Full Text

Введение Нелинейные эффекты деформирования полимерных композиционных материалов обусловливаются различными факторами, в том числе наличием начального напряженного состояния [1-3] на различных структурных уровнях и / или взаимовлиянием различных типов нагрузок при комбинированном нагружении [4; 5] материала. Так, в [5] выявлено влияние дополнительных крутильных вибраций различной частоты на диаграммы одноосного квазистатического растяжения углепластиковых трубчатых образцов. Изучение закономерностей и эффектов влияния начального, в том числе остаточного, напряженного состояния элементов структуры композиционного материала на особенности его последующего деформирования с редуцированием эффективных свойств актуально для различных приложений механики композитов [6-13], в частности, ультразвукового неразрушающего контроля напряженного состояния нагруженных конструкций [12], методов геомеханики и сейсмических исследований [13]. Математическое моделирование и решение таких задач основывается на линеаризованных моделях, которые используют описание напряженно-деформированного состояния посредством, в частности, тензоров механических напряжений в начальной и текущей конфигурациях [3; 8; 9; 14; 15-28]. Линеаризованная модель использована в [21], где изучены теоретические аспекты идентификации неоднородного начального напряженного состояния упругих тел по собственным частотным спектрам как решений обратных задач механики стержней и тонких пластин. Дисперсионный анализ распространения упругих волн в композиционных материалах и элементах конструкций с учетом наличия начального напряженного состояния осуществлен в работах [22-28], в частности, исследованы скорости распространения поверхностных волн в однородном слое на предварительно напряженном неоднородном полупространстве [22], влияние величины начального бокового давления на поверхности полого составного цилиндра на скорость распространения осесимметричной волны [23], влияние величины начального напряженного состояния ортотропной композитной пластины с двумя близко расположенными параллельными цилиндрическими (туннельными) полостями с прямоугольным поперечным сечением на свободные и вынужденные колебания [24]. Для упругих композитов с идеально периодическими начально-напряженными структурами известны асимптотические решения в [25-28], в частности, когда начальное напряженное состояние слоистой и однонаправленно-волокнистой структур композитов обусловлено их тепловым нагревом [25]. Изучение эффектов влияния начального напряженного состояния на свойства и поведение материала актуально также для пьезоэлектрических [29-34] и / или магнитострикционных [35] материалов [36-38], которые интегрируются в современные «интеллектуальные» конструкции в качестве информационных элементов, датчиков и / или актюаторов систем управления акустическими и / или аэродинамическими характеристиками поверхностей, геометрической формой, напряженным состоянием, демпфированием вибраций конструкции [33; 39]. Численный анализ динамического поведения пьезоэлектрических структур с учетом начального электромеханического напряженного состояния элементов структуры дан в статье [31]. Эффект увеличения пьезоэлектрических модулей предварительно напряженных пластинчатых пьезоэлектрических элементов исследован в [32-34]. Повышение пьезочувствительности биморфа в составе конструкции, когда биморф закрепляют на обшивке аэродинамического профиля лопасти осуществляется в работе [33] посредством начального сжатия гибкой подложки. Линеаризованный подход обобщен на электроупругий материал в [29; 30], где дано описание линеаризованной модели, учитывающей в явном виде начальные механические напряжения, деформации и напряженность электрического поля. Обобщение на магнитоэлектроупругий материал дано в работе [35], где изучены дисперсионные соотношения для упругих волн в слоистом композите - фононном кристалле, образованном периодическим повторением предварительно напряженных пьезоэлектрических и магнитострикционных слоев. Цель настоящей работы состоит в нахождении аналитических решений для результирующих «редуцированных» значений электроупругих характеристик трансверсально-изотропного пьезоэлектрического материала (композита) с учетом поправок, обусловленных наличием механических осевых напряжений и электродеформационной переориентации оси симметрии свойств материала при действии электрического поля. В начальной конфигурации осевые растягивающими