PLANE PROBLEMS ABOUT THE ACTION OF OSCILLATING LOAD ON THE BOUNDARY OF AN ELASTIC ISOTROPIC LAYER IN THE PRESENCE OF SURFACE STRESSES

Abstract


In this paper, symmetric and antisymmetric plane problems about the action of oscillating load on the boundary of an elastic isotropic nanothin layer are considered. The nanoscale layer thickness is considered by introducing surface stresses in accordance with the Gurtin-Murdoch theory. According to this theory, it is assumed that, in addition to external loads, surface stresses act on the layer boundaries, which are described by Hooke's “surface” law. As a result, the properties of the elastic material of the layer with nanoscale thickness become different from the properties of the material of a regular-sized body, which is typical for nanomechanics problems. A standard technique was used for the solution of formulated problems, including the application of limiting absorption principle, the Fourier transform over infinitely extended coordinate and the theory of residues for finding the inverse Fourier transform. It is shown how it is possible to obtain solutions in the form of series in natural waves, in which the wave numbers are defined as the roots of the corresponding dispersion equations. For a specific example, dispersion relations were studied and graphs of the first dispersion curves were plotted. The behavior of barrier frequencies, changes in wave numbers and zones of existence of backward waves at different nanoscale layer thicknesses are analyzed. The results of the analysis showed that for an ultrathin layer, surface effects have a significant impact on the dispersion relations, and the trends in the dispersion curves can differ significantly for different modes and layer thicknesses.

Full Text

Как известно, наноразмерные тела проявляют свой- ства, отличные от соответствующих свойств тел обыч- ных размеров. Для объяснения этого эффекта и для предсказания поведения наноразмерных тел разработа- но несколько моделей, которые активно используются в настоящее время. Как отмечалось в обзорных работах [1–4], основными классами моделей наномеханики яв- ляются: модели, основанные на методах молекулярной динамики; нелокальные модели; градиентные модели теории упругости; различные модели поверхностной упругости; эмпирические инженерные зависимости ме- жду модулями и характерными размерами. В данной работе используется одна из наиболее простых и попу- лярных модель поверхностной упругости Гуртина – Мурдоха [5–7]. Как и другие, эта модель отражает раз- мерный фактор, который здесь связан с возрастанием отношения площади поверхности тела к объему при переходе на наноуровень. Модель поверхностной упругости Гуртина – Мур- доха точнее называть моделью поверхностных напря- жений и инерционных нагрузок. Применительно к ди- намическим задачам для полуограниченных тел эти эффекты могут проявляться на свободных поверхностях или на интерфейсных границах раздела сред с различ- ными свойствами. Задачи о распространении упругих волн в упругих полуограниченных средах при наличии поверхностных напряжений в рамках модели Гуртина – Мурдоха ис- следовались в [6; 8–23] и в других работах. Преломле- ние и отражение волн различных типов через границу с поверхностными напряжениями и инерционными на- грузками было изучено основоположниками теории в [6; 18]. Среди задач об установившихся колебаниях для конкретных полуограниченных сред в силу своей про- стоты наиболее исследованы антиплоские задачи. Так, в [10; 12; 17] были рассмотрены антиплоские задачи для полупространства, в [11] – для двух полупространств, в [15; 18; 19] – для слоистого полупространства, в [16; 22; 23] – для слоя, в [13] – для составного слоя. Для этих задач в [10; 12] было проведено сравнение модели Гур- тина – Мурдоха с другими моделями поверхностной упругости и с дискретными моделями, а в [11; 17; 21] предполагался также неидеальный контакт и шерохова- тость на границах. Более сложные двумерные задачи изучались в [8; 9; 14; 18; 19] для полупространства и слоя, причем в [9] рассматривался анизотропный ма- териал. В [20] была исследована задача для цилиндри- ческого волновода. Модели поверхностной упругости были распро- странены на тела со связанностью механических и элек- трических полей. Соответствующие динамические за- дачи об установившихся колебаниях пьезоэлектриче- ских полуограниченных сред с дополнительной поверхностной связанностью электромеханических по- лей рассматривались в [24–31], а аналогичные задачи для магнитоэлектрических сред – в [32–34]. Как отме- чалось в [35; 36], такие модели могут быть как электро- механически связанными, так и несвязанными. Проведенные исследования показали, что поверх- ностные эффекты могут существенно изменять диспер- сионные зависимости и волновые поля по сравнению с классическими задачами. Так, появляются дополни- тельные поверхностные волны, усиливается дисперсия и зависимости волновых чисел от толщины покрытий. Однако, несмотря на проведенные исследования, мно- гие вопросы, связанные с кинематикой и энергетикой волн в полуограниченных средах при наличии поверх- ностных эффектов, остаются малоизученными. В настоящей работе рассматриваются плоские задачи об установившихся колебаниях упругой изотропной по- лосы при наличии поверхностных напряжений и инерци- онных эффектов по модели Гуртина – Мурдоха. Подоб- ные задачи исследовались в [8], но при нулевых внешних воздействиях. Кроме того, здесь, в отличие от [8], основ- ное внимание уделено анализу дисперсионных соотно- шений в форме зависимостей частоты от волновых чисел для симметричных и антисимметричных задач.

About the authors

T. I. Kalinina

South-Russian State Polytechnic University (NPI) named after M.I. Platov

A. V. Nasedkin

Southern Federal University

References

  1. Chandel V.S., Wang G., Talha M. Advances in modelling and analysis of nano structures: a review // Nanotechnol. Rev. – 2020. – Vol. 9. – P. 230–258. doi: 10.1515/ntrev-2020-0020
  2. Eremeyev V.A. On effective properties of materials at the nano- and microscales considering surface effects // Acta Mech. – 2016. – Vol. 227. – P. 29–42. doi: 10.1007/s00707-015-1427-y
  3. Surface stress effect in mechanics of nanostructured materials / J. Wang, Z. Huang, H. Duan, S. Yu, X. Feng, G. Wang, W. Zhang, T. Wang // Acta Mech. Solida Sin. – 2011. – Vol. 24, iss. 1. – P. 52–82. doi: 10.1016/S0894-9166(11)60009-8
  4. Wang K.F., Wang B.L., Kitamura T. A review on the application of modified continuum models in modeling and simulation of nanostructures // Acta Mech. Sin. – 2016. – Vol. 32, iss. 1. – P. 83–100. doi: 10.1007/s10409-015-0508-4
  5. Gurtin M.E., Murdoch A.I. A continuum theory of elastic material surfaces // Arch. Rat. Mech. Anal. – 1975. – Vol. 57, iss. 4. – P. 291–323. doi: 10.1007/BF00261375
  6. Gurtin M.E., Murdoch A.I. Effect of surface stress on wave propagation in solids // J. Appl. Phys. – 1976. – Vol. 47. – P. 4414–4421. doi: 10.1063/1.322403
  7. Gurtin M.E., Murdoch A.I. Surface stress in solids // Int. J. Solids Struct. – 1978. – Vol. 14, iss. 6. – P. 431–440. doi: 10.1016/0020-7683(78)90008-2
  8. Chakraborty A. The effect of surface stress on the propagation of Lamb waves // Ultrasonics. – 2010. – Vol. 50, iss. 7. – P. 645–649. doi: 10.1016/j.ultras.2010.02.004
  9. Enzevaee C., Shodja H.M. Crystallography and surface effects on the propagation of Love and Rayleigh surface waves in fcc semi-infinite solids // Int. J. Solids Struct. – 2018. – Vol. 138. – P. 109–117. doi: 10.1016/j.ijsolstr.2018.01.003
  10. Eremeyev V.A., Rosi G., Naili S. Comparison of antiplane surface waves in strain-gradient materials and materials with surface stresses // Math. Mech. Solids. – 2019. – Vol. 24, iss. 8. – P. 2526–2535. doi: 10.1177/1081286518769960
  11. Eremeyev V.A., Rosi G., Naili S. Surface/interfacial antiplane waves in solids with surface energy // Mech. Res. Commun. – 2016. – Vol. 74. – P. 8–13. doi: 10.1016/j.mechrescom.2016.02.018
  12. Eremeyev V.A., Sharma B.L. Anti-plane surface waves in media with surface structure: discrete vs. continuum model // Int. J. Eng. Sci. – 2019. – Vol. 143. – P. 33–38. doi: 10.1016/j.ijengsci.2019.06.007
  13. Shear horizontal wave dispersion in nanolayers with surface effects and determination of surface elastic constants / F. Jia, Z. Zhang, H. Zhang, X.-Q. Feng, B. Gu // Thin Solid Films. – 2018. – Vol. 645. – P. 134–138. doi: 10.1016/j.tsf.2017.10.025
  14. Dispersive behavior of high frequency Rayleigh waves propagating on an elastic half space / N. Jia, Z. Peng, J. Li, S. Chen // Acta Mech. Sin. – 2021. – Vol. 37. – P. 562–569. doi: 10.1007/s10409-020-01009-3
  15. Li Y.D., Lee K.Y. Size-dependent behavior of Love wave propagation in a nanocoating // Mod. Phys. Lett. B. – 2010. – Vol. 24. – P. 3015–3023. doi: 10.1142/S0217984910025346
  16. Liu H., Liu H., Yang J.L. Surface effects on the propagation of shear horizontal waves in thin films with nanoscale thickness // Physica E. – 2013. – Vol. 49. – P. 13–17. doi: 10.1016/j.physe.2013.01.013
  17. Mikhasev G.I., Botogova M.G., Eremeyev V.A. On the influence of a surface roughness on propagation of anti-plane short-length localized waves in a medium with surface coating // Int. J. Eng. Sci. – 2021. – Vol. 158. – P. 103428. doi: 10.1016/j.ijengsci.2020.103428
  18. Murdoch A.I. The propagation of surface waves in bodies with material boundaries // J. Mech. Phys. Solids. – 1976. – Vol. 24. – P. 137–146. doi: 10.1016/0022-5096(76)90023-5
  19. Pal P.K., Acharya D., Sengupta P.R. Effect of surface stresses on surface waves in elastic solids // Sadhana. – 1997. – Vol. 22. – P. 659–670. doi: 10.1007/BF02802553
  20. Peng X.L., Huang G.Y. Elastic vibrations of a cylindrical nanotube with the effect of surface stress and surface inertia // Physica E. – 2013. – Vol. 54. – P. 98–102 doi: 10.1016/j.physe.2013.06.009
  21. Sharma B.L., Eremeyev V.A. Wave transmission across surface interfaces in lattice structures // Int. J. Eng. Sci. – 2019. – Vol. 145. – P. 103173. doi: 10.1016/j.ijengsci.2019.103173
  22. Калинина Т.И. Антиплоские задачи об установивших- ся колебаниях при наличии поверхностных напряжений // Со- временные проблемы механики сплошной среды: тр. XIX Меж- дунар. конф. (15–18 октября 2018 г., Ростов-на-Дону). – Ростов н/Д.; Таганрог: Изд-во ЮФУ, 2018. – Т. 2. – С. 123–127.
  23. Калинина Т.И., Наседкин А.В. Антиплоские задачи о движении осциллирующей нагрузки по границе упругой изо- тропной полосы при наличии поверхностных напряжений // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. – 2022. – № 1. – С. 12–22. doi: 10.18522/1026-2237- 2022-1-12-22.
  24. Enzevaee C., Shodja H.M. Surface/interface effect on the propagation of high-frequency SH surface waves in an ultra-thin FGP over-layer bonded to a substrate // Acta Mech. – 2021. – Vol. 232. – P. 4677–4689. doi: 10.1007/s00707-021-03077-3
  25. Enzevaee C., Shodja H.M. Torsional surface wave propagation in a transversely isotropic FG substrate with piezoelectric over-layer within surface/interface theory // Acta Mech. – 2020. – Vol. 231. – P. 2203–2216. doi: 10.1007/s00707-020-02638-2
  26. Xu L.M., Wang X., Fan H. Anti-plane waves near an interface between two piezoelectric half-spaces // Mech. Res. Commun. – 2015. – Vol. 67. – P. 8–12. doi: 10.1016/j.mechrescom.2015.04.006
  27. Zhang C., Chen W., Zhang C. On propagation of anti-plane shear waves in piezoelectric plates with surface effect // Phys. Lett. A. – 2012. – Vol. 376. – P. 3281–3286. doi: 10.1016/j.physleta.2012.09.027
  28. Propagation of Rayleigh-type surface waves in a layered piezoelectric nanostructure with surface effects / L. Zhang, J. Zhao, G. Nie, J. Liu // Appl. Math. Mech. – Engl. Ed. – 2022. – Vol. 43, iss. 3. – P. 327–340. doi: 10.1007/s10483-022-2824-7
  29. Effects of surface piezoelectricity and nonlocal scale on wave propagation in piezoelectric nanoplates / L.L. Zhang, J.X. Liu, X.Q. Fang, G.Q. Nie // Eur. J. Mech. A Solids. – 2014. – Vol. 46. – P. 22–29. doi: 10.1016/j.euromechsol.2014.01.005
  30. Size-dependent dispersion characteristics in piezoelectric nanoplates with surface effects / L.L. Zhang, J.X. Liu, X.Q. Fang, G.Q. Nie // Physica E. – 2014. – Vol. 57. – P. 169–174. doi: 10.1016/j.physe.2013.11.007
  31. Propagation of Love waves with surface effects in an electrically-shorted piezoelectric nanofilm on a half-space elastic substrate / S. Zhang, B. Gu, H. Zhang, X.-Q. Feng, R. Pan, Alamusi, N. Hu // Ultrasonics. – 2016. – Vol. 66. – P. 65–71. doi: 10.1016/j.ultras.2015.11.009
  32. Interface energy effect on the dispersion relation of nano-sized cylindrical piezoelectric/piezomagnetic composites / X.-Q. Fang, Y. Liu, X.-L. Liu, J.-X. Liu // Ultrasonics. – 2015. – Vol. 56. – P. 444–448. doi: 10.1016/j.ultras.2014.09.011
  33. Surface effects on anti-plane shear waves propagating in magneto-electro-elastic nanoplates / B. Wu, C. Zhang, W. Chen, C. Zhang // Smart Mater. Struct. – 2015. – Vol. 24. – P. 095017. doi: 10.1088/0964-1726/24/9/095017
  34. Zhou Y.Y., Lu C.F., Chen W.Q. Bulk wave propagation in layered piezomagnetic/piezoelectric plates with initial stresses or interface imperfections // Compos. Struct. – 2012. – Vol. 94, iss. 9. – P. 2736–2745. doi: 10.1016/j.compstruct.2012.04.006
  35. Eremeyev V.A., Nasedkin A.V. Mathematical models and finite element approaches for nanosized piezoelectric bodies with uncoulped and coupled surface effects // Wave Dynamics and Composite Mechanics for Microstructured Materials and Metamaterials. Advanced Structured Materials. – Ed. M.A. Sumbatyan. – Singapore: Springer, 2017. – Vol. 59, ch. 1. – P. 1–18. doi: 10.1007/978-981-10-3797-9_1
  36. Наседкин А.В., Еремеев В.А. О моделях наноразмер- ных пьезоэлектрических материалов со связанными поверх- ностными эффектами // Проблемы прочности и пластично- сти. – 2017. – Т. 79, № 4. – С. 375–384. doi: 10.32326/1814- 9146-2017-79-4-375-384
  37. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешан- ные задачи теории упругости для неклассических областей. – М.: Наука, 1979. – 320 с.
  38. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колеба- ния и волны в упругих телах. – Киев: Наук. думка, 1981. – 284 с.

Statistics

Views

Abstract - 123

PDF (Russian) - 133

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2023 Kalinina T.I., Nasedkin A.V.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies