Full Text

Расчеты на устойчивость являются важной частью комплекса механических расчетов конструкций, вклю-чающих в себя тонкостенные элементы в виде пластин и оболочек. Целью расчетов является определение кри-тических нагрузок таких элементов и в случае необхо-димости выработка рекомендаций по их усилению. Однако известно, что во многих практических ситуаци-ях пластины и пологие панели сохраняют способность воспринимать возрастающую нагрузку и после потери устойчивости [1]. Поэтому теоретический и практиче-ский интерес представляет исследование нелинейного напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек в закритической области, где упругие прогибы могут значительно превышать их толщину. Задача о выпучивании гибкой круглой пластины при радиальном сжатии относится к числу классиче-ских задач теории устойчивости упругих конструкций. Ее аналитическое решение, выраженное в функциях Бесселя [1; 2], позволяет вычислить критические зна-чения нагрузки для различных условий опирания гра-ничного контура. Изучению нелинейного осесиммет-ричного изгиба сжимаемой пластины в закритической области посвящены работы [3–10]. Установлено, что при радиальной нагрузке, значительно превышающей критическое значение, центральная часть пластины уплощается, а изгибные деформации концентрируются в узкой кольцевой области, примыкающей к границе. При возрастании внешней радиальной нагрузки ок-ружные напряжения вблизи границы меняют знак и становятся сжимающими, достигая значительного уровня. В [3] впервые высказано предположение о возможности вторичного выпучивания, связанного с переходом к неосесимметричным формам равновесия. В [11] на основе асимптотических формул для пере-мещений показано, что при радиальных нагрузках, превышающих критическое значение, возможны устой-чивые неосесимметричные формы равновесия. Данные выводы нашли подтверждение в работах [12; 13], где для жестко защемленной круглой пластины методом конечных разностей вычислены критические нагрузки и соответствующие неосесимметричные формы вто-ричной потери устойчивости. В [14] предпринята по-пытка построения более полного нелинейного решения, описывающего поведение сжатой пластины после вто-ричного выпучивания. С этой целью использовано разложение неизвестных функций в степенные ряды по радиальной координате и ряды Фурье по окружной координате. Получены весьма громоздкие соотноше-ния, использование которых в практических расчетах вызывает значительные трудности. Отметим, что несимметричное выпучивание круг-лых пластин, связанное с появлением локальных скла-док вблизи закрепленного края, наблюдается также при действии поперечных механических нагрузок [15–19]. Обзор литературы показывает, что задачи об ус-тойчивости и закритическом деформировании круглых пластин при нагреве рассматривались в основном в осесимметричной постановке. Так, в [20] изучено нелинейное деформирование неравномерно нагретых пластин с использованием уравнений, основанных на допущении о пренебрежимо малом влиянии второго инварианта деформаций. Нелинейные конечно-элементные формулировки для исследования закрити-ческого изгиба тонких пластин при различных гранич-ных условиях даны в [21; 22]. Упрощенный метод для расчета зависимости температурной нагрузки от про-гиба пластины предложен в [23]. В работах [24; 25] изучено влияние осесимметричных начальных непра-вильностей формы на нелинейный изгиб пластин, из-готовленных из градиентных материалов. Термоупру-гий закритический изгиб пластин при наличии упругих связей, ограничивающих радиальные перемещения края, исследован в [26]. Вопрос о существовании несимметричных форм равновесия круглых пластин после потери устойчиво-сти при нагреве исследован недостаточно. Отметим работу [27], в которой экспериментально изучено несимметричное выпучивание круглых пластин и предложена приближенная формула для оценки критической сжимающей нагрузки в зависимости от числа волн формы выпучивания. С использованием численно-аналитического метода, основанного на применении степенных рядов, в [28; 29] исследована возможность вторичной потери устойчивости нагретых круглых пластин из градиентных материалов при различных условиях опирания края. Установлено, что при смягчении граничных условий критическая температура резко возрастает. Отмечается значи-тельное снижение скорости сходимости решения в об-ласти больших температурных прогибов, где происходит вторичное выпучивание. Изучение дальнейшего закритического деформиро-вания нагретых круглых пластин методом степенных рядов вызывает значительные трудности, связанные как с громоздкими выражениями, так и с медленной сходи-мостью рядов. Преодоление указанных трудностей воз-можно с использованием метода конечных элементов. В связи с этим необходимо отметить, что применение оболочечных элементов общего назначения требует значительных затрат времени и ресурсов ЭВМ, так как для определения резко изменяющегося нелинейного напряженно-деформированного состояния вблизи края пластины необходимо измельчение сетки по двум коор-динатным направлениям. При этом увеличение общего числа степеней свободы конечно-элементной модели приводит к резкому возрастанию объема вычислений, так как для отыскания равновесных состояний необхо-димо использовать пошаговую схему увеличения на-грузки в сочетании с итерационными методами уточне-ния нелинейного решения на каждом шаге. Учитывая специфику рассматриваемой задачи, в настоящей работе предлагается использовать полуаналитический вариант метода конечных элементов, основанный на представлении неизвестных функций отрезками рядов Фурье по окружной координате. Выбранный подход позволяет снизить общее число степеней свободы дискретной модели пластины и точно описать характер изменения перемещений по окружной координате в момент потери устойчивости.

About the authors

S. V. Levyakov

Novosibirsk State Technical University

References

Statistics

Views

Abstract - 90

PDF (Russian) - 93