DYNAMIC AXISYMMETRIC PROBLEM OF ELECTROELASTICITY FOR A RIGIDLY FIXED BIMORPH PLATE

Abstract


A nonstationary axisymmetric problem for a circular rigidly fixed bimorph plate consisting of a metal substrate and two piezoelectric elements is studied in this paper. Mechanical vibrations of the structure are made by the action of its end surfaces of electric potential, which is an arbitrary function of the radial coordinate and time. New closed solution is constructed in the framework of electrodynamics in three-dimensional statement by the consistent use of the method of incomplete separation of variables in the form of integral transformations. Consistently Hankel transformation with finite limits on the axial coordinate and generalized finite transformation (FIT) on the radial variable are applied. At each stage of the solution there is a procedure of standardization which allows the appropriate conversion algorithm. The calculated ratio for the components of the displacement vector and the electric field potential allow us to study the variation of the stress-strain state of the bimorph plate. The constructed solution provides an opportunity to make a qualitative and quantitative analysis of connection of electromechanical stress fields in composite laminated electroelastic structures that allow describing the work and finding the geometric characteristics of the typical elements of piezoceramic transducers of resonant and nonresonant classes. Based on the analysis results, it becomes obvious that there is the need for rigidly fixed bimorph systems for excitation of flexural vibrations of the split ring electrodes located on the faces of the piezoceramic plates and for the application of Timoshenko system of equations in applied theory for thin plates taking into account shear deformations. In addition, it became possible to obtain potential change laws, axial-vector components in the tensions and induction of electric field along the thin piezoceramic plate.

Full Text

Введение В различных технических устройствах, использующих принцип прямого и обратного пьезоэффекта, в качестве преобразователя энергии используются тонкие биморфные пластины [1-3]. Наиболее эффективной конструкцией, обладающей высокой механической прочностью и чувствительностью, является круглая металлическая подложка с наклеенными с двух сторон пьезокерамическими пластинами. Для исследования их напряженно-деформированного состояния, как правило, используется прикладная теория для тонких пластин, в которой гипотезы для тонкостенных упругих элементов дополняются аналогичными допущениями о характере изменения электрического поля [4-12]. Данный подход позволяет с помощью простых расчетных соотношений описать работу конструкции и подобрать ее геометрические размеры, позволяющие повысить эффективность трансформации энергии. Однако вопрос о характере изменения физических полей в пьезокерамических пластинах, особенно при исследовании систем с разрезными электродами, до настоящего времени изучен недостаточно полно. Поэтому для решения данной проблемы исследуется биморфная пластина в рамках теории электроупругости в трехмерной постановке. Новое замкнутое решение построено методом конечных интегральных преобразований. 1. Постановка задачи Пусть круглая жестко закрепленная пластина, занимающая в цилиндрической системе координат область : , состоит из металлической подложки толщиной и двух наклеенных на нее пьезокерамических элементов высотой , выполненных из материала гексагональной системы класса 6mm. Изгибные осесимметричные колебания возбуждаются за счет подведения к лицевым электродам пьезопластин с противоположным направлением вектора аксиальной поляризации, электрического напряжения и заземления подложки (рис.1). Рис. 1. Биморфная пластина Дифференциальные уравнения движения и электростатики, а также краевые условия в цилиндрической системе координат и безразмерной форме имеют следующий вид [13,14]: (1.1) ; , , , (1.2) , , ; , (1.3) , ; , (1.4) , , ; , , (1.5) , ; где ; , радиальная и аксиальная компоненты вектора перемещений; нормальные и касательные механические напряжения; потенциал электрического поля; , пьезомодули и коэффициенты диэлектрической проницаемости электроупругого материала объемная плотность и модули упругости пьезокерамического и упругого материалов; известные в начальный момент времени перемещения, скорости перемещений; , . Соотношения (1.1)-(1.5) представляют математическую формулировку рассматриваемой краевой задачи электроупругости. 2. Построение общего решения Решение осуществляется методом интегральных преобразований с использованием последовательно преобразования Ханкеля [15] с конечными пределами по переменной и обобщенного конечного преобразования (КИП) [16,17] по радиальной координате . Первоначально соотношения (1.1)-(1.5) приводятся к стандартной форме, позволяющей провести данную процедуру разделения переменных. Для этого последнее равенство (1.2) заменяется условием отсутствия касательных напряжений: , (2.1) и на основании теоремы о суперпозиции решений вводится новая функция , связанная с соотношением , (2.2) где дважды дифференцируемая функция, определяемая в процессе решения задачи из условия отсутствия вертикальных перемещений срединной поверхности пластины при *. В результате подстановки (2.2) в (1.1)-(1.5), (2.1) получаем новую краевую задачу относительно функций . При этом правые части второго дифференциального уравнения (1.1) и начальных условий (1.5) принимают следующий вид: , а условия (1.2) с учетом (2.1) при определяются равенствами** , , (2.3) К краевой задаче относительно применяем преобразование Ханкеля с конечными пределами по переменной , используя следующие трансформанты: , (2.4) и формулы обращения , (2.5) , , где - положительные нули функции расположенные в порядке их возрастания . В пространстве изображений получаем новую краевую задачу: (2.6) ; , (2.7) , ; , (2.8) , (2.9) где , . На втором этапе решения процедура стандартизации связана с приведением граничных условий (2.7),(2.8) к однородным при использовании следующих разложений: , (2.10) , где ; единичная функция Хэвисайда [20]; непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие следующим условиям*: , , (2.11) , , , , . В результате подстановки (2.10) в (2.6)-(2.9) получаем новую краевую задачу относительно функций . При этом правые части дифференциальных уравнений (2.6) и начальные условия (2.9) следует заменить на : , , , . Начально-краевую задачу (2.6)-(2.9) относительно функций решаем, используя структурный алгоритм обобщенного метода конечных интегральных преобразований (КИП) [16]. Введем на сегменте вырожденное КИП с неизвестными компонентами вектора-функции ядра преобразования: , (2.12) , (2.13) , где - положительные параметры, образующие счетное множество . Круговые частоты осесимметричных колебаний цилиндра связаны с зависимостью . (2.14) Подвергаем систему уравнений (2.6) и начальные условия (2.9) относительно функций преобразованиям КИП в соответствии со структурным алгоритмом [16], представляя кусочно-гладкие функции в виде (2.15) В результате получаем счетное множество задач Коши для трансформанты , решение которых имеет вид , (2.16) и однородную краевую задачу с учетом граничных условий (2.7), (2.8) относительно компонент ядра преобразований : (2.17) (2.18) , , , (2.19) , . В соотношениях (2.16)-(2.19) приняты следующие обозначения: , , . При исследовании системы уравнений (2.17) необходимо отдельно рассмотреть задачи теории электроупругости и упругости . В работах автора [21,22] приведены общие решения данных задач, в которых получены выражения для функций . Их подстановка в граничные условия (2.18), (2.19) формирует однородную систему уравнений относительно постоянных . Разыскивая ее нетривиальные решения, получаем трансцендентное уравнение для вычисления собственных значений , а также выражения постоянных интегрирования. Функции , входящие в разложения (2.10), с учетом условий (2.11) принимаются в виде , , , , , , , . Окончательные выражения функций , получим, применяя к трансформанте (2.16) последовательно формулы обращения КИП (2.13) и метод конечных преобразований Ханкеля (2.5). В результате с учетом (2.2), (2.10) имеем , (2.20) , . Функция определяется с помощью второго равенства (2.20) при удовлетворении условия об отсутствии вертикальных перемещений срединной поверхности пластины при : . (2.21) Полученные расчетные соотношения (2.20) удовлетворяют дифференциальным уравнениям (1.1) и краевым условиям (1.2)-(1.5) (последнее граничное условие (1.2) только для срединной плоскости), т.е. представляют замкнутое решение рассматриваемой краевой задачи электроупругости. 3. Численные результаты. Выводы В качестве примера рассматривается биморфная пластина, имеющая следующие физические и геометрические характеристики аксиально поляризованных пьезокерамических пластин состава ЦТС-19 [23] и металлической стальной подложки: H/м, Кл/м, Ф/м, кг/м, H/м, кг/м, м, м. Анализ полученных расчетных соотношений подтверждает экспериментальные данные, а именно: при жестком закреплении биморфной конструкции изгибные колебания возбуждаются только при наличии системы разрезных кольцевых электродов, расположенных на лицевых поверхностях пьезокерамических пластин. Причем в этом случае электрический потенциал подводится к соседним электродам в противофазе. Рассмотрим работу электроупругой системы на первой резонансной частоте. В этом случае для наиболее эффективного преобразования внешнего электрического воздействия необходимо использовать два электрода (количество и размеры электродов определяют нулевые значения функции ) с радиусом их раздела м Представляем электрическую нагрузку в виде , где амплитуда и частота внешнего воздействия в безразмерной форме. На рис. 2-5 изображены графики, характеризующие изменение по пространственным координатам и времени составляющих механических и электрических полей напряжений На основании анализа результатов расчета можно сделать следующие выводы. 1. При высокочастотном внешнем воздействии наблюдается сложная зависимость изменения напряженно-деформированного состояния системы во времени (рис. 2). Поэтому обычно применяемое при исследовании подобных задач [2-4] допущение об установившемся режиме вынужденных колебаний можно использовать только при решении задач на собственные значения. Рис. 2. Изменение - 1; - 2 по времени (пунктирная линия показывает характер изменения по времени электрической нагрузки) Рис. 3. Изменение амплитудных значений - 1; - 2; - 3 по радиальной координате Рис. 4. Изменение амплитудных значений - 1; - 2; - 3 по аксиальной координате Рис. 5. Изменение амплитудных значений - 1; - 2; - 3 по аксиальной координате 2. Использование двух разрезных круговых электродов и отсутствие угла поворота в жестком закреплении (см. рис. 3, кривая 1) приводят к образованию в пьезокерамических пластинах в радиальной плоскости зон растяжения и сжатия (см. рис. 3, кривая 3). Кроме того, максимальное значение радиальной компоненты вектора перемещений наблюдается в области разреза электродов (см. рис. 3, кривая 2). 3. График «» (см. рис. 4, кривая 1) показывает, что гипотезу плоских сечений, применяемую в прикладной теории для тонких систем, можно использовать также при исследовании составных тонких пластин, имеющих различные физические характеристики по высоте сечения. 4. В зоне раздела электродов (см. рис. 4, кривая 2, ) наблюдаются максимальные значения касательных напряжений . Поэтому для расчета тонких электроупругих систем с разрезными электродами с помощью прикладных теорий необходимо использовать систему уравнений Тимошенко, учитывающую деформации поперечного сдвига. 5. При расчете тонких пластин используется допущение об отсутствии давления слоев друг на друга. Однако в пьезокерамических тонких пластинах нормальные напряжения существенны (см. рис. 4, кривая 3). 6. Потенциал электрического поля по высоте пьезокерамической пластины изменяется по параболической зависимости (см. рис. 5, кривая 1), соответственно, график, описывающий изменение аксиальной компоненты вектора напряженности , представляет собой прямую линию (см. рис. 5, кривая 2). 7. Радиальная компонента вектора напряженности электрического поля практически равна нулю, за исключением точек раздела двух электродов. Максимальное значение данной функции наблюдается на лицевых поверхностях пьезокерамических пластин . Однако даже незначительная величина электрического поля в радиальной плоскости вносит существенный вклад в график изменения аксиальной компоненты индукции электрического поля по высоте пьезокерамической пластины (в прикладных теориях функция принимается постоянной по высоте сечения [5, 6, 8, 12]). В данной задаче разница численных значений по координате (см. рис. 5, кривая 3) достигает 30 %. В заключение следует отметить, что данный подход можно использовать также при расчете многослойных упругих и электроупругих пологих сферических оболочек.

About the authors

D A Shlyakhin

Samara State University of Architecture and Civil Engineering

References

  1. Подводные электроакустические преобразователи: справочник / под ред. В.В. Богородского. - Л.: Судостроение, 1983. - 248 с.
  2. Sharapov V. Piezoceramic sensors. - Springer Verlag, 2010. - 498 p.
  3. Датчики / под ред. В.М. Шарапова. - М.: Техносфера, 2012. - 616 с.
  4. Adelman N.T., Stavsky Y. Flexural-extensional behavior piezoelectric cilcular plates // J. Acoust. Soc. Amer. - 1980. - Vol. 67. - No. 3. - Р. 819-822.
  5. Чувствительность биморфного преобразователя типа металл-пьезокерамика/ Ю.Б. Евсейчик [и др.] // Прикл. механика. - 1990. - T. 26, № 12. - С. 67-75.
  6. Ватульян А.О., Рынкова А.А. Изгибные колебания пьезоэлектрического биморфа с внутренним разрезным электродом // ПМиТФ. - 2001. - Т. 42, № 1. - С.184-189.
  7. Karlash V.L. Resonance Electro-Mechanic Vibration of Piezo-Ceramic Plates // Int. Appl. Mech. - 2005. - Vol. 41. - No. 7. - P. 535-541.
  8. Ватульян А.О., Рынкова А.А. Об одной модели изгибных колебаний пьезоэлектрических биморфов с разрезными электродами и ее приложениях // Изв. РАН. МТТ. - 2007. - № 4. - С. 114-122.
  9. Янчевский И.В. Нестационарные колебания круглого асимметричного биморфа при электрическом нагружении // Вiсник Донецького нац. ун-та. - 2010. - Вып. 2. - С. 101-105.
  10. Wang Y., Xu R.Q., Ding H.J. Analytical solutions of functionally graded piezoelectric circular plates subjected to axisymmetric loads // Acta Mechanica. - 2010. - Vol. 215. - Iss. 1-4. - P. 287-305.
  11. Шляхин Д.А. Вынужденные осесимметричные колебания пьезокерамической тонкой биморфной пластины // Изв. РАН. МТТ. - 2013. - № 2. - С. 77-85.
  12. Shlyakhin D.A., Kazakova O.V. Non-Stationary Flexural Fluctuations of a Round Flat Bimorph Plate with Graded-Varying Thickness // Procedia Engineering. - 2014. - Vol. 91. - P. 69-74. doi: 10.1016/j.proeng.2014.12.014
  13. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Механика связанных полей в элементах конструкций. - Киев: Наук. думка, 1989. - 279 с.
  14. Математическое моделирование в задачах механики связанных полей. Т. II. Статические и динамические задачи электроупругости для составных многосвязных тел / Д.И. Бардзокас [и др.]. - М.: Комкнига, 2005. - 376 с.
  15. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. - М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1963. - 367 с.
  16. Сеницкий Ю.Э. Многокомпонентное обобщенное конечное интегральное преобразование и его приложение к нестационарным задачам механики // Изв. вузов. Математика. - 1991. - № 4. - С. 57-63.
  17. Сеницкий Ю.Э. Метод конечных интегральных преобразований - обобщение классической процедуры разложения по собственным вектор-функциям // Изв. Саратов. ун-та. Новая серия. Матем., механ., информатика. - 2011. - № 3(1). - С. 61-89.
  18. Прочность, устойчивость, колебания: справочник: в 3 т. / под. общ. ред. И.А. Биргера и Я.Г. Пановко. - М.: Машиностроение, 1968. - Т. 3. - 567 c.
  19. Пространственные задачи теории упругости и пластичности / под ред. А.Н. Гузя. - Киев: Наук. думка, 1986. - 286 с.
  20. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. - М.: Наука, 1978. - 318 с.
  21. Шляхин Д.А. Вынужденные осесимметричные колебания толстой круглой жестко закрепленной пьезокерамической пластины // Изв. РАН. МТТ. - 2014. - № 4. - С. 90-100.
  22. Шляхин Д.А. Вынужденные осесимметричные изгибные колебания толстой круглой жестко закрепленной пластины // Вестник Самар. гос. ун-та. Ест.-науч. серия. - 2011. - № 8(89). - С. 142-152.
  23. Пьезокерамические преобразователи: справочник / В.В. Ганопольский, Б.А. Касаткин, Ф.Ф. Легуша [и др.]. - Л.: Судостроение, 1984. - 256 с.

Statistics

Views

Abstract - 37

PDF (Russian) - 15

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2015 Shlyakhin D.A.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies