Full Text

1. Постановка задачи. Исходная конфигурация В первой части работы [1] была сформулирована задача теории упругости в постановке плоской деформации о полубесконечной трещине, проходящей вдоль части границы, разделяющей два изотропных упругих слоя с произвольными соотношениями толщин и упругих свойств. Самоуравновешенная нагрузка, характеризуемая главным вектором и изгибающим моментом, предполагалась приложенной на бесконечности со стороны трещины. Путем применения преобразования Лапласа задача была сведена к задаче Римана-Гильберта с матричным коэффициентом. Там же в предположении возможности пренебрежения влиянием нормальных напряжений на сдвиговые смещения и сдвиговых напряжений на нормальные смещения задача сведена к двум скалярным задачам Римана-Гильберта. Одна из задач - задача о нормальном отрыве - была решена. Далее рассматривается вторая из намеченных задач - задача о сдвиговой трещине. Для решения используется та же постановка [2], а именно - предположение о возможности пренебречь указанным перекрестным влиянием нормальных напряжений на касательные смещения и касательных напряжений на нормальные смещения. Данный подход может рассматриваться как приближенный, причем рассматриваемое приближение заведомо не хуже общепринятого приближения, заключающегося в рассмотрении узкого слоя в рамках теории балок либо стержней [3-7]. Однако существует прототип данной математической формулировки, для которого получаемое решение является точным, а именно для случая, когда прилегающие слои могут скользить друг относительно друга, но удерживаются силами адгезии от нормального отрыва. В любом случае для граничных условий, получаемых исходя из указанной постановки, решение получено строго. Исходная конфигурация задачи представлена на рис. 1. Рис. 1. Расслоение составного слоя сдвиговой трещиной. Геометрия задачи В условиях плоской деформации рассматривается неоднородная упругая полоса , составленная из двух изотропных частей с различными упругими свойствами. Вдоль части границы имеется полный контакт, вдоль оставшейся части границы - контакт отсутствует. Все величины, относящиеся к нижней полосе , обозначаются индексом 1, относящиеся к верхней - индексом 2. Предполагается, что все поверхности свободны от напряжений, при и при а нагрузка с эквивалентными главным вектором приложена на бесконечности, так что Здесь - компоненты вектора смещения; - компоненты тензора напряжений. Условие , безусловно, не охватывает весь класс однородных задач для рассматриваемой конфигурации, оставляя в стороне рассмотрение, например, однородного нагружения на бесконечности. Однако для большинства подобных задач решения могут быть получены элементарными методами [8]. Условия сопряжения на границе имеют вид при Модифицированные для условий плоской деформации модули Юнга и коэффициенты Пуассона материалов обозначим соответственно. С обычными модулями Юнга и коэффициентами Пуассона они связаны соотношениями Предположение о возможности пренебрежения влиянием нормальных напряжений, действующих на линии продолжения трещины, на сдвиговые смещения равносильно пренебрежению самими нормальными напряжениями. Это приводит к дополнительному условию при Данное условие неявно используется при моделировании узкого слоя стержнем при контакте с другим телом [3-7]. Для каждой из полос выполняются основные уравнения теории упругости, применение преобразования Лапласа к которым приводит к задаче Римана-Гильберта на мнимой оси ( ) (см. Приложение): , Кроме того, должны выполняться условия в опорных точках (в рассматриваемом случае - в нуле и на бесконечности), характеризующие возможность наличия, тип и порядок сингулярностей в данных точках. Так, для р, стремящегося к нулю, из уравнения следует Для р, стремящегося к бесконечности, исходя из наличия корневой особенности в нуле оригинала в напряжениях, на основании теоремы абелевого типа [9] следует Кроме того, из элементарных соображений следует, что горизонтальные смещения верхней полосы при будут расти как , а нижней - как , что в Лаплас-образах согласно [10], даст Для решения поставленной задачи необходимо представить ее коэффициент в виде произведения двух функций, аналитичных в правой и левой полуплоскостях комплексного переменного р: После нахождения окончательное решение дается с помощью теоремы Лиувилля Здесь - функция, подлежащая определению. Поскольку индекс (в определении [11]) коэффициента краевой задачи, определяемой уравнением , равен минус единице, данная функция может содержать лишь одну константу и имеет вид Здесь - целая постоянная, определяемая характером поведения решения в нуле либо на бесконечности, - постоянная, определяемая из граничных условий. 2. Решение задачи Римана-Гильберта для сдвиговой трещины Уравнения , могут быть записаны в виде Здесь - мнимая ось. Применением стандартного приема факторизации арктангенса через гамма-функцию решение может быть выражено следующим образом: Асимптотические разложения вблизи имеют вид Здесь Интегрирование последнего выражения по частям с учетом свойств интеграла Коши [12, 13] дает Обе формы , не представляют сложности для численного интегрирования. Однако для анализа последнее выражение полезно преобразовать, разбив на два интеграла, первый из которых вычисляется в замкнутой форме Из на основании находим Подстановка и в и разложение для дает Выражение есть асимптотика образа Лапласа от производной скачка смещения. На основании свойств преобразования Лапласа (например, [10]) образ самого смещения получается делением его на . Члены разложения высшего порядка могут быть получены дальнейшим умножением на произвольное число раз, применением обратного преобразования Лапласа с последующим дифференцированием оригинала такое же число раз. Ограничиваясь двумя членами, с учетом , окончательно получаем для В формуле первый член соответствует смещению, посчитанному в стержневом приближении. Коэффициент 4 появляется за счет того, что сила приложена не по центрам верхней и нижней полосы (как при расчетах в стержневом приближении), вызывая изгибы, сопровождающиеся дополнительными смещениями нижнего края верхней полосы на величину и верхнего края нижней полосы на величину . Оставшийся член, деленный на , может рассматриваться как коэффициент упругой заделки, т.е. как коэффициент пропорциональности между смещением в точке заделки и приложенным усилием. Численные значения представлены на рис. 2, 3. Для больших соотношение приближенно описывается формулой Знание коэффициента упругой заделки полезно при решении задач, связанных с отслоением покрытий [14-19]. Рис. 2. Значение коэффициента упругой заделки в зависимости от отношения модулей: сплошная линия - h = 1; пунктирная линия - h = 5; точечная линия - h = 20 Рис. 3. Значение коэффициента упругой заделки в зависимости от h: сплошная линия - пунктирная - точечная - штрих-пунктирная - 3. Определение параметров разрушения При для справедливо следующее асимптотическое разложение: Подстановка и в и разложение для больших по абсолютной величине отрицательных дает (35) Последнее выражение немедленно дает асимптотику напряжений при (36) Отсюда коэффициент интенсивности напряжений (КИН) (37) С другой стороны, из первого члена находим изменение упругой энергии системы при продвижении трещины: (38) Сравнение (37) и (38) показывает, что связь между параметрами разрушения имеет традиционный вид [20, 21] (39) Полученные выражения для КИН (37) и скорости высвобождения энергии (38) для совпадает с решением, полученным элементарным методом (например [22]). Для , что соответствует полубесконечной трещине параллельной границе полуплоскости, значение выражения для скорости высвобождения энергии (38) совпадает с выражением, полученным в [23, 24]. Однако в общем случае для тел с классическим условием контакта в точном решении будут присутствовать обе моды, поэтому приведенный анализ для определения параметров разрушения может рассматриваться только как приближенный. Согласно поле напряжений вблизи вершины трещины описывается простой корневой особенностью: осцилляции не наблюдается. Очевидно, что отсутствие осциллирующих членов следует из принятых в постановке задачи условий. Заключение Получено решение однородной задачи о полубесконечной сдвиговой трещине, проходящей вдоль интерфейса, разделяющей два упругих слоя с отличающимися свойствами. В предположении возможности пренебрежения влияния нормальных напряжений на сдвиг с помощью применения преобразования Лапласа задача сведена к задаче Римана-Гильберта. Путем факторизации получены асимптотические выражения для смещений берегов трещины вблизи и вдали от ее вершины. Показано, что ведущие члены асимптотики смещений берегов трещины вдали от вершины трещины соответствуют смещению стержня при граничных условиях типа упругой заделки, т.е. условиях пропорциональности смещения в точке заделки продольному усилию. Получена асимптотика поля напряжений вблизи вершины трещины, имеющего корневую особенность, соответствующая коэффициенту интенсивности напряжений. Показано, что принятые при постановке задачи допущения приводят к отсутствию осциллирующих членов в поле напряжений и смещений при приближении к вершине трещины. Вычислена скорость высвобождения энергии при росте трещины. Приложение Вывод основного уравнения рассматриваемой задачи Римана-Гильберта В декартовой системе координат рассматривается плоскодеформированное состояние полосы , верхняя граница которой свободна от напряжений, (40) а к нижней границе приложена система нагрузок (41) (42) Здесь - заданные функции. Изложение следует в основном в [11]. Полная система уравнений теории упругости включает: 1) уравнения равновесия при отсутствие объемных сил (43) (44) Здесь - компоненты тензора напряжений; 2) уравнения Закона Гука, выраженные через компоненты смещений (45) (46) Здесь - модуль Юнга и коэффициент Пуассона полосы; 3) уравнение совместности, выраженное через компоненты тензора напряжений (47) Применим к уравнениям (43)-(47) и граничным условиям (40)-(42) двустороннее преобразование Лапласа, определяющее образ функции как (48) Обратное преобразование при этом определяется как (49) где направление обхода по контуру , соответствующему мнимой оси, осуществляется сверху вниз. После этого находим связь между действующими на нижней границе полосы нагрузками и производными от компонент смещений (подробнее [1]): (50) (51) Здесь (52) В силу условия , которое согласно (48) приводит к обнулению , система (50)-(51) распадается, первое из уравнений (50) преобразуется к скалярному уравнению, связывающему образы касательных напряжений и производной тангенциальных смещений (53) Проделывая аналогичную процедуру для полосы , вычисляем связь Лаплас-образов от величин напряжения и разности смещения -. Здесь использовано свойство равенства нулю скачка смещения для отрицательной полуоси и равенства нулю напряжений для положительной полуоси. Более подробный вывод представлен в [1], где выведено матричное уравнение, которое можно свести к скалярному при выполнении условия , т.е. положив в (7) из [1] .

About the authors

K B Ustinov

A. Yu. Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics RAS; Moscow Aviation Institute

References

Statistics

Views

Abstract - 131

PDF (Russian) - 78