UNSTEADY THERMOELASTIC DIFFUSION VIBRATIONS OF THE BERNOULLI – EULER BEAM UNDER THE ACTION OF A DISTRIBUTED TRANSVERSE LOAD

Abstract


The paper deals with the problem of unsteady vibrations of the Bernoulli – Euler beam, taking into account relaxation of temperature and diffusion processes. The original mathematical model includes a system of equations of non-stationary bending oscilla-tions of the beam taking into account heat and mass transfer, which is obtained from the general model of thermoelastic diffusion for continuum using variational D'Alembert prin-ciple. Based on the obtained equations, the statement of the initial-boundary problem concerning bending of the hinged orthotropic beam, which is under the action of ther-mo-elastic diffusion perturbations distributed on the surface, is formulated. Solutions of the problem of unsteady thermoelastic diffusion vibrations of the beam are sought in integral form. The kernels of integral representations are Green’s functions, for finding of which decompositions into trigonometric Fourier series and Laplace trans-formation over time are used. Laplace transformants of Green's functions are represented through the rational functions of Laplace transformation parameter. Transition into the space of the originals is carried out analytically using deductions and tables of opera-tional calculus. Analytical expressions for Green functions of the problem under consid-eration are obtained. On the example of a simple supported three-component beam made of an alloy of zinc, copper, and aluminum, which is under the influence of mechanical load distributed along the length, the interaction of mechanical, temperature and diffusion fields is inves-tigated. The influence of relaxation effects on the kinetics of heat and mass transfer is analyzed. The solution is presented in analytical form and in the form of graphs of the dependence of the desired fields of movement, temperature increments, and increments of concentration of medium components on time and coordinates. In conclusion, the main conclusions concerning influence of field connectivity and relaxation effects on the stress-strain state and heat and mass transfer in the bendable beam are given.

Full Text

При проектировании конструкций и их отдельных элементов, работающих в условиях многофакторных внешних воздействий, важнейшим этапом в развитии физических представлений о прочности материалов является учет влияния теплового и диффузионного дви-жения частиц в твердом теле на процесс деформирова-ния. О том, что тела при нагреве расширяются, а при резком деформировании – нагреваются, известно с глу-бокой древности, но содержательная теория темпера-турных напряжениях сформировалась только ко второй половине XIX в. [1]. Первые экспериментальные данные о взаимодей-ствии механического и диффузионного полей появились в 30-х гг. ХХ в. [2]. На основе продолженных исследо-ваний [3; 4] в 60-х гг. ХХ в. была создана математиче-ская теория термомеханодиффузионных процессов [5–11]. Данные исследования не потеряли актуальности и в настоящее время, о чем свидетельствует большое ко-личество работ как российских, так и зарубежных уче-ных. Говоря о расчете тонкостенных элементов кон-струкций, в первую очередь следует отметить работы [12–23], в которых рассматриваются различные вари-анты постановок задач термомеханодиффузии для ба-лок, пластин и оболочек. В публикациях [15; 18] исследуются квазистатиче-ские термомеханодиффузионные процессы, что являет-ся полезным при расчете установившихся режимов ра-боты технических систем. Для анализа кратковремен-ных импульсных воздействий необходимо использовать нестационарные модели, которые должны описывать также и релаксационные диффузионные эффекты [20–23], обусловленные конечной скоростью распростра-нения диффузионных потоков. Последнее учитывается введением релаксационных членов в законы Фурье и Фика, что приводит к появлению в уравнениях тепло-проводности и диффузии дополнительных слагаемых с производными высших порядков по времени. В настоящее время существует много моделей, обобщающих классическую модель термомеханодиф-фузии. Подробнее с этим вопросом можно ознакомиться в работах [24–31], а в качестве основного вывода здесь можно сказать следующее: релаксационные эффекты, описываемые различными моделями, проявляются только на сравнительно небольших промежутках вре-мени и в дальнейшем затухают. При решении связанных задач одной из основных трудностей является проблема обращения преобразо-вания Лапласа, которое лежит в основе аналитических методов решения нестационарных задач. В известных публикациях, посвященных задачам термомеханодиф-фузии, для обращения преобразования Лапласа ис-пользуется в основном метод Дурбина и его модифика-ции [30] или квадратурные формулы на основе ортого-нальных многочленов [19] или сумм Римана [21; 26]. Достаточно полно алгоритмы, использующиеся для приближенного обращения преобразования Лапласа, изложены в работе [32]. Однако изображения, получа-ющиеся при решении конкретных задач, являются настолько громоздкими, что практически проверить возможность применения того или иного метода для нахождения их оригиналов не всегда представляется возможным. В данной работе предложена модель нестационар-ных термомеханодиффузионных колебаний балки, ос-нованная на гипотезах Бернулли – Эйлера [33], и пред-ложен метод решения, основанный на использовании преобразования Лапласа и разложения в ряды Фурье. Данный подход позволяет существенно упростить про-блему обращения преобразования Лапласа, сведя ее к обращению рациональных функций с помощью выче-тов и таблиц операционного исчисления.

