Full Text

Введение Экспериментальное изучение диффузионного массопереноса в изотермических трехкомпонентных газовых смесях показало, что за счет различия в коэффициентах диффузии компонентов, а также при определенных значениях давления, температуры, исходных составов смеси, диаметра диффузионного канала и т.д. возникают условия для возникновения концентрационной конвекции, обусловленной действием сил Архимеда [1–4]. Визуальные наблюдения за конвекцией с помощью теневого метода, метода катарометрических датчиков позволили выявить многообразие конвективных течений [1, 5], которые условно разделяют на следующие группы: 1) хаотические течения с множеством противотоков; 2) «капельный» режим конвекции с отчетливо регистрируемыми конвективными формированиями; 3) «неподвижные страты», определяющие ламинарную конвекцию. Определение закономерности их возникновения является актуальной задачей. В данной работе в рамках линейной теории устойчивости рассматриваются условия, приводящие к различным типам конвективных течений. 1. Математическая модель устойчивости 1.1. Основные уравнения Макроскопическое движение изотермической тройной газовой смеси описывается общей системой уравнений гидродинамики, которая включает в себя уравнения Навье-Стокса, сохранения числа частиц смеси и компонентов. При условии независимой диффузии, когда для изотермической газовой смеси ; , эта система уравнений имеет следующий вид [6;7]: , , (1) , , где – «практические» коэффициенты тройной диффузии. Уравнения (1) дополняются уравнением состояния среды , , которое связывает термодинамические параметры в (1). При решении системы уравнений (1) применялся метод малых возмущений [6, 7]. Учитывая, что при различия между возмущениями среднечисловой и среднемассовой скоростей в уравнении Навье-Стокса будут несущественны [7], окончательная система уравнений гравитационной концентрационной конвекции для возмущенных значений в безразмерных величинах примет вид [7] , , (2) , , где – диффузионное число Прандтля; – парциальное число Рэлея; – параметры, определяющие соотношение между практическими коэффициентами диффузии. 1.2. Решение задачи для цилиндрического канала конечной длины Для решения системы уравнений (2) необходимо конкретизировать граничные условия. Для этого нами была рассмотрена задача о неустойчивости диффузионного смешения в цилиндрическом канале конечной высоты. В диффузионном канале конечной длины (рис. 1) существенны трехмерные движения, поэтому при аппроксимации скорости следует считать все компоненты вектора отличными от нуля. Рис. 1. Ограниченный цилиндрический канал Рассматривая в цилиндрической системе координат периодические по φ движения и удовлетворяя условиям на твердых границах z = ±h (h = L/d – геометрический параметр, характеризующий устойчивость), можно записать аппроксимацию скорости в виде [6] (3) Радиальные функции u, υ, ω должны обращаться в нуль на твердой боковой поверхности цилиндра (при ). Из уравнения непрерывности следует соотношение, которое связывает эти функции, , причем , , (4) , где – функция Бесселя n-го порядка, а параметр k находится из уравнения (5) В зависимости от значения n формулы (3)–(5) описывают движения разного вида. Значение n = 0 соответствует осесимметричным движениям; при n = 1 получается антисимметричное движение с границей раздела по вертикальной плоскости, проходящей через ось цилиндра, и т.д. Каждому значению n соответствует спектр значений параметра k из уравнения (5). Эти различные значения отвечают движениям разной радиальной структуры: с ростом k увеличивается число радиальных узлов скорости. Численное решение уравнения (5) позволило определить наименьшие корни: n = 0, k = 5,1356; n = 1, k = 2,8064; n = 2, k = 4,0863. Полагая для первых двух уравнений (2), что , найдем концентрации компонентов из уравнений , где Будем считать, что , тогда (6) Полагая, что на торцевых поверхностях исчезают возмущения концентраций, из (6) вытекают дополнительные условия – обращение в нуль второй производной на торцах диффузионного канала. Таким образом, имеем следующие условия: при (7) Эти условия позволяют выбрать следующую аппроксимацию: , (8) где – радиальная функция концентрации. Для определения Сi(r) применим метод Канторовича. Подставляя (8) в (6), умножая на зависящую от z часть функции fi(r, z) и интегрируя в пределах от –h до h, получим уравнения (9) где , i = 1,2. При нахождении концентраций компонентов уравнения (9) решались с граничным условием , тогда конечное в центре решение имеет вид [8] . (10) Полученные выражения для и c позволяют вычислить критическое число Рэлея с помощью интегрального соотношения Галеркина [6]: . (11) Формула (11) определяет критические числа Рэлея в зависимости от параметра h и моды возмущения n. Критические числа Рэлея для рассматриваемого канала имеют следующие значения: , , , , … Приведенные значения критических чисел Рэлея соответствуют наиболее вероятным течениям газовой смеси, образующимся в канале, и соответствуют случаю кратного деления площади поперечного сечения. Для определения границы монотонной устойчивости рассматриваемой задачи умножим скалярно третье уравнение системы (2) на вектор и проинтегрируем по всему объему V диффузионного канала при условиях, что : . (12) Это уравнение дает на плоскости (R1, R2) прямую ММ, разделяющую области затухающих (диффузия) и нарастающих (конвекция) монотонных возмущений. Описанный выше подход позволяет для каждого компонента получить свое критическое число Рэлея, которое зависит от термодинамических величин и моды возмущений, что позволяет говорить о структурированных свойствах гидродинамических течений каждого компонента. 