Contact interaction plates, reinforced by ribs, with gaps under the influence of white noise

Abstract


We have investigated the contacting interaction of a sandwich structure in the form of plates and beams with small gaps between them. Such systems are integral elements of modern devices. The created mathematical model is based on the following hypothesis: the system is a multi-layer structure; the materials are isotropic. To solve the problem we used the finite difference method with approximation 0 (h2), 0 (h4) and Bubnov-Galerkin method in higher approximations of spatial coordinates, as well as the Runge-Kutta 0 (h4), 0 (h6), 0 (h8) time. In solving problems associated with random variations, it is necessary to solve the challenge of an error, so you need to use different numerical methods to validate the results in order to distinguish the chaos of the numerical error. For the analysis of chaotic dynamics we have applied all methods of qualitative analysis. We have investigated the spatiotemporal chaos based on wavelet analysis. We have studied the effect of white noise in the contact interaction of elements of the multilayer structure. Also, the analysis of the complex vibrations of plates and beams in different intensities depending on the type of noise and load has been made. It was found that by using an external additive white noise, it became possible to control chaotic oscillations and transfer the system from a chaotic state to a harmonious one and enable or disable the contact interaction.

Full Text

Введение Конструкции современных приборов и техники представляют собой сложные многослойные пакеты из балок и пластин с малыми зазорами между элементами. Такие конструкции подвергаются работе в экстремальных условиях, вызванных детерминированным внешним воздействием различной природы и случайными флуктуациями в свойствах окружающей среды, что, в свою очередь, вызывает перестройку режимов динамических систем [1]. Необходимо учитывать контактное взаимодействие слоев, что приводит к конструктивной нелинейности [2]. Наличие зазора между элементами (пластинка-балка, пластинка-пластинка, балка-балка, оболочка-балка и другие сочетания), а также неидеальность изготовления прибора уже при малых прогибах, соизмеримых с зазором между элементами, может привести изучаемый объект в состояние хаотических колебаний [3-4]. Поэтому важно изучение влияния управляющих параметров, различных типов внешней нагрузки на функционирование системы. Такие системы широко применяются в различных приборах электронной техники, в частности в гироскопах (слоистые плоские микромеханические акселерометры (ММА), описанных в статьях [5-6], однако в этих работах не изучается контактное взаимодействие слоев. При моделировании поведения конструкций современной техники важным вопросом является тип характера хаотического состояния. Изучение такого явления возможно с позиции анализа всего многообразия знаков показателей Ляпунова [7-9], анализа Фурье и вейвлет-анализа [10]. Важным вопросом является проблема управления хаосом и сложными нелинейными колебаниями, которые приводят к различным погрешностям в работе датчиков измерительных приборов. Такие погрешности можно исследовать, учитывая математическую модель белого шума. Проблема повышения точности приборов и прочности конструкций современной техники является актуальной. Такая задача может быть решена за счет применения новых технических решений, использования новых технологий, создания новых математических моделей, описывающих нелинейную динамику распределенных систем. В настоящее время как за рубежом, так и в российских научных школах повысился интерес к эффектам, связанным с воздействием внешних шумов на поведение динамических систем. В таких областях, как физика, химия, биология, уже показано, что случайные воздействия играют весьма существенную роль в поведении динамических систем [11-12]. Внешние шумы способны приводить не только к флуктуациям в характеристиках динамических систем, но и вызывать качественную перестройку их режимов [13-15]. В работе [16] на примере осциллятора Анищенко-Астахова показано, что воздействие шумового сигнала приводит к сдвигу бифуркаций удвоения в сторону роста управляющего параметра. В статье [17] показано, что неустойчивая по Ляпунову детерминированная параметрическая система может быть стабилизирована путем наложения на параметрическую нагрузку случайного шума. В работе [18] излагаются результаты опытного изучения балочно-ударной системы при возмущениях типа гауссова шума. Показано, что при учете нескольких форм колебаний реакция нелинейной модели сильно отличается от реакции расчетной модели с одной степенью свободы. В статье [19] показано, что учет количества степеней свободы существенно влияет на достоверность получаемых результатов. В работе [20] выполнены расчеты колебаний и радиации звука подкрепленных пластин, покрытых демпфирующим слоем при действии гармонической нагрузки и нагрузки типа белого шума. Решение получено путем разложения по собственным формам колебаний. В работе С.И. Денисова [21] рассмотрены индуцированные шумом переходы в одномерных системах, в результате которых их стационарные функции распределения претерпевают качественные изменения с изменением интенсивности шума. В случае когда флуктуации моделируются гауссовским белым шумом, необходимым условием существования таких переходов является мультипликативность шума. В статье [22] предложена теоретическая статическая модель равновесия капли жидкости на шероховатой плоской поверхности. Поверхность описывается случайной стационарной функцией типа белого шума в ограниченной полосе частот. Выполнено обобщение модели на случай рельефа поверхности в виде набора произвольных случайных функций. Вместе с тем работ, посвященных вопросам внешнего воздействия среды на нелинейные колебания многослойных пакетов в виде балок и пластин как систем с множеством степеней свободы, в известной нам литературе не имеется. 1. Постановка задачи Построена математическая модель сложных колебаний многослойного пакета из пластины и трех балок, на который действует внешняя нагрузка разных типов (рис. 1). Верхний слой представляет собой пластинку, которая описывается уравнением типа Жермен-Лагранжа, а нижний слой - набор параллельных балок. Каждая из балок описывается уравнением Эйлера-Бернулли. Контактное взаимодействие учитывается по модели Винклера. Пластина и балки изотропные, между ними имеется малый зазор, соединены они через краевые условия. Математическая модель описывается системой уравнений (1.1) где функции и Соотношение где i = 2; 3; 4 - номер балки, представляет собой контактное давление между слоями. В контактных задачах теории пластин и балок это соотношение и есть винклерова связь между обжатием и контактным давлением. ; если - есть контакт между пластиной и балкой, иначе ; - функции прогибов пластины и балок соответственно; K - коэффициент жесткости трансверсального обжатия структуры в зоне контакта; - зазор между слоями. Появление зон сцепления маловероятно, поскольку контактное давление между слоями невелико. Условия контакта между слоями могут зависеть от координат и включать все виды несовершенного одностороннего контакта [23]. Система уравнений (1.1) приведена к безразмерному виду следующим образом: , ; , , , где - размеры пластины по и соответственно; - время; - коэффициент затухания; - функция прогиба; - толщина пластины; - коэффициент Пуассона; - ускорение силы тяжести; - модуль упругости; - поперечная нагрузка, действующая на пластинку; - поперечные нагрузки, действующие на балки; - удельный вес материала. На многослойный пакет могут действовать внешние нагрузки различных типов: поперечные без учета и с учетом аддитивного шума. Поперечные нагрузки в общем виде представляют собой выражения (1.2) , ( ). (1.3) Аддитивный шум представляет собой форму детерминированного входа, при этом шум используется только во внешней нагрузке и задается формулой , где - это интенсивность шумового воздействия; функция - генератор случайных чисел некоторой случайной величины. Для простоты записи черточки над безразмерными параметрами в системе уравнений (1.1) опущены. Рис. 1. Схема многослойной структуры из пластины и трех балок К исходным уравнениям следует присоединить граничные условия - шарнирное опирание по контуру и нулевые начальные условия: при при (1.4) m = 1, 2, 3, 4 - индекс, соответствующий пластине и балкам; (1.5) m = 1, 2, 3, 4. К этим условиям следует добавить условия непроникновения одной системы в тело другой. Полученные системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (1.1) сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка методом Фаэдо-Галеркина [24]. Функции и являющиеся решениями системы (1.1), приближенно аппроксимируем выражением в виде произведения функций, зависящих от времени и от координат: ( ), . Функции и выбираем таким образом, чтобы они были линейно независимы, непрерывны вместе со своими частными производными до четвертого порядка включительно, удовлетворяли граничным и начальным условиям. С этой целью положим Коэффициенты являются искомыми функциями времени. После применения метода Фаэдо-Галеркина получаем систему второго порядка относительно функций времени. Количество уравнений в системе зависит от количества балок. Систему уравнений второго порядка сводим к системе первого порядка с помощью метода замены переменной. Задачи Коши для нелинейной системы уравнений первого порядка решаются методами типа Рунге-Кутты по временной координате. При решении задач, связанных с хаотическими колебаниями, встает вопрос о погрешности, поэтому необходимо применение разных численных методов для подтверждения достоверности результатов. С этой целью полученные дифференциальные уравнения сводились к задаче Коши методом конечных разностей с аппроксимацией 0(h2) и 0(h4) и методом Фаэдо-Галеркина в высших приближениях, исследовалась сходимость метода при разном числе членов ряда при этом точность устанавливалась по правилу Рунге. Полученные обыкновенные дифференциальные уравнения решались методами типа Рунге-Кутты 4, 6, 8-го порядка точности по временной координате, был проведен сравнительный анализ результатов [1, 4]. Так как система уравнений нелинейная, то решить ее аналитическим путем не представляется возможным. На основании данного алгоритма создан программный комплекс, позволяющий исследовать многослойный пакет из пластины и трех балок, которые описываются системой уравнений (1.1). Анализ получаемых результатов осуществляется с помощью методов нелинейной динамики и качественной теории дифференциальных уравнений: строятся для каждого слоя пакета сигналы, фазовые портреты, сечения Пуанкаре, Фурье-спектры, применяются вейвлет-преобразования и анализ знаков показателей Ляпунова. Используются различные вейвлеты: Морле, «мексиканская шляпа», Гаусса от 1-го до 8-го порядка включительно. Вейвлет Гаусса 8-го порядка и вейвлет Морле дают близкие результаты, тем не менее предпочтение отдаем вейвлету Морле, так как он обладает наилучшей способностью локализовать частоту во времени, то есть является наиболее информативным [25-26]. 2. Численный эксперимент Изучим сложные колебания многослойного пакета, который состоит из пластины и трех параллельных балок, расположенных на несимметричном расстоянии от центра пластины и зазор между пластиной и каждой из балок Исследуем контактное взаимодействие в зависимости от трех типов нагрузки: 1) только на верхнюю пластину действует внешняя распределенная поперечная нагрузка балки находятся в состоянии покоя, то есть 2) только на верхнюю пластину действует внешняя распределенная поперечная нагрузка с шумовой составляющей балки находятся в состоянии покоя 3) на верхнюю пластину действует внешняя распределенная поперечная нагрузка на все три балки действует аддитивный белый шум, то есть нагрузка задается формулой Рассмотрим первый тип нагрузки. На верхнюю пластину действует внешняя распределенная поперечная нагрузка с интенсивностью и частотой возбуждения близкой к частоте собственных колебаний пластины. При этом пластина совершает гармонические колебания, а балки находятся в состоянии покоя. При амплитуде внешнего воздействия происходит контакт пластины и балок, что приводит к непродолжительным по времени затухающим колебаниям балок. При происходит смена характера колебания пластины и первой балки: система перешла в хаос, возникает утроение периода (рис. 2, б (b1, b2)), в то время как вторая и третья балки находятся в состоянии покоя. На рис. 2 приведены графики спектров мощности Фурье (b1, b2), 2D вейвлет-спектров Морле (рис. 2, в (с1, с2)) для пластины и первой балки соответственно, а также график совместных колебаний пластины и первой балки (рис. 2, a), сплошная линия соответствует пластинке, пунктир - балке. a b1 b2 c1 c2 б в Рис. 2. Контактное взаимодействие пластины и трех несимметричных балок при амплитуде нагрузки с зазором С увеличением амплитуды внешней нагрузки пластина совершает хаотические колебания на утроении периода поочередно с каждой из крайних балок. При амплитуде нагрузки в интервале колебания совершает каждый элемент двухслойного балочно-пластинчатого пакета (пластина и все три балки). Графики 2D вейвлет-спектров Морле показывают, что в разные интервалы времени колебания осуществляются на разных частотах (рис. 3, б (b1-b4)) в отличие от спектров мощности Фурье (рис. 3, а (a1-a4)), которые указывают суммарно частоты колебания за весь период времени. Проведенный анализ позволяет сделать вывод о наличии зон перемежаемости и окнах включения/выключения частот. Далее с увеличением нагрузки снова идет чередование колебаний пластинки с одной из трех балок. И, наконец, начиная с величины амплитуды нагрузки пластина взаимодействует одновременно с двумя крайними балками при этом характер колебаний хаотический. a1 a2 a3 a4 а b1 b2 b3 b4 б Рис. 3. Контактное взаимодействие пластины и трех несимметричных балок при амплитуде нагрузки с зазором Рассмотрим второй тип нагрузки. На верхнюю пластину действует внешняя распределенная поперечная нагрузка с амплитудой Изучим влияние аддитивного шума, добавленного во внешнюю поперечную нагрузку на пластину, на сложные колебания многослойной структуры. Значение интенсивности шума из интервала абсолютно не влияет на характер колебаний (рис. 4 (a1, b1, c1, d1)). Система по-прежнему осталась детерминированной, происходит захват хаотических колебаний на утроении периода пластины и первой балки На рис. 4 для разной интенсивности шума приведены графики спектров мощности Фурье и 2D вейвлет-спектров Морле для пластины (a1-a4 и b1-b4), для первой балки (с1-с4 и d1-d4), для второй балки (e3-e4 и f3-f4) и для третьей балки (g3-g4 и h3-h4), соответственно. При увеличении интенсивности шумового воздействия произошла перестройка характера колебаний всей системы. Колебания пластины стали гармоническими на частоте возбуждения внешней нагрузки , а балки находятся в состоянии покоя. Таким образом, с присутствием аддитивного шума во внешней нагрузке контактное взаимодействие не происходит (рис. 4 (a2, b2)). При интенсивности шума и амплитуде внешнего поперечного воздействия колебания системы гармонические, фазовый портрет представляет собой кольцо. При увеличении значения шума до при прежних значениях остальных управляющих параметров, происходит перестройка системы и на фазовом портрете пластины появляется утроение орбит. Из-за соприкосновения в результате контактного взаимодействия слоев возникает колебание балок (рис. 4 (c3, d3, e3, f3, g3, h3)). На спектре мощности Фурье для пластины наблюдается локализация частот вокруг частоты, которая произойдет при дальнейшем увеличении шума (рис. 4 (a3, b3)). При интенсивности шума система совершает хаотические колебания на утроении периода. При увеличении шума до значения многослойная структура совершает сложные хаотические колебания на утроении периода. На разных интервалах времени пластина взаимодействует поочередно с каждой из балок. Контактное взаимодействие пластины со второй и третьей балкой происходит только на коротком промежутке времени (рис. 4 (a4, b4, c4, d4, e4, f4, g4, h4)). a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 c1 d1 в покое c3 d3 c4 d4 в покое в покое e3 f3 e4 f4 в покое в покое g3 h3 g4 h4 Рис. 4. Исследование влияния белого шума на основе Фурье- и вейвлет-анализа для колебаний многослойного пакета Рассмотрим третий тип нагрузки. На верхнюю пластину действует внешняя распределенная поперечная нагрузка с амплитудой и частотой возбуждения Изучим контактное взаимодействие под влиянием аддитивного шума, действующего на все три балки, то есть нагрузка на балки задается формулой При отсутствии внешнего белого шума ( ) происходит контакт пластины и первой балки колебания пластины и балки совершаются на утроении периода, в то время как вторая и третья балки находятся в состоянии покоя. Увеличивая интенсивность аддитивного шума до наблюдаем перестройку системы. Вторая и третья балки совершают хаотические колебания с малой амплитудой по сравнению с зазором между балками и пластиной, фазовые портреты представляют собой сплошное пятно, спектры мощности Фурье и вейвлет-спектры свидетельствуют о глубоком хаосе. Контактное взаимодействие происходит между пластиной и первой балкой на утроении периода (рис. 5 (b1, b2)), но при этом появляется перемежаемость частот у этих элементов (рис. 5 (c1, c2)). На рис. 5 приведены графики сигнала (a1, a2), спектра мощности Фурье (b1, b2) и 2D вейвлет-спектров Морле (c1, c2) для пластины и первой балки соответственно. a1 b1 c1 a2 b2 c2 Рис. 5. Контактное взаимодействие пластины и первой балки при белом шуме При интенсивности шума в контактное взаимодействие вступают пластина и третья балка на утроении периода, первая и вторая балки совершают хаотические колебания, но касания с пластинкой нет. При этом для спектр мощности Фурье для пластины очистился, происходит синхронизация пластины и третьей балки с небольшими составляющими шума. Колебания совершаются на утроении периода, однако у пластины доминирует частота , а у балки - и Далее при величине белого шума пластинка совершает гармонические колебания, за счет того, что контакта ни с одной из балок нет, хотя они находятся в состоянии глубокого хаоса. При увеличении интенсивности шума до пластина снова касается третьей балки с утроением периода частот, то есть происходит синхронизация этих двух элементов балочно-пластинчатой структуры (рис. 6). a1 b1 c1 a2 b2 c2 Рис. 6. Контактное взаимодействие пластины и третьей балки при белом шуме Заключение В работе представлена математическая модель контактного взаимодействия пластины, подкрепленной ребрами жесткости, с зазорами, при действии белого шума. В ходе исследования изучен характер сложных колебаний многослойного пакета в зависимости от трех типов нагружения с учетом белого шума. Таким образом, как только происходит соприкосновение элементов, независимо от наличия белого шума, колебания становятся хаотическими на линейно зависимых частотах и Присутствие внешнего аддитивного белого шума может влиять на характер колебаний (на присутствие или отсутствие контактного взаимодействия элементов многослойного пакета). Отсутствие контактного взаимодействия приводит к тому, что система совершает гармонические колебания.

About the authors

T V Yakovleva

NIIM Nizhny Novgorod State University N.I. Lobachevsky

V G Bazhenov

NIIM Nizhny Novgorod State University N.I. Lobachevsky

V A Krysko

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

E Yu Krylova

NIIM Nizhny Novgorod State University N.I. Lobachevsky

References

  1. Chaotic nonlinear dynamics of cantilever beams under the action of signs-variables loads / A.V. Krysko [et al.] // PAMM. Special Issue: 82nd Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics (GAMM). - Graz, 2011. - Vol. 11. - Iss. I. - P. 327-328.
  2. Nonlinear dynamics and chaotic synchronization of contact interactions of multi-layer beams / J. Awrejcewicz, M.V. Zhigalov, I.V. Papkova, A.V. Krysko // Dynamical Systems - Theory / Eds. J. Awrejcewicz, M. Kaźmierczak, P. Olejnik, J. Mrozowski. - TU of Lodz Press, 2013. - P. 283-292.
  3. Фазовая хаотическая синхронизация многослойных балочных структур / В.А. Крысько [и др.] // Прикладная механика и техническая физика. - 2012. - № 3. - С. 166-175.
  4. Chaotic synchronization of vibrations of a coupled mechanical system consisting of a plate and beams / J. Awrejcewicz [et al.] // Latin American Journal of Solids and Structures. - 2013. - Vol. 10. - P. 161-172.
  5. Иерархические тепловые модели бесплатформенной инерциальной навигационной системы на волоконно-оптических гироскопах / В.Э. Джашитов [и др.] // Гироскопия и навигация. - 2013. - № 1 (80). - С. 49-63.
  6. Джашитов В.Э., Панкратов В.М., Барулина М.А. Математические модели термоупругого напряженно-деформированного состояния и погрешности масштабного коэффициента волоконно-оптического гироскопического датчика // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2013. - № 2. - С. 43-52.
  7. Routes to chaos in continuous mechanical systems. Part 1: Mathematical models and solution methods / J. Awrejcewicz, A.V. Krysko, V.A. Krysko, I.V. Papkova // Chaos. Solitons & Fractals. Nonlinear Science and Nonequilibrium and Complex Phenomena. - 2012. - Vol. 45. - 22 р.
  8. Добриян В.В., Папкова И.В., Крысько В.А. Метод Ляпуновских показателей для исследования хаотических колебаний конструктивно нелинейных распределенных систем [Электронный ресурс] // Ломоносов-2013: материалы междунар. науч. форума. - М.: МАКСПресс, 2013. - URL: http://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2013/2192/47410_3549.pdf.
  9. Yang Caixia, Wu Christine Qiong. A robust method on estimation of Lyapunov exponents from a noisy time series // Nonlinear Dyn. - 2011. - Vol. 64. - No. 3. - P. 279-292.
  10. Tarinejad R., Damadipour M. Modal identification of structures by a novel approach based on FDD-wavelet method // Journal of Sound and Vibration. - 2014. - Vol. 333. - No. 3. - P. 1024-1045.
  11. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы: Теория и применение в физике, химии и биологии: пер. с англ. - М.: Мир, 1987. - 400 с.
  12. Stochastic minimax optimal time-delay state feedback control of uncertain quasi-integrable Hamiltonian systems / Feng Ju [et al.] // Acta mech. - 2011. - Vol. 222. - No. 3-4. - P. 309-319.
  13. Vibration based damage detection of a beam-type structure using noise suppression method / U. Baneen [et al.] // J. Sound and Vibr. - 2012. - Vol. 331. - No. 8. - P. 1777-1788.
  14. Stationary response of Duffing oscillator with hardening stiffness and fractional derivative / Chen Lincong [et al.] // Int. J. Non-Linear Mech. - 2013. - Vol. 48. - P. 44-50.
  15. Ваганова Н.И., Руманов Э.Н Предвестники катастроф // Неизотермические явления и процессы: От теории теплового взрыва к структурной макрокинетике: материалы междунар. конф., посвященной 80-летию академика А.Г. Мержанова. Черноголовка, Моск. обл., 27-30 нояб. 2011. - М., 2011. - С. 131.
  16. Слепнев А.В., Вадивасова Т.Е. Бифуркации удвоения периода и эффекты шумового воздействия в мультистабильной автоколебательной среде // Прикладная нелинейная динамика. - 2011. - Т. 19, № 4. - С. 53-67.
  17. Потапов В.Д. Об устойчивости стохастических вязкоупругих систем // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2009. - № 6. - С. 85-90.
  18. Non-linear dynamics of a stochastically excited beam system with impact / N. van de Wouw, A. de Kraker, D.H. van Campen, H. Nijmeijer // Int. J. Non-Linear Mech. - 2003. - Vol. 38. - No. 5. - P. 767-779.
  19. Awrejcewicz J., Krylova E.Y., Krysko V.A. Regular and chaotic dynamics of flexible plates // Proceedings of the International Conference on Structural Engineering Dynamics (ICEDyn 2013). - Portugal: Sesimbra, 2013. - 10 p.
  20. Расчет колебаний и радиации звука конечных подкрепленных пластин, покрытых демпфирующим слоем / Yao Xiongliang [et al.] // J. Huazhong Univ. Sci. and Technol. Natur. Sci. - 2012. - Vol. 40. - No. 7. - P. 119-123.
  21. Денисов С.И., Бондарь Е.А. Новый класс индуцируемых шумом переходов // Фізика, електроніка, електротехніка: матеріали та программа науково-технічної конференції, м. Суми, 21-26 2014 р. квітня / відп. за вип. С.І. Проценко. - Суми, 2014. - С. 52.
  22. Nikos S., Grigorios P., Kalliadasis S. Contact lines over random topographical substrates // J. Fluid Mech. - 2011. - Vol. 672. - P. 358-383.
  23. Кантор Б.Я. Контактные задачи нелинейной теории оболочек вращения. - Киев: Наук. думка, 1990. - C. 100.
  24. Faedo S. Un nuovo metodo per lanalisi esistenziale e quantitative dei problem di propogazione // Ann. Scuola Norm, sur. - Pisa, 1949. - P. 1-40.
  25. Крысько А.В., Жигалов М.В. Математические модели и методы исследования сложных колебаний неклассических распределенных механических систем. - Саратов: Изд-во Сарат. гос. техн. ун-та, 2008. - С. 301.
  26. Grossman A., Morlet S. Decomposition of Hardy functions into square separable wavelets of constant shape // SIAM J. Math. Anal. - 1984. - Vol. 15. - No. 4 - P. 723.

Statistics

Views

Abstract - 63

PDF (Russian) - 20

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2015 Yakovleva T.V., Bazhenov V.G., Krysko V.A., Krylova E.Y.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies