SECONDARY BUCKLING OF A HEATED CIRCULAR PLATE

Abstract


Upon heating, a circular plate with immovable edge exhibits buckling, which results in ax-isymmetric postcritical bending. Progressive axisymmetric bending due to increasing thermal load in the postbuckling range leads to substantial redistribution of the stresses in the plate and occurrence of high compressive circumferential stresses in a narrow zone adjacent to the plate edge. In this case, secondary buckling can occur resulting in unsymmetric stress-strain state. The aim of the present work is to study stability behavior of the postbuckling axisymmetric equilibrium configurations of a circular plate subjected to uniform temperature rise. The plate edge is assumed to be immovable in the radial and transverse directions and elastically re-strained against bending rotation, which allows one to model the boundary conditions between two extremes of clamped and simply supported. The stability analysis is performed by the semi-analytical finite element method, where unknown displacements are approximated by truncated Fourier series in the circumferential coordinate. The geometrical nonlinearity is taken into ac-count in a quadratic approximation using the Fӧppl – von Karman nonlinear plate theory. To find equilibrium states of the plate, an iterative algorithm is proposed which requires determination of the coefficients of the first and second variations of the total potential energy. Stability of the equilibrium states is examined using the criterion of positive defineteness of the Hess matrix of the plate finite-element model. The critical temperature rise at which secondary buckling occurs is determined. The post-buckling nonlinear deformation characterized by local winkling near the plate edge is studied. The effect of boundary conditions and temperature-dependent material properties on the critical thermal load and secondary buckling modes is discussed.

Full Text

Расчеты на устойчивость являются важной частью комплекса механических расчетов конструкций, вклю-чающих в себя тонкостенные элементы в виде пластин и оболочек. Целью расчетов является определение кри-тических нагрузок таких элементов и в случае необхо-димости выработка рекомендаций по их усилению. Однако известно, что во многих практических ситуаци-ях пластины и пологие панели сохраняют способность воспринимать возрастающую нагрузку и после потери устойчивости [1]. Поэтому теоретический и практиче-ский интерес представляет исследование нелинейного напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек в закритической области, где упругие прогибы могут значительно превышать их толщину. Задача о выпучивании гибкой круглой пластины при радиальном сжатии относится к числу классиче-ских задач теории устойчивости упругих конструкций. Ее аналитическое решение, выраженное в функциях Бесселя [1; 2], позволяет вычислить критические зна-чения нагрузки для различных условий опирания гра-ничного контура. Изучению нелинейного осесиммет-ричного изгиба сжимаемой пластины в закритической области посвящены работы [3–10]. Установлено, что при радиальной нагрузке, значительно превышающей критическое значение, центральная часть пластины уплощается, а изгибные деформации концентрируются в узкой кольцевой области, примыкающей к границе. При возрастании внешней радиальной нагрузки ок-ружные напряжения вблизи границы меняют знак и становятся сжимающими, достигая значительного уровня. В [3] впервые высказано предположение о возможности вторичного выпучивания, связанного с переходом к неосесимметричным формам равновесия. В [11] на основе асимптотических формул для пере-мещений показано, что при радиальных нагрузках, превышающих критическое значение, возможны устой-чивые неосесимметричные формы равновесия. Данные выводы нашли подтверждение в работах [12; 13], где для жестко защемленной круглой пластины методом конечных разностей вычислены критические нагрузки и соответствующие неосесимметричные формы вто-ричной потери устойчивости. В [14] предпринята по-пытка построения более полного нелинейного решения, описывающего поведение сжатой пластины после вто-ричного выпучивания. С этой целью использовано разложение неизвестных функций в степенные ряды по радиальной координате и ряды Фурье по окружной координате. Получены весьма громоздкие соотноше-ния, использование которых в практических расчетах вызывает значительные трудности. Отметим, что несимметричное выпучивание круг-лых пластин, связанное с появлением локальных скла-док вблизи закрепленного края, наблюдается также при действии поперечных механических нагрузок [15–19]. Обзор литературы показывает, что задачи об ус-тойчивости и закритическом деформировании круглых пластин при нагреве рассматривались в основном в осесимметричной постановке. Так, в [20] изучено нелинейное деформирование неравномерно нагретых пластин с использованием уравнений, основанных на допущении о пренебрежимо малом влиянии второго инварианта деформаций. Нелинейные конечно-элементные формулировки для исследования закрити-ческого изгиба тонких пластин при различных гранич-ных условиях даны в [21; 22]. Упрощенный метод для расчета зависимости температурной нагрузки от про-гиба пластины предложен в [23]. В работах [24; 25] изучено влияние осесимметричных начальных непра-вильностей формы на нелинейный изгиб пластин, из-готовленных из градиентных материалов. Термоупру-гий закритический изгиб пластин при наличии упругих связей, ограничивающих радиальные перемещения края, исследован в [26]. Вопрос о существовании несимметричных форм равновесия круглых пластин после потери устойчиво-сти при нагреве исследован недостаточно. Отметим работу [27], в которой экспериментально изучено несимметричное выпучивание круглых пластин и предложена приближенная формула для оценки критической сжимающей нагрузки в зависимости от числа волн формы выпучивания. С использованием численно-аналитического метода, основанного на применении степенных рядов, в [28; 29] исследована возможность вторичной потери устойчивости нагретых круглых пластин из градиентных материалов при различных условиях опирания края. Установлено, что при смягчении граничных условий критическая температура резко возрастает. Отмечается значи-тельное снижение скорости сходимости решения в об-ласти больших температурных прогибов, где происходит вторичное выпучивание. Изучение дальнейшего закритического деформиро-вания нагретых круглых пластин методом степенных рядов вызывает значительные трудности, связанные как с громоздкими выражениями, так и с медленной сходи-мостью рядов. Преодоление указанных трудностей воз-можно с использованием метода конечных элементов. В связи с этим необходимо отметить, что применение оболочечных элементов общего назначения требует значительных затрат времени и ресурсов ЭВМ, так как для определения резко изменяющегося нелинейного напряженно-деформированного состояния вблизи края пластины необходимо измельчение сетки по двум коор-динатным направлениям. При этом увеличение общего числа степеней свободы конечно-элементной модели приводит к резкому возрастанию объема вычислений, так как для отыскания равновесных состояний необхо-димо использовать пошаговую схему увеличения на-грузки в сочетании с итерационными методами уточне-ния нелинейного решения на каждом шаге. Учитывая специфику рассматриваемой задачи, в настоящей работе предлагается использовать полуаналитический вариант метода конечных элементов, основанный на представлении неизвестных функций отрезками рядов Фурье по окружной координате. Выбранный подход позволяет снизить общее число степеней свободы дискретной модели пластины и точно описать характер изменения перемещений по окружной координате в момент потери устойчивости.

