SPECTRAL DYNAMIC STIFFNESS METHOD FOR THE FLUTTER PROBLEM OF COMBINED PLATES

Abstract


At present time, the spectral dynamic stiffness method is being actively developed as an alternative to the finite element method for vibration and stability problems of composite structures from beams, rods, plates and shells. This approach, based on exact solutions of governing differential equations, makes it possible to more effectively study the problem in the medium and high frequency ranges, and gives analytical expressions for natural modes. It is proposed to use the advantages of this method to study the problems of dynamic stability and flutter of an orthotropic composite plate in a supersonic gas flow. Using the linear approximation of piston theory, solution of the problem is investigated according to the Galerkin method on the basis of the eigenforms of a composite plate in vacuum. According to this approach the boundary value problem is reduced to a homogeneous infinite linear algebraic system of equations with coefficients are depending from physical-mechanical and geometrical parameters of the problem. The frequency parameter is included in the system linearly, that allows us to reduce eigenproblem for infinite system to the problem of determining the eigenvalues and vectors of a matrix. The convergence of the Galerkin method depending on the number of basis functions is studied numerically. It is shown that the first 16 eigenforms provide the good convergence of the method. Examples of numerical implementation are given, obtained solution allow us to study the dependence of the critical velocity from the properties of the material and geometry of the combined plate.

Full Text

Во многом благодаря явлению панельного флаттера теория динамической устойчивости пластин в сверхзвуковом потоке газа стала предметом пристального внимания научной общественности, начиная с середины прошлого столетия. Существенный вклад в математическое описание этого явления и его понимание внесли работы А.А. Ильюшина, который впервые представил проблему флаттера как проблему аэроупругости в рамках линейного приближения поршневой теории (закон плоских сечений) [1; 2]. Основные результаты по панельному флаттеру пластин представлены в [3; 4]. Заметим, что даже в рамках линейного приближения задача о динамической устойчивости прямоугольных пластин имеет точное аналитическое решение [5–7], лишь когда две противоположные стороны пластины шарнирно оперты либо в случае цилиндрического изгиба панели. Только тогда переменные в разрешающем дифференциальном уравнении разделяются, и оказывается возможным получить решение в форме ряда. В случае других граничных условий, тем более в случае геометрии, отличной от прямоугольной, для решения задачи используются приближенные аналитические методы и численные методы. В частности, Olson [8] одним из первых применил конечно-элементный подход (FEM) для решения проблемы флаттера. Yang и Han [9] используют FEM для исследования флаттера термически нагруженных плоских панелей. В работе Prakash и Ganapathi [10] также рассмотрен конечно-элементный подход к исследованию панельного флаттера с учетом температурных характеристик газовой среды. Librescu и др. [11] представили исследование флаттера длинной тонкостенной цилиндрической панели в сверхзвуковом потоке. Singha и Mandal [12] исследовали флаттер многослойных композитных пластин и цилиндрических панелей. В работе Bismarck-Nasr и Bones [13] рассмотрены стабилизирующие эффекты структурного демпфирования в задачах флаттера. Song et al. [14] исследуют флаттер плоских консольно-защемленных пластин со структурной нелинейностью в сверхзвуковом потоке газа. Mei et al. [15] используют Fluid-Structure Coupling Algorithm для более точного учета влияния характеристик потока на флаттер панели на основе уравнений Навье – Стокса. В работе [16] представлены результаты эксперимента и численного моделирования для косоугольной панели. Во всех указанных работах авторы используют численный подход при моделировании. Однако, как было замечено в [17], в задачах флаттера применение традиционных численных методов, в том числе метода конечных элементов, зачастую оказывается малоэффективным. По этой причине для задач аэродинамической устойчивости продолжают развиваться аналитико-численные подходы (обзор работ и описание можно найти в монографиях [1; 2; 4; 5]). Например, в статье [18] метод Бубнова – Галеркина используется для исследования флаттера шарнирно-опертой прямоугольной пластины переменной толщины, этот же метод используется в работе [19] для исследования флаттера стенки топливного бака, в качестве базисных функций берутся комбинации тригонометрических функций. Авторы [20] используют метод Бубнова – Галеркина для анализа панельного флаттера прямоугольной пластины при наличии сжимающих сил в плоскости пластины. Chen и La [21] также используют метод Галеркина для анализа флаттера и нелинейной динамики композитных пластин. Метод Галеркина был также применяется в [22] для анализа флаттера защемленной ортотропной пластин. Заметим, что сходимость и точность метода Бубнова – Галеркина в задачах флаттера во многом зависят от выбора базисных функций. Метод динамической жесткости (DSM), который развивается в последние годы для решения задач колебаний и устойчивости, имеет ряд преимуществ по сравнению с FEM, так как опирается на точное аналитическое решение для структурного элемента. Wittrick и Williams разработали [23] DSM для изотропных и анизотропных прямоугольных пластин в случае шарнирно-опертых противоположных сторон пластины на основе точного решения уравнения колебаний. Существенное обобщение DSM для пластин с произвольными граничными условиями было предложено [24], которое дало возможность для анализа сложных конструкций с элементами в форме пластин при произвольных классических граничных условиях. Langley [25] представил формулы динамической жесткости для подкрепленных оболочек. Liu [26] развил идеи [24], предложив формулировки динамической жесткости подкрепленной пластины произвольного сечения при произвольных граничных условиях. В работе [27] представлено обобщение результатов для теории толстых пластин. Поскольку элементы динамической жесткости могут быть непосредственно объединены при моделировании сложных конструкций, а также обладают преимуществами высокой эффективности и точности в широком диапазоне частот, многие исследователи разработали программы и применили их для решения сложных инженерных задач. Williams, Banerjee et al. в сотрудничестве с NASA разработал BUNVIS-RG для анализа вибрации и потери устойчивости сложных стержневых конструкций. Williams, Kennedy и др. разработали VICONOPT для анализа вибрации и потери устойчивости конструкций из композитных пластин. Исследовательская группа Liu разработала программы DSM при поддержке китайского фонда NSFC, которые применялись для анализа вибрации конструкций мостов, многослойных грунтов и строительных конструкций, вагонов высокоскоростных поездов. Несмотря на значительный прогресс, достигнутый за эти годы, DSM все еще не зарекомендовал себя как достаточно универсальный инструмент, такой как FEM, хотя DSM должным образом признан мощной и точной альтернативой FEM, но, по общему признанию, данный подход на сегодняшний день используется для решения узкого круга задач колебаний. В представленной статье предлагается использовать подход DSM при построении собственных форм колебаний составной пластины для последующего их использования в качестве базисных функций метода Галеркина, тем самым расширяя круг приложений на задачи аэродинамической устойчивости.

About the authors

S. O. Papkov

Sevastopol State University

Yu. I Papkova

Sevastopol State University

V. A Pasechnik

Sevastopol State University

References

  1. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. – М.: Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1961. – 341 с.
  2. Кийко И.А., Алгозин С.Д. Флаттер пластин и оболочек. – М.: Наука, 2006. – 248 с.
  3. Мовчан А.А. О колебаниях пластинки, движущейся в газе // Прикл. математика и механика. – 1957. – Т. 20, вып. 2. – С. 221–222.
  4. Dowell E.H. Aeroelasticity of Plates and Shells. – Springer Science+Business Media B.V. 1975. – 139 p.
  5. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. – М.: Наука, 1967. – 984 с.
  6. Goland M., Luke I.L. An exact solution for two-dimensional linear panel flutter at supersonic speeds // Journal Aeronautic Science. – 1954. – Vol. 21, no. 4. – P. 275–276.
  7. Белубекян М.В., Мартиросян С.Р. Об одной задаче динамической устойчивости прямоугольной пластины в сверхзвуковом потоке газа // Доклады национальной академии наук Армении. – 2014. – Т. 114, № 3. – С. 213–221.
  8. Olson M.D. Some Flutter Solutions Using Finite Element // AIAA Journal. – 1970. – Vol. 8(4). – P. 747–752.
  9. Yang T., Han A.D. Flutter of thermally buckled finite element panels // AIAA Journal. – 1976. – Vol. 14(7). – P. 975–977.
  10. Prakash T., Ganapathi M. Supersonic flutter characteristics of functionally graded at panels including thermal effects // Composite Structures. – 2006. – Vol. 72(1). – P. 10–18.
  11. Librescu L., Marzocca P., Silva W.A. Supersonic/hypersonic flutter and post flutter of geometrically imperfect circular cylindrical panels // Journal Spacecraft Rockets. – 2002. – Vol. 39(5). – P. 802–812.
  12. Singha M.K., Mandal M. Supersonic flutter characteristics of composite cylindrical panels // Composite Structures. – 2008. – Vol. 82. – P. 295–301
  13. Bismarck-Nasr M.N., Bones C.A. Damping effects in nonlinear panel flutter // AIAA Journal. – 2000. – Vol. 38. – P. 711–713.
  14. Song Z.G., Li F.M. Aerothermoelastic analysis of nonlinear composite laminated panel with aerodynamic heating in hypersonic flow // Composites. – 2014. – Part B. – P. 56 830–839.
  15. Analysis of Supersonic and Transonic Panel Flutter Using a Fluid-Structure Coupling Algorithm / G. Mei, J. Zhang, G. Xi, X. Sun, J. Chen // Journal Vibration and Acousic. 2014. – Vol. 136(3). – 031013.
  16. Анализ флаттерных характеристик на основе обобщенных параметров собственных тонов колебаний / К.И. Баринова, А.В. Долгополов О.А., Орлова, М.А. Пронин // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2021. – № 1. – С. 95–102.
  17. Алгозин С.Д., Кийко И.А. Численное исследование флаттера прямоугольной пластины // Прикладная механика и техническая физика. – 2003. Т. 44, № 4 – С. 35–44.
  18. Кудрявцев Б.Ю. Флаттер пластины переменной толщины // Известия МГТУ МАМИ. – 2012. – № 1 (13). – С. 249–255.
  19. Валяев В.И. Об определении границы панельного флаттера вертикальной стенки топливного бака методом заданных форм // Ученые записки ЦАГИ. – 1983. – Т. XIV, № 5. – С. 114–118.
  20. Beloiu D.M., Ibrahim R.A., Pettit C.L. Influence of boundary conditions relaxation on panel flutter with compressive in-plane load // Journal of Fluids and Structures. – 2005. – Vol. 21. P. 743–767.
  21. Chen J., La Q.S. Analysis of Flutter and Nonlinear Dynamics of a Composite Laminated Plate // International Journal of Structural Stability and Dynamics. – 2016. – Vol. 16. – 1550019 (20 pages).
  22. Папков С.О. Флаттер защемленной ортотропной прямоугольной пластины // Вычислительная механика сплошных сред. – 2017. – Т. 10, № 4. С. 361–374.
  23. Wittrick W.H., Williams F.W. Buckling and vibration of anisotropic or isotropic plate assemblies under combined loadings // International Journal of Mechanical Sciences. – 1974. – Vol. 16(4). – P. 209–239.
  24. Dynamic stiffness matrix of a rectangular plate for the general case / J.R. Banerjee, S.O. Papkov, X. Liu, D. Kennedy // Journal of Sound and Vibration. – 2015. – Vol. 342. – P. 177–199.
  25. Langley R.S. A dynamic stiffness technique for the vibration analysis of stiffened shell structures // Journal of Sound and Vibration. 1992. – Vol. 156(3). – P. 521–540.
  26. Spectral dynamic stiffness theory for free vibration analysis of plate structures stiffened by beams with arbitrary cross-sections / X. Liu, Y. Li, Y. Lin, J.R. Banerjee // Thin-Walled Structures. 2021. – Vol. 160. – P. 107391.
  27. Папков С.О. Новые аналитические решения для задач колебания толстых пластин // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2019. – № 4. – С. 145–156.
  28. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. – М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит-ры, 1981. – 800 с.
  29. Bismarck-Nasr M.N. Finite element analysis of aeroelasticity of plates and shells // Appl. Mech Rev. – 1992. – Vol. 42, no. 12, part 1. P. 461–482.
  30. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Численно – аналитическое исследование флаттера пластины произвольной формы в плане // Прикл. математика и механика. – 1997. – Т. 60, вып. 1. – С. 171–174.

Statistics

Views

Abstract - 120

PDF (Russian) - 139

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2023 Papkov S.O., Papkova Y.I., Pasechnik V.A.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies