Full Text

Введение Исследование сопряжения твердых тел адгезионным слоем предполагает прочностный анализ зоны обрыва связей. Когда толщина слоя значительно меньше толщины соединяемых тел, область обрыва адгезионных связей может быть рассмотрена в виде трещиноподобного дефекта. В этом случае в качестве критерия разрушения можно использовать достижение J-интегралом [1-6] критического значения. Для модели трещины в виде математического разреза адгезионный слой рассматривается в виде слоя нулевой толщины [7-11] с жестким сцеплением сопрягаемых тел. При этом прямое задание механических свойств адгезива исключено, основным расчетным параметром в этом случае является коэффициент интенсивности напряжений. Его нахождение для тел конечных размеров возможно решением 2D-задачи различными методами [12-17], в том числе и методом конечных элементов (МКЭ) [18-21]. В ряде случаев возможно получение аналитических решений [22-25] с использованием в рассмотрении упрощения теории балок или пластин [26-29]. При нахождении J-интеграла возникает вопрос о влиянии учета механических свойств адгезионного слоя на прочность композита. Явное задание механических свойств адгезива возможно только при рассмотрении слоя в рамках материального объема. Прямое моделирование задачи МКЭ [30] не является корректным, так как содержит особые точки [31; 32]. Использование когезионных элементов сопряжено с заданием закона неустойчивого по Дракеру деформирования [33]. Для случая нормального разрыва слоя широко используется модель Прандтля [34-36], представляющая слой в виде пружин с определенной жесткостью и заданным размером, работающих на растяжение и сжатие. Нахождение потока упругой энергии в вершину двухконсольной балки (ДКБ-образца) на основе данной модели рассмотрено в работах [23; 25]. При этом вопрос об определении жесткости пружин и задании характерного линейного размера открыт. Рассмотрение слоя в виде сплошной среды с механическими характеристиками адгезива требует адекватной постановки и решения соответствующих задач. В предлагаемой работе на основе концепции слоя взаимодействия МКЭ решена линейно упругая задача нормального разрыва тонкого адгезионного слоя в ДКБ-образце. Показано, что имеет место существенная зависимость J-интеграла от коэффициента Пуассона сопрягаемых слоем тел и практически отсутствует зависимость J-интеграла от коэффициента Пуассона адгезионного слоя при существенных различиях в модулях Юнга адгезионного слоя и связанных им тел. В случае равенства коэффициента Пуассона слоя нулю получено аналитическое решение задачи в рамках теории пластин Миндлина - Рейснера. Установлено, что учет свойств адгезионного слоя дополняет J-интеграл слагаемым пропорциональным квадрату отношения модулей Юнга адгезионного слоя и сопрягаемых им тел. Если этим слагаемым пренебречь, то получаем результат, согласующийся с известными решениями [23; 25]. 1. Постановка задачи На рис. 1 показана схема нагружения слоистого композита длиной , состоящего из трех тел. Тела 1 и 2 с одинаковыми толщинами h и механическими свойствами связаны адгезионным слоем 3 толщиной с отличными от сопрягаемых им тел свойствами. Правый торец образца жестко закреплен от горизонтальных перемещений, на левых торцах тел действует симметричная распределенная нагрузка P. Вся остальная поверхность образца свободна от внешней нагрузки. Данная схема определяет стандартный для эксперимента ДКБ-образец и используется для нахождения прочностной характеристики - критического потока упругой энергии или Jс-интеграла согласно схеме податливости Ирвина [37]. Рис. 1. Модель ДКБ-образца Fig.1. Model of a DCB sample Вариационные уравнения равновесия системы двух тел, связанных слоем, в силу симметрии задачи преобразуются в вариационное уравнение для тела (1) [38]: , (1) где - площадь тела 1; - векторное поле перемещений тела 1; , - тензоры напряжений и деформаций; , - тензоры средних напряжений и деформаций слоя с соответствующими компонентами: , , ,, (2) - компоненты вектора перемещений верхней границы слоя; ; - граница приложения внешней нагрузки для тела 1; - двойное скалярное умножение; - скалярное умножение. Постулируется жесткое сцепление между границами области 3 и областями 1. Граничные касательные напряжения и напряжения отрыва в слое формируют граничные условия для сопрягаемой слоем среды, являются связанными уравнениями равновесия со средними напряжениями слоя [38]: , , (3) и неявно присутствуют в уравнении (1). Отметим, что средние касательные напряжения в слое в рамках рассматриваемой схемы нагружения равны нулю, и изменение средних осевых напряжений фактически определяет соответствующее граничное условие. Для материала слоя взаимодействия 3 определяющие соотношения считаем справедливыми для средних компонент тензоров напряжений и деформаций. При упругом деформировании слоя связь средних напряжений и деформаций определяется законом Гука: , (4) где , - модуль упругости и коэффициент Пуассона адгезионного слоя; - объемная деформация слоя; - символ Кронекера; 1, 2, 3. Определяющие соотношения тел будем рассматривать в форме закона Гука: , (5) где , - модуль упругости и коэффициент Пуассона; - объемная деформация. Уравнение (1) совместно со связями (2), (4), (5) и граничными условиями: , (6) , (7) , (8) , (9) является замкнутым, однозначно определяет поле перемещений тела, его напряженное состояние и по (2), (4) - напряженное состояние адгезионного слоя. Задача может быть решена численным методом. В работе используем метод конечных элементов с квадратичным распределением поля перемещений по элементу [30]. В статье [5] при обратимом деформировании образца получено представление критического значения J-интеграла (Jc-интеграла) через энергетическое произведение (ЭП) - произведение критического значения удельной (отнесенной к единице массы) свободной энергии и толщины слоя: , (10) где - плотность; . Таким образом рассматриваемая постановка задачи позволяет найти значение Jc-интеграла при фиксированном значении толщины слоя. 2. Варианты решения поставленной задачи Согласно данным работы [39], рассмотрим образец со следующими геометрическими и механическими характеристиками: м, м, м, м, ГПа, , ГПа, , Н/м, где b - толщина образца. В качестве адгезива для данного образца рассматривается смола Araldite AV138 с механическими и прочностными данными, заявленными производителем. В работе [39] приведено экспериментальное значение внешней нагрузки разрушения адгезива, которое составило кН. Рассмотрим результаты расчета МКЭ Jc-интеграла для критической нагрузки при различных значениях коэффициента Пуассона тела и линейного параметра в состоянии плоской деформации. Используем треугольный шестиузловой конечный элемент с длиной грани, равной линейному параметру, в зоне обрыва связей с адгезивом. В таблицу поместим расчеты для и . Полученные значения для заключим в скобки. Значения Jc-интеграла Values of Jc integral (Н/м) м м м м 0,1 258 (250) 236 (233) 233 (230) 237 (236) 0,2 250 (243) 229 (226) 226 (230) 230 (229) 0,3 238 (231) 217 (215) 214 (212) 218 (217) Из результатов расчета видно, что, начиная с размера толщины слоя м, величина Jc-интеграла практически не меняет своего значения. При этом коэффициент Пуассона тела 1 оказывает влияние на величину ЭП, а коэффициент Пуассона слоя практически не влияет. Однако коэффициент Пуассона слоя оказывает при этом существенное влияние на распределение напряжений в слое. Отметим, что вклад произведения осевого напряжения на осевую деформацию в удельную свободную энергию слоя (10) составил менее 0,1 %. На рис. 2 показано распределение напряжений в слое при и по длине слоя, найденное при значении толщины слоя м. График 1 определяет напряжение , график 2 определяет напряжение при Графики 3 и 4 определяют соответствующие напряжения для При этом имеет место . Напряжения отнесены к значению на торце слоя для случая Координата вдоль оси образца отнесена к толщине слоя . Средние напряжения отнесены к напряжению