About the authors

S. V. Levyakov

Novosibirsk State Technical University

References

  1. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. - М.: Наука, 1967. - 984 с.
  2. Wang C.M., Wang C.Y., Reddy J.N. Exact solutions for buckling of structural members. - CRC Press, 2005. - 224 p.
  3. Friedrichs K.O., Stoker J.J. The non-linear boundary value problem of the buckled plate // Proc. NAS. - 1939. - Vol. 25. - P. 535-540.
  4. Bodner S.R. The post buckling behavior of a clamped circular plate // Quart. Appl. Math. - 1955. - Vol. 12, no. 4. - P. 397-401.
  5. Weinberg I.J. Symmetric finite deflections of circular plates subjected to compressive edge forces // Studies in Applied Mathematics. - 1962. - Vol. 41, no. 1-4. - P. 104-115.
  6. Keller H.B., Reiss E.L. Non-linear Bending and Buckling of Circular Plates // Proc. 3rd U.S. Nat. Cong. of Appl. Math. - 1958. - P. 375-385.
  7. Rao G.V., K.K. Raju. A reinvestigation of post-buckling behaviour of elastic circular plates using a simple finite element formulation // Compu. Struct. - 1983. - Vol. 17, no. 2. - P. 233-235. doi: 10.1016/0045-7949(83)90011-1.
  8. Ye J.Q. Axisymmetric elastic postbuckling of circular plates // Int. J. Pres. Ves. Piping. - 1995. - Vol. 62, no. 3. - P. 213-217. doi: 10.1016/0308-0161(94)00014-A.
  9. Tanaka M., Matsumoto T., Zheng Z. Application of the boundary-domain element method to the pre/post-buckling problem of von Karman plates // Engineering Analysis with Boundary Elements. - 1999. - Vol. 23, no. 5-6. - P. 399-404. doi: 10.1016/S0955-7997(98)00102-7.
  10. Yanowitch M. Non-linear buckling of circular elastic plates // Comm. on Pure and Appl. Math. - 1956. - Vol. 9. - P. 661-672.
  11. Морозов Н.Ф. Исследование круглой симметрично сжимаемой пластинки при большой краевой нагрузке // Изв. вузов. - 1963. - Т. 34, № 3. - С. 95-98.
  12. Cheo L.S., Reiss E.L. Unsymmetric wrinkling of circular plates // Quart. App. Math. - 1973. - Vol. 31. - P. 75-91.
  13. Cheo L.S., Reiss E.L. Secondary buckling of circular plates // SIAM J. Appl. Math. - 1974. - Vol. 26, no. 3. - P. 490-495.
  14. Wang A. Axisymmetric postbuckling and secondary bifurcation buckling of circular plates // Int. J. Non-Linear Mech. - 2000. - Vol. 35, no. 2. - P. 279-292. doi: 10.1016/S0020-7462(99)00014-1.
  15. Панов Д.Ю., Феодосьев В.И. О равновесии и потере устойчивости пологих оболочек при больших прогибах // ПММ. - 1948. - Т. 12, № 4. - C. 389-406.
  16. Adams G.G. Elastic wrinkling of a tensioned circular plate using von Karman plate theory // ASME J. Appl. Mech. - 1993. - Vol. 60, no. 2. - P. 520-525. doi: 10.1115/1.2900824.
  17. Бауэр С.М., Воронкова Е.Б., Романова А.А. О потере устойчивости осесимметричных форм равновесия круглых пластин под действием нормального давления // Вестник СПбГУ. Сер. 1. - 2012. - Вып. 1. - С. 80-85.
  18. Coman C.D. Asymmetric bifurcations in a pressurised circular thin plate under initial tension // Mech. Res.Commun. - 2013. - No. 47. - P. 11-17. doi: 10.1016/j.mechrescom.2012.09.005.
  19. Coman C.D., Bassom A.P. On the nonlinear membrane approximation and edge-wrinkling // Int. J. Solids Struct. - 2016. - Vol. 82. - P. 85-94. doi: 10.1016/j.ijsolstr.2015.11.011.
  20. Pal M.C. Large deflections of heated circular plates // Acta Mechanica. - 1969. - Vol. 8. - P. 82-103.
  21. Raju K.K., Rao G.V. Thermal post-buckling of circular plates // Comput. Struct. - 1984. - Vol. 18, no. 6. - P. 1179-1182.
  22. Rao G.V., Raju K.K., Naidu N.R. Post-buckling behavior of circular plates with elastically restrained edges subjected to thermal loads // Comput. Struct. - 1992. - Vol. 45, no. 1. - P. 209-210.
  23. Varma R.R., Rao G.V. Novel formulation to study thermal postbuckling of circular plates with edges elastically restrained against rotation //j. Eng. Mech. - 2011. - Vol. 137, no. 10. - P. 708-711. doi: 10.1061/(ASCE)EM.1943-7889.0000274.
  24. Li S.R., Zhang J.H., Zhao Y.G. Nonlinear thermomechanical post-buckling of circular FGM plate with geometric imperfection // Thin-Walled Structures. - 2007. - Vol. 45, no. 5. - P. 528-536. doi: 10.1016/j.tws.2007.04.002.
  25. Kiani Y., Eslami M.R. Thermal postbuckling of imperfect circular functionally graded material plates: Examination of Voigt, Mori-Tanaka and self-consistent schemes //j. Press. Vessel Technol. - 2015. - Vol. 137, no. 2. - P. 1-11. doi: 10.1115/1.4026993.
  26. Sun Y., Wang M.L., Li S.R. Thermal buckling and postbuckling of FGM circular plates with in-plane elastic restraints // Appl. Math. Mech. - 2017. - Vol. 38, no. 10. - P. 1459-1470. doi: 10.1007/s10483-017-2242-6.
  27. Гольдштейн Р.В., Попов А.Л., Козинцев В.М., Челюбеев Д.А., Неосесимметричная потеря устойчивости при осесимметричном нагреве круглой пластины, Вестник ПНИПУ. Механика. - 2016. - № 2. - С. 45-53. 10.15593/ perm.mech/2016.2.04. doi: 10.15593/perm.mech/2016.2.04.
  28. Levyakov S.V. Wrinkling of pressurized circular functionally graded plates under thermal loading // Thin-Walled Structures. - 2019. - Vol. 137. - P. 284-294. doi: 10.1016/j.tws.2018.11.029.
  29. Levyakov S.V. Asymmetric thermal buckling of imperfect FGM circular plates with rotationally restrained edge // Int. J. Struct. Stability and Dynamics. - 2020. - Vol. 20, no. 12.
  30. Shen H.S. Functionally Graded Materials: Nonlinear Analysis of Plates and Shells. - CRC Press, Boca Raton, FL, USA, 2009. - 266 p.

Statistics

Views

Abstract - 89

PDF (Russian) - 89

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2022 Levyakov S.V.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies