Full Text

1. Циклическое нагружение неупругих конструкций: пошаговый анализ, асимптотическое состояние и прямые методы В современной механике деформируемого твердого тела асимптотическое состояние неупругих конструкций, подверженных циклическому нагружению, вызывает особый интерес. Отклик конструкции, подверженной действию периодического механического (и/или температурного) нагружения, чрезвычайно сложен и может включать неупругие (пластические, вязкопластические) деформации. Причина возникающих сложностей в описании поведения конструкции заключается в необходимости выполнения вычислений, включающих всю историю нагружения. Элементы конструкций, находящиеся в реальных эксплуатационных условиях, нередко испытывают воздействие переменных температур и нагрузок. Если тело деформируется упруго, то при переменных нагрузках прочность определяется усталостными характеристиками материала, разрушение наступает после большого числа циклов. Если же тело испытывает упругопластическую деформацию, то при нагрузке ниже предельной возможно достижение опасного состояния при сравнительно малом числе циклов. При этом следует различать два случая. Первый - разрушение наступает вследствие чередования пластических деформаций разного знака (например, после пластического растяжения происходит пластическое сжатие и т.д.). Это - знакопеременная пластичность (пластическая или малоцикловая усталость). Второй - пластические деформации нарастают с каждым циклом, что приводит к недопустимому их накоплению (прогрессирующая деформация - рэтчетинг) [1-23]. При проектировании безопасным режимом считается приспособляемость, рэтчетинга же следует избегать. В связи с этим обстоятельством потребность в знании на ранних стадиях проектирования асимптотического поведения неупругого тела после большого числа циклов нагружения является весьма актуальной [2, 3]. Для установления асимптотического состояния тела разработано два класса методов: прямые методы [2-6] и методы инкрементального (пошагового) анализа [7-9]. Поскольку проблемы определения асимптотического состояния неупругих тел в последнее время вызывают значительный интерес, в литературе предлагаются решения множества прикладных задач прочности при циклической нагрузке различных конструкций: рельсов, инструментов и деталей машин [10-27]. В работе [24] приведен обзор существующих теорем, позволяющих определить предельные нагрузки при малых перемещениях путем решения задачи оптимизации и показано, что в настоящий момент все рассмотренные теоремы используют принцип линейной суперпозиции для формирования сочетаний нагрузок. Сделан вывод о невозможности использования теорем приспособляемости для конструкций, поведение которых геометрически нелинейно. В [25] предложен новый метод определения нижней оценки границы упругой приспособляемости и расчетная схема, а также выполнена практическая реализация метода (численный анализ) на примере контактной задачи качения неизношенного колеса подвижного состава по рельсу на кривом участке пути. В статье [26] исследуется явление приспособляемости тел при контактном взаимодействии. Анализируются условия применимости теорем контактной приспособляемости. Приведены результаты конечно-элементного моделирования, подтверждающие условия достижения контактной приспособляемости при сухом трении упругих тел. В [27] выполняется обобщение теоремы контактной приспособляемости на случай взаимодействия многих тел и рассматривается приложение полученных результатов к практической задаче повышения долговечности шарошечного долота. В настоящей работе выполнено инкрементальное пошаговое двухосное нагружение упругопластической пластины с эллиптическим отверстием. По одной из осей к пластине приложена периодическая нагрузка. В процессе анализа полученной расчетной информации выявлены три различных типа асимптотического поведения рассматриваемой пластины. Найдены диапазоны изменения нагрузок, отвечающие трем асимптотическим режимам поведения неупругой конструкции. Расчеты проведены для трех различных материалов конструкции. Проведен анализ полученных диапазонов, выявлены общие закономерности. 2. Вычислительный эксперимент Методы инкрементального анализа требуют значительных затрат времени и проведения большого числа вычислительных экспериментов [1-9]. Прямые методы нацелены на преодоление недостатков инкрементального анализа, однако разработанная теория еще далека от завершения и от повсеместного практического использования [2, 4, 9, 11, 13]. В силу указанных причин в рамках настоящей работы осуществлено инкрементальное нагружение упругопластической пластины с эллиптическим отверстием с целью выявления различных асимптотических режимов поведения неупругой конструкции и определения нагрузок, ведущих к реализации режимов приспособляемости, циклической пластичности и прогрессирующего нарастания пластической деформации. Реализация и исследование трех асимптотических режимов нагружения проводились на примере простой конструкции - квадратной пластины с центральным эллиптическим отверстием. Геометрия пластины представлена на рис. 1. Рис. 1. Геометрия исследуемой модели: четверть нагруженной пластины с эллиптическим отверстием Fig. 1. Geometry of the studied model: one fourth of the loaded plate with an elliptical hole Длина стороны пластины составляет 16 дм. Отношение длины стороны пластины к ее толщине составляет 0,02. Полуоси эллипса обозначим через и (в расчетах принималось, что = 3 дм, = 2 дм). Оси координат выберем таким образом, чтобы ось располагалась по большой оси эллипса. Рассмотрим случаи, когда пластина выполнена из меди, различной по своим механическим свойствам: а) плотность кг/м3, модуль Юнга кг/м2, коэффициент Пуассона [28]; б) плотность кг/м3, модуль Юнга кг/м2, коэффициент Пуассона [29]; в) плотность кг/м3, модуль Юнга кг/м2, коэффициент Пуассона [29]. Пластина подвержена действию двухосной нагрузки, причем по одной из осей она циклическая. Схематично приложенное нагружение показано на рис. 1. Упругопластический анализ Приведём конечно-элементное решение задачи о циклическом нагружении упругопластической пластины с эллиптическим отверстием. Целью настоящего конечно-элементного анализа является определение нагрузок (границ приспособляемости, циклической пластичности и рэтчетинга), при которых реализуются эти режимы нагружения. Рассматривается тело, занимающее объем (пластина с эллиптическим отверстием, четверть которой изображена на рис. 1). На границе тела заданы следующие нагрузки: на горизонтальных гранях пластины приложена периодическая нагрузка, изменяющаяся по закону (рис. 2). На вертикальных гранях пластины приложена статическая растягивающая нагрузка где - предел текучести материала; - коэффициенты пропорциональности, позволяющие варьировать амплитуду приложенной нагрузки. Предполагается, что пластина выполнена из материала, являющегося упругопластическим. Полная деформация складывается из упругой и пластической деформации: , где - упругая и - пластическая деформация соответственно. Для упругой составляющей справедлив закон Гука: . В качестве физических соотношений для пластической деформации применяются уравнения теории пластического течения. Для пластической среды в пространстве напряжений вводится поверхность текучести . Пластические деформации определяются ассоциированным законом пластического течения: . Рис. 2. Изменение приложенной нагрузки с течением времени Fig. 2. Applied load within certain time periods Необходимо определить асимптотическое состояние тела после большого числа циклов приложенной нагрузки и возможные режимы поведения тела под действием приложенной совокупности циклической и статической нагрузок. Математическая постановка задачи сводится к решению системы уравнений равновесия: в области , в области , в области . На границе тела приложены нагрузки: на грани приложена периодическая нагрузка , на - статическая нагрузка . Граничные условия на плоскостях симметрии четверти пластины представлены на рис. 1. Конечно-элементный анализ Серия расчетов выполнялась в многофункциональном конечно-элементном пакете SIMULIA Abaqus [28]. Пластические свойства материалов модели в конечно-элементном комплексе SIMULIA Abaqus задаются таблицей. Первое значение в первом столбце таблицы соответствует пределу текучести материала, а последнее в первом столбце - пределу прочности материала [28-30]. Зависимость напряжений и соответствующих ему пластических деформаций для меди Dependence of stresses and related plastic deformations for copper Вариант а Вариант б Вариант в Напряжение, кг/м2 Пластическая деформация Напряжение, кг/м2 Пластическая деформация Напряжение, кг/м2 Пластическая деформация 54×104 0 210×106 0 60×106 0 58×104 0,0006 240×106 0,0055 100×106 0,09 63×104 0,0080 280×106 0,015 140×106 0,15 69×104 0,0013 300×106 0,02 170×106 0,23 74×104 0,0018 320×106 0,025 200×106 0,36 78×104 0,0023 360×106 0,03 220×106 0,45 Была проведена серия расчетов асимптотического состояния конструкции, где коэффициенты пропорциональности величины приложенной нагрузки ( ) варьировались в диапазоне от 0 до 1,3. Периодическая природа нагружения хорошо прослеживается на полученных графиках изменения интенсивности касательных напряжений с течением времени для разных типов поведения конструкции (рис. 3). Рис. 3. Циклический характер изменения интенсивности касательных напряжений (синяя кривая - в условиях приспособляемости; зеленая кривая - в условиях циклической пластичности; красная кривая - в условиях прогрессирующей пластической деформации (рэтчетинга) Fig. 3. Cyclic behavior related to changing the intensity of shear stresses (blue curve - in case of adaptivity; green curve: in case of cycle plestcity; red curve - in case of a progressive plastic deformation (ratcheting) Видно, что для разных асимптотических режимов поведения тела всегда наблюдается циклический характер напряжений. Эта особенность поведения напряжений в конструкции, подверженной периодической нагрузке, заложена в основу большинства прямых методов нахождения асимптотического состояния [2, 4, 9, 11, 13]. В результате изменения величины нагрузки для исследуемой упругопластической пластины были выявлены все три возможных асимптотических режима поведения (рис. 4-6) и определены нагрузки и их соотношение по осям и , ведущие к смене режима работы конструкции. Рис. 4. Пластические деформации в модели при реализации типа асимптотического поведения - приспособляемость Fig. 4. Plastic deformations in the model in case of asymptotical behavior - adaptivity Рис. 5. Пластические деформации в модели при реализации типа асимптотического поведения - циклическая пластичность Fig. 5. Plastic deformations in the model in case of asymptotical behavior - cycle plasticity Рис. 6. Пластические деформации в модели при реализации типа асимптотического поведения - рэтчетинг Fig. 6. Plastic deformations in the model in case of asymptotical behavior - ratcheting По характеру изменения пластических деформаций с течением времени можно судить о типе асимптотического поведения, реализующегося в конструкции после определенного числа циклов нагружения. На рис. 4 для наглядности показаны компоненты пластической деформации в модели из меди (рис. 4, б) при реализации режима приспособляемости для расчетных значений нагрузок: а) (синяя кривая) и (зеленая кривая) для кН/м2; б) (синяя кривая) и (зеленая кривая) для кН/м2, кН/м2. На рис. 5 показаны компоненты пластической деформации в модели из меди (рис. 5, а) при реализации режима циклической пластичности: а) (синяя кривая) и (зеленая кривая) для кН/м2; б) (синяя кривая) и (зеленая кривая) для кН/м2; На рис. 6 показаны компоненты пластической деформации в модели из меди (рис. 6, б) при реализации режима рэтчетинга: а) (синяя кривая) и (зеленая кривая) для кН/м2, кН/м2; б) (синяя кривая) и (зеленая кривая) для кН/м2, кН/м2. Зависимость деформаций от напряжений с течением времени также может ярко охарактеризовать тип асимптотического поведения конструкции. На рис. 7, а представлен график зависимости величины от , характерный для приспособляемости. Рис. 7. График зависимости деформаций от напряжений (30 циклов нагружения) в модели при реализации типа асимптотического поведения: а - приспособляемость; б - циклическая пластичность; в - рэтчетинг Fig. 7. Chart on dependence between deformations and stresses (30 cycles of loading) in the model in case of asymptotical behavior: a - adaptivity; b - cycle plasticity; c - ratcheting Математически данную зависимость для любой точки (где - конкретный момент времени; - период нагружения) внутри стабилизированного асимптотического цикла описывают в следующем виде: где - скорость пластических деформаций в стабилизированном цикле. На рис. 7, б представлен график зависимости величины от , характеризующий циклическую пластичность: На рис. 7, в показан график зависимости величины от , характерный для прогрессирующей пластической деформации [8]: . При моделировании данного режима можно отчетливо наблюдать картину возникновения и развития пластического течения в пластине (рис. 8). а б в г д е ж з Рис. 8. Пластические деформации в модели при реализации типа асимптотического поведения - рэтчетинг при: а - с; б - с; в - с; г - с; д - с; е - с; ж - с; з - с Fig. 8. Plastic deformations in the model in case of asymptotical behavior - ratcheting at: а - с; b - с; c - с; d - с; e - с; f - с; g - с; h - с Полученные в результате проведенных конечно-элементных расчетов данные были обобщены и оформлены в виде диаграммы (рис. 9), на которой определены области нагрузок для трех материалов, соответствующие тому или иному типу асимптотического поведения пластины. Тип поведения всей конструкции определялся по типу поведения наиболее деформированного элемента пластины. Положение элемента варьировалось в зависимости от конкретного варианта приложенной нагрузки. Рис. 9. Результаты численного анализа: диаграмма областей нагрузок, отвечающих различным режимам асимптотического поведения пластины с эллиптическим отверстием Fig. 9. Results of numerical analysis: chart of loading areas corresponding to different modes of asymptotical behavior related to the plate with an elliptical hole Красным цветом обозначены пределы значений нагрузок и для рэтчетинга, синим - циклической пластичности и зеленым - приспособляемости (см. рис. 9). Рэтчетинг при отсутствии циклической нагрузки наступает при нагружении, практически равном пределу прочности материала. Данная диаграмма позволяет определить для конструкции те величины нагрузок, при которых ее работа будет безопасной, то есть будет реализовываться режим приспособляемости, что позволит избежать опасных режимов работы. Из рис. 9 видно, что для разных материалов пределы приспособляемости, знакопеременной пластичности и прогрессирующего пластического течения различны, но качественная картина областей подобна для всех трех изученных материалов. Пользуясь данным наблюдением, можно ввести в рассмотрение безразмерные параметры , и построить диаграммы и на плоскости для всех трех материалов. Результаты изображены на рис. 10. Из рис. 10 видно, что все кривые, обозначающие границы областей асимптотических состояний, совпадают и ложатся на единую кривую. В координатах и все расчетные точки, полученные в ходе вычислительного эксперимента, легли на единую кривую. Таким образом, проведенный вычислительный эксперимент обнаружил независимость характерных областей на диаграмме от механических свойств материалов. Следовательно, нет необходимости проводить многочисленные расчеты для каждого отдельно выбранного материала. Рис. 10. Результаты численного анализа: обобщенная диаграмма областей нагрузок, отвечающих различным режимам асимптотического поведения пластины с эллиптическим отверстием Fig. 10. Results of numerical analysis: generalized chart of loading areas corresponding to different modes of asymptotical behavior related to the plate with an elliptical hole За счет выбранной нормировки все вычислительные диаграммы, соответствующие отдельным материалам, укладываются в одну общую кривую с минимальным разбросом точек. Удобство обобщенной диаграммы заключается в возможности получения асимптотического поведения неупругой конструкции для материалов, для которых не производились объемные компьютерные вычисления. Выводы Посредством выбора и можно варьировать нагрузку, приложенную к пластине, и рассматривать полный диапазон статических и циклических нагрузок, под действием которых находится конструкция. В работе выполнена и интерпретирована большая серия экспериментов компьютерного (имитационного) моделирования поведения упругопластических тел, находящихся под действием периодической нагрузки для всех значений и (в полном диапазоне значений коэффициентов и ). На основании проведенного вычислительного эксперимента определены диапазоны нагрузок, при которых в пластине с центральным эллиптическим отверстием, подверженной циклическому нагружению, достигаются режимы приспособляемости, знакопеременной пластичности и рэтчетинга. Приведены результаты исследования диаграмм, изображающих зависимость типа асимптотического поведения конструкции под действием циклического нагружения от приложенных нагрузок, отнесенных к пределу прочности материала. Построена типичная диаграмма, определены ее главные черты. Границы диапазонов распределения типов асимптотического поведения определенной конструкции, подверженной одинаковому по структуре нагружению, для различных материалов совпадают и ложатся на одну кривую. Для трех различных по свойствам материалов области совпадают. Таким образом, предложена удобная нормировка результатов вычислительного эксперимента, позволяющая представить вычисления с помощью обобщенной диаграммы асимптотического поведения конструкции. Полученные результаты инкрементального анализа могут быть полезными для последующей проверки расчетов режимов асимптотического поведения неупругой конструкции с использованием прямых методов. Прямые методы определения асимптотического поведения неупругих тел дадут возможность существенного уменьшения вычислительных затрат на определение диапазонов безопасных нагрузок эксплуатации тестовых образцов, что позволит, в свою очередь, совершенно по-новому организовать проектирование и ремонт конструкций в различных инженерных приложениях.

About the authors

V A Turkova

Samara University

Email: turkovavera2016@yandex.ru

L V Stepanova

Samara University

Email: stepanovalv@samsu.ru

References

Statistics

Views

Abstract - 200

PDF (Russian) - 105