на торце слоя в случае . Аналогичные результаты получены в работе [40] при анализе приближенного решения исследуемой задачи. Рис. 2. Распределение напряжений в слое Fig. 2. Distribution of stresses in the layer Из рис. 2 видно, что для нулевого значения коэффициента Пуассона в слое осевое напряжение в слое на порядок меньше значения . Так как при обратимом деформировании, согласно таблице, критериальная характеристика в виде J-интеграла практически не меняет своего значения при комбинациях и , связанных коэффициентом Пуассона слоя, то определяющие соотношения адгезионного слоя (4) рассмотрим для случая : . (11) Для учета влияния модуля упругости, входящего в (11) и получения аналитического значения J-интеграла, рассмотрим упрощение задачи, представив поле перемещений тела в виде распределения Миндлина [26]: , (12) , (13) Из (1) с учетом (12), (13), приравняв слагаемые при равных вариациях, приходим к двум системам дифференциальных уравнений для участка : , , , (14) для участка : , , , (15) с условиями сопряжения: , , , (16) , , , (17) и естественным граничным условиям: , , , (18) а на правом торце рассматриваем граничные условия: , , , (19) где , , . С учетом (12), (13) определяющие соотношения (5) запишем в рамках теории пластин Миндлина - Рейснера [26-28] в виде: , (20) , (21) где , , . Запишем выражения обобщенных сил и моментов: , , . (22) В результате задача (13)-(21) становится замкнутой относительно трех неизвестных функций: , , . Из системы уравнений (14) осуществим перенос граничных условий (18) в точку : , , . (23) Полагая , запишем решение (15) для участка при в виде: (24) где ; ; ; ; . Из (24) найдем вертикальное перемещение в вершине слоя: . Из (2), (11) и последнего выражения находим значение напряжения отрыва в вершине слоя: . (25) Из (2) найдем осевую деформацию в вершине слоя: Из полученного выражения и (11) определяем осевое напряжение слоя: . (26) Для представления (10) с учетом (25), (26) находим: (27) где ; . Отношение для рассматриваемых характеристик композита составляет . В этом случае основной вклад в выражение (27) определяет компонента . Данный результат соответствует решению задачи МКЭ. Таким образом, для композитов с отношением модулей упругости получаем: . (28) Выражение (28) совпадает с результатом работы [23] для модели адгезива в виде связей Прандтля. Результат (28) показывает, что при линейно упругом поведении композита с тонким адгезионным слоем в случае нормального разрыва значение J-интеграла определяется только механическими свойствами сопрягаемых слоем тел. Следуя работам [9; 14] приведем выражение J-интеграла для ДКБ-образца, найденное из решения 2D-задачи: . (29) Для рассматриваемого образца при критической нагрузке в случае формула (28) приводит к следующему результату: Н/м, а формула (29) дает значение: Н/м. Сравнение с результатами таблицы показывает, что решение МКЭ для относительно тонкого слоя с учетом осевых напряжений приводит практически к одинаковому результату (с точностью до 5 %) с известными 2D-решениями. В этом плане решение задачи (1)-(9) по нахождению J-интеграла при малых толщинах слоя для может быть использовано для определения коэффициента интенсивности напряжений согласно связи: . Заключение Установлено, что механические свойства адгезионного слоя влияют на распределение напряжений в адгезионном слое, но не влияют на значение J-интеграла при . Замена адгезионного слоя слоем нулевой толщины позволяет корректно прогнозировать прочность адгезионных слоев в рамках модели хрупкого разрушения. Во второй части статьи предполагается решить задачу в рамках идеально упругопластической модели с учетом всех компонент тензора напряжений в адгезионном слое.

About the authors

V. E Bogacheva

Tula State University

V. V Glagolev

Tula State University

L. V Glagolev

Instrument Design Bureau named after Academician A.G. Shipunov

A. A Markin

Tula State University

References

Statistics

Views

Abstract - 106

PDF (Russian) - 134