Full Text

Введение Волокнистые высокопористые материалы на основе керамических волокон широко применяются для теплозащиты и теплоизоляции элементов конструкций авиакосмической техники [1]. Подобные материалы использовались при создании теплозащитных покрытий многоразовых космических кораблей «Буран», «Спейсшаттл» [2, 3]. В связи с разработкой перспективных высокоскоростных летательных аппаратов к таким материалам в настоящее время предъявляются повышенные требования по теплозащитным свойствам, прочности, низкой плотности. Для создания материалов с оптимальным комплексом свойств проводятся как экспериментальные, так и теоретические исследования (см., например, [4-10]. В настоящее время для волокнистых теплозащитных материалов используются модели прогноза теплофизических свойств, позволяющие получать аналитические [6, 7] и численные оценки [10]. Однако, как отмечается в отечественных [1, 5] и зарубежных [8, 9] работах, механические свойства теплозащитных материалов на основе керамических волокон также являются их важной эксплуатационной характеристикой. В настоящей работе рассматриваются вопросы моделирования и прогноза характеристик жесткости и прочности высокопористых материалов, которые могут быть образованы керамическими волокнами или нитевидными кристаллами оксида алюминия, нитрида кремния, муллита, оксида циркония и др. (рис. 1). Рис. 1. Волокнистая высокопористая структура, образованная волокнами альфа-фазы нитрида кремния Fig. 1. Fibrous high porous structure formed with alpha-phase fibers of silicon nitride Волокнистые материалы на основе керамических волокон обладают сложной хаотичной структурой, которая характеризуется следующими основными параметрами: объемное содержание пористости, диаметр и длина волокон (или распределение по размерам), средний угол ориентации волокон, объемное содержание связующего, обеспечивающего прочный контакт между волокнами, и среднее расстояние между волокнами, или средний размер пор. Указанные параметры могут напрямую или косвенно контролироваться выбором технологических режимов изготовления материала, и они оказывают существенное влияние на его макроскопические физические свойства [1, 6, 11]. Для моделирования и прогноза физических свойств керамических высокопористых материалов в настоящее время применяются различные техники, основанные на аналитических и численных методах теплофизики и механики композиционных материалов [6, 7, 10-14]. Ряд прикладных моделей для оценки теплофизических и механических свойств пористых керамик представлен соответственно в работах [11] и [12]. Для оценки механических свойств высокопористых керамик, представляющих собой пространственный «каркас» из волокон или нитевидных кристаллов, широко применяются численные методы расчета, основанные на применении метода конечных элементов при моделировании реалистичных представительных фрагментов волокнистых структур [13, 14]. Известны также аналитические решения, построенные путем анализа простых представительных фрагментов керамик ячеистой структуры. В результате получены аналитические оценки эффективных механических свойств [15]. В настоящей работе предлагается методика прогноза эффективного модуля упругости и прочности при сжатии волокнистых высокопористых материалов, основанная на численном моделировании реалистичных представительных фрагментов, генерируемых с использованием статистических алгоритмов. Расчет проводится методом конечных элементов, а эффективные свойства материала определяются на основе анализа механического поведения представительного фрагмента под нагрузкой. Принципиальным отличием проводимых расчетов от аналогов (например, [14]) является методика оценки прочности, основанная на предположении о том, что прочность волокнистых высокопористых материалов определяется критическим значением средних напряжений в области контактов волокон. Дополнительно отметим, что в отличие от других исследований (см. например, [13, 14]) в данной работе исследуются высокопористые стуктуры, т.е. представительные фрагменты характеризуются высокой пористостью - более 80 %. Дается прогноз изменения механических свойств волокнистых высокопористых материалов при изменении значений параметров, характеризующих их структуру, проводится оценка стабильности получаемых результатов численных расчетов в отношении механических свойств, найденных для различных размеров представительных фрагментов. 1. Методика моделирования Предлагаемая методика включает в себя три основных этапа моделирования. На первом этапе создается трехмерная модель представительного фрагмента материала с заданными характеристиками объемного содержания пористости, геометрии и ориентации волокон. На втором этапе модель передается в систему Ansys, где проводится численное моделирование поведения представительного фрагмента под нагрузкой. На третьем этапе результаты численного расчета обрабатываются и усредняются по объему представительного фрагмента для получения оценки эффективной жесткости и прочности материала. Для генерации трехмерных моделей используется система Digimat. Эта система предназначена для моделирования эффективных физико-механических свойств композиционных материалов на основе различных аналитических и численных методов. В данной работе используется модуль Digimat-FE, который позволяет строить трехмерные модели неоднородных материалов со сложной структурой. При создании представительных фрагментов волокнистый высокопористый материал представляется в виде композита, в котором матрица имеет нулевую жесткость (пустоты), а включениями - волокна. Для моделирования волокон в системе Digimat могут использоваться включения в форме цилиндров, сфероцилиндров или стержней, которые могут иметь прямолинейную или искривленную форму. Для рассматриваемых волокнистых структур принимается, что включения являются прямолинейными стержнями (одномерные элементы типа «beam»). Модели высокопористого материала, создаваемые с использованием такого типа включений, генерируются за минимальное время, ибо они содержат набор прямолинейных стержней-волокон с присвоенным значением диаметра соответствующего волокна. Для таких моделей не требуется проводить сложную обработку геометрии, и поэтому они строятся очень быстро (за несколько минут, по сравнению с несколькими часами, которые программа может затратить на построение представительных фрагментов из других типов включений). На рис. 2 приведены примеры представительных фрагментов, созданных с использованием включений-волокон в виде прямолинейных цилиндров и стержней. Здесь построены модели структуры, содержащей 95 % пор, длина волокон - 100 мкм, диаметр - 1 мкм, размер граней представительных фрагментов 40 мкм. а б Рис. 2. Примеры представительных фрагментов волокнистых структур, генерируемых в системе Digimat с использованием включений в виде прямолинейных цилиндров (а) и одномерных элементов-стержней (б) Fig. 2. Examples of representative fragments of fibrous structures generated in Digimat system using inclusions in the form of straight-lined cylinder (a) and one-dimensional elements, i.e. rods (b) Для построения представительного фрагмента волокнистого материала в системе Digimat-FE необходимо задать следующие микроструктурные параметры: относительное объемное содержание волокон, их диаметр, длину и ориентацию. Необходимо выбрать размер и форму представительного фрагмента. В дальнейших расчетах будем использовать фрагменты только кубической формы c размером граней d. Ориентация волокон является неизменной и может считаться равновероятной во всех направлениях (изотропное распределение) либо равновероятной в заданной плоскости (для случая трансверсальной изотропии) или определяться тензором, компоненты которого задают вероятность ориентации волокон в различных направлениях. В результате работы системы создается представительный фрагмент (рис. 2, б), который удовлетворяет введенным исходным требованиям к параметрам микроструктуры. Для проведения механических расчетов построенной волокнистой структуры предложено вводить дополнительные связи, моделирующие контакт волокон друг с другом. Для этого представительные фрагменты, генерируемые с использованием специально-разработанного программного кода в автоматическом режиме, дополняются наборами коротких стержней, соединяющих волокна в точках их пересечения (в точках, где расстояние между двумя волокнами достигает минимума и не превышает диаметра одного волокна). Диаметр этих стержней предполагается равным диаметру волокон, а их жесткость и прочность являются неизвестными параметрами модели. Модифицированный таким образом представительный фрагмент передается в систему Ansys в виде элементов типа 3D Curve с круговым поперечным сечением, диаметр которого соответствует диаметру волокон в структуре материала. Далее в автоматическом режиме создается конечно-элементное разбиение (рис. 3, а), задаются свойства материалов стержней-волокон и стержней-контактов и устанавливаются граничные условия. а б Рис. 3. Пример конечно-элементной модели (а) и результатов расчета напряженного состояния (б) представительного фрагмента волокнистого высокопористого материала (объемное содержание пор 90 %, длина волокон 100 мкм, диаметр 1 мкм, ориентация волокон изотропная, размер представительного фрагмента 40 мкм) Fig. 3. Example of finite-element model (а) and computation results of stress state (b) of a representative fragment of fibrous high-porous material (pore volume is 90 %, fiber length is 100 mm, diameter is 1 micron, has an isotropic fiber orientation, the size of the representative fragment is 40 microns) Для моделирования механических свойств материала задается однородная деформация в отношении одной из осей прямоугольного фрагмента. Для этого вводится взаимное смещение двух противоположных граней фрагмента, и тем самым задается смещение концов волокон, которые принадлежат данным граням. В результате конечно-элементного расчета определяется напряженно-деформированное состояние волокон и контактов (рис. 3, б). Расчет проводится в предположении квазистатического нагружения, в постановке, учитывающей конечность деформаций. Полученные данные используются для определения жесткости и прочности материала. Модуль упругости в заданном направлении определяется по формуле (1) Здесь индекс i = 1, 2, 3 определяет направление сжимающей нагрузки, так как в общем случае материал может быть анизотропным; - напряжения сжатия, действующие во фрагменте при сжатии вдоль оси; - реакция, возникающая на смещенной поверхности представительного фрагмента (определяется из численного расчета, как сумма проекций реакций, действующих в концевых точках волокон, на выделенное направление); - деформация сжатия, возникающая в представительном фрагменте. Для оценки прочности материала предлагается критерий, основанный на идее о том, что разрушение волокнистых высокопористых материалов определяется прочностью контактов между волокнами. Для этого вычисляются осредненные значения максимальных растягивающих напряжений в дополнительных стержнях, моделирующих контакты между волокнами, и определяется нагрузка, при которой эти напряжения превышают предел прочности контактов . Растягивающие напряжения вычисляются с учетом растяжения и изгиба стержней-контактов (Maximum Combine Stress). Усреднение проводится по всем стержням-контактам, входящим в модель. Прочность контактов является свободным параметром модели и должна определяться на основании экспериментальных данных. Для оценки предела прочности материала (эффективного предела прочности для представительного фрагмента) в i-ом направлении предлагается использовать следующее выражение: (2) Соотношение (2) определяет эффективный предел прочности материала как отношение заданной нагрузки, деленной на площадь поперечного сечения представительного фрагмента, при условии, что средние напряжения в контактах равны пределу прочности контактов. Для проводимых численных расчетов на реалистичных представительных фрагментах в статье осуществляется проверка повторяемости результатов вычислений при рассмотрении однотипных фрагментов, сгенерированных статистически с использованием одинаковых исходных микроструктурных параметров. Проверяется сходимость результатов вычислений при увеличении размера представительного фрагмента. В качестве окончательных результатов для эффективных механических характеристик предлагается принимать значения механических характеристик, усредненные по всем результатам вычислений для однотипных фрагментов. При этом повторяемость характеризуется разбросом прогнозируемых значений механических характеристик, вычисляемым для различных размеров представительного фрагмента, создаваемого статистически. Сходимость результатов расчетов в рассматриваемом случае определяется размером представительного фрагмента, при котором рассчитываемая характеристика становится близкой к соответствующему асимптотическому значению (см. рис. 4). Показывается, что для исключения численных и статистических погрешностей следует проводить вычисления на достаточно больших представительных фрагментах. 2. Результаты расчетов Для проведения тестовых численных расчетов рассмотрим волокнистый материал на основе керамических волокон, модуль упругости которых составляет 300 ГПа. Будем считать, что жесткость контактов между волокнами равна собственной жесткости волокон. Будем рассматривать структуры, состоящие из волокон толщиной 1 мкм и длиной 100 мкм. В первую очередь необходимо подтвердить сходимость результатов прогнозов при увеличении рассматриваемых представительных фрагментов. На рис. 4 представлена зависимость идентифицируемого модуля упругости материала и средних напряжений в контактах от размера представительного фрагмента. Примеры фрагментов различного размера представлены на рис. 5. Средние напряжения вычислялись при деформации сжатия фрагмента, равной 0,25 %. Расчеты проводились для структуры с объемным содержанием пор 90 % и с хаотичной ориентацией волокон. Было исследовано по три фрагмента каждого размера для оценки повторяемости результатов численных расчетов. Из рисунка видно, что для фрагментов с размером грани более 35 мкм методика позволяет получать достаточно стабильные значения механических характеристик, которые не зависят от случайных погрешностей, возникающих при рассмотрении статистически-генерируемой геометрии моделей. Проведенные расчеты (см. рис. 4) показывают, что существует такой размер представительного фрагмента, при котором обеспечивается стабильность прогнозируемого значения предельных средних напряжений в области контактов волокон, а следовательно, и стабильность значения эффективного предела прочности высокопористого материала. Анализ результатов, представленных на рис. 4, показывает, что для обеспечения стабильности вычисляемых характеристик достаточно принять размер представительного фрагмента равным 40 мкм. Рис. 4. Влияние размера представительного фрагмента на идентифицируемые механические свойства материала. Модуль упругости (а) и средние напряжения, действующие в области контакта волокон (б) (точки - результаты численных расчетов, пористость 90 %, ориентация волокон - изотропная) Fig.4. Influence of the representative fragment size on the identified material properties. Elasticity module (а) and mean stresses acting in the area of fibers contacts (b). Dots show results of numerical computations. The porosity is 90 %. Fibers have an isotropic orientation а б в г Рис. 5. Конечно-элементные модели представительных фрагментов волокнистых высокопористых материалов с различным размером граней: а - 25 мкм; б - 30 мкм; в - 35 мкм; г - 40 мкм Fig. 5. Finite-element models of representative fragments of fiber high-porous materials with different size planes: а - is 25 micron; b - is 30 micron; c - is 35 micron; d - is 40 micron Далее дается прогноз изменения модуля упругости и прочности материала в зависимости от объемного содержания пористости и ориентации волокон. Для идентификации неизвестного параметра модели - предела прочности контактов - будем использовать известное из экспериментов типичное значение предела прочности волокнистых высокопористых керамик = 0,5 МПа (для материалов с хаотичной ориентацией волокон и пористостью 90 %). Анализ численных расчетов с использованием формулы (2) показывает, что в данном случае прочность контактов должна быть достаточно высокой = 24 МПа. На рис. 6 представлена зависимость модуля упругости и прочности материала с изотропной (хаотичной) ориентацией волокон при изменении содержания пористости в пределах 85-95 %. При увеличении пористости происходит уменьшение механических характеристик. Окончательный расчет проводился на представительных фрагментах размером 40 мкм. Предварительный анализ показал, что разброс результатов расчетов для однотипных фрагментов оказывается достаточно небольшим и сопоставим с типичной экспериментальной погрешностью измерений для исследуемых материалов. При увеличении размеров представительных фрагментов (и, соответственно, времени расчета), этот разброс значений может быть уменьшен. Рис. 6. Зависимость модуля упругости (а) и предела прочности при сжатии (б) волокнистого материала от объемного содержания пористости (ориентация волокон - изотропная, размер представительного фрагмента 40 мкм) Fig. 6. Dependence between elastic moduli (а), compression resistance (b) of fiber material and volume content of porosity. An isotropic fiber orientation, the size of the representative fragment is 40 micron На рис. 7 показана зависимость механических свойств от среднего угла ориентации волокон относительно горизонтальной плоскости для материала с содержанием пористости 95 %. В данном случае горизонтальная плоскость является плоскостью изотропии, а нормаль к ней - выделенное направление. При наличии такой упорядоченности в ориентации волокон материал становится трансверсально-изотропным, его свойства в плоскости изотропии и в направлении нормали к ней - различны. При увеличении угла наклона волокон к горизонтальной плоскости происходит соответственно повышение механических свойств в направлении нормали и снижение свойств в плоскости. Рис. 7. Зависимость модуля упругости (а) и предела прочности при сжатии (б) волокнистого материала от среднего угла ориентации волокон относительно горизонтальной плоскости (сплошная линия - механические характеристики в плоскости изотропии, пунктир - механические характеристики в направлении нормали) Fig. 7. Dependence between elastic moduli (а), compression resistance (b) of fiber material and a mean angle of fiber orientation with regard to the horizontal. The solid line shows mechanical characteristics in the isotropic plane, the dotted line shows mechanical characteristics in the normal direction Необходимо отметить, что предложенная методика моделирования, как и её аналоги [14], не позволяет учесть влияние диаметра волокон на эффективные свойства материала. Генерируемые модели структур с различным диаметром волокон будут подобны друг другу (с точностью до статистической ошибки) при выборе представительных фрагментов соответствующего размера. Поэтому для учета размерных эффектов при моделировании таких материалов, вероятно, следует привлекать неклассические модели балок и стержней, построенные, например, в рамках градиентной теории упругости [16-18]. Весьма перспективными при учете масштабных эффектов в задачах теплопроводности и термоупругости для рассматриваемых пористых систем могут оказаться модели, учитывающие свойства интерфейса элементов пористых структур [19, 20]. Заключение 1. Предложена методика моделирования предела прочности и модуля упругости волокнистых высокопористых материалов, основанная на представлении волокнистой структуры материала в виде стержневой системы, в которой стержнями моделируются как сами волокна, так и контакты между ними. Показано, что методика позволяет получать стабильный прогноз механических свойств при рассмотрении представительных фрагментов достаточно большого размера. 2. Проведено численное моделирование зависимости модуля упругости и предела прочности высокопористой керамики от объемного содержания пористости с учетом ориентации волокон. Полученные результаты качественно соответствуют типичным зависимостям, известным из экспериментальных исследований. 3. Разработанный алгоритм численного моделирования предлагается использовать не только для расчета механических свойств статистически-генерируемой геометрии представительных фрагментов, но также для оценки свойств реальных представительных фрагментов волокнистых материалов, модели которых могут быть получены методами микротомографии. В частности, предложенные в работе требования к минимальному размеру представительного фрагмента скорее всего будут сохраняться и при обработке трехмерных моделей или микроснимков реальных материалов.

About the authors

S A Lurie

Institute of Applied Mechanics Russian Academy of Science; Computing Center Russian Academy of Science

L N Rabinsckiy

Moscow Aviation Institute

Y O Solyaev

Institute of Applied Mechanics Russian Academy of Science; Computing Center Russian Academy of Science

V M Bouznik

All-russian Scientific Research Institute of Aviation Materials

D V Lizunova

Moscow Aviation Institute

References

Statistics

Views

Abstract - 183

PDF (Russian) - 133