и / или сжимающими напряжениями не приводят к появлению сдвиговых деформаций материала, сдвиги инициируются приложением электрического поля и «усиливаются» осевыми напряжениями начальной конфигурации. Величины приложенных осевых напряжений не превышают значений потери устойчивости материала (элементов структуры и в целом композита), что обусловливает возвращение оси симметрии из текущей «повернутой» ориентации в первоначальную при снятии (выключении) электрического поля и сохранение эффекта усиления результирующих деформационных пьезомодулей материала также при действии переменного электрического поля. При численном моделировании электромеханического нагружения полимерного композита «силикон/PZT-4» с эллипсоидальными включениями (волокнами) поправки деформационной анизотропии вычисляются через текущие координаты направляющего вектора для оси симметрии материала, что трактуется как изменение общей ориентации (или преобладающей ориентации для случая стохастического взаимного разориентирования продольных осей) однотипных эллипсоидальных включений, в частности волокон с круглым поперечным сечением. Использованы известные численно-аналитические решения обобщенного сингулярного приближения, основанные на методе функций Грина статистической механики композитов, для вычисления тензоров эффективных свойств материала в текущей конфигурации. 1. Математическая модель деформационного редуцирования электроупругих свойств материала Рассмотрим математическую модель электроупругого поведения трансверсально-изотропного пьезоэлектрического материала (композита) с учетом поправок для материальных характеристик от наведенной электрическим полем «деформационной анизотропии» - изменения ориентации оси симметрии свойств материала, когда - плоскость изотропии, - ось симметрии для начальной конфигурации. Считаем, что механическое нагружение материала осуществляется осевыми напряжениями , , вдоль главных осей (остальные компоненты ), при которых сдвиговые деформации = = = 0 для начальной конфигурации материала. Сдвиговые деформации , возникают лишь под действием напряженности электрического поля , , что обусловливает переориентацию оси симметрии свойств материала по направляющему вектору (1) с координатами в осях координат с учетом малости углов сдвига и, как следствие, приближенных равенств , , где , - деформационные (сдвиговые) пьезомодули материала [36] в начальной конфигурации. Определяющие соотношения [36] для электроупругого материала запишем в виде , , (2) где «редуцированные» компоненты , тензора деформаций и вектора индукции выражены через компоненты , тензора напряжений и вектора напряженности электрического поля. Редуцированные компоненты тензоров эффективных упругих податливостей , деформационных пьезомодулей и диэлектрических проницаемостей материала (2) в начальной системе координат являются функциями текущих сдвиговых деформаций , что обусловлено зависимостью от значений координат направляющего вектора (1) для оси симметрии свойств материала. Компоненты тензоров , и (2) в начальной системе координат представим разложениями по тензорным базисам [42] , (3) , , где - символ Кронекера, матричные обозначения , , …, , , , , для компонентов тензоров , , в осях . Таким образом, редуцирование значений компонентов тензоров эффективных упругих податливостей , деформационных пьезомодулей и диэлектрических проницаемостей материала в начальной системе координат происходит по линейным зависимостям , , (4) от величины напряженности электрического поля с учетом имеющихся пропорциональных зависимостей координат (1) направляющего вектора от , от и пренебрежимой малости величин для углов сдвига , где первые слагаемые , - компоненты тензоров электроупругих свойств материала (композита) для случая (т.е. при ) могут быть рассчитаны, например, методами статистической механики композитов [37; 38; 40; 41], коэффициенты пропорциональности , , - искомые характеристики материала. В результате подстановки разложений (4) в (2) получим (для рассматриваемого случая нагружения , материала) уточненные соотношения , (5) в линейном приближении, отбрасывая квадратичные слагаемые по переменным , где , - компоненты тензоров результирующих значений деформационных пьезомодулей и диэлектрических проницаемостей имеют вид , (6) с учетом (2), (4), (5). Коэффициенты пропорциональности , (4), (6) могут быть найдены как производные , , (7) или в результате нахождения вида явных линейных зависимостей величин , от напряженностей (4) с учетом разложений (3) и пренебрежимой малости величин . Для этого выражения (3) для компонент , преобразуем к виду , (8) выделив в выражениях (8) для , начальные величины компонентов , и соответствующие им поправки от наведенной электродеформационной анизотропии. В (8) использованы обозначения величин , , , , которые имеют лишь следующие ненулевые значения: , , , , , , , и допускают запись в виде , , (9) , где координаты направляющего вектора (1) , (10) имеют пропорциональные зависимости от напряженностей электрического поля. Таким образом, после дифференцирования левых и правых частей равенств (8) для , по переменной получим искомые решения для коэффициентов пропорциональности , (4)-(7) в виде (11) , где с учетом разложений (9) имеем следующие выражения для производных , , (12) с учетом вида производных , (13) для величин , , . Так как ненулевыми компонентами тензора в осях являются лишь осевые напряжения , , , поэтому из формул (6) следуют решения, в частности, для результирующих деформационных пьезомодулей (14) как линейных функций «продольного» и «поперечных» , (относительно оси симметрии свойств материала) напряжений, где коэффициенты пропорциональности , и , находим из решений (11), (12) с учетом (4) пропорциональных зависимостей , , , , выполняются равенства: , , , , . Зависимости (14) обусловливают увеличение результирующих деформационных пьезомодулей , материала (композита) от действия продольной сжимающей и / или поперечных растягивающих , нагрузок. Композиционный материал. Для случая, когда рассматриваемый трансверсально-изотропный материал - двухфазный композит, например, с пьезоэлектрическими эллипсоидальными () ориентированными включениями (волокнами) в низкомодульной упругой матрице, тогда в полученных решениях (5), (6) обозначения , , , соответствуют «макроскопическим», т.е. осредненным по представительной области V композита значениям тензоров , , , , а величины , , - тензоры , , эффективных трансверсально-изотропных электроупругих свойств композита могут быть рассчитаны, в частности, в обобщенном сингулярном приближении [38; 41; 43] на основе метода функций Грина для однородной трансверсально-изотропной пьезоэлектрической среды [43], где - главные полуоси включений (). В представительной области V композита эллипсоидальные включения распределены по объему статистически однородно при относительном объемном содержании . В начальной конфигурации продольная полуось ориентирована вдоль оси , параметр формы включений равен 1 для сферических включений, или для «дисковых» или «игольчатых» включений, а для предельных случаев или для слоев или однонаправленных волокон с круглым поперечным сечением соответственно. Подход сводит задачу «эффективного модуля» статистической механики композитов к решению систем интегродифференциальных уравнений, ядра которых - вторые производные функций Грина , где - оператор дифференцирования по координатам r. В этом приближении у вторых производных функций Грина учитываются лишь сингулярные составляющие [43] , (15) с эллипсоидальным () «зерном неоднородности» - областью интегрирования малой окрестности точки сингулярности производных [41; 43]. 2. Результаты численного моделирования В качестве тестовой задачи на рис. 1 приведены результаты сравнения рассчитанных в обобщенном сингулярном приближении [38; 43] значений эффективного объемного пьезомодуля однонаправленного волокнистого композита «эпоксид/PZT-4» с известными решениями (■) [44], (●) [45] для композита с периодической гексагональной укладкой цилиндрических пьезокерамических волокон PZT-4 в эпоксидной матрице с модулем Юнга Е(2) = 3 ГПа, коэффициентом Пуассона = 0,4, относительной диэлектрической проницаемостью = 5. Здесь - объемный пьезомодуль для 1-й фазы (PZT-4) с учетом выражения . Решение для [44] получено на основе стержневой модели [45] - с использованием быстрых переменных и асимптотических разложений в ряды. Рассмотрим численный анализ (13), (14) влияния продольной сжимающей нагрузки на результирующий деформационный пьезомодуль композита «силикон/PZT-4» с однонаправленными трансверсально-изотропными пьезоэлектрическими волокнами (PZT-4) [36] в изотропной упругой матрице (силикон) с модулем Юнга Е(2) = 0,1 ГПа, коэффициентом Пуассона = 0,3, относительной диэлектрической проницаемостью = 3. Для такого композита c низкомодульной упругой матрицей и при нагрузке < 0 эффект увеличения величины проявляется наиболее ярко. Результаты вычисления деформационного пьезомодуля для композита «силикон/PZT-4» даны на рис. 2. Решение (○) соответствует традиционному сингулярному приближению [37; 40; 41], при котором тензоры электроупругих свойств , , среды сравнения приравнены к осредненным по Фойгту или «правилу смеси» значениям, например, тензор упругих свойств , где <…> - оператор осреднения по представительной области V композита. Решения (◊, □) соответствуют «вилке Хашина - Розена» для однонаправленного волокнистого композита, когда среда сравнения имеет свойства 1-й (◊) или 2-й (□) фазы композита соответственно. Пунктирные графики на рис. 2 построены для случаев, когда характеристики среды сравнения , , заданы по правилу смеси, например, с использованием приведенных степенных значений (-), (-) объемной Рис. 1. Эффективный объемный пьезомодуль волокнистого пьезокомпозита со «средой сравнения» по Фойгту (○), по 1-й фазе (◊), по 2-й фазе (□) Fig. 1. Effective volumetric piezomodule of fibrous piezocomposite with "comparison medium" by Foigt (○), by 1st phase (◊), by 2nd phase (□) Рис. 2. Зависимости относительного эффективного деформационного пьезомодуля композита «силикон/PZT-4» от объемной доли пьезоэлектрической 1-й фазы () двухфазного композита со «средой сравнения» по Фойгту (○), по 1-й фазе (◊), по 2-й фазе (□) Fig. 2. Dependence of relative effective deformation piezomodule of "silikon/PZT-4" composite on volume fraction of piezoelectric 1st phase () of two-phase composite with "comparison medium" by Foigt (○), by 1st phase (◊), by 2nd phase (□) а b Рис. 3. Зависимости относительного результирующего деформационного пьезомодуля композита «силикон/PZT-4» от объемной доли пьезоэлектрических волокон при нагрузке = 0 ( ̶), - 5 (○), - 10 (Δ), - 15 (□) [МПа] (а) и от нагрузки при = 0,05 (○), 0.1 (◊), 0.2 (Δ), 0.3 (□), без учета переориентации волокон (пунктирная линия) (b) Fig. 3 Dependences of the relative resulting deformation piezomodule of a composite "silicone/PZT-4" from a volume fraction of piezoelectric fibers at loading = 0 ( ̶), - 5 (○), - 10 (Δ), - 15 (□) [MPa] (a) and from loading at = 0.05 (○), 0.1 (◊), 0.2 (Δ), 0.3 (□), without reorientation of fibers (dotted line) (b) доли волокон [46]. Выявлен эффект увеличения результирующих модулей , (13), (14) композита «силикон/PZT-4» от действия продольной сжимающей и поперечных растягивающих , нагрузок. В частности, для относительной величины результирующего модуля на рис. 3 построены графики немонотонных зависимостей от объемной доли пьезоэлектрических волокон (рис. 3, а) и линейных зависимостей от продольного сжимающего напряжения (рис. 3, b). Заключение Разработана математическая модель и на ее основе найдены аналитические решения (5), (6), (11), (12) для результирующих «редуцированных» значений электроупругих характеристик, в частности: деформационных (сдвиговых) пьезомодулей и диэлектрических проницаемостей трансверсально-изотропного пьезоэлектрического материала (композита) с учетом поправок (6), обусловленных наличием механических осевых напряжений и электродеформационной переориентации оси симметрии свойств материала по направляющему вектору (1) при действии электрического поля. Результирующие значения тензоров , линейно зависят от действующих напряжений (6) с коэффициентами пропорциональности , (11), (12). Выявлен эффект увеличения результирующих значений компонент , (14) деформационных пьезомодулей (6) материала от действия осевых напряжений . Величины приложенных осевых напряжений не превышают значений потери устойчивости материала (элементов структуры и в целом композита), что обусловливает сохранение эффекта увеличения величин , также при действии переменного электрического поля. Результаты численного моделирования (см. рис. 1-3) получены для трансверсально-изотропного полимерного композита с однонаправленными пьезоэлектрическими волокнами с использованием известного обобщенного сингулярного приближения [38; 43] на основе метода функций Грина (15) [43]. Установлено, что наиболее значительно эффект увеличения величины от сжимающего напряжения проявляется для однонаправленного волокнистого композита с низкомодульной полимерной матрицей, например, «силикон/PZT-4» при малых значениях объемной доли жестких пьезоэлектрических волокон (рис. 3, а).

About the authors

A. A Pan’kov

Perm National Research Polytechnic University

References

Statistics

Views

Abstract - 99

PDF (Russian) - 83