Full Text

Введение безразмерных параметров позволяет одним расчетом получить напряженно-деформированное состояние целой серии подобных оболочек и выбрать наиболее рациональные размерные параметры оболочек, а для изотропных оболочек еще и материал оболочки. При расчете пологих изотропных оболочек прямоугольного плана безразмерные параметры использовались в работах [1-8]. Для оболочек вращения в осесимметричной постановке безразмерные параметры использовались в работе [9], что является частным случаем параметров, предлагаемых в данной работе. В работах [10-17] используются различные безразмерные параметры для каждого конкретного вида оболочек и решаемых задач. Однако целесообразно разработать единые безразмерные параметры, пригодные для различного вида оболочек независимо от класса решаемой задачи. Целью данной работы является разработка безразмерных параметров для различного вида оболочек, проведение расчетов прочности и устойчивости оболочек в безразмерных и размерных параметрах и анализ полученных результатов. 1. Теория и методы 1.1. Основные соотношения математической модели 1.1.1. Соотношения для гладких оболочек Математическая модель деформирования оболочек состоит из трех групп соотношений: - геометрические соотношения, связывающие деформации и перемещения; - физические соотношения, связывающие напряжения и деформации; - функционал полной потенциальной энергии деформации оболочки, из условия минимума которого выводятся уравнения равновесия. Геометрические соотношения в срединной поверхности оболочки с учетом геометрической нелинейности принимают известный вид [18] (1) где - деформации удлинения вдоль координат , срединной поверхности; - деформации сдвига в плоскости ; - главные кривизны оболочки вдоль осей и ; - главные радиусы кривизны вдоль осей и ; - параметры Ляме, характеризующие геометрию оболочки; - перемещения точек срединной поверхности оболочки вдоль осей . Будем учитывать поперечные сдвиги, тогда (2) Здесь - функция, характеризующая распределение напряжений и по толщине оболочки; - углы поворота нормали в плоскостях и соответственно; . Для гладких оболочек [11] где - толщина оболочки. Физические соотношения при линейно-упругом деформировании для ортотропного материала при плоском напряженном состоянии будут иметь вид [19] (3) Здесь - механические характеристики материала, а - функции изменения кривизн и кручения, Функционал полной потенциальной энергии деформации гладкой ортотропной оболочки можно представить следующим образом: (4) С учетом того что для ортотропного материала , здесь введены следующие обозначения: Выражения усилий и моментов для гладких ортотропных оболочек имеют вид [20] (5) где - нормальные усилия в направлении осей и сдвиговые усилия в плоскости соответственно; - изгибающие моменты в направлении осей и крутящие моменты; - поперечные силы в плоскостях и 1.1.2. Соотношения для подкрепленных оболочек Для учета подкрепления конструкции ребрами жесткости при достаточно большом числе ребер будем использовать метод конструктивной анизотропии [21]. Суть этого метода заключается в сведении оболочки дискретно-переменной толщины к оболочке равновеликой по жесткости оболочке постоянной толщины, что дает возможность учитывать такие существенные факторы, как сдвиговая и крутильная жесткость ребер. Также этот метод может быть модифицирован для расчета оболочек, ослабленных вырезами. Для оболочки, подкрепленной ребрами жесткости, принимает вид [21] где - высота; индексы и указывают номер ребра, расположенного параллельно оси и соответственно; - количество ребер; ; и представляют собой разности двух единичных функций где - ширина ребра. Следовательно, толщина всей конструкции равна Функционал полной потенциальной энергии деформации будет иметь вид [20] (6) Здесь , , , , , - площадь поперечного сечения ребра, приходящаяся на единицу длины сечения; статический момент и момент инерции этого сечения, которые имеют вид [20] (7) где Здесь переменные позволяют ребрам жесткости иметь постоянную ширину и определяются как Выражения усилий и моментов для подкрепленных ортотропных оболочек имеют вид [20] (8) 1.2. Безразмерные параметры для гладких ортотропных оболочек Введем безразмерные параметры (9) где - линейные размеры оболочки в направлении осей и соответственно; - безразмерный коэффициент; - новая (безразмерная) система координат оболочки. Важную роль в формулировании безразмерных параметров играют параметры Ляме поверхности оболочки. Значения параметров Ляме для цилиндрических, сферических, конических, тороидальных оболочек приведены в табл. 1. Таблица 1 Параметры Ляме для основных видов оболочек вращения Вид оболочки A B R1, м R2, м a b Пологая, прямоугольная в плане 1 1 метр метр Цилиндрическая 1 r r метр радиан Сферическая r r r радиан радиан Коническая 1 метр радиан Тороидальная r r радиан радиан Здесь - главные радиусы кривизны оболочки вдоль осей ; - смещение образующего сектора от оси вращения для тороидальной оболочки; - угол конусности конической оболочки. Как видно из табл. 1, параметр - безразмерный; если - размерное, то - безразмерное и наоборот, т.е. - размерная величина (м); - размерная величина (м), т.е. - размерная величина. Следовательно, если ввести безразмерные параметры Ляме следующим образом: , то для всех рассматриваемых видов оболочек они будут безразмерными. Расчет напряженно-деформированного состояния и устойчивости оболочечных конструкций в безразмерных параметрах позволяет получить критическую нагрузку для целой серии подобных оболочек (рис. 1, 2). При этом прогибы, усилия и моменты для различных подобных оболочек находятся масштабированием полученных безразмерных значений этих величин. Перейдем к безразмерным параметрам (9) в соотношениях (1), (2), заготовив вначале выражения в безразмерных параметрах: θ Рис. 1. Подобные сферические оболочки Рис. 2. Подобные конические оболочки При линейно-упругом деформировании физические соотношения для ортотропных оболочек вращения имеют вид (3), перейдем в них к безразмерным параметрам (9): Здесь Функционал полной потенциальной энергии деформации оболочки запишется следующим образом: (10) Таким образом, под знаком интеграла остаются только безразмерные слагаемые. При необходимости можно получить безразмерные значения для усилий и моментов: 1.3. Безразмерные параметры для подкрепленных ортотропных оболочек Для подкрепленных оболочек, помимо предложенных выше, необходимо ввести дополнительные безразмерные параметры (11) Толщина всей конструкции будет равна . Функционал полной потенциальной энергии деформации будет иметь вид (12) Выражения усилий и моментов для подкрепленных ортотропных оболочек запишутся следующим образом: 1.4. Безразмерные параметры для изотропных пологих оболочек при решении задач динамики и термоупругости При решении уравнений в смешанной форме вводится функция напряжений в срединной поверхности оболочки . В безразмерных параметрах она имеет вид При решении задач динамики вводится безразмерный параметр времени [22] Здесь - удельный вес материала оболочки и ускорение силы тяжести. При решении задач термоупругости вводится безразмерный параметр температуры [22] где - коэффициент теплового расширения материала. 1.5. Некоторые частные случаи Рассмотрим частный случай для гладких пологих изотропных оболочек, прямоугольных в плане. В этом случае параметры Ляме будут , а безразмерные параметры примут вид (13) Следует отметить, что в данном варианте безразмерных параметров, помимо подстановки параметров Ляме и выполнения упрощений, связанных с изотропией материала, по-другому выбраны выражения для главных кривизн оболочки [22]. Выражения для деформаций примут следующий вид: При линейно-упругом деформировании физические соотношения для изотропных оболочек вращения будут иметь вид (3) при Перейдем в них к безразмерным параметрам (13): Функционал полной потенциальной энергии деформации пологой оболочки прямоугольного плана с учетом (13) будет иметь вид [22] Здесь 1.6. Дальнейший подход к решению задач прочности и устойчивости изотропных и ортотропных оболочечных конструкций в безразмерных и размерных параметрах Для минимизации функционала полной потенциальной энергии деформации используем метод Ритца. Для решения задач в размерных параметрах представим искомые функции в виде где - неизвестные числовые коэффициенты, а - известные аппроксимирующие функции аргументов и , удовлетворяющие заданным краевым условиям на контуре оболочки; - количество членов разложения. Для решения задач в безразмерных параметрах искомые функции здесь - неизвестные безразмерные числовые коэффициенты; - известные аппроксимирующие функции аргументов и , удовлетворяющие заданным краевым условиям на контуре оболочки. Подставив разложения искомых функций в функционал (12) и проведя процедуру метода Ритца, получим систему нелинейных алгебраических уравнений. Полученную систему будем решать с помощью метода продолжения решения по наилучшему параметру [23, 24]. Точность применения метода продолжения решения по наилучшему параметру можно свести к анализу угла между векторами приращений неизвестных параметров с прошлого и текущего шага решения (сумма квадратов которых на каждом шаге дает квадрат длины дуги приращения в многомерном пространстве). Так, если угол между векторами решений на предыдущем и текущем шаге оказался слишком большим, то производится уменьшение параметра длины дуги в 10 раз и откат итерационного процесса на два шага назад (для рассматриваемых в данной работе задач такое ограничение угла было выбрано 0,0177 рад). Если значение угла находится в пределах от 0,0094 до 0,0177 рад, то длина дуги сохраняется такой же, как на предыдущем шаге. Если значение угла не превысило 0,0094 рад, то длина дуги увеличивается в 1,5 раза. Таким образом, можно достичь достаточной точности решения вблизи особых точек и в то же время быстро проходить ровные участки кривой. Точность метода Ритца зависит от числа разложений искомых функций в ряды. С помощью вычислительного эксперимента было показано, что для рассматриваемых оболочек достаточно принять для обеспечения достаточно высокой точности [25]. Такой подход позволяет исследовать прочность и устойчивость оболочек, обходить особые точки кривой «нагрузка - прогиб», получать значения верхней и нижней критических нагрузок, находить точки бифуркации и исследовать закритическое поведение конструкции [23, 24]. 2. Расчеты 2.1. Характеристика рассматриваемых конструкций Все рассматриваемые далее конструкции имеют шарнирно-неподвижное закрепление контура и находятся под действием внешней статической равномерно-распределенной поперечной нагрузки, направленной по нормали к срединной поверхности. В дальнейшем будут рассматриваться конструкции, выполненные из следующих изотропных и ортотропных материалов (табл. 2). Таблица 2 Механические характеристики материалов рассматриваемых конструкций Характе-ристика Ортотропные Изотропные Углепластик Стеклопластик Сталь M60J/Epoxy T-10/УПЭ22-27 3,3·105 0,294·105 2,1·105 0,32 0,123 0,3 0,59·104 1,78·104 2,1·105 0,39·104 0,301·104 0,807·105 0,39·104 0,301·104 0,807·105 0,39·104 0,301·104 0,807·105 1760 508 - -780 -209 - 30 246 - -168 -117 - 39 43 - - - 1720 Плотн., кг/м3 1500 1800 7800 Используя безразмерные параметры, будем одним расчетом проводить исследование прочности и устойчивости целой серии подобных оболочек. В методе Ритца примем . 2.2. Пологие оболочки, квадратные в плане Рассмотрим вначале подобные квадратные в плане пологие оболочки с размерными и безразмерными параметрами (табл. 3). Таблица 3 Пример размерных и безразмерных параметров для подобных квадратных в плане пологих оболочек Вариант a, м R1, м h, м 1 18 45,3 0,03 600 1510 238,41 2 27 67,95 0,045 3 36 90,6 0,06 4 54 135,9 0,09 Проведенные расчеты в размерных параметрах для оболочки варианта 4 из углепластика M60J показали, что критическая нагрузка первой потери устойчивости составила (размерное значение МПа), нагрузка потери прочности (размерное значение МПа). Эти нагрузки будут одинаковыми для всех рассмотренных вариантов пологих оболочек. Максимальный прогиб при потере устойчивости был равен 0,858, при переводе в размерные параметры это будет 0,077 м. Значения, полученные переходом к размерным параметрам для остальных вариантов конструкций, показаны в табл. 4. Таблица 4 Размерные и безразмерные результаты расчета для подобных квадратных в плане пологих оболочек Параметр (безр.) Значение Параметр (разм.) При переводе в размерные варианты Сравнение (расчет в разм.) Вар. 1 Вар. 2 Вар. 3 Вар. 4 Значение Разница, % Входные параметры конструкции 600 , м 18 27 36 54 54 - 1510 , м 45,3 67,95 90,6 135,9 135,9 - - - h, м 0,03 0,045 0,06 0,09 0,09 - Результаты расчета 5198,543 qkr, МПа 0,01323 0,01318 0,4 12670 qpr, МПа 0,0322 0,0308 4,3 0,858 Wmax, м 0,026 0,039 0,051 0,077 0,088 14,6 2.3. Панели цилиндрических оболочек Рассмотрим далее подобные панели цилиндрических оболочек, выполненных из стеклопластика. Расчет будем проводить для конструкции с параметрами угол разворота . Критическая нагрузка первой потери устойчивости (размерное значение МПа), нагрузка потери прочности (размерное значение МПа). Эти нагрузки будут одинаковыми для всех рассмотренных вариантов оболочек. Максимальный прогиб при потере устойчивости был равен 20,62, при переводе в размерные параметры это будет 0,2062 м. Были также проведены расчеты этой же оболочки в размерных параметрах . Значения, полученные при расчете и в безразмерных, и в размерных параметрах показаны в табл. 5. Таблица 5 Размерные и безразмерные результаты расчета для подобных цилиндрических панелей Параметр (безр.) Безразм. значение Параметр (разм.) При переводе в размерные варианты Сравнение (расчет в разм.) Вар. 1 Вар. 2 Вар. 3 Вар. 4 Значение Разница, % Входные параметры конструкции 2000 а, м 5 10 15 20 20 - - - h, м 0,0025 0,005 0,0075 0,01 0,01 - Результаты расчета 3,554·107 qkr, МПа 0,065307 0,066250 1 2,194·107 qpr, МПа 0,0403 0,0407 1 20,62 Wmax, м 0,0515 0,1031 0,1546 0,2062 0,2192 6 2.4. Панели усеченных конических оболочек Рассмотрим панели усеченных гладких конических оболочек, выполненных из изотропного материала (стали). Размерные параметры и соответствующие им безразмерные параметры приводятся в табл. 6. Чтобы было возможным рассматривать оболочки как подобные, был взят одинаковый угол конусности рад и одинаковый угол разворота рад. Также соблюдается правило равенства отношений для всех рассматриваемых вариантов. Результаты расчетов прочности и устойчивости для этих конструкций приводятся в табл. 7. Здесь потеря прочности происходит одновременно с потерей устойчивости, поэтому значения соответствующих нагрузок объединены. Сравнение с расчетом в размерных параметрах проводилось по конструкции варианта 2. Таблица 6 Пример размерных и безразмерных параметров для подобных панелей усеченных конических оболочек Вариант м м м м 1 12,5 2,5 0,005 10 2500 500 2 25 5 0,010 20 3 37,5 7,5 0,015 30 4 50 10 0,020 40 Таблица 7 Размерные и безразмерные результаты расчета для подобных панелей усеченных конических оболочек Безразм. параметр Безразм. значение Размерный параметр При переводе в размерные варианты Сравнение (расчет в разм.) Вар. 1 Вар. 2 Вар. 3 Вар. 4 Значение Разница, % Входные параметры конструкции 2500 а, м 12,5 25 37,5 50 25 - - - h, м 0,005 0,010 0,015 0,020 0,010 - Результаты расчета qkr = qpr, МПа 0,2730 0,2847 4 34.27 Wmax 1, м 0,1714 0,3427 0,5141 0,6854 0,3515 2 3. Анализ Для оболочек, изготовленных из одного и того же материала, с одинаковыми значениями безразмерных параметров и разными размерными значениями (подобные оболочки) значения критической нагрузки потери устойчивости (или прочности) и напряжений будут одинаковыми. Соответственно, одинаковыми будут и размерные значения нагрузки и напряжений . Чтобы найти размерные значения прогиба, усилий и моментов, необходимо выполнить следующие действия: Заключение Введение безразмерных параметров при расчете оболочечных конструкций позволяет получить более обширную информацию о напряженно-деформированном состоянии оболочек и выявить особенности деформирования для целой серии подобных оболочек. Как видно из проведенных исследований, решения в размерных и безразмерных параметрах несколько отличаются друг от друга. Значения критических нагрузок близки, но кривые «нагрузка - прогиб» не совпадают. При решении в размерных параметрах искомые функции имеют разный порядок. Так, прогибы имеют порядок , а - порядок Кроме того, при действии с малыми числами накапливается инструментальная ошибка. При порядок системы алгебраических уравнений равен 81. При решении задачи в безразмерных параметрах порядок искомых функций выравнивается и инструментальная ошибка накапливается меньше. Однако порядок параметра нагрузки может существенно отличаться от порядка остальных параметров и для каждой конкретной задачи быть разным. Правильный подбор параметров точности расчета в методе продолжения решения по наилучшему параметру позволяет достаточно точно находить значения критических нагрузок, несмотря на разницу в порядках. Так что расчеты в безразмерных параметрах следует признать более справедливыми.

About the authors

V V Karpov

Saint Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering

A A Semenov

Saint Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering

References

Statistics

Views

Abstract - 433

PDF (Russian) - 158