2. Результаты численного эксперимента 2.1. Анализ экспериментальных данных Возникновение конвективных течений при многокомпонентной диффузии определяется геометрическими размерами диффузионного канала и конкретными значениями параметров состояния: давления, исходного состава газовой смеси и т.п. Каждый из перечисленных параметров при постоянстве остальных характеристик может иметь граничное значение, определяющее переход системы из устойчивого состояния в неустойчивое и обратно. Однако экспериментальное изучение неустойчивости механического равновесия при диффузионном смешении трехкомпонентных газовых смесей в изотермических условиях показало, что в условиях развитой конвекции возможно существование максимумов интенсивности в зависимости от давления [9]. Дальнейшее увеличение давления приводит к уменьшению интенсивности переноса компонента, т.е. устойчивости конвективных течений относительно предыдущей моды возмущения. При этом данный эффект наблюдается не только когда смесь газов состоит из компонентов, коэффициенты диффузии которых отличаются в несколько раз, но и когда компоненты имеют близкие по значению коэффициенты диффузии [10]. Аналогичные нелинейные зависимости наблюдаются при различных диаметрах диффузионного канала [11] и угла его ориентации относительно вертикали [12]. Рассмотрим влияние диаметра канала на возникновение неустойчивого режима при диффузии в тройных газовых смесях, а также на устойчивость конвективных течений. Полученные данные для системы 0,4722 He + 0,5278 Ar – N2 показали [11], что в области давлений Р = 0,1–18,0 МПа при комнатной температуре для данной системы критический диаметр канала d* = 2,65 мм. При увеличении диаметра выше d* наблюдается возникновение конвективных течений. Результаты измерения перешедшего количества гелия и аргона в зависимости от диаметра диффузионного канала показали, что со значения, превышающего d = 6 мм, фиксируется волнообразное изменение концентрации этих газов и интенсивности неустойчивого процесса [11]. На (рис. 2) представлены зависимости продиффундировавших концентраций компонентов от диаметра канала. Экстремумы плотности потока при d = 6 мм и d = 18 мм можно объяснить тем, что существует некоторый характерный размер dc «ячейки конвекции». Рис. 2. Концентрации продиффундировавших при неустойчивом переносе гелия и аргона в системе 0,4722 He + 0,5278 Ar – N2 для различных диаметров диффузионного канала; Р = 2,54 МПа, Т = 298,0 К; точки ●,▲ – экспериментальные данные для Ar и He соответственно При некоторых отношениях d/dc будут создаваться наиболее удобные структурированные течения, целое число раз размещающиеся в капилляре с диаметром d. Другими словами, появление максимумов (по концентрации) объясняется взаимодействием структурных образований, движущихся навстречу друг другу. 2.2. Анализ результатов расчета Как было показано выше, каждому n соответствует свое массштабное возмущение, определяющее переход от одного типа течения к другому. Уменьшение масштаба возмущений, т.е. рост числа n, может происходить за счет увеличения одного из параметров при соблюдении условия неизменности других параметров системы. Как показали опытные данные (см. рис. 2), изменение перешедшей концентрации компонентов в зависимости от диаметра носит нелинейный характер. Если предположить, что областям, связанным с нелинейными изменениями интенсивности процесса, соответствуют новые масштабы возмущений, то экспериментальные парциальные числа Рэлея должны находиться вблизи граничных линий, отвечающих разным модам возмущений n. Для сравнения предлагаемого в п. 1 подхода с опытными данными, приведенными в [11], представим их в виде парциальных чисел Рэлея. Парциальные числа Рэлея в соответствии с (2) можно записать следующим образом: , (13) где – масса молекулы i-го сорта; , . Если известны условия проведения опыта (давление, температура, состав смесей в каждой из колб, размеры диффузионного канала), то по формулам (13) можно найти R1 и R2 и тем самым определить изображающую данный опыт точку на плоскости (R1, R2). Из опыта известно, какой режим (диффузия или конвекция) имеет место при заданных условиях. На (рис. 3) приведены опытные числа Рэлея и критические линии для различных мод возмущений трехкомпонентной системы 0,4722 He + + 0,5278 Ar – N2. Рис. 3. Числа Рэлея при различных диаметрах диффузионного канала для системы 0,4722 He + 0,5278 Ar – N2; точки – экспериментальные данные, соответствующие диаметру: 1 – 3,4; 2 – 4,0; 3 – 6,0; 4 – 6,4; 5 – 7,0; 6 – 7,6; 7 – 8,0; 8 – 9,6; 9 – 10,6; 10 – 12,0 мм Сравнительный анализ (см. рис. 2, 3) показывает, что для смеси 0,4722 He + 0,5278 Ar – N2 первая смена режима происходит при диаметре мм, т.е. наблюдается переход от диффузионного процесса смешения к конвективному, соответствующему антисимметричному критическому движению. Для моды критическое число Рэлея составило . При диаметре мм происходит изменение масштаба возмущений уже к установившемуся конвективному режиму течения и возникает следующий конвективный режим, которому соответствует критическое число Рэлея , вычисленное для и т.д. Таким образом, проведенные исследования показали, что различные виды конвективных течений, возникающих в цилиндрическом диффузионном канале при изотермической трехкомпонентной диффузии, связаны с модой возмущений и критическим числом Рэлея, зависящим от рассматриваемой системы и термодинамических параметров. Заключение Приведенная модель описания неустойчивого массопереноса в изотермических трехкомпонентных газовых смесях позволяет для различных мод возмущения определить спектр критических чисел Рэлея, характеризующих области устойчивой и неустойчивой диффузии, и определить параметры, при которых реализуются различные типы конвективных движений. Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда науки Министерства образования и науки Республики Казахстан (грант № 1134/ГФ).