About the authors

A. V. Zemskov

Moscow Aviation Institute (National Research University), Research Institute of Mechanics Lomonosov Moscow State University

Van Hao Le

Moscow Aviation Institute (National Research University)

References

  1. Maxwell J.C. On stresses in rarefied gases arising from inequalities of temperature // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. – 1879. – Vol. 170. – P. 231–256.
  2. Горский В.С. Исследование упругого последействия в сплаве Сu-Au с упорядоченной решеткой // Журнал экс-периментальной и теоретической физики. – 1936. – Т. 6, № 3. – С. 272–276.
  3. Nachtrieb N.H., Handler G.S A relaxed vacancy model for diffusion incrystalline metals // Acta Metallurgica. – 1954. – Vol. 2, no. 6. – P. 797–802.
  4. Petit J., Nachtrieb N.H. Self-Diffusion in Liquid Gallium // Journal of Chemical Physics. – 1956. – Vol. 24. – P. 1027.
  5. Prussin S. Generation and Distribution of Dislocations by Solute Diffusion // J. Appl. Phys. – 1961. – Vol. 32. – P. 1876–1881.
  6. Подстригач Я.С., Павлина B.C. Дифференциальные уравнения термодинамических процессов в N-компонентном твёрдом растворе // Физико-химическая механика материалов. – 1965. – № 4. – С. 383–389.
  7. Еремеев В.С. Диффузия и напряжения. – М.: Энерго-атомиздат, 1984. – 182 с.
  8. Князева А.Г. Введение в термодинамику необрати-мых процессов. – Томск: Изд-во «Иван Федоров», 2014. – 172 с.
  9. Индейцев Д.А., Мочалова Ю.А. Диффузия примеси в материале под действием вибрационных нагрузок // Чебы-шевский сборник. – 2017. – Т. 18, № 3. – С. 292–305.
  10. Парфенова Е.С., Князева А.Г. Влияние параметров химической реакции на взаимодействие тепловых, диффу-зионных и механических волн в условиях обработки по-верхности потоком частиц // Вычислительная механика сплошных сред. – 2021. – Т. 14, № 1. – С. 77–90.
  11. Lata P. Time harmonic interactions in fractional thermoe-lastic diffusive thick circular plate // Coupled Systems Mechan-ics. – 2019. – Vol. 8, no. 1. – P. 39–53.
  12. Швец Р.Н., Флячок В.М. Вариационный подход к решению динамических задач механотермодиффузии ани-зотропных оболочек // Мат. физ. и нелинейная механика. – 1991. – № 16. – C. 39–43.
  13. Швец Р.Н., Флячок В.М. Уравнения механодиффу-зии анизотропных оболочек с учетом поперечных дефор-маций // Математические методы и физико-механические поля. – 1984. – Вып. 20. – С. 54–61.
  14. Aouadi M., Copetti M.I.M. Analytical and numerical re-sults for a dynamic contact problem with two stops in thermoe-lastic diffusion theory // ZAMM Z. Angew. Math. Mech. – 2015. – P. 1–24. doi: 10.1002/zamm.201400285
  15. Copetti M.I.M., Aouadi M. A quasi-static contact prob-lem in thermoviscoelastic diffusion theory // Applied Numerical Mathematics. – 2016. – Vol. 109. – P. 157–183.
  16. Aouadi M., Miranville A. Smooth attractor for a nonline-ar thermoelastic diffusion thin plate based on Gurtin–Pipkin’s model // Asymptotic Analysis. – 2015. – Vol. 95. – P. 129–160.
  17. Aouadi M. On thermoelastic diffusion thin plate theory // Appl. Math. Mech.-Engl. Ed. – 2015. – Vol. 3, no. 5. – P. 619–632.
  18. Aouadi M., Miranville A. Quasi-stability and global at-tractor in nonlinear thermoelastic diffusion plate with memory // Evolution equations and control theory. – 2015. – Vol. 4, no. 3. – P. 241–263.
  19. Bhattacharya D., Kanoria M. The influence of two tem-perature generalized thermoelastic diffusion inside a spherical shell // International Journal of Engineering and Technical Re-search (IJETR). – 2014. – Vol. 2, iss. 5. – P. 151–159.
  20. Multiple fields coupled elastic flexural waves in the ther-moelastic semiconductor microbeam with consideration of small scale effects / M. Huang, P. Wei, L. Zhao, Y. Li // Com-posite Structures. – 2021. – Vol. 270 – P. 114104. doi: 10.1016/j.compstruct.2021.114104.
  21. Kumar R., Devi S., Sharma V. Resonance of Nanoscale Beam due to Various Sources in Modified Couple Stress Thermoelastic Diffusion with Phase Lags // Mechanics and Mechanical Engineering. – 2019. – Vol. 23. – P. 36–49.
  22. Tarlakovskii D.V., Zemskov A.V. An Elastodiffusive Orthotropic Euler-Bernoulli Beam with Considering Diffusion Flux Relaxation // Math. Comput. Appl. – 2019. – Vol. 24, iss. 1. – 23. doi: 10.3390/mca24010023
  23. Zemskov A.V., Okonechnikov A.S., Tarlakovskii D.V. Unsteady elastic-diffusion oscillations of a simply supported Euler-Bernoulli beam under the distributed transverse load ac-tion // Multiscale Solid Mechanics. Advanced Structured Mate-rials. – 2021. – Vol. 141. – P. 487–499.
  24. Кумар Р., Каушал С., Викрам. Отклик нелокальных и фазовых запаздываний на нагружения линейного типа в теориях термоупругих моментных напряжений с учетом диффузии // Изв. РАН. МТТ. – 2021. – № 4. – С. 151–164.
  25. Комар Л.А., Свистков А.Л. Термодинамика упругого материала с релаксирующим потоком тепла // Изв. РАН. МТТ. – 2020. – № 4. – С. 152–157.
  26. Kumar R., Devi S. Deformation of modified couple stress thermoelastic diffusion in a thick circular plate due to heat sources // CMST. – 2019. – Vol. 25, no. 4. – P. 167–176.
  27. Zenkour A.M. Thermoelastic diffusion problem for a half-space due to a refined dual-phase-lag Green-Naghdi model // Journal of Ocean Engineering and Science. – 2020. – Vol. 5, no. 3. – P. 214–222. doi: 10.1016/j.joes.2019.12.001
  28. Ailawaliar P., Budhiraja S. Dynamic Problem in Ther-moelastic Solid Using Dual-Phase-Lag Model with Internal Heat Source // J. of Math. Sci. and App. – 2014. – Vol. 2, no. 1. – P. 10–16.
  29. Формалев В.Ф. Теплоперенос в анизотропных твер-дых телах. Численные методы, тепловые волны, обратные задачи. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2015.
  30. Abbas A.I. The effect of thermal source with mass diffu-sion in a transversely isotropic thermoelastic infinite medium // Journal of measurements in engineering. – 2014. – Vol. 2, no. 4. – P. 175–184.
  31. Davydov S.A., Zemskov A.V. Thermoelastic Diffusion Phase-Lag Model for a Layer with Internal Heat and Mass Sources // International Journal of Heat and Mass Transfer. – 2022. – Vol. 183, part C. – P. 122213. doi: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2021.122213
  32. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа (справочная книга). – М.: Главная редакция физи-ко-математической литературы издательства «Наука», 1974. – 224 с.
  33. Земсков А.В., Ле Ван Хао. Модель нестационарного изгиба балки Бернулли – Эйлера с учетом тепломассопере-но¬са // Механика композиционных материалов и конструк-ций, сложных и гетерогенных сред: сборник трудов 11-й Всероссийской научной конференции с международным участием. Москва, 23 – 25 ноября 2021 г. – М.: ООО «Сам Полиграфист», 2021. – С. 280–289.
  34. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по опера-ционному исчислению. – М.: Высшая школа, 1965. – 586 с.
  35. Физические величины: cправочник / А.П. Бабичев, Н.А. Бабушкина, А.М. Братковский [и др.]; под общ. ред. И.С. Григорьева, И.З. Мелихова. – М.: Энергоатомиздат, 1991. – 1232 с.

Statistics

Views

Abstract - 271

PDF (Russian) - 104

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2023 Zemskov A.V., Le V.H.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies