Non-stationary problems for elastic half-plane with moving point of changing boundary conditions

Abstract


The paper presents a method of solving plane unsteady problems for an elastic half-space with a mobile boundary related to changing the boundary conditions of a mixed type. The movement of the half-space is described with two wave equations in terms of elastic potentials. The initial conditions are assumed to be zero. It became possible to obtain an explicit solution of the problem in an integral form by using integral relations for a normal displacement of the half-space boundary in the form of two-dimensional convolution of stress with the influence function (arising from the principle of superposition), properties of the convolution in two variables, and of the theory of generalized functions. At the same time, this solution is based on the method of splitting the functions of influence, according to which it is represented as a product of two factors which satisfy the necessary conditions. Thus, in order to obtain final results it is required to carry out the factorization of the influence function which has the desired properties. The analysis of the Fourier and Laplace transformation of the influence function revealed the presence of two simple poles and four branch points. Getting the desired factorization influence function is based on the representation of its transformation as a product of two multipliers; each of them contains only one critical point. In case when critical points are simple, the separation is performed by using a simple factorization, while the branch points are separated with the help of Cauchy-type integrals. The described method allows obtaining the required factorization of the influence function in any typical speed range of the separating point: sub Rayleigh, subsonic, transonic and supersonic ones. As a result, it became possible to obtain the explicit integral formulas which allow solving the problem. They allow defining the unknown displacements and stresses at any speed range of the moving separating point of the boundary conditions. Asymptotic representations of stresses and displacements are found in the neighborhood of boundary conditions change.

Full Text

Введение Нестационарные задачи с подвижными точками смены граничных условий являются на сегодняшний день одними из наименее исследованных проблем механики деформируемого твердого тела. В то же время современное развитие геологии, сейсмологии, технологии обработки металлов, а также других областей науки и техники, в которых возникают нестационарные контактные задачи, потребовало изучения соответствующих смешанных задач, в которых границы раздела краевых условий являются подвижными. Подобные проблемы возникают также при исследовании процессов ударного взаимодействия упругих затупленных тел с абсолютно твердыми и деформируемыми основаниями, в задачах о воздействии подвижных нагрузок на твердые деформируемые тела, в задачах теории трещин и др. Для подобных задач в рамках модели линейно-упругого тела критическими являются скорости поверхностных волн Рэлея, скорости волн сдвига и растяжения-сжатия. Хотя предлагаемая методика применима для решения широкого круга задач с движущимися границами раздела краевых условий, в настоящей работе она главным образом ориентирована на дальнейшее использование при исследовании нестационарных контактных задач с подвижными границами [1-4]. В частности, предложенные подходы позволяют провести асимптотический анализ поведения контактных напряжений в окрестности подвижных границ области взаимодействия в плоских нестационарных задачах об ударе затупленного тела или оболочки по упругому полупространству [5]. Отметим, что для решения задач данного класса большое значение имеют так называемые функции влияния, соответствующие сосредоточенным кинематическим или силовым воздействиям. Они представляют собой фундаментальные решения соответствующих операторов, описывающих математическую модель исследуемого объекта. В общем случае их совокупности образуют тензор. Компоненты этого тензора используются в качестве ядер интегральных уравнений, разрешающих соответствующие задачи. Впервые задачу об определении нестационарных функций влияния рассмотрел Н. Lamb [6]. Задачи определения функций влияния являются ключевыми для построения разрешающих систем уравнений нестационарных контактных задач. Поэтому этими задачами занимались и продолжают заниматься многие отечественные и зарубежные исследователи [1, 7-16]. Решение плоских нестационарных контактных задач с подвижными границами с использованием принципа суперпозиции сводится к исследованию двумерного граничного интегрального уравнения, ядрами интегральных операторов которого являются поверхностные функции влияния взаимодействующих тел [2-5, 17-33]. Одним из эффективных аналитических методов решения интегральных уравнений этого типа является метод Винера-Хопфа [7, 8]. В данной работе для решения использован метод расщепления фундаментальных решений [8], основанный на факторизации поверхностной функции влияния для упругого полупространства. 1. Постановка задачи В декартовой прямоугольной системе координат рассмотрим однородную изотропную линейно-упругую полуплоскость . Введем систему безразмерных величин (штрихом обозначены размерные параметры): где - характерный линейный размер; , и - параметры Ламе и плотность материала полупространства; и - скорости волн растяжения-сжатия и сдвига; и - безразмерное и размерное время; - некоторая скорость; и - компоненты вектора перемещения вдоль осей и ; и - нормальные и касательные напряжения; и - скалярный и ненулевая компонента векторного потенциала упругих смещений. Движение полуплоскости описывают волновые уравнения относительно потенциалов и [3]: . (1) Потенциалы и связаны с компонентами вектора перемещений и тензора напряжений следующими соотношениями: . (2) Начальные условия нулевые: . (3) Положим, что при на границе заданы нормальные перемещения, а при - нормальные напряжения. При этом полагаем, что касательные напряжения отсутствуют на всей границе : Зависимость координаты подвижной точки смены граничных условий от времени полагаем заданной посредством непрерывной функции . В задаче (1)-(3) требуется определить нормальные перемещения и напряжения : Кроме того, отдельного исследования требует поведение решения в окрестности точки смены граничных условий: . Функции и продолжим нулем на всю ось : где , а - функция Хевисайда. 2. Граничное интегральное соотношение Как известно [1], на всей границе полуплоскости нормальные перемещения и напряжения связаны между собой интегральным соотношением (знак « » означает свертку по обеим переменным) (4) Здесь - поверхностная функция влияния полупространства, представляющая собой нормальные перемещения как решение задачи (1)-(3) с граничными условиями ; - дельта-функция Дирака. В пространстве интегральных преобразований Лапласа по времени и Фурье по переменной интегральный оператор в (4) переходит в произведение изображений ( - параметр преобразования Фурье, - параметр преобразования Лапласа, верхний знак «L» в обозначении функции здесь и далее означает ее трансформанту по Лапласу, а «F» - трансформанту по Фурье) [1, 7, 8]: (5) Изображение Фурье-Лапласа функции влияния имеют вид [1] 3. Метод решения Для построения решения используем граничное интегральное соотношение (5), переписав его в виде (6) Предположим, что функция допускает факторизацию (7) причем функции и ( ) таковы, что их оригиналы удовлетворяют условиям (8) где - постоянные, имеющие смысл скоростей. Полагаем также, что скорость движения точки смены граничных условий удовлетворяет неравенствам (9) В дальнейшем будем использовать следующие свойства операции свертки функций двух переменных. Свойство 1. Пусть функция при и при , , а функция при и при , , где , - постоянные, тогда при и при . Свойство 2. Пусть функция при и при , а функция при и при ( - постоянная) или сосредоточена на луче . Тогда если , то при . Аналогично, если при и , а функция при или сосредоточена на луче то при . Свойство 3. Пусть носитель функции сосредоточен на луче , а носитель функции - на луче . Тогда носителем свертки этих функций является объединение указанных лучей и областей между ними: при ; при Доказательства этих свойств немедленно следуют из того факта, что при указанных условиях носитель подынтегральной функции в операторе свертки по двум переменным имеет своим пересечением пустое множество: . Уравнение (6) с учетом (7) приводим к виду В пространстве оригиналов получаем (10) С учетом (8), (9) и свойства 2 имеем (11) С учетом (11) уравнение (10) представляем в виде Правая часть последнего равенства равна нулю при , а левая - при . Но так как они равны друг другу, то каждая из них может отличаться от нуля лишь в точках луча . Следовательно, каждая из них равна некоторой обобщенной функции с носителем в точках . Таким образом, (12) По теореме об обобщенных функциях с носителем в точках [27] функция имеет вид где - -я производная дельта-функции Дирака. Проводя свертку левых и правых частей уравнений (12) с функциями (в первом уравнении) и (во втором уравнении) с учетом того, что , получаем искомое решение Обобщенная функция должна определяться дополнительными условиями. В качестве этих условий примем естественные условия непрерывности нормальных перемещений при переходе через точку раздела граничных условий: Отметим, что функция порождает однородные решения. Действительно, если , а , то (13) 4. Факторизация функции влияния Как видно из предыдущего изложения, для получения окончательных результатов необходимо провести факторизацию изображения функции влияния . На плоскостях комплексных переменных и она имеет шесть особых точек: Особые точки первой пары являются простыми полюсами, а остальные - точками ветвления. , и - безразмерные фазовые скорости волн Рэлея, сдвига и растяжения-сжатия соответственно: . Скорость волны Рэлея , где - единственный корень уравнения . Представим функцию в виде произведения (14) где , имеют не более чем одну особую точку, как на плоскости , так и на плоскости . Как показано в [7], носитель функций , сосредоточен на луче , а носители функций , , как следует из свойства 3, есть объединения указанных лучей ( ) и областей между ними. Носитель функции, изображением которой является произведение , представляет собой объединение лучей и областей между ними: (15) Факторизация (14) позволяет получить представление (7), обладающее свойствами (8) в любом диапазоне скоростей движения точки раздела граничных условий: дорэлеевском ( ), дозвуковом ( ), трансзвуковом ( ) и сверхзвуковом ( ). При этом, очевидно, функции и должны состоять из произведений таких сомножителей , которые с учетом (15) обеспечат выполнение требований (8) (таблица). Носители и особые точки сомножителей представления (7) Supports of functions and special points of multiplier representations (7) Особые точки Особые точки Особые точки Особые точки При факторизация совпадает с самой факторизуемой функцией , , , а решение выражается формулами Здесь учтено, что согласно (6) , а также тот факт, что при возмущения не успевают достичь тех точек границы полуплоскости, для которых . Следовательно, , , что влечет равенство нулю также и функции . Рассмотрим вариант движения точки раздела граничных условий с дорелеевской скоростью: . При этом согласно таблице факторизацию следует провести так, чтобы особые точки функции оказались в верхней (нижней) полуплоскости переменного ( ), а особые точки функции - в нижней (верхней) полуплоскости переменного ( ). Для этого представим функцию так: При этом функция не имеет полюсов . Функция легко факторизуется простым разложением на множители: (16) Факторизацию функции в виде , где имеет особые точки, , а - , , проведем с помощью интеграла типа Коши [28, 29]. Заметим, что при при . Следовательно, при ( ). Значит, при ( ). Представляя факторизацию для в виде приходим к классической задачи о скачке кусочно-аналитической функции при переходе через действительную ось комплексного переменного [28, 29], решение которой имеет вид при этом при и при . Следовательно, (17) Функция аналитическая в верхней полуплоскости и имеет две особые точки , в нижней полуплоскости. Проведя разрез по мнимой оси в плоскости , соединяющий эти точки и замыкая контур интегрирования в нижнюю полуплоскость с учетом того, что при , путь интегрирования для в (17) можно перенести на берега указанного разреза. Рассмотрим интеграл , где контур состоит из отрезка действительной оси , полуокружности радиусом , двух окружностей , малым радиусом , окружающих особые точки , , и берегов разреза (рис. 1). Внутри области, ограниченной контуром и при , подынтегральная функция однозначная и аналитическая, следовательно, . При и интегралы по , , и исчезают: Следовательно, Рис. 1. Контуры интегрирования в комплексной плоскости Fig. 1. Contours of integration in the complex plane Так как на правом берегу разреза , а на левом - , то Проводя замену переменной , для получаем Аналогично для функции путь интегрирования в (17) можно перенести на берега разреза, соединяющего точки и . Для этого необходимо замкнуть контур интегрирования в верхнюю полуплоскость и применить теорему Коши ( ). Тогда с учетом замены имеем Найдем теперь оригиналы функций, входящих в представления (16), (17). Сначала найдем оригиналы функций, образующих представления , , , (знак « » означает взаимно однозначное соответствие между оригиналами и изображениями, штрихом обозначена производная функции): Теперь используем теорему о свертке [27] и свойство 3: Следовательно, Для определения оригиналов функций используем метод совместного обращения интегральных преобразований Фурье-Лапласа [7]. Сделаем замену : Тогда с учетом замены аналитическое представление [7] для принимает вид (крышечка над функцией означает ее аналитическое представление) а оригинал определяется формулой (18) Согласно формулам Сохоцкого [28, 29] граничные значения функции при таковы: где , а интеграл понимается в смысле главного значения по Коши. Тогда Замечая, что справедливы следующие соотношения: при , при , получаем следующее выражение для : (19) Учитывая, что свертка функции с производной от дельта-функции равна производной функции [27], из (18) и (19) получаем Аналогично определяются оригиналы функций : Выполняя аналогичные приведенным выше действия, можно получить представление (7) для других диапазонов скорости движения точки раздела граничных условий, представленных в таблице. 5. Асимптотические представления напряжений и перемещений в окрестности точки раздела граничных условий Построим представления для асимптотик напряжений и перемещений в окрестности границы области контакта . Пусть носители функций , и скорость движения границы определяются неравенствами (20) Положим сначала, что и введем обозначения (21) Тогда (22) (23) Предположим, что удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа о среднем приращении. Тогда (24) Как видно из (22), с учетом (20) и (24) на носителе подынтегрального выражения выполняются неравенства (25) Если , то из соотношений (25) следует, что при определении соответствующей асимптотики можно полагать . При этом для значений , , где непрерывна, . Тогда из (22) получаем где область определяется неравенствами (рис. 2) Рис. 2. Области интегрирования Fig. 2. Domains of integration С учетом (20) и (24) на носителе подынтегрального выражения в (23) выполняются неравенства Поэтому при построении соответствующей асимптотики для при следует положить . Тогда где область определяется неравенствами (см. рис. 2) Рассмотрим однородные решения, определяемые формулами (13). С учетом обозначений (21) из (13) с заменой получаем где (26) При и функции (26) можно заменить асимптотиками (27) (28) Из (20) и (27) следует, что при однородное решение имеет следующую асимптотику: . Аналогично из (20) и (28) при следует, что асимптотика для имеет вид Заключение Предложен метод решения нестационарных задач с подвижной точкой смены граничных условий. Получены разрешающие задачу явные интегральные формулы, позволяющие определить неизвестные перемещения и напряжения. Построены асимптотические представления напряжений и перемещений в окрестности точки смены граничных условий.

About the authors

D V Tarlakovskii

Lomonosov Moscow State University; Moscow Aviation Institute (National Research University)

Email: tdvhome@mail.ru

G V Fedotenkov

Moscow Aviation Institute (National Research University)

Email: greghome@mail.ru

References

  1. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. - М.: Наука: Физматлит, 1995. - 352 с.
  2. Mikhailova E.Yu., Fedotenkov G.V. Nonstationary Axisymmetric Problem of the Impact of a Spherical Shell on an Elastic Half-Space (Initial Stage of Interaction) // Mechanics of Solids. - 2011. - Vol. 46. - No. 2. - P. 239-247. doi: 10.3103/S0025654411020129
  3. Удар деформируемым цилиндрическим телом по упругому полупространству / Амар Абдул Карим Салман, А.Г. Горшков, Д.В. Тарлаковский, Г.В. Федотенков // Изв. РАН. МТТ - 2004. - № 3. - С. 82-90.
  4. Михайлова Е.Ю., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Нестационарный контакт сферической оболочки и упругого полупространства [Электронный ресурс] // Труды МАИ. - 2014. - № 78. - URL: http://www.mai.ru/upload/iblock/540/540b786eac60d751a2e5f5b8f745d731.pdf.
  5. Tarlakovskiy D.V., Fedotenkov G.V. Analytic investigation of features of stresses in plane nonstationary contact problems with moving boundaries // Journal of Mathematical Sciences. - 2009. - Vol. 162. - No. 2. - P. 246-253. doi: 10.1007/s10958-009-9635-4
  6. Lamb H. On the propagation of tremors over the surface on an elastic solid // Phil. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A. - 1904. - Vol. 208. - P. 1-42.
  7. Слепян Л.П., Яковлев Ю.С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. - Л.: Судостроение, 1980. - 344 с.
  8. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. - М.: Наука, 1986. - 328 с.
  9. Файншмидт В.Л., Шемякин Е.И. Распространение волн в упругом полупространстве, возбуждаемом поверхностной касательной силой // Учен. зап. ЛГУ. - 1954. - № 177. - Вып. 28. - С. 148-179.
  10. Hu De-sui An application of Ungar's differential transform to elastodynamics // Appl. math, and mech. - 1989. - Vol. 10. - No. 7. - P. 645-648.
  11. Kosloff D., Reshef M., Loewenthal D. Elastic wave calculations by the Fourier method // Bull. Seismol. Soc. Amer. - 1984. - Vol. 74. - No. 3. - P. 875-891.
  12. Richards P.G. Elementary solutions to Lamb's problem for a point source and their relevance to three-dimensional studies of spontaneous crack propagation // Bull. Seismol. Soc. Amer. - 1979. - Vol. 69. - No. 4. - P. 947-956.
  13. Steinfeld B., Takemiya K., Antes H. Analysis of transient 3d wave propagation in an elastic half-space. The classical approach and the direct boundary element method // Z. angew. Math, und Mech. - 1995. - Bd. 75. Suppl. - No. 1. - P. 283-284.
  14. Melnikov Y.A. Influence functions of a point source for perforated compound plates with facial convection // J. Eng. Math. - 2004. - Vol. 49. - No. 3. - P. 253-270.
  15. Churchman C.M., Korsunsky A.M., Hills D.A. The edge dislocation in a three-quarter plane. Pt I. Influence functions // Eur. J. Mech. A. - 2006. - Vol. 25. - No. 1. - P. 42-50.
  16. Tarlakovskii D.V., Fedotenkov G.V. Nonstationary 3D Motion of an Elastic Spherical Shell // Mechanics of Solids. - 2015. - Vol. 50. - No. 2. - P. 208-217. doi: 10.3103/S0025654415020107
  17. Зеленцов В.Б. Нестационарная динамическая контактная задача теории упругости об ударе параболического штампа в упругую полуплоскость // Изв. РАН. Мех. тверд. тела. - 2006. - № 1. - С. 28-46.
  18. Зеленцов В.Б. Об ударе плоского штампа в упругую полуплоскость // Прикл. мат. и мех. - 2006. - Т. 70, № 1. - С. 150-161.
  19. Аргатов И.И. Медленные нестационарные вертикальные движения штампа на поверхности упругого полупространства // Изв. РАН. Мех. тверд. тела. - 2007. - № 5. - С. 99-116.
  20. Рябченко В.П. Асимптотическое решение задачи о воздействии штампа на упругий слой, лежащий на поверхности сжимаемой жидкости бесконечной глубины // Прикл. мех. и техн. физ. - 2008. - Т. 49, № 2. - С. 131-142.
  21. Кубенко В.Д., Марченко Т.А. Плоская задача нестационарного вдавливания затупленного жесткого индентора в поверхность упругого слоя // Прикл. мех. - 2008. - Т. 44, № 3. - С. 55-65.
  22. Shmegera S.V. The initial boundary-value mixed problems for elastic half-plane with the conditions of contact friction // Int. J. Solids and Struct. - 2000. - Vol. 37. - No. 43. - P. 6277-6296.
  23. Зеленцов В.Б., Батурина Н.Ю. О движении плоского штампа по границе упругой полуплоскости // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - 2011. - № 3. - С. 40-48.
  24. Suvorov Ye.M., Tarlakovskii D.V., Fedotenkov G.V. The plane problem of the impact of a rigid body on a half-space modelled by a Cosserat medium // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. - 2012. - Vol. 76. - No. 5. - P. 511-518. doi: 10.1016/j.jappmathmech.2012.11.015
  25. Батурина Н.Ю., Митрин Б.И. Об одном приближенном решении интегрального уравнения в контактной задаче о движении штампа // Научное обозрение. - 2012. - № 6. - С. 71-73.
  26. Tarlakovskii D.V., Fedotenkov G.V. Two-dimensional nonstationary contact of elastic cylindrical or spherical shells // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. - 2014. - Vol. 43. - No. 2. - P. 145-152. doi: 10.3103/S1052618814010178
  27. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. - М.: Мир, 1978. - 508 с.
  28. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966. - 708 с.
  29. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1977. - 640 с.
  30. Гранично-элементное исследование поверхностных пористо-упругих волн / Л.А. Игумнов, И.С. Карелин, А.Н. Петров, А.Е. Петров // Проблемы прочности и пластичности: межвуз. сб. - Н. Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та. - 2013. - Вып. 75. - С. 134-143.
  31. Plane nonstationary problem of motion of the surface load over an elastic half space / L.A. Igumnov, A.S. Okonechnikov, D.V. Tarlakovskii, G.V. Fedotenkov // Journal of Mathematical Sciences. - 2014. - Vol. 203. - No. 2. - P. 193-201.
  32. Igumnov L.A., Belov А.А., Petrov А.N. Boundary-Element Modeling of the Dynamics of Elastic and Viscoelastic Bodies and Media // Advanced Materials - Studies and Application. Nova Science Publishers. - 2015. - P. 301-318.
  33. Igumnov L.A., Markov I.P., Amenitsky A.V. A three-dimensional boundary element approach for transient anisotropic viscoelastic problems // Key Engineering Materials. - 2014. - Vol. 685. - P. 267-271.

Statistics

Views

Abstract - 124

PDF (Russian) - 32

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2016 Tarlakovskii D.V., Fedotenkov G.V.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies