# Abstract

Subject of a study is a difficult stress state of long hollow cylinder which is being bended by its own weight and rotated by turning moment. The stressed state over the cylinder section and the curvature of its longitudinal axis are investigated. The basic assumptions taken in the attention to solve the problem in question are usual common for the mechanics of materials and engineering approximations the hypothesis about the linearity of the physical relationships between the stresses and strains (linear theory of elasticity) and assumption about the small strains. Solution of problem is built on the basis of the differential equation of the elastic flexure of the central axis of cylinder and fundamental relationships between the curvature of this axis, applied loads, strains and stresses in the region of cylinder section. Boundary-value problem for the ordinary differential equation of the fourth order with the appropriate boundary conditions is solved using the method of variations of the arbitrary constants. This made it possible to obtain the exact solution of the task of the long cylinder bending which rotates around the longitudinal axis. This, as a result, made possible to determine the dependence of the curvature of cylinder central axis on the longitudinal coordinate and to find the stress distribution in the of cylinder section. The estimation of the contribution from each of the factors, which act on the subject of study, to the stressed state is executed. Solution of the presented problem made it possible to define equivalent stress in the outlying layers of cylinder as the result of the action of all power factors examined.

# Full Text

Тяжелый длинный полый цилиндр защемлен на конце и вращается вокруг продольной оси. Напряженно-деформированное состояние такого объекта в общем случае можно описать с применением современной высокопроизводительной вычислительной техники на основе трехмерной математической модели, включающей полную систему уравнений равновесия, определяющих соотношений упругопластического деформирования, учитывающих эффекты циклического нагружения материала, с соответствующими начальными и граничными условиями. В первом приближении решение этой задачи может быть получено с использованием инженерных подходов на основе простейших соотношений теории упругости, сопротивления материалов и механики материалов [1–4]. 1. Изгиб длинного полого цилиндра под действием силы тяжести Изгиб длинного полого цилиндра под действием силы тяжести (рис. 1) описывается дифференциальным уравнением четвертого порядка [1, 2] (1) с граничными условиями , (2) , (3) , (4) . (5) В формулах (1)–(5) обозначено: u(x) – функция прогиба цилиндра; x – продольная координата; x – ось изогнутой балки; – внешний изгибающий момент; – внешняя перерезывающая сила; – распределенная массовая нагрузка, причем где m0 – погонная масса цилиндра; g – ускорение свободного падения (9,81 м/с2). Для вычислений принято, что длина цилиндра м, его масса кг, внешний и внутренний диаметры м и м соответственно. Модуль упругости материала МПа. Рис. 1. Расчетная схема изгиба длинного полого цилиндра под действием силы тяжести Решение дифференциального уравнения (1) записывается в виде [5, 6] , (6) причем постоянные определяются с учетом граничных условий (2)–(5): (7) Решение системы линейных алгебраических уравнений (7) позволяет определить постоянные интегрирования: Решение (6) принимает вид . (8) Кривизна осевой линии цилиндра определяется выражением . (9) На рис. 2, а приведена форма, на рис. 2, б – кривизна прогиба центральной линии длинномерного цилиндра. Наибольшая кривизна, м–1, (см. рис. 2, б) имеет место в точке x = 0, , а значит, наибольшие растягивающие (сжимающие) напряжения, МПа, в длинномерном цилиндре достигаются именно в этом сечении, . а б Рис. 2. Действие силы тяжести на ось длинномерного цилиндра: а – зависимость от продольной координаты х (м) прогиба u (м); б – зависимость от продольной координаты х (м) и кривизны k (м–1) 2. Изгиб вращающегося длинного цилиндра Изгиб вращающегося длинного цилиндра обусловлен одновременным действием силы тяжести и вращения за счет момента Mкр внешних сил (рис. 3). Наложение дополнительных факторов (продольное перемещение, вращение и проч.) при изгибе длинномерных изделий приводит к формированию сложного напряженного и деформированного состояния [7–10]. Моделирование таких процессов требует применения эйлерово-лагранжева подхода, прослеживания истории деформирования материальных частиц, в том числе процессов нагружения, упругой разгрузки и, возможно, упругопластического нагружения противоположного знака, в том числе с появлением вторичных пластических деформаций и изменением предела текучести материала (эффект Баушингера), учета прочих особенностей знакопеременного деформирования. Очевидно, что при упругом изгибе наложение вращения не приводит к изменению упругой линии длинномерного изделия, поскольку для его вращения практически не требуются дополнительные энергетические затраты (кроме возможных затрат на трение): при повороте круглого сечения энергия, затрачиваемая на нагружение частиц материала, равна упругой энергии разгрузки симметрично расположенных частиц того же сечения. Рис. 3. Расчетная схема изгиба и вращения длинного полого цилиндра При наличии зоны пластических деформаций в области высоких значений кривизны продольной оси цилиндра (например, область защемления левого конца длинного цилиндра на рис. 2) ситуация меняется существенно, поскольку в результате пластического нагружения формируется остаточная кривизна цилиндра. Вращение цилиндра вокруг продольной оси x (см. рис. 3) требует значительных затрат на преодоление остаточной кривизны, и энергетически более выгодным становится вращение цилиндра с искривленной осью вокруг оси x. Оценка напряженно-деформированного состояния длинного цилиндра, изогнутого под действием собственного веса и поворачивающегося вокруг оси x, может быть выполнена приближенно с привлечением уравнений механики материалов. Для учета динамической нагрузки, возникающей при вращении объекта, может быть применен принцип Даламбера [11], согласно которому ко всем действующим внешним силам необходимо добавить силы инерции, равные в рассматриваемом случае , где – центростремительное ускорение; w – угловая скорость вращения длинномерного цилиндра под действием момента Mкр; u – прогиб оси цилиндра, равный расстоянию от оси вращения x. В рассматриваемом случае наибольший прогиб, а значит, и наиболее опасное напряженно-деформированное состояние длинного цилиндра имеют место в низшем положении объекта, когда массовые силы тяжести суммируются с силами инерции (см. рис. 3). При прочих положениях цилиндра эти силы частично или полностью компенсируют друг друга. Уравнение изгиба центральной линии длинномерного цилиндра, учитывающее действие сил инерции, имеет вид [1, 2, 4] (10) с теми же граничными условиями (2)–(5). Решение неоднородного дифференциального уравнения (10) четвертого порядка представляется суммой [5, 6] общего решения однородного дифференциального уравнения (11) и частного решения неоднородного уравнения . (12) Общее решение уравнения (11) строится в виде [5, 6] , (13) частное решение уравнения (12) согласно [5, 6] разыскивается в виде , (14) соответствующем виду правой части уравнения (12), где A, B и a – искомые константы. Подстановка решения (13) в однородное дифференциальное уравнение (11) приводит к характеристическому уравнению Введение обозначения дает возможность представить полученное соотношение в виде алгебраического уравнения четвертой степени корни которого где – мнимая (комплексная) единица. Общее решение однородного дифференциального уравнения (11) принимает вид Подстановка решения (14) в неоднородное дифференциальное уравнение (12) приводит к уравнению относительно константы B: откуда следует, что . В итоге решение дифференциального уравнения (10) записывается в виде или, с учетом формулы Эйлера [5], . (15) Для нахождения значения постоянных интегрирования используются граничные условия (2)–(5) (16) Соотношения (16) представляют собой систему четырех линейных алгебраических уравнений относительно искомых величин : Решение полученной системы линейных алгебраических уравнений для принятых ранее данных и угловой скорости вращения с–1 позволяет определить постоянные интегрирования Решение (15) принимает вид , (17) где м–1. На рис. 4 приведены форма прогиба осевой линии длинномерного цилиндра и ее кривизна, которая определяется выражением (18) Наибольшая кривизна (см. рис. 4, б) имеет место в точке x = 0, а значит, наибольшие (по модулю) растягивающие и сжимающие напряжения в длинномерном изделии достигаются именно в этом сечении, МПа. По сравнению с результатами, полученными при расчете напряжения при изгибе под действием силы тяжести, инерция вращательного движения повысила максимальное напряжение на 7,27 МПа, или на 5 %. а б Рис. 4. Действие силы тяжести и вращения на ось длинномерного цилиндра: а – зависимость от продольной координаты x (м) прогиба u (м); б – зависимость от продольной координаты x (м) кривизны k (м–1) 3. Сдвиговые напряжения от крутящего момента Определение величины касательного напряжения от действия крутящего момента , приложенного к длинномерному цилиндру, выполняется согласно [1, 2, 4]: , (19) где r – расстояние от оси кручения до рассматриваемой точки; – полярный момент инерции поперечного сечения. Для заданных диаметрах и цилиндра и величине крутящего момента кН×м максимальное сдвиговое напряжение определяется величиной МПа. Учитывая сложное напряженное состояние длинномерного цилиндра, испытывающего растягивающее напряжение от изгибающих нагрузок и сдвиговое напряжение от крутящего момента, эквивалентное (суммарное) напряжение следует определять с использованием понятия интенсивности напряжения , определяемого общим выражением [1, 4, 12] . (20) В рассматриваемом случае, учитывая МПа и МПа, эквивалентное напряжение принимает значение МПа. Выводы Основным фактором, определяющим напряженно-деформированное состояние длинного цилиндра, является изгиб за счет собственного веса. Вращение длинного цилиндра вокруг собственной оси обеспечивает знакопеременное нагружение периферийных слоев длинного цилиндра. Дополнительное вращение длинного цилиндра, обусловленное наличием инерционных массовых сил, способствовало увеличению амплитудного значения напряжения на 5 %. Наличие крутящего момента привело к появлению сдвиговых напряжений, достигающих максимального значения на поверхности длинного цилиндра. Эквивалентное напряжение, учитывающее сложное напряженное состояние, увеличилось по сравнению с изгибом и вращением на 1,4 %.

# About the authors

### Michael Gennadyevich Boyarshinov

Perm National Research Polytechnic University

Email: michaelgb@mail.ru
29, Komsomolsky av., 614990, Perm, Russian Federation Professor of Department of Dynamics and Strength of Machines, Doctor of Sciences in Engineering, Perm National Research Polytechnic University

# References

1. Тимошенко С.П., Гере Дж. Механика материалов. – СПб.: Лань, 2002 – 672 с.
2. Биргер И.А., Шорр Б.Ф., Иосилевич Г.Б. Расчет на прочность деталей машин. – М.: Машиностроение, 1979. – 702 с.
3. Светлицкий В.А. Механика стержней. – М.: Высшая школа, 1987. – Ч. I. – 304 с.
4. Филин А.П. Прикладная механика деформируемого твердого тела. – М.: Наука, 1978. – Т. 2. – 616 с.
5. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. – М.: Наука, 1973. – 720 с.
6. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1976. – 576 с.
7. Алгоритм исследования напряженно-деформированного состояния проволоки при деформировании знакопеременным изгибом с натяжением / М.Г. Бояршинов, Е.М. Киреев, Б.А. Никифоров, П.В. Трусов // Изв. высш. учеб. зав. Черная металлургия. – 1984. – № 8. – С. 79–83.
8. Бояршинов М.Г. Интервальные векторы и тензоры в прикладных инженерных задачах // Инженерно-физический журнал. – 2011. – Т. 84, № 2. – С. 418–428.
9. Boyarshinov M.G. Interval vectors and tensors in applied engineering problems // Journal of engineering physics and thermo-physics. – 2011. – Vol. 84. – No. 2. – P. 451–462.
10. Boyarshinov M.G., Gitman M.B., Trusov P.V. A method of solution for the cyclic bending problem // Int. J. Mech. Sci. – 1992. – Vol. 34, No. 11. – P. 881–889.
11. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. – М.: Высш. школа, 1986. – 416 с.
12. Писаренко Г.С., Можаровский Н.С. Уравнения и краевые задачи теории упругости и пластичности. – Киев: Наукова думка, 1981. – 496 с.

# Statistics

#### Views

Abstract - 124

PDF (Russian) - 74

#### PlumX

Copyright (c) 2013 Boyarshinov M.G.

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

## This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies