Calculation of the thermal conductivity coefficient of nanocrystals

Abstract


Mathematical modeling methods are powerful tools in the design of various types of nanosystems and the analysis of processes taking place in them. Note that the main tasks of mathematical modeling in nanoscale systems are: the formation of nanoelements, the interaction of individual elements of the nanosystem, the determination of the structure of the isolated nanosystem in dynamic states, the calculation of the parameters of the nanosystem during its interaction with the environment, the calculation of the macro parameters of the nanosystem. With this work, we continue the consistent presentation of theoretical foundations, methods of modeling, and results of calculations of macro characteristics of nanosystems, based on the work on modeling of processes of formation and structure of different nanosystems. This paper provides the physical basis as well as numerical methods for calculating the thermal conductivity of homogeneous nanosystems. Computer simulation of the calculation of the thermal conductivity coefficient of silicon-based nanocrystals by molecular dynamics was carried out in the LAMMPS software complex. Equations describing multi-particle MEAM potentials are considered. The problem of determining the thermal conductivity coefficient has been solved in several steps. In molecular dynamic calculations, the value of the thermal conductivity coefficient can be calculated in various ways. This work uses the Green - Kubo formalism, which associates the autocorrelation function of heat flow with the coefficient of thermal conductivity. Temperature dependencies of thermal conductivity coefficient for silicon-based materials are determined. Calculations of thermophysical characteristics of homogeneous silicon-based nanosystems were made. The curves of the temperature dependence of thermal conductivity coefficient for systems of different dimensions are presented. Data obtained using MEAM potentials were compared with experimental data. It was found that the nature of the curves and the values obtained during the simulation are well consistent with the experimental data.

