# Abstract

As is known, the calculation of the static strength of elastic composite bodies (CB) is reduced to finding the maximum equivalent stresses for these bodies. The finite element method (FEM) is widely used for the analysis of the stress state of CB. The basic discrete models (BM), which take into account the inhomogeneous structure of bodies in the framework of a micro-approach, have a high dimension. To reduce the dimension of discrete models, multigrid finite elements (MgFE) are effectively used. However, there are BM CB (for example, BM bodies with a micro-homogeneous structure), which have such a high dimension that the implementation of FEM for such BM using MgFE, due to limited computer resources, is difficult. To solve this problem, it is proposed to use fictitious discrete models whose dimensions are less than the dimension of the BM CB. In this paper, we propose a method of fictitious discrete models (MFDM) for calculating the strength of elastic bodies with an inhomogeneous, micro-homogeneous regular structure. The proposed method is implemented using FEM with the use of MgFE and adjusted strength conditions that take into account the error of approximate solutions. The method is based on the position that the solutions that meet the BM CB differ little from the exact ones. The calculation of CB according to MFDM is reduced to the construction and calculation of the strength of fictitious discrete models (FM), which have the following properties. The FM reflects: the shape, characteristic dimensions, attachment, loading and type of the inhomogeneous structure of the CB, and the distribution of elastic modulus corresponding to the BM CB. The FM dimension is less than the BM dimension of the CB. The sequence consisting of FM converges to BM, i.e. the limiting FM coincides with BM. The convergence of such a sequence ensures uniform convergence of the maximum equivalent voltages of the FM to the maximum equivalent voltage of the BM. Two types of FM are considered. The first type of FM consists of scaled discrete models, the second type consists of FM with variable characteristic dimensions. Calculations show that the implementation of FEM for FM using MgFE leads to a large saving of computer resources, which allows the use of MFDM for bodies with a micro-homogeneous regular structure. The calculation of the strength of CB according to MFDM requires times less computer memory than a similar calculation using BM CB, and does not contain a procedure for grinding BM. The use of adjusted strength conditions allows us to use approximate solutions with a large error in the calculations of CB for strength, which leads to an increase in the efficiency of MFDM. The given example of calculating the strength of a beam with an inhomogeneous regular fibrous structure according to MFDM shows its high efficiency.

# Full Text

Введение Статический расчет на прочность упругих конструкций (тел), который проводится по запасам прочности [1-3], сводится к определению максимальных эквивалентных напряжений конструкций. В этом случае для тела заданные условия прочности имеют вид , где , заданы, - коэффициент запаса тела , , - предел текучести (предельное напряжение) [1], - максимальное эквивалентное напряжение тела, отвечающее точному решению задачи упругости (построенному для тела ). Для максимальных эквивалентных напряжений конструкций, которые определяются приближенно, используются скорректированные условия прочности [4], учитывающие погрешность напряжений. При анализе напряженного деформированного состояния (НДС) упругих композитных тел (КТ) широко используется метод конечных элементов (МКЭ) [5-11]. Базовые дискретные модели (БМ), которые учитывают неоднородную, микронеоднородную структуру тел в рамках микроподхода [12], имеют очень высокую размерность. Для решения задач теории упругости [13-16] эффективно используется метод многосеточных конечных элементов (ММКЭ) [17-23], в котором используются многосеточные конечные элементы (МнКЭ) [24-29]. Отметим, что ММКЭ является обобщением МКЭ, в котором применяются односеточные конечные элементы (КЭ), так как если в МКЭ применяются МнКЭ, то в этом случае по сути реализуется ММКЭ. МнКЭ учитывают неоднородную, микронеоднородную структуру тел в рамках микроподхода и порождают дискретные модели малой размерности. Однако существуют такие БМ КТ, например, БМ тел с микронеоднородной структурой имеют такую высокую размерность, что реализация МКЭ для таких БМ с применением МнКЭ, в силу ограниченности ресурсов ЭВМ, затруднительна. Для решения данной проблемы предлагается использовать фиктивные дискретные модели. Существующие приближенные подходы и методы расчета КТ имеют сложные формулировки, в основе которых лежат гипотезы, и к тому же они труднореализуемы [30-38]. В данной работе предлагается метод фиктивных дискретных моделей (МФДМ) для статического расчета на прочность тел с неоднородной регулярной структурой. Предлагаемый метод реализуется с помощью МКЭ с применением МнКЭ и скорректированных условий прочности [4]. Введем определение фиктивных дискретных моделей, которые используются в МФДМ. Определение 1. Дискретные модели КТ V с регулярной структурой будем называть фиктивными моделями (ФМ), если эти ФМ обладают следующими свойствами. 1. Неоднородные структуры ФМ отличаются (или не отличаются) от неоднородной структуры БМ КТ V. 2. ФМ отражают: форму, характерные размеры, крепление, нагружение и вид неоднородной структуры КТ V, и распределение модулей упругости, отвечающее БМ КТ V. 3. Последовательность, состоящая из ФМ, сходится к БМ КТ V, т.е. предельная ФМ последовательности совпадает с БМ КТ V. 4. Размерности ФМ меньше размерности БМ КТ V, кроме предельной ФМ, размерность которой равна размерности БМ КТ V. В данной работе предлагается рассматривать ФМ двух типов. Первый тип - масштабированные ФМ, которые образованы с помощью масштабированных регулярных ячеек КТ, имеют такие же характерные размеры, форму, крепления и нагружения как БМ КТ, но неоднородные структуры ФМ отличаются от неоднородной структуры БМ. Масштабированные ФМ отражают вид неоднородной структуры БМ и распределение модулей упругости, отвечающее БМ. В расчетах используется последовательность ФМ, которая сходится к БМ КТ, т.е. предельная ФМ этой последовательности совпадает с БМ. Расчеты показывают, что сходимость такой последовательности обеспечивает равномерную монотонную сходимость максимальных эквивалентных напряжений ФМ к максимальному эквивалентному напряжению БМ. Реализация МКЭ для ФМ с применением МнКЭ приводит к большой экономии ресурсов ЭВМ, что позволяет использовать МФДМ для расчетов на прочность тел с микронеоднородной регулярной структурой. В этом случае реализация МФДМ требует в раз меньше объема памяти ЭВМ, чем аналогичный расчет с использованием БМ КТ, и не требует измельчения БМ КТ. Приведенный пример расчета композитной балки по МФДМ с применением масштабированных ФМ показывает его высокую эффективность. Второй тип - это ФМ с переменными характерными размерами, которые имеют такую же неоднородную структуру, как БМ КТ, но отличаются от БМ характерными размерами. В отличие от работы [39], здесь сформулированы условия, которые обеспечивают построение для КТ ФМ первого типа, и рассмотрены процедуры построения ФМ второго типа для балок и оболочек с постоянным поперечным сечением сложной формы, армированных непрерывными параллельными (оси балки, оболочки) волокнами, и для трехмерных тел с неоднородной регулярной структурой, которые состоят из конечного числа регулярных ячеек. Показано, что применение скорректированных условий прочности позволяет использовать в расчетах приближенные решения с большой погрешностью, что приводит к повышению эффективности МФДМ. 1. Основные положения метода фиктивных дискретных моделей В МФДМ применяются КТ, которые удовлетворяют следующим положениям. Положение 1. КТ состоят из разномодульных изотропных однородных упругих тел, связи между которыми идеальны, т.е. на общих границах разномодульных изотропных однородных тел функции перемещений и напряжений являются непрерывными. Положение 2. Перемещения, деформации и напряжения разномодульных изотропных однородных тел отвечают соотношениям линейной теории упругости [40]. Положение 3. Приближенные решения (построенные по МКЭ), которые отвечают БМ КТ, мало отличаются от точных решений. Такие приближенные решения будем считать точными. В основе МФДМ лежит теорема, формулирующая скорректированные условия прочности, которые учитывают погрешность максимальных эквивалентных напряжений. Теорема 1. Пусть для коэффициента запаса упругого тела заданы условия прочности , (1) где , - заданы, , , - предельное напряжение тела , - максимальное эквивалентное напряжение тела , которое отвечает точному решению задачи теории упругости, построенному для тела . Пусть коэффициент запаса тела , отвечающий приближенному решению задачи теории упругости, удовлетворяет скорректированным условиям прочности . (2) Тогда коэффициент запаса тела , отвечающий точному решению задачи теории упругости, удовлетворяет заданным условиям прочности (1), где , - максимальное эквивалентное напряжение тела , отвечающее приближенному решению задачи теории упругости, построенному для тела , и найденное с такой погрешностью , что , (3) где - верхняя оценка относительной погрешности , - задано, погрешность для напряжения определяется по формуле . Доказательство теоремы 1 изложено в работе [4]. В МФДМ при расчете КТ V можно использовать два типа ФМ - масштабированные ФМ или ФМ с переменными характерными размерами. Для практики важно построить для КТ V такую последовательность ФМ, которая сходится к БМ КТ V и обеспечивает равномерную сходимость максимальных эквивалентных напряжений ФМ последовательности к максимальному эквивалентному напряжению БМ КТ V. Согласно МФДМ приближенное решение, отвечающее БМ КТ V, является точным. 2. Масштабированные фиктивные дискретные модели Рассмотрим ФМ первого типа, т.е. масштабированные ФМ. Не теряя общности суждений, для простоты изложения рассмотрим применение в МФДМ масштабированных ФМ на примере тела формы прямоугольного параллелепипеда с неоднородной регулярной структурой размерами , где , , , (4) где , , - целые, , , - задано и мало. Тело расположено в декартовой прямоугольной системе координат , рис. 1. Рис. 1. Тело Fig. 1. Body При тело жестко закреплено, т.е. при имеем . Тело армировано ортогональными непрерывными волокнами. Пусть для тела на поверхности задано статическое нагружение вида , , где , - гладкие функции, и заданы условия прочности (1), т.е. в соотношении (1) заданы значения , . Базовая модель КТ , которая состоит из КЭ 1-го порядка формы куба со стороной (в которых реализуется трехмерное НДС), учитывает неоднородную структуру тела и порождает равномерную (базовую) трехмерную сетку с шагом размерности . Считаем, что так как мало и , то положение 3 МФДМ (см. п. 1) для КТ выполняется. Регулярная ячейка (рис. 2) тела имеет форму куба со стороной . Таким образом, в силу (4) тело состоит из конечного числа ячеек . На рис. 2 показана базовая сетка ячейки , волокна сечением расположены по ребрам ячейки , границы волокон отмечены жирными линиями, регулярная ячейка расположена в локальной декартовой системе координат . Модули упругости волокон одинаковы. Модули упругости волокон и связующего материала постоянны во всей области КТ . Рис. 2. Регулярная ячейка Fig. 2. Regular cell Введем следующие определения. Определение 2. Будем говорить, что трехмерное упругое тело образовано путем масштабирования упругого трехмерного тела с коэффициентом масштабности , если любой точке отвечает такая единственная точка , что , , , где () - координаты точки (точки ), отвечающие декартовой прямоугольной системе координат . И, наоборот, если любой точке отвечает такая единственная точка , что , , . Модули упругости в точках , одинаковы. Определение 3. Трехмерное упругое тело , полученное путем масштабирования заданного (базового) упругого трехмерного тела с заданным коэффициентом масштабности , будем называть масштабированным. Связь между масштабированным телом и базовым телом представляется в виде , где - коэффициент масштабности. Согласно МФДМ масштабированная композитная дискретная модель имеет такие же характерные размеры, форму, крепление и нагружение, как БМ , и состоит из конечного числа регулярных ячеек размерами , т.е. модель имеет равномерную сетку с шагом . Для определения шага используем минимальный характерный размер КТ , т.е. . Так как модель состоит из конечного числа ячеек размерами , то выполняется равенство , где - целое. Учитывая в последнем равенстве, что и принимая , имеем , (5) где . Из (5) следует , (6) где , - коэффициент масштабности, при : , , при : . Регулярная ячейка образуется путем масштабирования регулярной ячейки КТ с коэффициентом масштабности (см. определение 2), т.е. тело является масштабированной регулярной ячейкой (см. определение 3). Это означает, что тело имеет такое же число волокон (сечением ) и такое же их взаимное расположение, как регулярная ячейка (см. рис. 2). На рис. 3 тело расположено в локальной декартовой системе координат , показана его равномерная сетка с шагом , границы волокон отмечены жирными линиями, . Волокна и матрицы КТ и имеют одинаковые модули упругости. Рис. 3. Регулярная ячейка Gn Fig. 3. Regular cell Gn Формы и неоднородные структуры тел Gn и G0 геометрически подобны, т.е. отличаются только масштабностью (см. рис. 2, 3). Тогда, учитывая (6) и что волокна и связующий материал КТ Gn и G0 имеют одинаковые модули упругости, связь между телами Gn, G0 представляется в виде (см. определение 3) , (7) где , , при имеем , , т. е. . Пусть , , (8) где , - целые числа. Модель состоит из КЭ 1-го порядка формы куба со стороной (в 1 с КЭ реализуется трехмерное НДС), которые порождают равномерную сетку с шагом размерности , где , , . Учитывая (6), (8) в последних трех равенствах и что , получаем , , , . (9) Поскольку в регулярной ячейке учитывается неоднородная структура, то в силу (7) и в КТ также учитывается неоднородная структура с помощью КЭ формы куба со стороной . Модель , которая в силу (6), (7) образуется с помощью масштабированной регулярной ячейки , будем называть масштабированной. Отметим, что КТ по сути является регулярной ячейкой модели . Так как в регулярной ячейке учитывается неоднородная структура, то, следовательно, и в модели учитывается неоднородная структура. Отметим, что в силу (7) при : , т.е. неоднородные структуры модели и БМ КТ различны. Для модели отметим следующие свойства, которые показывают достоинства МФДМ. 1. Размерность сетки модели при в силу (8), (9) и что меньше размерности сетки БМ . Поэтому реализация МКЭ для модели (при ) требует меньше объема памяти ЭВМ, чем для БМ . 2. При построении масштабированных композитных дискретных моделей не используется процедура измельчения БМ КТ. Согласно (6), (7) при (, , ) дискретные модели и совпадают, т. е. . Так как модель , т.е. БМ , порождает решение, которое мало отличается от точного (см. положение 3 МФДМ), то считаем, что максимальное эквивалентное напряжение модели мало отличается от точного максимального эквивалентного напряжения КТ . Тогда полагаем , так как положение 3 МФДМ для БМ выполняется. В силу (6), (7) при (при ) имеем . Отсюда, учитывая, что тела , есть регулярные ячейки соответственно моделей , , и что эти модели имеют одинаковую форму и характерные размеры, получаем при . (10) Согласно (10) при имеем или, учитывая, что , получаем при , где - максимальное эквивалентное напряжение фиктивной дискретной модели . Выше по сути доказано следующее утверждение. Теорема 2. Пусть тело с неоднородной регулярной структурой имеет форму прямоугольного параллелепипеда размерами где , - целые. Пусть БМ КТ состоит из конечного числа регулярных ячеек. Тогда для КТ можно построить такую последовательность масштабированных дискретных фиктивных моделей , которая порождает последовательность напряжений , равномерно сходящуюся к напряжению , т. е. при , где () - максимальное эквивалентное напряжение ФМ (БМ , т.е. КТ ). Размерность ФМ (при ) меньше размерности БМ . Пусть малая величина и , где - относительная погрешность для напряжения , т. е. , пусть , см. формулу (3), . Тогда принимаем . Подставляя , , в соотношение (2), определяем скорректированные условия прочности для КТ . Пусть коэффициент запаса (где , с учетом, что , имеем ) КТ , отвечающий приближенному решению задачи упругости, удовлетворяет построенным для тела скорректированным условиям прочности (2). Тогда коэффициент запаса КТ , отвечающий точному решению задачи упругости, удовлетворяет заданным условиям прочности (1), см. теорему 1. Для понижения размерности ФМ используются МнКЭ. 3. Фиктивные дискретные модели с переменными характерными размерами Рассмотрим ФМ второго типа, которые имеют такую же неоднородную структуру, как БМ КТ V, но отличаются от БМ характерными размерами. Вначале рассмотрим ФМ с одним переменным характерным размером на примере композитных балок и круговых цилиндрических оболочек с постоянным поперечным сечением сложной формы, армированных непрерывными волокнами постоянной толщины. Волокна параллельны оси балки (оболочки) и в общем случае имеют различные толщины и модули упругости. Не теряя общности суждений, суть построения ФМ с одним переменным характерным размером для композитных балок и оболочек кратко рассмотрим на примере балки, форма поперечного сечения которой есть симметричный двутавр, состоящий из прямоугольников [1], и оболочки постоянной толщины. Рассмотрим ФМ (с одним переменным характерным размером) и БМ КТ , здесь и далее , которые расположены в декартовой прямоугольной системе координат и в плоскости жестко закреплены, т.е. при для перемещений БМ и ФМ имеем . Характерные размеры , , БМ балки (КТ) , рис. 4, отличаются от характерных размеров , , ФМ КТ (рис. 5), одним переменным характерным размером , где , - характерные размеры поперечного сечения БМ и ФМ , () - длина БМ (ФМ ), . Ось на рис. 4 (и на рис. 5) параллельна оси БМ балки (ФМ балки ). Характерные размеры , , БМ цилиндрической оболочки (КТ) постоянной толщины (рис. 6) отличаются от характерных размеров , , ФМ КТ (рис. 7) одним переменным характерным размером , где - внешний и - внутренний радиусы ФМ и БМ , , () - длина БМ (ФМ ), . На рис. 6 (и на рис. 7) ось совпадает с осью БМ оболочки (ФМ оболочки ). Пусть КТ армировано непрерывными волокнами сечением , которые параллельны оси и имеют одинаковые модули упругости. Для простоты изложения пусть , (11) где , - заданы, - целое, , - мало, т.е. КТ армировано тонкими волокнами. БМ , состоящая из КЭ 1-го порядка формы куба со стороной (в которых реализуется трехмерное НДС [40]), учитывает неоднородную структуру и сложную форму КТ . Пусть БМ (в силу малости ) порождает решение, которое мало отличается от точного. Такое приближенное решение будем считать точным (см. положение 3 МФДМ, п. 1). ФМ имеет такую же неоднородную структуру, как БМ , т.е. ФМ армирована непрерывными параллельными оси волокнами сечением и имеет такой же вид распределения волокон в поперечном сечении, как БМ . Волокна и связующий материал БМ и ФМ имеют одинаковые модули упругости. Модули упругости волокон и связующего материала постоянны во Рис. 4. БМ балки (КТ) Fig. 4 BM of beam (CB) Рис. 5. ФМ балки Fig. 5. FM of beam Рис. 6. БМ оболочки (КТ) Fig. 6. BM of shell (CB) Рис. 7. ФМ оболочки Fig. 7. FM of shell всей области БМ и ФМ . Неоднородные структуры в ФМ и БМ учитываются с помощью КЭ 1-го порядка формы куба со стороной . ФМ имеет такое же крепление и такой же характер статического нагружения, как БМ . Например, если БМ имеет равномерное нагружение на границе , , , то ФМ имеет нагружение на границе , , (рис. 6, 7). Используя (11), размер ФМ находим по формуле , (12) где - целое, , - задано, имеем , при : . Учитывая, что ФМ отличается от БМ только размером и что в силу (12) при : , получаем при , . (13) В силу (12), (13) при имеем . Тогда из выполнения (13) следует при , где () - максимальное эквивалентное напряжение ФМ (БМ ). Поскольку ФМ и БМ состоят из КЭ 1-го порядка формы куба со стороной и поперечные сечения этих моделей одинаковы и имеют одинаковые разбиения, то сечения ФМ и БМ содержат одинаковое число узлов, которое обозначим через . Число узлов сетки БМ в силу (11) вдоль оси равно . Тогда общее число узлов БМ равно , общее число узлов ФМ в силу (12) равно , отсюда следует, что при . Следовательно, при размерность ФМ меньше размерности БМ (с учетом выполнения кинематических граничных условий БМ и ФМ тела ). При имеем , т.е. размерности ФМ и БМ совпадают. Выше по сути доказано следующее утверждение. Теорема 3. Пусть КТ , где , - балка и - круговая цилиндрическая оболочка с постоянным поперечным сечением, имеющие длину , армировано непрерывными волокнами (постоянной толщины), параллельными оси КТ (оси балки, оболочки). Модули упругости волокон и матрицы постоянны во всей области КТ . Тогда для КТ можно построить такую последовательность ФМ , которая порождает последовательность напряжений , сходящуюся к напряжению , т.е. при или при , где - переменный характерный размер (переменная длина) ФМ ; () - максимальное эквивалентное напряжение ФМ (БМ , т.е. КТ ). При (т.е. при ) размерность ФМ меньше размерности БМ . Итак, показано, что использование ФМ с переменным характерным размером Ln при расчете на прочность по МФДМ КТ приводит к экономии ресурсов ЭВМ. Не теряя общности суждений, суть построения ФМ с тремя переменными характерными размерами для КТ кратко рассмотрим на примере тела с неоднородной регулярной структурой формы прямоугольного параллелепипеда размерами , расположенного в декартовой системе координат , на рис. 8 показаны размеры БМ КТ . Пусть , , , (14) где , , - целые, заданы, , - задано, мало. Пусть БМ КТ , состоящее из КЭ размерами , учитывает неоднородную структуру КТ и порождает решение, которое мало отличается от точного, т.е. положение 3 МФДМ для КТ выполняется. Пусть тело армировано ортогональной решеткой непрерывных волокон. Регулярная ячейка G0, имеющая размеры , КТ показана на рис. 2. Тогда в силу (14) КТ состоит из конечного числа регулярных ячеек G0. Сетка БМ КТ имеет узлов, где . (15) ФМ КТ имеет форму прямоугольного параллелепипеда размерами , где , , , (16) где , , , , - целые, на рис. 9 даны размеры ФМ . Сетка ФМ , которая состоит из конечного числа регулярных ячеек (размерами , см. рис. 2), имеет узлов, где . (17) Волокна и связующий материал БМ и ФМ имеют одинаковые модули упругости. Модули упругости волокон и связующего материала постоянны во всей области БМ и ФМ . Пусть при БМ и ФМ жестко закреплены. В силу (14), (16) при , , имеем , , . Откуда следует, что при , , . (18) Из выполнения (18) следует при , , , где () - максимальное эквивалентное напряжение ФМ (БМ КТ ). Если , , (т.е. при , , , где , ), то в силу (15), (17) имеем . Это означает, что размерность ФМ меньше размерности БМ КТ (с учетом выполнения кинематических граничных условий). При , , имеем . Выше по сути доказано следующее утверждение. Теорема 4. Пусть КТ формы прямоугольного параллелепипеда размерами имеет неоднородную регулярную структуру. Пусть БМ КТ состоит из конечного числа регулярных ячеек. Тогда для КТ можно построить такую последовательность ФМ , которая порождает последовательность напряжений , сходящуюся к напряжению , т. е. при , где , , , , - переменные характерные размеры ФМ формы прямоугольного параллелепипеда, удовлетворяющие условиям , , () - максимальное эквивалентное напряжение ФМ (БМ , т.е. КТ ). При , , размерность ФМ меньше размерности БМ . Рис. 8. БМ КТ Fig. 8. BM CB Рис. 9. ФМ КТ Fig. 9. FM CB Итак, показано, что использование ФМ с переменными характерными размерами , , в расчетах на прочность по МФДМ КТ приводит к экономии ресурсов ЭВМ. 4. Результаты численных экспериментов Рассмотрим модельную задачу расчета на прочность балки с неоднородной регулярной волокнистой структурой размерами расположенной в декартовой системе координат , где - задано. Торцы балки V жестко закреплены. Балка армирована ортогональной решеткой волокон. Регулярная ячейка балки V имеет форму куба со стороной (см. рис. 2) ячейка подробно описана в п. 2. В расчетах используем половину балки V, т.е. балку размерами (, рис. 10), так как нагружение балки V симметрично относительно плоскости . Для балки имеем следующие кинематические граничные условия: при : , при : . Рис. 10. Балка (тело) (модель ) Fig. 10. Beam (body) (model ) БМ КТ состоит из односеточных конечных элементов (1сКЭ) 1-го порядка формы куба со стороной (в которых реализуется трехмерное НДС [40]), которые учитывают неоднородную структуру тела и порождают равномерную сетку с шагом размерности . Общее число неизвестных БМ равно , ширина ленты системы уравнений (СУ) МКЭ равна . Считаем, что положение 3 МФДМ для БМ выполняется. Для расчета балки (см. рис. 10) на прочность с помощью МФДМ используем масштабированные дискретные модели размерами , т.е. , . Масштабированная композитная регулярная ячейка (см. рис. 3; п. 2) размерами порождает масштабированную модель , т.е. КТ по сути является регулярной ячейкой модели . Для определения используем формулы (5), (6). В данном случае где , т. е. , где . Откуда следует , (19) где , - коэффициент масштабности, , при : , , Отметим, что КТ (регулярная ячейка) (см. рис. 3) образуется путем масштабирования регулярной ячейки (см. рис. 2) БМ КТ с коэффициентом масштабности , , см. определение 2 п. 2. Модель , состоящая из 1сКЭ 1-го порядка формы куба со стороной (в 1сКЭ реализуется трехмерное НДС), имеет равномерную сетку с шагом размерности , где , , . Учитывая (19) в последних трех равенствах, получаем , , , . (20) В расчетах на прочность КТ по МФДМ используем последовательность масштабированных дискретных моделей, т.е. масштабированных ФМ, , которая в пределе сходится к БМ , см. п. 2. Для коэффициента запаса балки заданы условия прочности вида . (21) Для КТ имеем следующие исходные данные: ; ; , , , (22) где , (, ) - модули Юнга (коэффициенты Пуассона), соответственно связующего материала и волокна, - предел текучести волокна, на поверхности , действуют нагрузки , (см. рис. 10). Для БМ КТ используем двухсеточный КЭ (2сКЭ) размерами . На рис. 11 2сКЭ расположен в локальной декартовой системе координат . 2сКЭ имеет две вложенные сетки: равномерную мелкую сетку с шагом размерности и крупную - размерности . По осям , сетка имеет шаг , по оси - шаг . На рис. 11 узлы крупной сетки отмечены точками, 12 узлов. Процедура построения матрицы жесткости и вектора узловых сил 2сКЭ подробно изложена в работе [39]. На базе модели строим двухсеточную модель , которая состоит из 2сКЭ типа размерами , . Для модели определяем (по 4-й теории прочности [1]) максимальное эквивалентное напряжение , . Рис. 11. Мелкая и крупная сетки 2сКЭ Fig. 11. Small and large grids 2gFE Результаты расчетов представлены в таблице, где - максимальное эквивалентное напряжение модели ; и - размерность и ширина ленты СУ МКЭ модели , , погрешность (%) определяется по формуле , . (23) Анализ результатов показывает равномерную монотонную сходимость напряжений , , и погрешностей , , что подтверждает теорему 2, см. п. 2. Отметим, что БМ порождает максимальное эквивалентное напряжение КТ , которое мало отличается от точного. Напряжение считаем точным (положение 3 МФДМ, п. 1). Результаты расчетов для моделей - Calculation results for models - (%) (%) 5 1,246 - 12924 240 9 1,523 3,95 64700 636 6 1,326 6,04 21119 321 10 1,579 3,55 86999 765 7 1,398 5,12 32192 414 11 1,632 3,23 113904 906 8 1,462 4,45 46575 519 12 1,682 2,96 145847 1059 Согласно расчетам, , где - максимальное эквивалентное напряжение модели . Имеем , см. п. 2. Так как размеры 1сКЭ БМ малы, то и размеры 2сКЭ модели также малы, поэтому пусть , т.е. точное напряжение равно . Расчеты показывают, что если (см. формулу (23)), то погрешность максимального эквивалентного напряжения модели не более . Так как напряжения и отличаются на (см. таблицу), то погрешность напряжения не более , т.е. имеем . Отметим, что напряжение отличается от точного напряжения на . Принимаем , . Условие (3) для выполняется, т. е. . Подставляя , , в (2), получаем скорректированные условия прочности для КТ , (24) где - коэффициент запаса КТ , отвечающий приближенному решению задачи упругости, . (25) Используя в (25) исходные данные (22), т. е. , и найденное напряжение , определяем коэффициент запаса для КТ . Итак, коэффициент запаса КТ (отвечающий приближенному решению задачи упругости) удовлетворяет скорректированным условиям прочности (24). Тогда коэффициент запаса КТ (отвечающий точному решению задачи упругости) удовлетворяет заданным условиям прочности (21), см. теорему 1, п. 1. Проверим выполнение теоремы 1 в данном случае, а именно то, что из выполнения скорректированных условий прочности (24) следует выполнение заданных условий прочности (21). Используя , в формуле (где - коэффициента запаса и - максимальное эквивалентное напряжение КТ , которые отвечают точному решению), получаем , т.е. коэффициент запаса КТ удовлетворяет заданным условиям прочности (21), что подтверждает теорему 1. Отметим, что БМ КТ имеет свыше 32 млн узловых неизвестных МКЭ, что затрудняет реализовать МКЭ с применением 1сКЭ 1-го порядка формы куба со стороной для построения решения для БМ , которое считаем точным решением (см. положение 3, п. 1). В расчете на прочность по МФДМ КТ используем модель , которая имеет узловых неизвестных, и ширина ленты СУ МКЭ которой равна (см. таблицу). Модель требует в раза меньше объема памяти ЭВМ, т.е. почти в раз меньше, чем БМ , что показывает высокую эффективность МФДМ. 5. Применение в МФДМ приближенных решений с большой погрешностью Рассмотрим случай расчета КТ на прочность по МФДМ, когда возможно применение упругих приближенных решений с большой погрешностью на примере расчета КТ (см. п. 4). Расчеты показывают, что если (см. формулу (23)), то погрешность максимального эквивалентного напряжения модели не более 25 %. Так как напряжения и отличаются на (см. таблицу), то погрешность напряжения не более , т.е. . Отметим, что напряжение отличается от точного напряжения на , см. п. 4. Принимаем , . Условие (3) для оценки выполняется, т.е. имеем . Подставляя , , в (2), получаем следующие скорректированные условия прочности для КТ . (26) Используя в (25) , , находим коэффициент запаса для КТ . Коэффициент запаса КТ (отвечающий приближенному решению задачи упругости) удовлетворяет скорректированным условиям прочности (26). Тогда коэффициент запаса КТ (отвечающий точному решению задачи упругости) удовлетворяет заданным условиям прочности (21), см. теорему 1, п. 1. При расчете на прочность КТ по МФДМ используем модель , которая имеет неизвестных МКЭ, и ширина ленты СУ МКЭ которой равна (см. таблицу). Модель требует в раз меньше объема памяти ЭВМ, т.е. почти в раз меньше, чем БМ . Итак, показано, что при расчете КТ возможно применение упругих приближенных решений с большой погрешностью. Применение в расчетах модели , погрешность напряжения которой почти в 2,4 раза больше погрешности напряжения , отвечающего модели , приводит к повышению эффективности МФДМ. Коэффициент k2 в раза больше коэффициента k1, см. п. 4. Это связано с тем, что размерность и ширина ленты СУ МКЭ модели меньше размерности и ширины ленты СУ МКЭ модели (см. таблицу). На основании полученных результатов можно сделать следующий вывод. Применение в расчетах скорректированных условий прочности позволяет использовать дискретные модели КТ, напряжения которых имеют большую погрешность, что приводит к повышению эффективности МФДМ. Заключение Предложен метод фиктивных дискретных моделей (МФДМ) для расчета на статическую прочность упругих тел с неоднородной, микронеоднородной регулярной структурой, который сводится к построению и расчету на прочность фиктивных дискретных моделей (ФМ), размерности которых меньше размерностей базовых дискретных моделей (БМ) композитных тел (КТ). Предлагаемый метод реализуется с помощью МКЭ с применением многосеточных конечных элементов и скорректированных условий прочности, которые учитывают погрешность приближенных решений. Реализация МФДМ обеспечивает большую экономию ресурсов ЭВМ, что позволяет использовать предлагаемый метод для расчета тел с микронеоднородной регулярной структурой. Рассматриваются два типа ФМ - масштабированные ФМ и ФМ с переменными характерными размерами. При построении ФМ не используется процедура измельчения БМ КТ. Применение скорректированных условий прочности позволяет использовать в расчетах приближенные решения с большой погрешностью, что приводит к повышению эффективности МФДМ. Приведенные расчеты на прочность балки с неоднородной регулярной волокнистой структурой по МФДМ показывают высокую его эффективность.

### A. D Matveev

Institute of Computational Modeling SB RAS

# References

1. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. - Киев: Наук. думка, 1975. - 704 с.
2. Биргер И.А., Шорр Б.Ф., Иосилевич Г.Б. Расчет на прочность деталей машин. - М.: Машиностроение, 1993. - 640 с.
3. Москвичев В.В. Основы конструкционной прочности технических систем и инженерных сооружений. - Hовосибирск: Наука, 2002. - 106 с.
4. Матвеев А.Д. Расчет упругих конструкций с применением скорректированных условий прочности // Известия АлтГУ. - 2017. - № 4: Математика и механика. - С. 116-119. doi: 10.14258/izvasu(2017)4-21.
5. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Zhu J.Z. The finite element method: its basis and fundamentals. - Oxford: Elsevier Butterworth-Heinemann, 2013. - 715 p.
6. Голованов А.И., Тюленева О.И., Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 392 с.
7. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. - М.: Стройиздат, 1982. - 448 с.
8. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. - М.: Высшая школа, 1985. - 392 с.
9. Секулович М. Метод конечных элементов. - М.: Стройиздат, 1993. - 664 с.
10. Норри Д., Ж. де Фриз. Введение в метод конечных элементов. - М.: Мир, 1981. - 304 с.
11. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975. - 542 с.
12. Фудзии Т., Дзако М. Механика разрушения композиционных материалов. - М.: Мир, 1982. - 232 с.
13. Работнов Ю.Н. Механика деформированного твердого тела. - М.: Наука, 1988. - 711 с.
14. Демидов С.П. Теория упругости. - М., Высшая школа, 1979. - 432 с.
15. Тимошенко С.П., Дж. Гудьер. Теория упругости. - М.: Наука, 1979. - 560 с.
16. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. - М., Высшая школа, 1968. - 512 с.
17. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов в расчетах трехмерных однородных и композитных тел // Учен. зап. Казан. ун-та. Серия: Физ.-матем. науки. - 2016. - Т. 158, кн. 4. - С. 530-543.
18. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов в расчетах композитных пластин и балок // Вестник КрасГАУ. - 2016. - № 12. - С. 93-100.
19. Matveev A.D. Multigrid finite element method in stress of three-dimensional elastic bodies of heterogeneous structure // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. - 2016. - Vol. 158, № 1. - Art. 012067. - P. 1-9.
20. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов в расчетах композитных пластин и балок сложной формы // Вестник КрасГАУ. - 2017. - № 11. - С. 131-140.
21. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов // Вестник КрасГАУ. - 2018. - № 2. - С. 90-103.
22. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов в расчетах композитных оболочек вращения и двоякой кривизны // Вестник КрасГАУ. - 2018. - № 3.- С. 126-137.
23. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов в решении физических краевых задач // Информационные технологии и математическое моделирование. - Красноярск, 2017. - С. 27-60.
24. Матвеев А.Д. Некоторые подходы проектирования упругих многосеточных конечных элементов // Деп. в ВИНИТИ № 2990-В00. - 2000. - 30 с.
25. Матвеев А.Д. Смешанные дискретные модели в анализе упругих трехмерных неоднородных тел cложной формы // Вестник ПНИПУ. Механика. - Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. Политехн. ун-та. 2013. - № 1. - С. 182-195.
26. Матвеев А.Д. Многосеточное моделирование композитов нерегулярной структуры с малым коэффициентом наполнения // Прикладная механика и техническая физика. - 2004. - № 3. - С. 161-171.
27. Матвеев А.Д. Построение сложных многосеточных конечных элементов с неоднородной и микронеоднородной структурой // Известия АлтГУ. Серия: Математика и механика. - 2014. - № 1/1. - С. 80-83. doi: 10.14258/izvasu(2014)1.1-18.
28. Матвеев А.Д. Метод образующих конечных элементов // Вестник КрасГАУ. - 2018. - № 6. - С. 141-154.
29. Матвеев А.Д. Построение многосеточных конечных элементов для расчета оболочек, пластин и балок на основе образующих конечных элементов // Вестник ПНИПУ. Механика. - 2019. - № 3. - С. 48-57. DOI: 10/15593/perm.mech/2019.3.05.
30. Голушко С.К., Немировский Ю.В. Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 432 с.
31. Немировский Ю.В., Резников Б.С. Прочность элементов конструкций из композитных материалов. - Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1984. - 164 с.
32. Кравчук А.С., Майборода В.П., Уржумцев Ю.С. Механика полимерных и композиционных материалов. - М.: Наука, 1985. - 201 с.
33. Алфутов Н.А., Зиновьев А.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. - М.: Машиностроение, 1984. - 264 с.
34. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. - М.: МГУ, 1984. - 336 с.
35. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины. Изгиб, устойчивость, колебания. - Новосибирск: Наука, 2001. - 288 с.
36. Ванин Г.А. Микромеханика композиционных материалов. - Киев: Наукова думка, 1985. - 302 с.
37. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. - М.: Машиностроение, 1988. - 269 с.
38. Механика композитных материалов и элементов конструкций. Т. 3. Прикладные исследования / А.Н. Гузь, И.В. Игнатов, А.Г. Гирченко [и др.]. - Киев: Наукова думка, 1983. - 262 с.
39. Матвеев А.Д. Метод фиктивных дискретных моделей в расчетах тел с неоднородной регулярной структурой // Сибирский аэрокосмический журнал. - 2021. - Т. 22, № 2. - С. 244-260. doi: 10.31772/2712-8970-2021-22-2-244-260.
40. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высшая школа, 1982. - 264 с.

# Statistics

#### Views

Abstract - 154

PDF (Russian) - 182

#### PlumX

You consent to our cookies if you continue to use our website.