Full Text

Введение В настоящее время задачи о деформировании гибких проволочных конструкций с учетом их внутреннего строения привлекают большое внимание разработчиков нового оборудования для аэрокосмической техники, а также находят широкое применение в области энергетики, оптоволоконной техники, подводного оборудования и строительства [1-19]. О возрастающем интересе к этому направлению можно судить, например, по материалам международного симпозиума International Symposium on Cable Dynamics, который регулярно проводится на базе ведущих научно-исследовательских, промышленных и учебных организаций [6, 18]. В расчетной практике проволочные конструкции, подобные проводам ЛЭП, рассматриваются как однородные по структуре стержни или нити с осредненными жесткостными параметрами без учета их внутреннего строения. Такой подход используется, например, при решении задач о стрелах провеса проводов между опорами в различных эксплуатационных режимах или задач о колебаниях проводов под воздействием ветровых потоков [1-6]. Однако такие подходы не описывают известные эффекты при деформировании проводов [4-12], и их использование в расчетах может приводить к недопустимым ошибкам [8]. Например, для расчета изгибной и крутильной жесткостей проводов в инженерной практике используются два предположения о совместном деформировании проволочных спиралей. Они «полярны» по смыслу, определяя нижнюю и верхнюю границы теоретической оценки. Одно из них основывается на предположении, что проволоки деформируются независимо друг от друга. Другое - на гипотезе связанного деформирования, когда проволочные спирали мысленно жестко соединяются в одно целое, образуя своеобразный монолитный стержень. Однако сравнительные расчеты показывают [19], что величины жесткостей, посчитанные по этим методикам для выбранного провода или троса, могут различаться друг от друга более чем в 70 раз. Неопределенность в знании параметров жесткости и демпфирования проводов и других аналогичных систем приводит к недопустимым ошибкам и делает малоэффективными существующие расчетные методы и алгоритмы. Ошибочные физико-механические представления о деформировании проводов и подобных систем разрушают целостность математической модели, правильной во многих других аспектах. Возможно использование метода «детального» конечно-элементного моделирования проволочной конструкции [13, 14]. Однако такой путь крайне трудоемок и «субъективен», поскольку результаты расчетов в значительной степени зависят от модели и геометрии контактных поверхностей, формируемых расчетчиком. Этот подход практически неприемлем при исследовании динамического поведения проволочных конструкций или оптимизации их конструкций. Существуют подходы, основанные на идеологии осреднения механических свойств проволочных спиралей в каждом повиве (проволочном слое) провода или троса. Например, в работах [4, 5, 9-12, 15-17] рассматривается деформирование произвольной спиральной проволоки, затем вводится гипотеза о совместной работе всех проволок повива или всего провода, которая приводит к взаимной увязке проволок в единый ансамбль. Однако в этом случае затруднительно ввести корректную модель межповивного взаимодействия с учетом сил давления и трения между соседними повивами. Другой способ, предложенный В.И. Шалашилиным и А.Н. Данилиным и развитый в работах [18, 20-21], заключается в энергетическом осреднении и последующем сведении повива к некоторой эквивалентной по упругим свойствам анизотропной цилиндрической оболочке. Провод при таком способе рассматривается как система вложенных друг в друга цилиндрических оболочек, взаимодействующих между собой силами давления и трения. Отличительной чертой предлагаемого подхода является простота формулировки, наглядность, возможность получения аналитических решений, формул и эффективных в вычислительном плане алгоритмов. В настоящее время появился класс задач, связанных с проектированием и изготовлением зажимов спирального типа, предназначенных для подвески, натяжения, соединения, защиты и ремонта проводов и тросов ЛЭП [21, 23-30]. Спиральный зажим представляет собой один или несколько повивов ограниченной длины, каждый из которых образован из отдельных спиральных проволок или их прядей. Конструкция спирального зажима очень хорошо сочетается с проводами, так как она обладает гибкостью и после монтажа фактически интегрируется с проводом в одно целое. С точки зрения механики повивы спирального зажима, смонтированного на проводе, можно рассматривать как дополнительные внешние (для провода) слои ограниченной длины. При проектировании зажима ставится задача об определении его несущей способности, а также нахождении оптимальных значений конструктивных параметров, например длины зажима, направления и шага (угла подъема) спиралей. При неудачном их выборе работа зажима может оказаться неэффективной и даже приводить к повреждениям ядра конструкции. Решить эти задачи можно только на основе рассмотрения спиральной конструкций как системы взаимодействующих проволочных повивов силами давления и трения. Научных работ, посвященных исследованию деформаций и несущей способности спиральных зажимов, немного. Экспериментальные исследования здесь имеют первостепенное значение, но вряд ли ими можно пользоваться для анализа работоспособности зажимов и оптимизации их конструкции. Наиболее интересными представляются исследования С.В. Рыжова, который предложил оригинальную методику расчета зажимов, основанную на анализе деформирования отдельной спирали, намотанной на сердечник [23, 24]. Автором при определенных допущениях построена феноменологическая модель деформирования одноповивного спирального зажима. 1. Основные дифференциальные соотношения для винтового стержня Рассмотрим равновесие элемента винтового стержня в соприкасающейся плоскости, как показано на рис. 1. Пусть - длина элемента, - радиус кривизны, где - угол подъема; . Соприкасающаяся плоскость Плоскость поперечного сечения Рис. 1. Равновесие дифференциального элемента винтового стержня в соприкасающейся плоскости Тогда уравнения равновесия сил в проекциях на ось и нормаль к оси стержня имеют вид (1) Условие равенства моментов дает также известное соотношение . 2. Сведение повива к эквивалентной цилиндрической оболочке Пусть - длина витка винтового стержня по его оси, а - длина шага витка по оси провода . Их величины определяются формулами (2) Рассмотрим деформацию витка винтового стержня под действием усилий, которые вызывают появление в стержне внутренних сил, постоянных по его длине. Сначала нагрузим стержень силой вдоль оси провода, как это показано на рис. 2, а. а б Рис. 2. Моменты в сечении винтового стержня от действия внешних силовых факторов: а - моменты от действия продольной силы; б - моменты от действия крутящего момента Вызываемый момент Pr в сечении стержня можно разложить на изгибающий и крутящий моменты. Тогда (3) В сечении проволоки также появляется продольная сила (4) Влияние перерезывающих сил на деформацию стержня учитывать не будем. Рассмотрим теперь нагружение винтового стержня крутящим моментом - моментом M в плоскости, нормальной к оси . Как видно из рис. 2, б, в сечениях стержня возникают следующие изгибающий и крутящий моменты: (5) Будем считать, что при действии поперечной нагрузки (в направлении радиуса кривизны стержня) точки оси стержня перемещаются на величину смещения строго вдоль радиусов кривизны и эти перемещения постоянны по длине стержня. Тогда, как следует из второго уравнения (1), в сечениях стержня возникает только продольная сила (6) При одновременном действии всех трех нагрузок в сечениях стержня появляются суммарные изгибающие, крутящие и продольные силовые факторы, величины которых, в соответствии с формулами (3)-(6) соответственно: (7) Потенциальная энергия деформации витка подсчитывается по формуле где , , - жесткости на изгиб, кручение и растяжение винтового стержня соответственно направлениям моментов , и силы . После подстановки в это выражение соотношений (7) с учетом (2) получим (8) Выберем в качестве обобщенных перемещений удлинение винтового стержня по оси , угол закручивания стержня вокруг оси и площадь , где - перемещения точек витого стержня вдоль радиуса кривизны. Введем обобщенные силы как силы, совершающие работу на этих обобщенных перемещениях. Они равны соответственно (9) Обобщенному перемещению Sw соответствует интенсивность q усилия, действующего на стержень вдоль радиуса кривизны. Действительно, работа усилия на перемещении w определяется формулой Если считать, что w в пределах витка длиной S является величиной постоянной, то , что и определяет искомую обобщенную пару «сила-перемещение». Подставляя в (8) выражения для и через , и , вытекающие из (9), получим (10) В соответствии с теоремой Кастильяно обобщенные перемещения определяются выражениями: , , . В матричной форме где элементы матрицы (11) безразмерный коэффициент . Теперь необходимо рассмотреть систему из винтовых стержней (проволок) и сопоставить ее с цилиндрической оболочкой радиусом и длиной , нагруженной по торцам погонным продольным усилием , крутящим моментом и внутренним давлением (рис. 3). Нагрузки , , , действующие на отдельный стержень системы, и нагрузки, действующие на оболочку, связаны соотношениями (12) где - количество стержней. Рис. 3. Сведение одного повива провода к эквивалентной оболочке Если ввести относительное удлинение и относительный угол закручивания , то для цилиндрической оболочки с учетом (12) получим (13) где элементы матрицы равны соответственно (14) 3. О жесткостях провода Будем трактовать провод как стержень со специфичными механическими свойствами. Это позволяет записать соотношения между усилиями, действующими на стержень, и его деформациями в пределах закона Гука в общем виде: или (15) Здесь , , - относительное удлинение, относительный угол закручивания и кривизна оси стержня; , , - продольная сила, крутящий и изгибающий моменты в стержне; и - матрицы податливостей и жесткостей, связанные соотношением . Традиционное определение жесткостей на растяжение, кручение и изгиб следует из (15), если матрицы и диагональны. Этому соответствует случай, когда рассматривается изотропный стержень в главных центральных осях. Провод представляет собой систему, состоящую из сердечника (центральной проволоки) и проволочных слоев (повивов), каждый из которых можно моделировать как анизотропную цилиндрическую безмоментную оболочку с соотношениями вида (13), (14). Будем считать, что слои провода уложены без зазора и натяга. Пронумеруем слои от до . Центральному проводу присвоим индекс (0). Тогда для -го повива соотношение (13) примет вид (16) Здесь - продольное усилие в срединной поверхности оболочки, которое связано с силой , действующей на оболочку, соотношением (17) где - радиус срединной поверхности -го повива. После исключения из соотношений (16), последние сводятся к виду (18) где матрица . (19) Отсюда . (20) При рассмотрении провода в целом возникающие в нем продольная сила и крутящий момент складываются из сил и моментов, действующих на сердечник и повивы. Поэтому (21) Будем считать, что повивы провода не проскальзывают друг относительно друга, т.е. их деформации одинаковы. Тогда (22) Соотношения (21) можно представить в матричной форме: Подставляя сюда (20) с учетом (22), получим . Здесь , - модули на растяжение и сдвиг сердечника; площадь , полярный момент инерции ; - диаметр проволоки сердечника. Полученная в результате матрица является матрицей жесткости для провода при его работе на растяжение и кручение. Следует ожидать, что ввиду встречной намотки повивов провода элементы малы по сравнению с диагональными и . Во всяком случае углы намотки повивов могут быть подобраны так, чтобы недиагональные элементы оказались величинами малыми. Тогда и можно рассматривать как классические жесткости провода на растяжение и кручение. Соотношения (18), (19) позволяют определить жесткости проволочной конструкции на кручение и изгиб. Рассмотрим сначала кручение. При из (18) следует, что для i-го повива (23) При закручивании провода на угол все повивы закручиваются одинаково: (24) В то же время крутящий момент складывается из крутящих моментов составляющих повивов: (25) Поэтому, учитывая (23)-(25), имеем (26) Обозначим жесткость провода на кручение через , где - некоторый условный модуль сдвига. Тогда (27) Сравнивая выражения (26) и (27), получим (28) Для сердечника и i-го повива где - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала i-го повива. С учетом последних формул выражение (28) преобразуется к виду (29) Рассмотрим изгибную жесткость провода. Кривизна , радиус кривизны и изгибающий момент стержня связаны соотношением (30) Момент , подсчитанный через нормальные напряжения в поперечном сечении F, (31) где - расстояние от элемента до нейтрального волокна. При выполнении гипотезы плоских сечений удлинение волокна стержня с сечением dF (32) Если рассматривать i-й повив как оболочку, состоящую из продольных волокон, в которых действуют напряжения , то из (18), (19) следует закон Гука для продольного волокна в виде . Тогда для i-го повива из (30)-(32) получаем Для кольцевого сечения радиусом и толщиной интеграл . Поэтому жесткость на изгиб i-го повива (33) При изгибе провода кривизна изгиба осей всех повивов и сердечника провода одинакова, а . Поэтому изгибная жесткость провода с учетом (33) (34) 4. Жесткости проводов серии АС 1 2 3 4 Рис. 4. Конструкция провода АС Рассчитывались крутильные и изгибные жесткости проводов алюминиево-стальной серии российского производства (АС) [1, 2]. Типовое сечение провода АС показано на рис. 4. Повивы 1 и 2 представляют собой токопроводящие алюминиевые повивы. Стальной сердечник образован повивом 3 и проволокой 4 в центре. Данные для расчетов представлены в табл. 1, 2. В первых столбцах таблиц даны марки сталеалюминиевых проводов серии АС в виде отношения номинальных площадей алюминиевой и стальной частей сечения провода (мм2). Во вторых столбцах даны в виде сумм количества проволок в каждом из повивов: значение слагаемого дает число проволок в повиве, а число слагаемых суть число повивов. В третьих и четвертых столбцах указаны номинальные диаметры проволок и кратности скрутки, определяющие углы подъема и скрутки. Кратность скрутки повива определяется формулой , где L - шаг скрутки; - радиус повива, т.е. радиус окружности, на которой лежат центры поперечных сечений проволок; d - диаметр проволок повива. Из этой формулы следует, что , откуда по второй формуле (2) находим . Таблица 1 Параметры токопроводящей (алюминиевой) части проводов серии АС Марка провода АС Числа проволок в повивах Номинальный диаметр проволок, мм Кратности скрутки повивов 1 2 3 4 120/19 10+16 2,40 15, 12 120/27 12+18 2,20 15, 12 150/19 9+15 2,80 15, 12 150/34 12+18 2,50 15, 12 185/24 9+15 3,15 15, 12 240/39 10+16 3,40 15, 12 185/128 24+30 2,10 15, 12 300/39 9+15 4,00 15, 12 300/66 12+18 3,50 15, 12 Окончание табл. 1 1 2 3 4 330/30 10+16+22 2,98 15, 12, 10 330/43 12+18+24 2,80 15, 12, 10 400/22 10+16+22+28 2,57 18, 15, 13, 11 400/64 10+16 4,37 15, 12 400/93 12+18 4,15 15, 12 300/204 24+30 2,65 15, 12 500/26 8+14+20 3,90 15, 12, 10 500/64 12+18+24 3,40 15, 12, 10 550/71 12+18+24 3,60 15, 12, 10 600/72 12+18+24 3,70 15, 12, 10 650/79 15+21+27+33 2,90 18, 15, 12, 10 Таблица 2 Параметры сердечников - стальной части проводов серии АС Марка провода АС Числа проволок в повивах Номинальный диаметр проволок, мм Кратности скрутки повивов 120/19 1+6 1,85 20 120/27 1+6 2,20 20 150/19 1+6 1,85 20 150/34 1+6 2,50 20 185/24 1+6 2,10 20 240/39 1+6 2,65 20 185/128 1+6+12+18 2,10 25, 20, 15 300/39 1+6 2,65 20 300/66 1+6+12 2,10 25, 20 330/30 1+6 2,30 20 330/43 1+6 2,80 20 400/22 1+6 2,00 20 400/64 1+6 3,40 20 400/93 1+6+12 2,50 25, 20 300/204 1+6+12+18 2,65 25, 20, 18 500/26 1+6 2,20 20 500/64 1+6 3,40 20 550/71 1+6 3,60 20 600/72 1+6+12 2,20 25, 20 650/79 1+6+12 2,30 25, 20 Результаты вычислений представлены в табл. 3. Здесь первая колонка - марка провода, вторая - внешний диаметр провода (диаметр окружности, в которую вписано поперечное сечение провода). Третья и четвертая колонки таблицы содержат значения изгибной и крутильной жесткостей, посчитанные соответственно по формулам (34) и (29). Пятая колонка содержит значения крутильных жесткостей, вычисленных по формуле , где d - внешний диаметр провода в миллиметрах, а числовой коэффициент имеет размерность . Эта формула получена в институте Montefiore (Бельгия, Льежский университет) в результате обширного анализа экспериментальных данных [7]. Систематических данных об изгибных жесткостях проводов, измеренных в результате каких-либо экспериментов, в литературе найти не удалось. Сравнение 4-й и 5-й колонок табл. 3 говорит о хорошем соответствии предложенной модели экспериментальным данным. Таблица 3 Жесткости проводов серии АС Марка провода AC d, мм EJb, Н·м2 GJt, Н·м2 Н·м2 120/19 15,15 113,6 15,37 14,22 120/27 15,40 125,3 16,50 15,19 150/19 16,75 166,8 23,03 21,25 150/34 17,50 208,9 27,50 25,32 185/24 18,90 269,5 37,18 34,45 240/39 21,55 463,1 62,60 58,23 185/128 23,10 835,9 82,66 76,88 300/39 23,95 695,4 96,14 88,84 300/66 24,50 812,2 101,48 97,28 330/30 24,78 807,5 103,77 101,81 330/43 25,20 867,2 120,92 108,88 400/22 26,56 1041,6 163,73 134,36 400/64 27,68 1261,3 170,52 158,50 400/93 29,10 1615,0 200,79 193,61 300/204 29,15 2119,1 209,61 194,95 500/26 30,00 1684,2 244,93 218,70 500/64 30,60 1885,4 262,89 236,73 550/71 32,40 2369,7 330,42 297,54 600/72 33,20 2632,8 360,17 328,03 650/79 34,70 3134,4 468,10 391,45 5. Расчет натяжного спирального зажима Характерным представителем арматуры спирального типа является спиральный натяжной зажим (рис. 5), конструкция которого состоит из одного или нескольких повивов, каждый из которых образован из прядей проволоки с использованием специальных фрикционных покрытий [27-30]. Предназначен спиральный зажим для подвески и натяжения проводов, тросов и кабелей ВЛ. Его монтаж легко осуществляется вручную последовательной навивкой повивов. Провод Коуш Спираль силовая Рис. 5. Натяжной спиральный зажим на проводе При проектировании зажима ставится задача о нахождении оптимальных значений его параметров, например длины зажима, направления и шага (угла намотки) спиралей, коэффициентов трения. В противном случае работа зажима может оказаться неэффективной и даже приводить к повреждению сердечника. Рис. 6. Равновесие элемента кольца эквивалентной оболочки Спиральный зажим можно, так же как и повив провода, свести к эквивалентной цилиндрической оболочке. Для решения задачи о взаимодействии зажима с проводом рассмотрим равновесие элементарного кольца длиной dx, эквивалентной зажиму оболочки, под действием продольного усилия T, окружного усилия и силы трения f, составляющие которой в продольном и окружном направлениях обозначим через и . Элемент такого кольца длиной в окружном направлении показан на рис. 6. Из условий равновесия элемента следуют уравнения (35) Будем считать, что сила трения, распределенная по поверхности контакта между зажимом и кабелем, равна , где - давление по поверхности контакта; - коэффициент трения. Будем также считать, что сила направлена вдоль равнодействующей сдвигающего усилия, образованного силами и , т.е. (36) Контактное усилие при заданных усилиях и и радиальном перемещении (натяге) зажима определится из третьего уравнения (13) как (37) Если не учитывать уменьшение диаметра кабеля за счет его взаимодействия с зажимом, то величина равна разности начальных радиусов провода и зажима, считая ее положительной, если начальный радиус зажима меньше радиуса провода. Если условия закрепления зажима на опоре, т.е. при , позволяют определить начальные значения и усилия и момента , то уравнения (35), (36) позволяют сформулировать начальную задачу (38) где давление р дается формулой (37). Такая постановка предполагает, что длина зажима настолько велика, что взаимовлиянием его концов можно пренебречь, т.е. рассматривать зажим как полубесконечную оболочку. В качестве первого приближения рассмотрим такое условие закрепления зажима на опоре, которое позволяет ему свободно поворачиваться, т.е. примем . Тогда второе уравнение (38) имеет решение , а для первого уравнения начальная задача принимает вид , где Ее решение выглядит так: (39) где Отметим, что решение (39) имеет асимптотическую составляющую . Характер его изменения показан на рис. 7. Из него видно, что длина зажима, необходимая для того, чтобы он удерживал усилие , должна быть не меньше . Из решения (39) следует, что величина Рассмотрим теперь задачу взаимодействия в системе, показанной на рис. 8, состоящей из зажима, внешнего повива провода и внутренней его части, которую будем называть ядром. Рис. 7. Характер изменения решения (39) Рис. 8. Взаимодействие зажима, внешнего повива провода и внутренней его части Уравнения равновесия зажима и внешнего повива провода имеют вид (40) а усилие в ядре провода определяется из условия равновесия в форме Если считать, что возникающие между слоями силы трения и пропорциональны силам давления между слоями и , то (41) Как и ранее, будем предполагать, что силы трения направлены вдоль равнодействующей сдвигающего усилия между слоями. Тогда (42) Давление между зажимом и проводом определяется соотношением (37): (43) давление между внешним повивом провода и его ядром определяется тем же соотношением, но записанным для внешнего повива, принимая его прогиб равным нулю: (44) Как и ранее, будем считать, что зажим на опоре может свободно поворачиваться. Тогда для уравнений (40) с учетом обозначений (41)-(44) можно сформулировать следующую начальную задачу: (45) (46) В случае жесткого закрепления зажима на опоре, когда , из второго уравнения (13) с учетом выражения для (43) следует, что (47) Тогда начальные условия для уравнений (45) запишутся в виде (48) где определяется формулой (47). В качестве примера рассмотрим задачу о взаимодействии натяжного зажима марки НС-17,1-01 (по каталогу ЭССП от XI. 2004 г.) и провода марки АС 150/24 [27]. Параметры зажима: радиус срединной поверхности диаметр проволок модуль на растяжение коэффициент Пуассона угол наклона проволок относительно поперечного сечения провода количество проволок ; технологический натяг Коэффициент трения между анизотропными оболочками, моделирующими повивы зажима и провода, принимался Параметры внешнего повива провода: радиус срединной поверхности диаметр проволок модуль на растяжение коэффициент Пуассона угол наклона проволок относительно поперечного сечения провода количество проволок технологический натяг Коэффициент трения между оболочкой, моделирующей внешний повив провода, и цилиндрической поверхностью ядра провода (внутренней части провода) принимался равным На графиках рис. 9 представлены соответственно зависимости усилий и крутящих моментов , действующих в зажиме и внешнем повиве провода от продольной координаты . Изменение растягивающей силы во внутренней части провода (ядре) вдоль координаты показано на рис. 10, а. На рис. 10, б показаны распределения давлений между зажимом и внешним повивом провода , а также между внешним повивом провода и его внутренней частью . а б Рис. 9. Изменение продольных усилий (a) и крутящих моментов (б) в зажиме и внешнем повиве провода вдоль координаты х а б Рис. 10. Изменение растягивающей силы во внутренней части провода (a) и внутренних давлений (б) между зажимом и внешним повивом провода , а также между внешним повивом провода и его внутренней частью вдоль координаты х а б Рис. 11. Изменение углов поворота поперечных сечений зажима (a) и поперечных сечений внешнего повива провода (б) вдоль координаты х На рис. 11 показаны распределения по продольной координате углов поворота поперечных сечений зажима и верхнего повива провода относительно оси х. На рис. 9-11 сплошные линии представляют собой решение начальной задачи (45), (48), когда поворот зажима запрещен (случай жесткого крепления). Пунктирные линии соответствуют начальной задаче (45), (46), когда зажим на опоре может поворачиваться свободно. Начальная величина усилия в зажиме вычислялась как , где сила принималась равной Выводы 1. Разработан подход к моделированию многоповивных (многослойных) проволочных конструкций регулярной структуры с учетом взаимодействия проволочных повивов силами давления и трения. Каждый повив представляется с позиции энергетического осреднения как эквивалентная по упругим свойствам анизотропная цилиндрическая оболочка, а сама проволочная конструкция рассматривается как система вложенных друг в друга цилиндрических оболочек, между которыми допускается проскальзывание с учетом сил давления и трения. 2. На основе разработанного подхода получены формулы для вычисления матриц жесткости и податливости, позволяющие дать оценки жесткостям провода на кручение и изгиб с учетом его внутреннего строения и взаимодействия повивов между собой. 3. На примере задачи о взаимодействии провода воздушной линии электропередачи с натяжным спиральным зажимом показан способ анализа несущей способности и конструктивной эффективности спиральных зажимов.

About the authors

A N Danilin

Institute of Applied Mechanics, Russian Academy of Sciences; Moscow Aviation Institute (National Research University)

N N Kurdumov

Institute of Applied Mechanics, Russian Academy of Sciences; Moscow Aviation Institute (National Research University)

E L Kuznetsova

Moscow Aviation Institute (National Research University)

L N Rabinsky

Moscow Aviation Institute (National Research University)

References

Statistics

Views

Abstract - 226

PDF (Russian) - 74