Full Text

Введение Теплопроводность можно определить как количество тепла, передаваемого через единицу толщины материала - в направлении, нормальном к поверхности единицы площади, - из-за единичного температурного градиента в условиях устойчивого состояния. Теплопроводность - необходимая характеристика для рассеивания образовавшейся тепловой энергии в системе. Прогресс нанотехнологий за последние два десятилетия предоставил разнообразные системы с высокой теплопроводностью из различных типов материалов и топологических форм. Определение такой характеристики, как теплопроводность материала, является задачей, которой посвящено множество теоретических и экспериментальных исследований. Ввиду этого использование методов математического и компьютерного моделирования является перспективным для описания моделей процессов теплообмена. В данной работе приведены результаты расчетов теплофизических характеристик наносистем. В представленной статье в продолжение предыдущих исследований авторов [1; 2] рассмотрена задача расчета коэффициента теплопроводности однородных наносистем. Отметим, что решению задачи определения коэффициента теплопроводности кремния на наноуровне посвящен обширный ряд работ. В исследовании [3] коэффициент теплопроводности равен 20 Вт/(м·К), а в работе [4] - 235 Вт/(м·К). В статье [5] при моделировании использовался потенциал Стиллингера - Вебера, коэффициент теплопроводности равен 20 Вт/(м·К). В исследовании [6] коэффициент теплопроводности получился 37-43 Вт/(м·К). Отметим, что в источнике [7] получена диаграмма значений коэффициента теплопроводности для систем различной размерности. 1. Постановка задачи Моделирование системы проводилось с помощью программного пакета LAMMPS [8] методом молекулярной динамики [9]. Выбор потенциала взаимодействия играет важную роль при моделировании. В настоящее время для кремния доступно огромное количество многочастичных потенциалов. Наибольшее распространения при моделировании металлических и полупроводниковых систем применяют EAM (метод погруженного атома) потенциалы [10; 11] и MEAM (модифицированный метод погруженного атома) потенциалы [12-15]. В данной работе использовался потенциал взаимодействия MEAM. Задача расчета коэффициента теплопроводности может быть решена несколькими способами. Их описание можно найти в работах [16; 17]. В данной работе для определения теплофизических свойств наносистем использован метод Грина - Кубо. Решение задачи определения коэффициента теплопроводности осуществляется в несколько этапов. На первом этапе происходит формирование необходимой наноструктуры, которая помещается в расчетную ячейку с периодическими граничными условиями по осям x, y, z. Второй этап предполагает достижение равновесного состояния моделируемой системы посредством применения NPT ансамбля. Графики температуры и давления на протяжении данного этапа представлены на рис. 1, 2. Целью данного этапа является релаксация системы, при которой расчетная ячейка моделирования доводится до равновесного объема при заданных температуре, давлении и числе атомов. Скорости атомов масштабируются таким образом, чтобы при моделировании температура держалась на заданном уровне. Данный этап должен быть достаточно продолжительным, чтобы система уравновесилась. После достижения равновесия, постоянная решетки не будет существенно изменяться и колебаться. В молекулярной динамике важную роль играет выбор временного шага интегрирования, так как он определяет точность и эффективность расчета. Если временной шаг мал, то требуется больше времени вычислений для достижения желаемого времени моделирования. Если шаг велик, то большие силы могут развиваться на более легких атомах, что приведет к искусственно быстрым атомам. В работе используется шаг по времени 0,2 фс. Тестовые расчеты показали, что такая величина шага является подходящей для решения данного класса задач. Третий этап предполагает достижение равновесного состояния моделируемой системы посредством применения NVE ансамбля. На этом этапе моделирования объем (V) и полная энергия (E) системы «заморожены» из-за применения ансамбля NVE. «Удаление» термостатирования (T) и баростатирования (P) освобождает атомные движения из-за искусственного изменения масштаба. На рис. 3 представлен график температуры на протяжении всего третьего этапа моделирования. Видно, что система держит температуру в районе 300 К без применения термостатов. На рис. 4, 5 представлены графики общей энергии и объема расчетной ячейки на протяжении всего третьего этапа моделирование NVE. Рис. 1. График температуры системы 4´4´4 на втором этапе моделирования при температуре 300 К Fig. 1. Temperature graph of a 4´4´4 system at the second stage of modeling at a temperature of 300 K Рис. 2. График давления системы 4´4´4 на втором этапе моделирования при температуре 300 К Fig. 2. Pressure graph of a 4´4´4 system at the second stage of modeling at a temperature of 300 K Рис. 3. График температуры системы 4´4´4 на третьем этапе моделирования при температуре 300 К Fig. 3. Temperature graph of a 4´4´4 system at the third stage of modeling at a temperature of 300 K Рис. 4. График энергии системы 4´4´4 на третьем этапе моделирования при температуре 300 К Fig. 4. Energy diagram of a 4´4´4 system at the third stage of modeling at a temperature of 300 K а б Рис. 5. График изменения объема расчетной ячейки системы 4´4´4 на третьем этапе моделирования при температуре: а - 300 К; б - 1000 К Fig. 5. The graph of the change in the volume of the computational cell of the 4´4´4 system at the third stage of modeling at a temperature of: а - 300 K; б - 1000 K 2. Расчет коэффициента теплопроводности В молекулярно-динамических расчетах величину коэффициента теплопроводности можно вычислить различными способами [8]. В данной работе используется формализм Грина - Кубо (Green - Kubo), который связывает автокорреляционную функцию теплового потока с коэффициентом теплопроводности. Тепловой поток может быть рассчитан из колебаний потенциальной и кинетической энергии атома и тензора напряжения атома в стационарном уравновешенном моделировании. Это отличие от двух предыдущих неравновесных методов молекулярной динамики (NEMD), где энергия течет непрерывно между горячими и холодными областями в моделируемом образце. Коэффициент теплопроводности в модели Грина - Кубо рассчитывается по следующей формуле [18; 19]: (1) где - коэффициент теплопроводности - мерной системы с линейным размером, - температура, - постоянная Больцмана, - компонента потока тепла. Постоянная времени - это минимальное время, необходимое для того, чтобы автокорреляционная функция теплового потока затухала до нуля. Этот метод более подходит для анизотропных систем. Основным недостатком этого метода является то, что для затухания до нуля автокорреляционной функции теплового потока требуется много времени, а получаемые значения теплопроводности зависят от размера системы. Автокорреляционные функции справа в формуле (1) оцениваются в равновесии, без градиента температуры. Автокорреляция - статистическая взаимосвязь между случайными величинами из одного ряда, но взятыми со сдвигом, например, для случайного процесса - со сдвигом по времени. Автокорреляционная функция может быть определена как: Общий тепловой поток в системе вычисляется как где - плотность теплового потока. Порядок пределов в формуле (1) имеет большое значение. При правильных порядках пределов можно вычислить корреляционные функции с произвольными граничными условиями и применять формулу (1). Существуют различные формы записи уравнения (1) [20-25]. Существуют ситуации, когда формула (1) неприменима. Во-первых, для маленьких систем, которые изучаются в мезоскопической физике, термодинамический предел не имеет смысла. Во-вторых, во многих низкоразмерных системах перенос тепла аномальный и теплопроводность существенно отклоняется от экспериментальных значений [26; 27]. В таких случаях невозможно взять пределы в формуле (3). Поэтому тепловую проводимость рассматривают как функцию от длины L. В литературе, посвященной этой тематике [26; 27], обычно в формуле (1) меняют верхний предел интегрирования на L. Другой способ использования формулы Green - Kubo для конечных систем заключается в том, чтобы внедрять бесконечные резервуары, как это сделано в работах [28; 29]. В данной работе для расчета теплопроводности кремниевых наноструктур был выбран метод Green - Kubo. Для вычисления коэффициента теплопроводности использовалась следующая запись формулы (1) [8; 30]: , где - объем системы. На рис. 6 и 7 приведены значения коэффициента теплопроводности чистого кремния при различной температуре в сравнение с экспериментальными данными. Полученные в нашей работе значения хорошо согласуются с таковыми, представленными в работе для масштабных образцов [32]. Известно, что в металлах и полупроводниках работают два механизма переноса тепла: за счёт электронов и посредством фононов. В чистых металлах процесс переноса тепла осуществляется в основном посредством свободных электронов, концентрация которых на единицу объема в металлах весьма велика. При температурах, близких к абсолютному нулю (), концентрация фононов будет мала. Большую роль будет играть электронная теплопроводность. Следует отметить, что в чистых металлах при нормальных условиях теплопроводность электронного газа много больше решеточной теплопроводности. На рис. 6, 7 видно, что при повышении температуры, когда фононная проводимость будет играть большую роль, чем электронная, результаты моделирования и экспериментальные данные хорошо согласуются. Графики, показанные на рис. 8, 9, представляют собой усредненные корреляционные кривые тепловых потоков. Время сбора автокорреляционных данных должно быть достаточно большим, чтобы автокорреляция затухала до нуля. Были построены графики теплопроводности в различные моменты времени при температуре 300 К (рис. 9) и 1000 К (рис. 10). Как видно из рис. 10-11, после 20 пс система стабилизируется, и коэффициент теплопроводности выходит на стационарное значение. Рис. 6. График теплопроводности, полученный при моделировании системы 4´4´4, в сравнение с экспериментальными данными Fig. 6. Thermal conductivity graph obtained when simulating a 4´4´4 system in comparison with experimental data Рис. 7. График теплопроводности, полученный при моделировании системы 10´10´10, в сравнении с экспериментальными данными Fig. 7. Thermal conductivity graph obtained when simulating a 10´10´10 system in comparison with experimental data Рис. 8. График автокорреляционной функции теплового потока температуре 300 К Fig. 8. Graph of the autocorrelation function of the heat flux at a temperature of 300 K Рис. 9. График автокорреляционной функции теплового потока температуре 1000 К Fig. 9. Graph of the autocorrelation function of the heat flux at a temperature of 1000 K Рис. 10. График теплопроводности при температуре 300 К для системы 4´4´4 Fig. 10. Thermal conductivity graph at a temperature of 300 K for a 4´4´4 system Рис. 11. График теплопроводности при температуре 1000 К для системы 4´4´4 Fig. 11. Thermal conductivity graph at a temperature of 1000 K for a 4´4´4 system Заключение Построены физическая и математическая модели процессов теплопроводности в наноматериалах на основе кремния высокой плотности с использованием потенциала взаимодействия MEAM. Изложена методика расчета характеристик данного процесса. Также в работе показаны особенности и различия потенциалов взаимодействия, используемых в молекулярно-динамических расчетах. Определены зависимости коэффициента теплопроводности кремния от температуры для кристаллов различных размеров. Результаты расчетов показали, что значение коэффициента теплопроводности уменьшается с ростом температуры, что подтверждается экспериментальными исследованиями, результаты которых приведены в работах [34; 35].

About the authors

A. V Severyukhin

UdmFRC UB RAS

O. Yu Severyukhina

UdmFRC UB RAS

A. V Vakhrushev

UdmFRC UB RAS

References

  1. Исследование теплофизических свойств наноматериалов на основе кремния методом Green - Kubo с использованием потенциала EDIP / А.В. Вахрушев, А.В. Северюхин, О.Ю. Северюхина, А.Ю. Федотов // Химическая физика и мезоскопия. - 2016. - Т. 18, № 2. - С. 187-198.
  2. Исследование теплофизических свойств кремниевых наноматериалов методом Green - Kubo / А.В. Северюхин, О.Ю. Северюхина, А.В. Вахрушев, А.Ю. Федотов // Проблемы механики и материаловедения труды Института механики УрО РАН. - Ижевск. - 2016. - С. 210-223.
  3. Schelling P.K., Phillpot S.R. and Keblinski P.Comparison of atomic-level simulation methods for computing thermal conductivity // Phys. Rev. B. - 2002. - Vol. 65. - P. 144306 (12). doi: 10.1103/PHYSREVB.65.144306
  4. Lee Y., Lee S., and Hwang G.S. Effects of vacancy defects on thermal conductivity in crystalline silicon: A nonequilibrium molecular dynamics study // Phys. Rev. B. - 2011. - Vol. 83. - P. 125202 (7). doi: 10.1103/PHYSREVB.83.125202
  5. Thermal conductivity reduction in core-shell nanowires / M. Hu, X. Zhang, K.P. Giapis and D. Poulikakos // Phys. Rev. B. - 2011. - Vol. 84. - P. 085442 (9).
  6. Esfarjani K. and Chen G. Heat transport in silicon from first-principles calculations // Phys. Rev. B. - 2011. - Vol. 84. - P. 085204 (11). doi: 10.1103/PhysRevB.84.085204
  7. Slideserve [Электронный ресурс]. - URL: http://www.slideserve.com/guang/modeling-thermal-transport-at-single-interfaces-and-in-nanostructured-materials-using-non-equilibrium-molecular-dynamics (дата обращения: 07.09.2020).
  8. Lammps [Электронный ресурс]. - URL: https://lammps.sandia.gov (дата обращения 07.10.2020).
  9. Simulation of the processes of formation of quantum dots on the basis of the transition metals / A.V. Vakhrushev, O.Yu. Severyukhina, A.V. Severyukhin [et al.] // Nanomechanics Sci. Tech.Int. J. - 2012. - Vol. 3. - P. 51-75. doi: 10.1615/NanomechanicsSciTechnolIntJ.v3.i1.30
  10. Daw M.S., Baskes M.I. Embedded-atom method: derivation and application to impurities, surfaces, and other defects in metals // Phys. Rev. B. - 1984. - Vol. 29, № 12. - P. 6443-6453. doi: 10.1103/PHYSREVB.29.6443
  11. Daw M.S., Baskes M.I. Semiempirical, Quantum Mechanical Calculations of Hydrogen Embrittlement in Metals // Phys. Rev. Letters. - 1983. - Vol. 50, № 17. - P. 1285-1288.
  12. Daw M.S. Model of metallic cohesion: The embedded-atom method // Phys. Rev. B. - 1989. - Vol. 39, № 11. - P. 7441-7452. doi: 10.1103/PHYSREVB.39.7441
  13. Ruda M., Farkas D., Abriata J.Interatomic potentials for carbon interstitials in metals and intermetallics. Scripta Mater. - 2002. - Vol. 46, № 5. - P. 349-355.
  14. Tomar V., Zhou M. Classical molecular-dynamics potential for the mechanical strength of nanocrystalline composite fcc Al+α-Fe2O3 // Phys. Rev. B. - 2006. - Vol. 73, № 17. - P. 174116.
  15. Hohenberg P., Kohn W. Inhomogeneous electron gas. // Phys. Rev. B. - 1964. - Vol. 136, № 3. - P. 864-871. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRev.136.B864
  16. Вахрушев А.В., Северюхин А.В., Северюхина О.Ю. Расчет макрохарактеристик наносистем. Часть 1. Коэффициент теплопроводности однородных наносистем // Химическая физика и мезоскопия. - 2017. - Т. 19, № 2. - С. 167-181.
  17. Вахрушев А.В., Северюхин А.В., Северюхина О.Ю. Расчет макрохарактеристик наносистем. Часть 2. Коэффициент теплопроводности многокомпонентных наносистем // Химическая физика и мезоскопия. - 2017. - Т. 19, № 4. - С. 538-546.
  18. Green M.S. Markoff Random Processes and the Statistical Mechanics of Time-Dependent Phenomena. II. Irreversible Processes in Fluids //j. Chem. Phys. - 1954. - Vol. 22. - P. 398-413.
  19. Kubo R., Yokota M. and Nakajima S. Statistical-Mechanical Theory of Irreversible Processes. II. Response to Thermal Disturbance //j. Phys. Soc. Jpn. - 1957. - Vol. 12. - P. 1203-1211.
  20. Green M.S. Markoff Random Processes and the Statistical Mechanics of Time-Dependent Phenomena. II. Irreversible Processes in Fluids //j. Chem. Phys. - 1954. - Vol. 22. - P. 398-413.
  21. Mori H. Statistical-Mechanical Theory of Transport in Fluids // Phys. Rev. - 1958. - Vol. 112. - P. 1829-1842.
  22. Green M.S.Comment on a Paper of Mori on Time-Correlation Expressions for Transport Properties // Phys. Rev. - 1960. - Vol. 119. - P. 829-830.
  23. Kadanoff L.P. and Martin P.C. Hydrodynamic equations and correlation functions // Annals of Physics. - 1963. - Vol. 24. - P. 419-469.
  24. Luttinger J.M. Theory of Thermal Transport Coefficients // Phys. Rev. - 1964. - Vol. 135. - P. A1505-A1514.
  25. Visscher W.M. Transport processes in solids and linear-response theory // Phys. Rev. A. - 1974. - Vol. 10. - P. 2461-2472.
  26. Lepri S., Livi R. and Politi A. Thermal conduction in classical low-dimensional lattices // Phys. Rep. - 2003. - Vol. 377. - P. 1-80. doi: 10.1016/S0370-1573(02)00558-6
  27. Kundu A., Dhar A. and Narayan O. The Green-Kubo formula for heat conduction in open systems //j. Stat. Mech. - 2009. - I. 3. - L03001. - P. 1-4. doi: 10.1088/1742-5468/2009/03/L03001
  28. Allen K.R. and Ford J. Lattice Thermal Conductivity for a One-Dimensional, Harmonic, Isotopically Disordered Crystal // Phys. Rev. - 1968. - Vol. 176. - P. 1046-1055.
  29. Fisher D.S. and Lee P.A. Relation between conductivity and transmission matrix // Phys. Rev. B. - 1981. - Vol. 23, № 12. - P. 6851-6854.
  30. Allen K.R. and Ford J. Lattice Thermal Conductivity for a One-Dimensional, Harmonic, Isotopically Disordered Crystal // Phys. Rev. - 1968. - Vol. 176. - P. 1046-1055.
  31. Fisher D. S. and Lee P. A. Relation between conductivity and transmission matrix // Phys. Rev. B. - 1981. - Vol. 23, № 12 - P. 6851-6854.
  32. Lammps [Электронный ресурс]. - URL: http://lammps.sandia.gov/doc/compute_heat_flux.html (дата обращения 07.09.2020).
  33. Simulation of the processes of formation of quantum dots on the basis of the transition metals / A.V. Vakhrushev, O.Yu. Severyukhina, A.V. Severyukhin [et al.] // Nanomechanics Sci. Tech.Int. J. - 2012. - Vol. 3. - P. 51-75. doi: 10.1615/NanomechanicsSciTechnolIntJ.v3.i1.30
  34. Howell Р.С.Comparison of molecular dynamics methods and interatomic potentials for calculating the thermal conductivity of silicon // The Journal of Chemical Physics. - 2012. - Vol. 137. - Р. 224111.
  35. Теплофизические свойства компонентов горючих систем / Ю.Е. Шелудяк, Л.Я. Кашпоров, Л.А. Малинин, В.Н. Цалков. - М.: НПО, 1992. - 184 с.

Statistics

Views

Abstract - 27

PDF (Russian) - 21

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2022 Severyukhin A.V., Severyukhina O.Y., Vakhrushev A.V.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies