Full Text

Введение Неустойчивость потока жидкости или газа при теплоподводе или преобразовании различных форм энергии в его напор возникает во многих потенциально неустойчивых элементах теплоэнергетического оборудования. Значительные проблемы возникают перед практиками, когда они сталкиваются с явлением возбуждения термоакустических автоколебаний и автоколебаний вибрационного горения, соответственно возникающих при конвективном теплоподводе или сжигании топливных смесей в самых разных тепловых агрегатах – от простейших топочных устройств до камер горения воздухонагревателей доменных печей и камер сгорания мощных современных ракетных двигателей. С большой натяжкой этот процесс сегодня можно назвать управляемым [1, 2]. По образному выражению академика Б.В. Раушенбаха, снижение амплитуды автоколебаний вибрационного горения осуществляется «вслепую» с затратой значительных средств и времени. Создавая устройство, конструктор не может не только предсказать степень его устойчивости, но и то, какими путями возникшая неустойчивость будет надежно подавлена или в необходимых пределах инициирована. Неустойчивость возникает при сжигании и угольной пыли, и нефти, и бензина, и пропан-бутановой смеси, и водорода [2]. Так что исходное агрегатное состояние и состав горючего не имеет принципиального значения. Автоколебания давления не только создают большую знакопеременную механическую нагрузку на конструкцию топочного устройства, нередко приводящую к ее механическому разрушению, но и изменяют условия теплообмена. В камерах сгорания, надежно работающих в стационарном режиме, при возникновении автоколебаний резко возрастает поток тепла в стенки, что нередко приводит к их термическому разрушению. При создании жидкостных реактивных двигателей требуется проведение громадного количества дорогостоящих испытаний для отработки двигателя. В металлургии автоколебания вибрационного горения не позволяют повысить экономические показатели доменного производства. Известный механизм вибрационного горения (запаздывание сгорания), введенный Л. Крокко, не позволяет объяснить увеличение амплитуды автоколебаний при возрастании тепловой нагрузки. При конвективном подводе теплоты возбуждаются автоколебания, наблюдаемые в явлениях феномена Рийке, в парогенераторах, при охлаждении фурм доменных печей, в дымовых трубах, при кавитации и т.д. Сложность анализа задач такого типа в значительной степени обусловлена тем, что в рассматриваемых динамических системах, в процессе возникновения и развития автоколебаний, происходит преобразование энергии из одной формы в другую. Например, в трубе Рийке – из теплового (хаотического движения частиц среды) вида в энергию упорядоченных механических колебаний газа. При горении преобразование энергии происходит даже дважды. Вначале химическая энергия преобразуется в тепловую, а затем тепловая – в энергию механических колебаний. Описание подобных процессов требует от исследователя определенного уровня квалификации в нескольких областях знаний одновременно, понимания характера взаимосвязей процессов, лежащих на междисциплинарных гранях. Математическая формализация рассмотренных выше задач приводит к нелинейным уравнениям гидродинамического типа (Навье – Стокса). Однако в зонах подвода теплоты в теплопроводящей жидкости помимо вязких напряжений в работу включаются дополнительные напряжения из-за теплоподвода. Отметим, что механизмы возбуждения автоколебаний в исходных физических системах, таким образом, математически сводятся к поиску причин, из-за которых в данной системе нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных появляются периодические по времени решения. В случае когда к вязкому газу подводится теплота, причина этого кроется в своеобразной перестройке структуры тензоров вязких напряжений и диссипации тепловой энергии [3]. При этом существенно важно не пренебрегать зависимостью вязкости газа от температуры, так как именно это приводит к реализации положительной обратной связи между тензором вязких напряжений и тензором скоростей деформаций. 1. Постановка задачи и формализация основной математической модели При теоретическом рассмотрении многофазных сред, процессов горения, распространения ударных волн удобно вводить идеализацию в виде поверхности разрыва гидродинамических и термодинамических параметров [1, 4]. Далее рассматривается движение вязкой теплопроводящей сжимаемой жидкости в некоторой ограниченной пространственной области . Также предполагается, что к жидкости осуществляется подвод теплоты, причем неважно как, конвективно или от теплоты сгорания. При определенных условиях в этом случае в жидкости самовозбуждаются автоколебания. Основная задача данной работы состоит в определении причин или механизмов, из-за которых возбуждаются данные автоколебания, а также в формализации математической модели для их теоретического описания. Процессы, происходящие в зоне теплоподвода, являются весьма сложными и не поддаются простому описанию. Чтобы преодолеть эти сложности, академик Б.В. Раушенбах предложил окружить зону теплоподвода некоторой областью , внутри которой температурные градиенты являются существенными [1]. Линейные размеры этой области предполагаются значительно меньше характерной длины области, в которой рассматривается течение жидкости. Далее Б.В. Раушенбах предложил не рассматривать в деталях процессы, происходящие внутри области , а заменить ее некоторой поверхностью , для которой следует записать определенные граничные условия исходя из выполнения на ней основных законов сохранения, о чем будет сказано далее. Таким образом, зона горения, или конвективного теплоподвода, в связи с вышеуказанным замечанием определяется некоторой поверхностью (рис. 1). Выделим мысленно в движущейся жидкости в начальный момент времени произвольную область (лагранжевый объем) составленную из частиц среды. Тогда в произвольный момент времени данная область, деформируясь, перейдет в некоторую область Фундаментальные законы сохранения массы, импульса массы и энергии применительно к объему в рассматриваемой задаче запишем в балансной интегральной форме: (1) (2) (3) где – полная энергия сплошной среды в объеме ; – элемент объема; – элемент поверхности; – плотность среды; – скорость движения частицы среды в точке, определяемой радиусом-вектором в момент времени ; – внешняя нормаль к поверхности, ограничивающей объем ; – нормаль к поверхности ; – дельта-функция Дирака, ассоциированная с поверхностью ; определяемой радиусом-вектором ; – вектор ускорения свободного падения; – тензор напряжений; – тензор диссипации тепловой энергии; – удельная внутренняя энергия сплошной среды, – количество тепла, проходящее внутрь объема через единицу ограничивающей его поверхности в единицу времени; – количество тепла, выделяемое единицей массы жидкости за единицу времени, которое, в частности, может быть связано с излучением и химическими реакциями (объемное выделение тепла). Тензор напряжений разлагается в сумму , где – гидростатическое давление в жидкости; – единичный тензор; – тензор вязких (касательных) напряжений. Свойство изотропности пространства приводит к следующему представлению для тензора вязких напряжений: , (4) где – молекулярная (первая или динамическая) вязкость; – вторая вязкость; – объемная вязкость; – тензор скоростей деформаций. Рис. 1. Схематическое выделение в потоке среды лагранжевого объема Тензор действует на подвижный объем лишь в случае его пересечения поверхности теплоподвода . Таким образом, согласно определению дельта-функции справедливо представление (см. рис. 1) На поверхности терпят разрыв гидродинамические и термодинамические параметры. Ввиду этого является поверхностью сильного разрыва. Обозначим через уравнение, определяющее поверхность . Также предполагаем, что поверхность двусторонняя. Тогда векторное поле нормалей к одной из двух ее сторон определяется выражением Обозначим через скорость движения поверхности в направлении нормали к ней. Можно показать, что следствием выполнимости законов сохранения (1)–(3) на поверхности разрыва являются следующие граничные условия [5]: (5) где – скачок величины на поверхности разрыва . Замыкающими соотношениями в системе (1)–(3) являются термодинамическое уравнение состояния и реологическое уравнение (4), связывающее тензор напряжений с тензором скоростей деформаций . Тензор при этом однозначно определяется из соотношений (5). Полученная в результате динамическая система является диссипативной. Действительно, согласно основным положениям неравновесной термодинамики в открытых диссипативных естественных процессах энтропия не убывает [6] т.е. По аналогии с законами сохранения (1)–(3) выводится уравнение для изменения энтропии в лагранжевом объеме [6] (6) где – удельная массовая энтропия. Уравнение (6) является независимым от (1)–(3) и, таким образом, выступает контролирующим органом правильности проведенных вычислений. При подстановке в (6) вектора скорости , давления и температуры , полученных путем интегрирования уравнений (1)–(3), дополненных граничными условиями (5), мы должны получить энтропию как неубывающую функцию времени . Покажем, что из (6) вытекает соотношение . Действительно, согласно закону Фурье , где – коэффициент теплопроводности сплошной среды. Из уравнения (6) следует, что изменение энтропии в объеме осуществляется из-за притока тепла (первое слагаемое) и двух диссипативных процессов теплопроводности (второе слагаемое) и вязкости (третье слагаемое). Далее, учитывая, что , и реологическое соотношение (4), получаем 2. Реализация положительной обратной связи между тензором вязких напряжений и тензором скоростей деформаций при постоянной мощности теплового потока Пренебрегая второй вязкостью, приходим к следующему представлению между тензорами вязких напряжений и скоростей деформаций: (7) В системах, где возникают существенные температурные градиенты, молекулярная вязкость является функцией температуры сплошной среды. Причем известно, что для газов данная зависимость является монотонно возрастающей, а для жидкостей наоборот – монотонно убывающей. Рассмотрим качественно, как возникает положительная обратная связь между тензорами и при теплоподводе постоянной мощности к движущемуся газу. В этом случае данная положительная обратная связь является механизмом самовозбуждения автоколебаний теплоподводом. Действительно, предположим, что случайно изменилась скорость стационарного течения газа, например (для определенности) увеличилась. Тогда через зону теплоподвода увеличилась масса проходящего газа. Но поскольку рассматривается подвод теплоты с постоянной мощностью, то это приводит к локальному уменьшению температуры потока. При этом также, например, согласно формуле Сазерленда уменьшается вязкость газа, что согласно (7) приводит к уменьшению силы вязкостного трения. Следовательно, получается, что с увеличением скорости газа в рассматриваемом случае сила вязкостного трения играет дестабилизирующую роль, приводящую к потере устойчивости стационарного течения газа и самовозбуждению автоколебаний. Эти качественные рассуждения далее будут продемонстрированы количественно при математическом моделировании термоакустических автоколебаний в трубе Рийке. 3. Выражение тензора диссипации тепловой энергии в одномерном установившемся течении невязкого идеального газа Рассмотрим одномерное установившееся течение невязкого идеального в термодинамическом смысле газа в канале постоянного сечения (рис. 2). Отметим, что в зоне теплоподвода из-за изменения плотности среды (в силу уравнения неразрывности) изменяется и скорость среды. Поэтому согласно определениям гидравлики зона теплоподвода является местным гидравлическим сопротивлением, которое в работах Б.В. Раушенбаха [1] и Г.Н. Абрамовича [7] было названо тепловым сопротивлением. Обобщение данного понятия на пространственные течения приводит к понятию тензора диссипации тепловой энергии. Рис. 2. Схема к обоснованию теплового сопротивления Таким образом, в одномерном течении газа тензор имеет одну компоненту и определяет тепловое сопротивление. В этом случае существенно упрощается и форма записи уравнения, выражающего закон сохранения энергии. Для определения теплового сопротивления запишем для сечений 1–1 и 2–2 (см. рис. 2) уравнение энергии в форме первого начала термодинамики для потока [8]: , (8) где − потери энергии из-за теплового сопротивления; и – соответственно средние скорости движения газа в первом и втором сечениях канала. При политропном подводе теплоты , где − показатель политропы; − показатель адиабаты; − удельная теплоемкость при постоянном объеме. Далее, с учетом того, что изменение внутренней энергии , , где − универсальная газовая постоянная, и . Следовательно, уравнение (8) позволяет определить в таком виде: . (9) Воспользовавшись уравнением неразрывности и соотношением между параметрами политропного процесса из зависимости (9) получаем (10) где положено − потери давления из-за теплового сопротивления. Если величина, определяемая выражением (10), является отрицательной, то из уравнения (8) следует, что тепловое сопротивление является отрицательным. В этом случае тепловое сопротивление не уменьшает, а увеличивает напор потока и, следовательно, составляет механизм неустойчивости. Таким образом, неравенство является условием возникновения отрицательного теплового сопротивления и составляет отдельный механизм термоакустической неустойчивости. Непосредственная формальная аналогия теплового сопротивления с местными гидравлическими сопротивлениями проще всего просматривается при изобарном теплоподводе, когда показатель политропы . В этом случае выражение для теплового сопротивления принимает следующий вид: , где Например, для сравнения, формула И.Е. Идельчика для местных гидравлических потерь, возникающих при внезапном сужении канала с сечением площадью до сечения площади , имеет вид , где . 4. Математическое моделирование автоколебаний феномена Рийке Рис. 3. Схема трубы Рийке с расположением электронагревателя на ее входе Рассматривается следующая задача. В вертикальной трубе (рис. 3) в нижней ее части расположен источник подвода теплоты. При определенных условиях в такой системе самовозбуждаются продольные термоакустические автоколебания. Отметим, что в случае теплоподвода от источника постоянной мощности, например электронагревателя, рассматриваемая модель называется трубой Рийке [9]. Потерю устойчивости стационарной естественной конвекции в трубе Рийке и рождение автоколебательного режима (труба начинает «звучать») принято называть в научной литературе феноменом Рийке [9]. Проводились многочисленные экспериментальные и теоретические исследования данного феномена [9–11]. В трубе Рийке самовозбуждаются продольные автоколебания при потере устойчивости ламинарного конвективного движения нагретого воздуха. Таким образом, для их теоретического описания достаточно ограничится одномерной нелинейной постановкой задачи. В этом случае общие уравнения (1)–(3) упрощаются и приводятся к следующей форме [12]: , (11) , (12) . (13) Зависимость молекулярной вязкости от температуры для газа определяется по формуле Сазерленда где – контрольная вязкость при некоторой контрольной температуре ; – постоянная Сазерленда, для воздуха . Для упрощения будем предполагать, что спираль электронагревателя расположена непосредственно на входе в трубу. В этом случае исключаются граничные условия (5). Согласно [4, 9] из экспериментов следует, что эффект (или феномен) Рийке (т.е. возбуждение автоколебаний) наблюдается лишь в определенном диапазоне скоростей направленного движения воздуха. Поэтому, чтобы иметь возможность регулировать стационарную скорость течения воздуха в трубе, на ее выходе устанавливается дроссель. Следовательно, система уравнений (11)–(13) дополняется следующими граничными условиями на входе и выходе из трубы: при ; при , (14) где – давление на выходе из трубы; – местные гидравлические потери давления на дросселе; соответственно – давление и – плотность воздуха на входе в трубу. Проблема феномена Рийке, в рассматриваемом случае, сводится к определению причин, из-за которых в краевой задаче (11)–(14) появляются периодические по времени решения. Уравнение (12) отличается от уравнения Эйлера (приводящего к консервативной динамической системе) наличием диссипативного слагаемого – напряжения силы вязкостного трения о стенки трубы. На рис. 4 приведен график зависимости от скорости . Из данного графика видно, что при выполняется неравенство , т.е. на этом интервале происходит снижение вязкостного сопротивления. Если текущее значение скорости принадлежит интервалу , то в этом случае сила вязкостного трения играет дестабилизирующую роль. При случайном увеличении скорости сила вязкости не увеличивается, а уменьшается, что приводит к дальнейшему увеличению скорости. Это происходит до тех пор, пока значение скорости не выйдет из диапазона , где уже с ростом скорости сила трения будет препятствовать ее увеличению, так как вне интервала имеет место неравенство . Рис. 4. Зависимость напряжения силы вязкостного трения в трубе Рийке при мощности электронагревателя, расположенного непосредственно на входе в трубу диаметром и длиной Таким образом, сценарий самовозбуждения автоколебаний в рассматриваемой трубе Рийке (см. рис. 3) является следующим. Стационарный конвективный режим течения при или является устойчивым, и колебания не возбуждаются. Когда линейный анализ гидродинамической устойчивости показывает, что в этом случае стационарный режим является неустойчивым и от него в результате суперкритической бифуркации Андронова – Хопфа ответвляются продольные автоколебания, которые иллюстрированы на рис. 5. Характер демпфирования колебаний давления в трубе Рийке в области устойчивости стационарного режима приведен на рис. 6. Рис. 5. Автоколебания давления в сечениях при мощности электронагревателя, расположенного непосредственно на входе в трубу диаметром и длиной , когда Рис. 6. Затухающие колебания давления в сечениях при мощности электронагревателя, расположенного непосредственно на входе в трубу диаметром и длиной когда Заключение Уравнения гидрогазодинамики, описывающие движение сплошной среды с сосредоточенным теплоподводом, дополнены обобщенной функцией (тензором диссипации тепловой энергии), ассоциированной с поверхностью теплоподвода и характеризующей наличие теплового сопротивления. Использование уравнения энергии для потока в форме 1-го закона термодинамики позволило определить тепловое сопротивление для политропных процессов. Это дает возможность установить образование отрицательного теплового сопротивления при различных показателях политропы , что составляет новый механизм возбуждения автоколебаний при теплоподводе. Также установлено, что причиной возбуждения автоколебаний при подводе теплоты к вязкому газу является реализация положительной обратной связи между тензором вязких напряжений и тензором скоростей деформаций, существенно определяемая зависимостью молекулярной вязкости газа от его температуры.

About the authors

Boris Ivanovich Basok

Institute of Engineering Thermophysics National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, Ukraine

Email: basok@ittf.kiev.ua
2a, Zhelyabov str., 03057, Kiev, Ukraine Corresponding Member of the NAS of Ukraine, Vice-Director in Science of the Institute of Engineering Thermophysics National Academy of Sciences of Ukraine

Vladimir Vladimirovich Gotsulenko

Institute of Engineering Thermophysics National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, Ukraine

Email: gosul@ukr.net
2a, Zhelyabov str., 03057, Kiev, Ukraine Ph D. of Technical Sciences, Senior research fellow of the Institute of Engineering Thermophysics National Academy of Sciences of Ukraine

References

Statistics

Views

Abstract - 159

PDF (Russian) - 109