определена предельная нагрузка для нагружаемых ослабленных ледяных пластин криволинейной формы переменной толщины, расположенных на несжимаемом основании. Произвольный кусочно-гладкий внешний контур пластины свободно оперт или защемлен. В центральной части пластины находится свободное отверстие (полынья). Толщина пластины плавно уменьшается при приближении к границе отверстия. Пластина находится под действием нагрузки, распределенной по локальной области около отверстия. Нагрузка является функцией координат. Учитывается свойство разной сопротивляемости льда при растяжении и сжатии. Решение построено на основе принципа виртуальной работы. Введена криволинейная ортогональная система координат, связанная с внешним контуром пластины и в которой удобно проводить вычисления двойных интегралов, описывающих решение задачи. В зависимости от геометрических параметров пластины рассмотрены две схемы кинематически допустимого деформирования. Получены аналитические выражения для определения предельных нагрузок. Показано, что если две различно распределенные нагрузки, действующие на геометрически равные пластины, имеют одинаковые интегральные характеристики , , то предельные значения этих нагрузок будут совпадать. В качестве примера рассмотрена эллиптическая пластина с линейно изменяющейся толщиной, находящаяся под действием нескольких типов локальных поверхностных нагрузок. Предлагаемая методика позволяет рассчитать несущую способность ослабленных криволинейных ледяных площадок и оценить степень ее возможного увеличения при увеличении нагружаемой области и при перераспределении нагрузки по области нагружения.

About the authors

T P Romanova

Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics

Email: lab4nemir@gmail.com

References

Statistics

Views

Abstract - 165

PDF (Russian) - 72