About the authors

zhavrin@bkruVladimir Nikolaevich Kossov

Abay Kazakh National Pedagogical University, Almaty, Kazakhstan

Email: kosov_vlad_nik@list.ru
13, Dostyk, 050100, Almaty, Kazakhstan corresponding member of the Academy of Sciences of RK, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Vice-rector on the scientists research, Kazakh National Pedagogical University

Olga Vladimirovna Fedorenko

Institute of Experimental and Theoretical Physics at al-Farabi Kazakh National University, Almaty, Kazakhstan

Email: fedor23.04@mail.ru
71, al-Farabi, 050038, Almaty, Kazakhstan Ph.D. in Physical and Mathematical Sciences, Ass. Professor, Department of Thermophysics and Technical Physics, al-Farabi Kazakh State University

Yuri Ivanovich Zhavrin

Institute of Experimental and Theoretical Physics at al-Farabi Kazakh National University, Almaty, Kazakhstan

Email: zhavrin@physics.kz
71, al-Farabi, 050038, Almaty, Kazakhstan Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Department of Thermophysics and Technical Physics, al-Farabi Kazakh State University

Asel Talipovna Nysanbaeva

Institute of Experimental and Theoretical Physics at al-Farabi Kazakh National University, Almaty, Kazakhstan

Email: a.nysanbaeva@gmail.com
71, al-Farabi, 050038, Almaty, Kazakhstan undergraduate, Department of Thermophysics and Technical Physics, al-Farabi Kazakh State University

Mansiya Kabylovna Asembaeva

Institute of Experimental and Theoretical Physics at al-Farabi Kazakh National University, Almaty, Kazakhstan

Email: zhavrin@bk.ru
71, al-Farabi, 050038, Almaty, Kazakhstan Ph.D. in Physical and Mathematical Sciences, Ass. Professor, Department of Thermophysics and Technical Physics, al-Farabi Kazakh State University

References

Statistics

Views

Abstract - 241

PDF (Russian) - 117