Abstract

Abstract

Теоретически исследуется проблема формирования двухкомпонентного газового горизонта в насыщенном жидкостью пористом массиве, занимающем полупространство. Рассматривается случай равномерного распределения источников газов в пористом массиве при изотермических условиях. Исследованы приповерхностные переходные слои, состав пузырьков которых может отличаться от состава на глубине.

Full Text

Введение Макроскопические диффузионные процессы в пузырьковых средах примечательны тем, что, во-первых, в пространстве всюду представлен источник/сток вещества, а, во-вторых, концентрация раствора равна растворимости газа и не является свободным параметром. Две эти особенности способны приводить к нетривиальным эффектам, таким как формирование пузырьковых горизонтов в присутствии неоднородностей температуры и давления, порождающих неоднородности поля растворимости [1]. Особый интерес представляет влияние волн растворимости на транспортные процессы в пузырьковых средах. Примером системы, где такое можно наблюдать, являются затопленные почвы, в которых прохождение годовой температурной волны вызывает волну растворимости, приводящую к формированию приповерхностной области насыщения поровой жидкости атмосферными газами [2]. Примечательно, что тот же эффект будет иметь место не только в природных, но и технологических системах, где есть колебания температуры поверхности пористого массива (фильтра, реактора и т.п.). На данный момент задача решена в приближении однокомпонентного газа – в случае насыщения почвы воздух полагается состоящим из азота. Учет многокомпонентности газа усложняет задачу. Кроме того, различия в коэффициенте молекулярной диффузии и растворимости различных компонентов воздуха (или иного газа) могут вызывать процессы перераспределения газа, и ответ на вопрос даже о качественном долевом составе газового горизонта оказывается неочевидным. Данная работа посвящена проблеме процессов транспорта различных компонентов газа в насыщенном жидкостью пористом массиве, в частности случаю генерирования двух компонентов газа в массиве при изотермических условиях. Рассматривается случай насыщенного смесью газов раствора, в пористом массиве которого всюду имеются пузырьки газовой фазы. Если характерный размер пор (s и ρ – коэффициент поверхностного натяжения и плотность жидкости, заполняющей массив, соответственно; g – ускорение свободного падения), то газовые пузырьки оказываются обездвижены в пористой матрице силами поверхностного натяжения. Вместе с тем крупные уединенные пузырьки при движении всегда неустойчивы к расщеплению [3]. Таким образом, транспорт газа в системе оказывается связан с его раствором в жидкости – механического переноса самих пузырьков нет. 1. Транспорт в насыщенном растворе двухкомпонентного газа При наличии гидродинамической дисперсии (D ~ 10-7 м2/с) [4–6], не зависящей от природы газов, молекулярным транспортом газов (D ~ 10-9 м2/с) через раствор можно пренебречь. Величины потоков газов будут определяться профилями концентраций газов, растворенных в жидкости – : . (1) Здесь и далее индекс i = 1, 2 нумерует компоненты газовой смеси; вертикальная координата z отсчитывается от поверхности в глубь массива. Концентрации , в свою очередь, определяются законом Генри [7]: , (2) где – константы Генри (KH ~ 104Pатм); P(i) – парциальные давления газов. Если – молярные доли газов, находящихся в пузырьковой фазе, то . (3) Здесь P – гидростатическое поле давления, т.е. P = Pатм + ρgz. Закон Генри справедлив для идеальных газов, что соответствует описанию пузырьковой фазы на глубинах до » 40 м. Обозначив Q(i) источники газов, запишем уравнения диффузии: . (4) В дальнейшем будем интересоваться установившимся ростом газовой фазы в порах и, соответственно, рассматривать решения (4) вида . Вводя безразмерную координату ξ = ρgz/Pатм и подставляя (1)–(3) в (4), получим , (5) где . Пусть y = v(1)/(v(1) + v(2)) – относительная скорость формирования пузырьковой фазы первого газа. Делая подстановку в равенство yv(2) = (1 - y)v(1) выражений для v(1) и v(2) (5), приходим к уравнению , (6) где q = Q(2)/Q(1); k = / . Индексом 1 будем обозначать менее растворимый компонент смеси, тогда k > 1. Имея решения уравнения (6), можно возвращаться к исходным функциям v(i), используя формулы (7) Дифференциальное уравнение (6) не имеет решения в элементарных функциях. Для дальнейшего анализа рассмотрим предельные случаи. 2. Отсутствие гидростатического давления (ξ << 1) Физически такой постановке задачи отвечает случай малой глубины пузырькового горизонта (ξ << 1). Такая ситуация может реализовываться и в технологических задачах с произвольной ориентацией поверхности пористого массива в пространстве. Удобно перейти к координате . Преобразованное уравнение (6) после однократного интегрирования примет вид , (8) где C – константа интегрирования. Фазовый «потрет» уравнения (8) изображен на рис. 1. Рис. 1. Фазовый «портрет» для значений q = 1,5, k = 2 Поскольку физически допустимым является интервал 0 £ y £ 1, а движению по фазовым траекториям параметризует переменная ζ ~ z, то физическому решению в полупространстве соответствуют лишь сепаратрисы (выделены жирной линией), входящие в седловую точку на фазовой плоскости. Остальные фазовые траектории выходят за пределы области допустимых значений y. Положение седловой точки может быть найдено из условия , (9) откуда ys = 1/(1 + q). Подстановка ys в (8) позволит определить C для сепаратрисы, уравнение которой будет иметь вид . (10) Выражение (10) заметно упрощается для случая k » 1: . (11) Отбрасывая расходящееся решение (11), получим искомую зависимость , (12) где y0 = y(0). Для значений k > 1 уравнение (10) требует численного анализа. Варьируя параметры q и k, получим различные решения y(ζ), отвечающие различным y0. На рис. 2 можно видеть, что k отвечает за скорость приближения y к своему равновесному значению на глубине, а q, как показано выше, определяет это равновесное значение ys. Рис. 2. Относительная скорость генерации пузырьковой фазы, k3 > k2 > k1 = 1 Аналогичным образом ведут себя и v(1), v(2): начиная с некоторого значения на поверхности при возрастании ζ, стремятся, как следует из формулы (7), к своим предельным значениям Q(1) и Q(2) соответственно. 3. Большие пространственные масштабы процесса (ξ >> 1) Данная постановка задачи оказывается актуальна, когда процесс генерирования газов происходит в области существенно толще 10 м. В этом случае можно полагать линейную зависимость давления от глубины, пренебрегая отличием его от нуля на поверхности, что уменьшает число управляющих параметров в задаче. Математически этому случаю соответствует предел больших ξ. В этом случае уравнение (6) будет иметь вид , (13) где η = ξα(1)/Q(1). Стоит отметить, что уравнение (13) также можно получить и без ограничения на величину ξ, проводя замену ξ ® ξ – 1, что означает перенос начала координат в точку ξ = 1, или η = α(1)/Q(1). Поэтому решение (13) относится и к полной постановке задачи, задающей уравнение (6). Случай k » 1 допускает аналитическое решение (13), удовлетворяющее условию ограниченности y при η ® ¥. , (14) где K1 – модифицированная функция Бесселя второго рода, y1 = y(1). Заключение В работе теоретически исследована проблема формирования пузырькового газового горизонта в насыщенном жидкостью пористом массиве, занимающем полупространство. Рассматриваются изотермические условия и случай преобладания гидродинамической дисперсии над молекулярной диффузией [4–6]; учитывается возможный гидростатический градиент давления. Полагается постоянная и однородная в пространстве скорость генерирования обоих компонентов газа. Примечательно, что, хотя в глубине массива отношение массовых долей компонентов газа равно отношению скоростей генерации их массы, в приповерхностном слое возможно отклонение состава формирующегося пузырькового горизонта от такового на глубине. В работе получены профили долевого состава формирующихся пузырьков. Примечательно, что толщина приповерхностного переходного слоя тем больше, чем сильнее отличаются растворимости газов в жидкости (минимальная толщина наблюдается при одинаковой растворимости).