ON THE REDUCIBILITY OF SOLUTIONS FOR THE GENERALIZED YIELD CRITERION TO SOLUTIONS FOR TRESCA’S YIELD CRITERION UNDER AXIAL SYMMETRY

Abstract


Many continuum mechanics models are reduced to simpler models at certain parameter values. However, solutions for the general model may not converge to the corresponding solutions for a simpler model. In the mathematical theory of plasticity, the yield criterion completely determines the material's behavior if the associated plastic flow rule is accepted. In this paper, the reducibility of axisymmetric solutions for the generalized yield criterion to the corresponding solutions for Tresca’s criterion is investigated when the generalized yield condition tends to Tresca’s criterion. It is shown that there is no convergence if the maximum friction law is one of the boundary conditions. In this case, the solutions for both yield criteria are singular. In particular, the quadratic invariant of the strain rate tensor tends to infinity near the friction surface. The strain rate intensity factor controls the magnitude of this invariant in the vicinity of the friction surface. The strain rate intensity factor is involved in some constitutive equations for predicting the evolution of material properties near frictional interfaces in metal forming processes. In this paper, using the solution of a specific boundary value problem, the behavior of this factor is investigated when the generalized yield criterion tends to Tresca’s criterion. It is shown that the strain rate intensity factor continuously changes when the generalized yield criterion deviates from Tresca’s yield criterion. This behavior of the strain rate intensity factor justifies its use in the constitutive equations for the evolution of material properties near friction surfaces.

Full Text

Многие модели механики сплошной среды сводятся к более простым моделям при определенных значениях параметров. Однако решения по общей модели могут не сходиться к соответствующим решениям по более про- стой модели. Публикуемая работа посвящена моделям теории пластичности. Простейшей моделью можно счи- тать модель идеально жесткопластического материала, условие текучести которого не зависит от среднего напряжения. Эта модель изложена в большинстве моно- графий по теории пластичности, например в [1]. Схо- димость решения конкретной краевой задачи по вязко- пластическим моделям к идеально жесткопластическо- му решению изучалась в [2]. Показано, что сходимость зависит от типа вязкопластической модели. В частно- сти, существенное значение имеет напряжение насыще- ния, которое входит в формулировку некоторых вязко- пластических моделей [3–5]. В работе [6] рассматрива- лись модели, основанные на условии текучести Кулона – Мора. Показано, что решение по модели двойного сдвига и вращения [7] сходится к решению по простейшей модели, а решения по модели двойного сдвига [8] и по соосной модели [9; 10] не сходятся. Условие текучести является одним из основных оп- ределяющих уравнений математической теории пла- стичности и полностью определяет поведение материа- ла, если принимается ассоциированный закон пластиче- ского течения. В связи с этим существует большое ко- личество условий текучести для учета особенностей деформирования конкретного материала [1; 11–13]. В частности, обобщенные изотропные условия текуче- сти для пластически несжимаемых материалов предло- жены в [14; 15]. При определенных значениях парамет- ра, входящего в условие [14], оно сводится к условиям Мизеса и Треска [16; 17]. Однако решения по обобщен- ному условию текучести могут не сходиться к соответ- ствующим решениям по условию Треска. В настоящей работе показано, что в случае осесимметричной дефор- мации отсутствие сходимости решений имеет место, если одним из краевых условий является условие мак- симального трения. Условие максимального трения требует, чтобы удельные силы трения были равны пределу текучести при чистом сдвиге, если на поверхности трения реали- зуется режим проскальзывания. Соответствующая по- верхность трения называется поверхностью максималь- ного трения. Решения краевых задач являются сингу- лярными как при применении обобщенного условия текучести [18], так и при применении условия Треска [19]. В частности, квадратичный инвариант тензора скорости деформации стремится к бесконечности при приближении к поверхности максимального трения. Коэффициент при главном сингулярном члене в разложении квадратичного инварианта тензора скорости де- формации в ряд вблизи поверхности трения называется коэффициентом интенсивности скорости деформации. С одной стороны, этот коэффициент контролирует ве- личину квадратичного инварианта тензора скорости деформации в тонком слое вблизи поверхности макси- мального трения. С другой стороны, величина квадра- тичного инварианта тензора скорости деформации во многом контролирует эволюцию свойств материала. В [20] предложен подход к описанию эволюции свойств материала вблизи поверхностей трения на основе коэф- фициента интенсивности скорости деформации. Этот подход позволяет предсказать значительные градиенты свойств материала, которые возникают вблизи поверх- ностей трения при обработке материалов резанием и давлением (например, [21–24]). Используя подход [20] и экспериментальные данные, в [25] получено эмпири- ческое уравнение для твердости поверхностного слоя при обработке давлением алюминиевого сплава 6061. Принимая во внимание отмеченное выше отсутствие сходимости решений по обобщенному условию текуче- сти к соответствующим решениям по условию текучести Треска и использование коэффициента интенсивности скорости деформации в инженерных приложениях, пред- ставляет интерес исследовать поведение этого коэффи- циента при переходе обобщенного условия текучести в условие Треска. В настоящей работе такое исследование выполняется на примере решения краевой задачи, сфор- мулированной в [26]. В этой работе получено решение по условию текучести Треска и показаны возможности практического применения решения. Обобщение реше- ния [26] на условие текучести [14] представлено в [27]. Асимптотический анализ решений, позволяющий опре- делить коэффициент интенсивности скорости деформа- ции, в [26; 27] не проводился.

About the authors

E. A. Lyamina

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics RAS, Samara National Research University

N. V. Kalenova

Moscow Aviation Institute

A. R. Pirumov

Russian Technological University – MIREA

References

  1. Hill R. The Mathematical Theory of plasticity. – Oxford: Clarendon Press, 1950. – 356 p.
  2. Alexandrov S., Miszuris W. The transition of qualitative behaviour between rigid perfectly plastic and viscoplastic solutions // J. Eng. Math. 2016. – Vol. 97. – P. 67–81. doi: 10.1007/s10665-015-9797-7
  3. Dealy J.M., Wissbrun K.F. Melt rheology and its role in plastic processing: theory and applications. – New York: Van Nostrand Reinhold, 1990. – 665 p.
  4. The influence of deformation conditions on the flow of strain rate sensitive materials / J. Sińczak, J. Kusiak, W. Łapkowski, R. Okoń // J. Mater. Process. Technol. – 1992. – Vol. 34. – P. 219–224. doi: 10.1016/0924-0136(92)90110-E
  5. Mitsoulis E., Hatzikiriakos S.G. Capillary extrusion flow of a fluoropolymer melt // Int. J Mater. Form. – 2013. – Vol. 6. – P. 29–40. doi: 10.1007/s12289-011-1062-7
  6. Alexandrov S., Harris D. Comparison of solution behaviour for three models of pressure-dependent plasticity: A simple analytical example // Int. J. Mech. Sci. – 2006. – Vol. 48. – P. 750–762. doi: 10.1016/j.ijmecsci.2006.01.009
  7. Harris D., Grekova E. A hyperbolic well-posed model for the flow of granular materials // Hill J.M., Selvadurai A. (eds) Mathematics and Mechanics of Granular Materials. – Springer, Dordrecht, 2005. – P. 107–135. doi: 10.1007/1-4020-4183-7_7
  8. Spencer A.J.M. A theory of the kinematics of ideal soils under plane strain conditions // J. Mech. Phys. Solids. – 1964. – Vol. 12. – P. 337–351. doi: 10.1016/0022-5096(64)90029-8
  9. Ишлинский А.Ю. О плоском движении песка // Украинский математический журнал. – 1954. – Т. 6, № 4. – С. 430–441.
  10. Ostrowska-Maciejewska J., Harris D. Three-dimensional constitutive equations for rigid/perfectly plastic granular materials // Math. Proc. Camb. Philos. Soc. – 1990. – Vol. 108. – P. 153–169. doi: 10.1017/S0305004100069024
  11. Druyanov B. Technological mechanics of porous bodies. – New-York: Clarendon Press, 1993. – 198 p.
  12. Barlat F., Kuwabara T., Korkolis Y.P. Anisotropic plasticity and application to plane stress // Altenbach H., Öchsner A. (eds) Encyclopedia of Continuum Mechanics. – Springer, Berlin, Heidelberg, 2018. – P. 1–22. doi: 10.1007/978-3-662-53605-6_225-1
  13. Giraldo-Londoño O., Paulino Glaucio H. A unified approach for topology optimization with local stress constraints considering various failure criteria: von Mises, Drucker – Prager, Tresca, Mohr – Coulomb, Bresler – Pister and Willam – Warnke // Proc. R. Soc. A. – 2020. – Vol. 476. – P. 20190861. doi: 10.1098/rspa.2019.0861
  14. Hosford W.F. A generalized isotropic yield criterion // ASME. J. Appl. Mech. – 1972. – Vol. 39, no. 2. – P. 607–609. doi: 10.1115/1.3422732
  15. Billington E.W. Generalized isotropic yield criterion for incompressible materials// Acta Mechanica. – 1988. – Vol. 72. – P. 1–20. doi: 10.1007/BF01176540
  16. Dodd B., Naruse K. Limitations on isotropic yield criteria // Int. J. Mech. Sci. – 1989. Vol. 31, no. 7. – P. 511–519. doi: 10.1016/0020-7403(89)90100-8
  17. Cazacu O. New expressions and calibration strategies for Karafillis and Boyce (1993) yield criterion // Int. J. Solids Struct. – 2020. – Vol. 185–186. – P. 410–422. doi: 10.1016/j.ijsolstr.2019.09.004
  18. Alexandrov S., Richmond O. Singular plastic flow fields near surfaces of maximum friction stress // Int. J. Non-Linear Mech. – 2001. – Vol. 36, no. 1. – P. 1–11. doi: 10.1016/S0020- 7462(99)00075-X
  19. Александров С.Е., Ричмонд О. Асимптотическое по- ведение поля скорости при осесимметричном течении мате- риала, подчиняющегося условию Треска // Докл. РАН. – 1998. – Т. 360, № 4. – С. 480–482.
  20. Гольдштейн Р.В., Александров С.Е. Подход к пред- сказанию формирования микроструктуры материала вблизи поверхностей трения при развитых пластических деформаци- ях // Физ. Мезомех. – 2014. – Т. 17, № 5. – С. 15–20.
  21. Kim Y.-T., Ikeda K. Flow behavior of the billet surface layer in porthole die extrusion of aluminum // Metallurg. Mater. Trans. – 2000. – Vol. 31A. – P. 1635–1643. doi: 10.1007/s11661-000-0173-4
  22. Трунина Т.А., Коковихин Е.А. Формирование мелко- дисперсной структуры в поверхностных слоях стали при комби- нированной обработке с применением гидропрессования // Пробл. Машиностр. Надежн. Машин. – 2008. – № 2. – С. 71–74.
  23. Formation of ultra-fine copper grains in copper-clad aluminum wire / T.T. Sasaki, R.A. Morris, G.B. Thompson, Y. Syarif, D. Fox // Scripta Mater. – 2010. – Vol. 63. – P. 488–491. doi: 10.1016/j.scriptamat.2010.05.010
  24. Interfacial microstructure and mechanical properties of Cu/Al clad sheet fabricated by asymmetrical roll bonding and annealing / X. Li, G. Zu, M. Ding, Y. Mu, P. Wang // Mater. Sci. Technol. – 2011. – Vol. 529A. – P. 485–491. doi: 10.1016/j.msea.2011.09.087
  25. Towards the theoretical/experimental description of the evolution of material properties at frictional interfaces in metal forming processes / S. Alexandrov, Y.-R. Jeng, C.-Y. Kuo, C.-Y. Chen // Trib. Int. – 2022. – Vol. 171. – P. 107518. doi: 10.1016/j.triboint.2022.107518
  26. Spencer A.J.M. A theory of the failure of ductile materials reinforced by elastic fibres // Int. J. Mech. Sci. – 1965. – Vol. 7, no. 3. – P. 197–209. doi: 10.1016/0020-7403(65)90018-4
  27. Alexandrov S., Erisov Y., Grechnikov F. Effect of the yield criterion of matrix on the brittle fracture of fibres in uniaxial tension of composites // Adv. Mater. Sci. Eng. – 2016. – Article 3746161. doi: 10.1155/2016/3746161
  28. Alexandrov S., Mustafa Y. The strain rate intensity factor in the plane strain compression of thin anisotropic metal strip // Meccanica. – 2014. – Vol. 49. – P. 2901–2906. doi: 10.1007/s11012-014-0039-2
  29. Lyamina E. Prediction of a material property gradient near the friction surface in axisymmetric extrusion and drawing // Metals. – 2022. – Vol. 12, no. 8. – Article 1310. doi: 10.3390/met12081310
  30. Alexandrov S. The strain rate intensity factor and its applications: a review // Materials Science Forum. – 2009. – Vol. 623. – P. 1–20. doi: 10.4028/www.scientific.net/MSF.623.1

Statistics

Views

Abstract - 114

PDF (Russian) - 69

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2023 Lyamina E.A., Kalenova N.V., Pirumov A.R.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies