NATURAL VIBRATIONS AND HYDROELASTIC STABILITY OF A PLATE WITH A PIEZOELECTRIC ELEMENT CONNECTED TO AN EXTERNAL RL-CIRCUIT

Abstract


The possibility of passive damping of harmonic vibrations and controlling the stabil-ity boundary of the plate interacting with the flowing fluid is investigated. The key idea behind the applied vibration control method is to connect the piezoelectric element lo-cated on the surface of the structure to an external shunt circuit. The selection of parame-ters for such circuit, providing the highest rate of vibration damping or the maximum change in the critical velocity of the fluid flow, is performed by solving a series of eigen-value problems. Two mathematical formulations are considered. The first formulation is based on the three-dimensional equations of the linear theory of piezoelasticity, and the second one is a simplification of these equations with the aim of using them in conjunc-tion with the theory of thin plates. The dynamics of an ideal fluid in both cases is de-scribed by a wave equation formulated for the perturbation velocity potential. Together with the impermeability condition and the boundary conditions it is transformed to the weak form. The hydrodynamic pressure is calculated by the linearized Bernoulli formula. The developed finite-element algorithms are verified and their computational efficiency is compared. A change in the complex eigenvalues of the electromechanical system is ana-lyzed depending on the resistance and inductance of the electric circuit connected to the piezoelectric element. The values of these parameters providing the best damping of resonant vibrations of a rectangular plate interacting with the flowing liquid have been selected based on the solution of the optimization problem. The numerical studies have shown that the selected values lead to a smaller change in the frequency spectrum of the original system and provide a higher rate of vibration damping as compared to the val-ues found by the known analytical expressions. The numerical investigation has been performed for two variants of boundary conditions set at the edges of the structure. It is demonstrated that the use of a passive electrical circuit cannot affect the loss of stability by divergence, but is able to change the critical flutter velocity by a few percent

Full Text

Пластины нередко являются важными компонента-ми сложных конструкций, которые используются в условиях высоких эксплуатационных нагрузок, вибра-ций или сейсмических воздействий. Колебания, пред-ставляющие опасность для тонкостенных тел, часто возникают при их взаимодействии с текущей или непо-движной жидкостью. Наиболее распространёнными примерами являются: хранилища технологических и химически агрессивных жидкостей, находящиеся в зо-нах с повышенной сейсмической активностью; гибкие тонкостенные трубки, использующиеся в нефтедобы-вающей и авиационной промышленностях; пакеты пла-стин в охладителях АЭС и теплообменниках различных энергетических установок; трубы теплоносителя. Для предотвращения возникновения колебаний большой амплитуды во время резонанса или флаттера необхо-димо не только осуществлять мониторинг текущего со-стояния критически важного элемента, но и иметь воз-можность управлять протекающими в нём динамиче-скими процессами. Это позволит предотвращать ава-рийные ситуации, вызывающие мгновенное или уста-лостное разрушение. Одним из способов демпфирова-ния колебаний и вибраций является использование пье-зоэлектрических элементов [1]. Основным преимуще-ством такого подхода является возможность управле-ния динамическим поведением конструкций, находя-щихся в труднодоступных местах, ограниченном про-странстве или под водой [2]. Традиционно выделяют два основных способа управления опасными колебаниями различной приро-ды: активный и пассивный. В первом случае использу-ется система, состоящая из сенсора и актуатора [3]. Один из них или оба могут быть выполнены из пьезо-электрического материала, в том числе отечественного производства [4; 5]. Сенсор передаёт показания на кон-троллер, который вырабатывает управляющий сигнал и подаёт его на актуатор через усилитель. Управляю-щее воздействие рассчитывается таким образом, чтобы актуатор компенсировал и максимально снижал неже-лательные колебания. Эффективность такой системы характеризуется отношением амплитуд вынужденных установившихся колебаний до и после подавления или скоростью затухания переходных процессов. В литературе представлены работы, посвящённые ак-тивному способу управления колебаниями тонких пла-стин [6–9] и оболочек [10–12], взаимодействующих с акустической средой или жидкостью. При использовании пассивного механизма демпфи-рования к электродированным поверхностям пьезоэле-мента подключается внешняя электрическая цепь, об-ладающая импедансом [13–15]. Подбирая его величи-ну, можно добиться существенного снижения амплиту-ды при резонансе, а также увеличения скорости зату-хания свободных колебаний на требуемой моде [15–20]. Данный метод хорошо зарекомендовал себя на практике, особенно в тех случаях, когда демпфирова-ние колебаний осуществляется в воздушной среде. Впо-следствии это побудило некоторых авторов использо-вать его для подавления шума подводных объектов или колебаний конструкций, взаимодействующих с жидко-стью [21–26]. Основная трудность, возникающая при использовании техники пассивного демпфирования, связана с определением параметров электрической це-пи. В ряде случаев, когда рассматривается система с одной степенью свободы, стержни или балки, возможно получение аналитических формул [15–18; 27; 28]. Здесь широкое распространение получил подход, ос-нованный на анализе передаточной функции системы. В зависимости от способа её построения и выбора кри-терия оптимизации оптимальные параметры для одной и той же электрической цепи могут принимать различ-ные значения. В задачах пьезоупругости со сложной геометрией, в том числе представляющих реальный практический интерес, основным инструментом исследователей яв-ляются методы конечных [29–32] и граничных [33; 34] элементов. Уже на начало XXI в. число работ с их ис-пользованием превышало тысячу, о чём свидетель-ствуют опубликованные в то время обзоры [29–31]. В [30] систематизировано более 35 видов конечных эле-ментов, предназначенных для моделирования пьезо-электрических тел, оболочек, пластин и балок. Инфор-мация наглядно представлена в виде рисунков и таблиц с указанием особенностей используемых постановок и может быть использована при проектировании и расчё-те smart-систем различной конфигурации. При необхо-димости сохранения компромисса между временем вы-числений и точностью получаемых результатов при анализе слоистых пьезоэлектрических пластин и обо-лочек двойной кривизны в рамках трёхмерной поста-новки следует применять более современные конечные элементы [35–37]. Они не подвержены проблеме сдви-гового запирания, обладают хорошей сходимостью на грубой сетке, а по производительности превосходят свои аналоги в коммерческих программных продуктах ANSYS [35] и ABAQUS [36] за счёт меньшего количе-ства неизвестных в решаемой системе уравнений. Кон-курентоспособно выглядит на фоне зарубежных анало-гов отечественный комплекс для компьютерного дизай-на композитов и активных материалов ACELAN-COMPOS [38–41]. В нём также имеются оболочечные пьезо- и магнитоэлектрические конечные элементы, которые автоматически размещаются на межфазных границах представительного объёма с целью имитации поверхностных эффектов для наноразмерных включе-ний или пор. С его помощью определены эффективные характеристики различных композитных материалов на основе пьезокерамики: пористых [38], с включения-ми из α-корунда (α-Al2O3) [39], с неоднородной поляри-зацией [40] и др. Программный комплекс позволяет ре-шать задачи на собственные значения с помощью ме-тода Ланцоша. Некоторые аспекты его численной реа-лизации для разреженных матриц большой размерно-сти и верификация приведены в статье [42]. На сегодняшний день коммерческое программное обеспечение позволяет решать нестационарные и гар-монические задачи пьезоупругости, в том числе и при наличии в модели внешней электрической цепи произ-вольной конфигурации [20; 43–45], однако для задач на собственные значения такая возможность отсутствует. Между тем в статьях [46–48] отмечалось, что эффек-тивным инструментом при построении алгоритмов для определения оптимальных параметров шунтирующей цепи является модальный анализ. Он позволяет полу-чить в явном виде спектр собственных частот и соот-ветствующих им декрементов колебаний вне зависимо-сти от вида возбуждающего воздействия. В большин-стве конечно-элементных работ подбор параметров электрической цепи, обеспечивающих наилучшее демпфирование заданной моды колебаний конструк-ции, осуществляется с помощью предложенных в [15] аналитических выражений. Несмотря на то, что найденные с их помощью значения не всегда являются оптимальными [47], для разреженного спектра низких частот они дают достоверное приближение. С практи-ческой точки зрения этого оказывается достаточно, потому что точность конечно-элементных расчётов зависит от множества факторов (характеристики мате-риала, корректность задания граничных условий и т.д.). В случае неподвижной жидкости или её отсутствия возможно заменить моделируемую систему эквива-лентным электрическим аналогом [49–51] или приме-нить технологию снижения размерности на основе раз-ложения движения по собственным формам колебаний конструкции [52; 53]. Использование данных методик существенно сокращает время расчёта, но их реализа-ция при взаимодействии конструкции с текущей жидко-стью весьма затруднительна. Отдельно отметим статьи, где с помощью метода конечных элементов исследуются электроупругие пла-стины и оболочки, взаимодействующие с неподвижной [6; 11; 23; 25; 54–58] и текущей [12; 24; 59] жидкостью. Из приведённых публикаций только работа [24] посвя-щена пассивному демпфированию колебаний кон-струкции, взаимодействующей с потоком жидкости. В ней рассматривается морская подъёмная поверхность в виде пластины, которая является упрощённым анало-гом подводного крыла, стабилизатора, руля направле-ния и т.п. Проведённые эксперименты показали, что её собственные частоты очень слабо зависят от числа Рейнольдса. Это позволило авторам в конечно-эле¬мент-ных расчётах использовать модель неподвижной аку-стической среды. Подбор параметров электрической RL-цепи, шунтирующей пьезоэлементы, осуществлялся по формулам [15]. Представленные результаты показали эффектив-ность предложенного способа, но его применение в случае зависимости собственных частот колебаний пластины от скорости течения жидкости или при нали-чии в системе сильного механизма гидродинамического демпфирования не столь очевидно. В связи с этим акту-альной является разработка инструмента для подбора параметров пассивной электрической цепи, обеспечи-вающих подавление гармонических колебаний кон-струкции, взаимодействующей с текущей жидкостью.

About the authors

S. V. Lekomtsev

Institute of Continuous Media Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences

V. P. Matveenko

Institute of Continuous Media Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences

A. N. Senin

Institute of Continuous Media Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences

References

  1. Fleming A.J., Moheimani S.O.R. Piezoelectric trans-ducers for vibration control and damping, 1st ed. – London: Springer, 2006. – XVI+271 p.
  2. A review of PZT patches applications in submerged systems / A. Presas [et al.] // Sensors. – 2018. – Vol. 18, no. 7. – 2251. doi: 10.3390/s18072251
  3. Fuller R.C., Elliott J.S., Nelson A.P. Active control of vibration, 1st ed. – London: Academic Press, 1996. – 332 p
  4. Shivashankar P., Gopalakrishnan S. Review on the use of piezoelectric materials for active vibration, noise, and flow control // Smart Mater. Struct. – 2020. – Vol. 29. – P. 053001. doi: 10.1088/1361-665X/ab7541
  5. Дайнеко А.В., Никифоров В.Г. Обзор состояния и перспектив развития и применения отечественных много-слойных пьезоактюаторов для ракетно-космической тех-ники и наземной космической инфраструктуры // Нано- и микросистемная техника. – 2022. – Т. 24, № 6. – С. 307–322. doi: 10.17587/nmst.24.307-322
  6. Li S., Zhao D. Numerical simulation of active control of structural vibration and acoustic radiation of a fluid-loaded laminated plate // J. Sound Vib. – 2004. – Vol. 272, no. 1–2. – P. 109–124. doi: 10.1016/S0022-460X(03)00321-3
  7. Carra S., Amabili M., Ohayon R. Broadband active vi-bration control of a rectangular flexible wall of an empty and a water-filled tank // J. Intell. Mater. Syst. Struct. – 2007. – Vol. 18, no. 7. – P. 637–651. doi: 10.1177/1045389X06068064
  8. Li S. Active modal control simulation of vibro-acoustic response of a fluid-loaded plate // J. Sound Vib. – 2011. – Vol. 330, no. 23. – P. 5545–5557. doi: 10.1016/j.jsv.2011.07.001
  9. Kwak M.K., Yang D.-H. Dynamic modelling and ac-tive vibration control of a submerged rectangular plate equipped with piezoelectric sensors and actuators // J. Fluids Struct. – 2015. – Vol. 54. – P. 848–867. doi: 10.1016/j.jfluidstructs.2015.02.001
  10. Kwak M.K., Yang D.-H. Active vibration control of a ring-stiffened cylindrical shell in contact with unbounded ex-ternal fluid and subjected to harmonic disturbance by piezoelec-tric sensor and actuator // J. Sound Vib. – 2013. – Vol. 332, no. 20. – P. 4775–4797. doi: 10.1016/j.jsv.2013.04.014
  11. Ray M.C., Balaji R. Active structural-acoustic control of laminated cylindrical panels using smart damping treatment // Int. J. Mech. Scienc. – 2007. – Vol. 49, no. 9. – P. 1001–1017. doi: 10.1016/j.ijmecsci.2007.02.001
  12. Ray M.C., Reddy J.N. Active damping of laminated cylindrical shells conveying fluid using 1-3 piezoelectric com-posites // Compos. Struct. – 2013. – Vol. 98. – P. 261–271. doi: 10.1016/j.compstruct.2012.09.051
  13. Shunt piezoelectric systems for noise and vibration control: a review / [K. Marakakis et al.] // Front. Built Environ. – 2019. – Vol. 5. – P. 64. doi: 10.3389/fbuil.2019.00064
  14. Gripp J.A.B., Rade D.A. Vibration and noise control using shunted piezoelectric transducers: A review // Mech. Syst. Signal Process. – 2018. – Vol. 112. – P. 359–383. doi: 10.1016/j.ymssp.2018.04.041
  15. Hagood N.W., von Flotow A.H. Damping of structur-al vibrations with piezoelectric materials and passive electrical networks // J. Sound Vib. – 1991. – Vol. 146, no. 2. – P. 243–268. doi: 10.1016/0022-460X(91)90762-9
  16. Wu S.-Y. Piezoelectric shunts with a parallel R-L cir-cuit for structural damping and vibration control // Proc. SPIE. – 1996. – Vol. 2720. – P. 259–269. doi: 10.1117/12.239093
  17. Tuning of a vibration absorber with shunted piezoelec-tric transducers / [O. Heuss et al.] // Arch. Appl. Mech. – 2016. – Vol. 86, no. 12. – P. 1715–1732. doi: 10.1007/s00419-014-0972-5
  18. Piezoelectric vibration damping using resonant shunt circuits: an exact solution / [P. Soltani et al.] // Smart Mater. Struct. – 2014. – Vol. 23, no. 12. – 125014. doi: 10.1088/0964-1726/23/12/125014
  19. Thomas O., Ducarne J., Deü J.-F. Performance of pie-zoelectric shunts for vibration reduction // Smart Mater. Struct. – 2012. – Vol. 21, no. 1. – P. 015008. doi: 10.1088/0964-1726/21/1/015008
  20. Toftekær J.F., Benjeddou A., Høgsberg J. General numerical implementation of a new piezoelectric shunt tuning method based on the effective electromechanical coupling coef-ficient // Mech. Adv. Mater. Struct. – 2020. – Vol. 27, no. 22. – P. 1908–1922. doi: 10.1080/15376494.2018.1549297
  21. Passive underwater acoustic damping using shunted piezoelectric coatings / [J. Zhang et al.] // Smart Mater. Struct. – 2001. – Vol. 10, no. 2. – P. 414–420. doi: 10.1088/0964-1726/10/2/404
  22. Semi-active control of piezoelectric coating’s underwa-ter sound absorption by combining design of the shunt imped-ances / Y. Sun [et al.] // J. Sound Vib. – 2015. – Vol. 355. – P. 19–38. doi: 10.1016/j.jsv.2015.06.036
  23. Larbi W. Numerical modeling of sound and vibration reduction using viscoelastic materials and shunted piezoelectric patches // Comput. Struct. – 2020. – Vol. 232. – P. 105822. doi: 10.1016/j.compstruc.2017.07.024
  24. Vibration damping of marine lifting surfaces with res-onant piezoelectric shunts / L. Pernod [et al.] // J. Sound Vib. – 2021. – Vol. 496. – P. 115921. doi: 10.1016/j.jsv.2020.115921
  25. Lekomtsev S.V., Oshmarin D.A., Sevodina N.V. An approach to the analysis of hydroelastic vibrations of electro-mechanical systems, based on the solution of the non-classical eigenvalue problem // Mech. Adv. Mater. Struct. – 2021. – Vol. 28, no. 19. – P. 1957–1964. doi: 10.1080/15376494.2020.1716120
  26. Passive suppression of resonance vibrations of a plate and parallel plates assembly, interacting with a fluid / M.A. Iur-lov [et al.] // Int. J. Struct. Stabil. Dynam. – 2022. – Vol. 22, no. 9. – P. 2250101. doi: 10.1142/S0219455422501012
  27. Sales T., Rade D., de Souza L. Passive vibration con-trol of flexible spacecraft using shunted piezoelectric transduc-ers // Aerosp. Sci. Technol. – 2013. – Vol. 29, no. 1. – P. 403–412. doi: 10.1016/j.ast.2013.05.001
  28. Ikegame T., Takagi K., Inoue T. Exact solutions to H∞ and H2 optimizations of passive resonant shunt circuit for elec-tromagnetic or piezoelectric shunt damper // J. Vib. Acoust.- Trans. ASME. – 2019. – Vol. 141, no. 3. – P. 031015. doi: 10.1115/1.4042819
  29. Mackerle J. Smart materials and structures – a finite-element approach: a bibliography (1986–1997) // Modelling Simul. Mater. Sci. Eng. – 1998. – Vol. 6, no. 3. – P. 293–334. doi: 10.1088/0965-0393/6/3/007
  30. Benjeddou A. Advances in piezoelectric finite element modeling of adaptive structural elements: a survey // Comput. Struct. – 2000. – Vol. 76, no. 1. – P. 347–363. doi: 10.1016/S0045-7949(99)00151-0
  31. Mackerle J. Smart materials and structures – a finite el-ement approach – an addendum: a bibliography (1997–2002) // Modelling Simul. Mater. Sci. Eng. – 2003. – Vol. 11, no. 5. – P. 707–744. doi: 10.1088/0965-0393/11/5/302
  32. Generalized multiscale finite element method for piezo-electric problem in heterogeneous media / D. Ammosov [et al.] // // Eng. Anal. Bound. Elem. – 2022. – Vol. 135. – P. 12–25. doi: 10.1016/j.enganabound.2021.09.014
  33. Kögl M., Gaul L. A boundary element method for transient piezoelectric analysis // Eng. Anal. Bound. Elem. – 2000. – Vol. 24, no. 7–8. – P. 591–598. doi: 10.1016/S0955-7997(00)00039-4
  34. Wang G., Guo F. A stochastic boundary element method for piezoelectric problems // Eng. Anal. Bound. Elem. – 2018. – Vol. 95. – P. 248–254. doi: 10.1016/j.enganabound.2018.08.002
  35. Kulikov G.M., Plotnikova S.V., Glebov A.O. As-sessment of nonlinear exact geometry sampling surfaces solid-shell elements and ANSYS solid elements for 3D stress analy-sis of piezoelectric shell structures // Int. J. Numer. Methods Eng. – 2020. – Vol. 121. – P. 3795–3823. doi: 10.1002/nme.6382
  36. Multi-layered plate finite element models with node-dependent kinematics for smart structures with piezoelectric components / G. Li [et al.] // Chinese J. Aeron. – 2021. – Vol. 34, no. 8. – P. 164–175. doi: 10.1016/j.cja.2021.01.005
  37. Kulikov G.M., Plotnikova S.V. Exact geometry SaS-based solid–shell element for coupled thermoelectroelastic analysis of smart structures with temperature-dependent mate-rial properties // Acta Mech. – 2023. – Vol. 234. – P. 163–189. doi: 10.1007/s00707-021-03086-2
  38. Models of porous piezocomposites with 3-3 connectiv-ity type in ACELAN finite element package / A.B. Kudimova [et al.] // Mater. Phys. Mech. – 2018. – Vol. 37, no. 1. – P. 1624. doi: 10.18720/MPM.3712018_3
  39. Finite element homogenization models of bulk mixed piezocomposites with granular elastic inclusions in ACELAN package / A.B. Kudimova [et al.] // Mater. Phys. Mech. – 2018. – Vol. 37, no. 1. – P. 2533. doi: 10.18720/MPM.3712018_4
  40. Homogenization of piezoelectric composites with in-ternal structure and inhomogeneous polarization in ACELAN-COMPOS finite element package / T.E. Gerasimenko [et al.] // Advanced Structured Materials. Wave Dynamics, Mechanics and Physics of Microstructured Metamaterials: Theoretical and Experimental Methods / Sumbatyan M., eds. – Cham: Spring-er, 2019. – Vol. 109. – P. 113131. doi: 10.1007/978-3-030-17470-5_8
  41. Nasedkin A.V. Finite element modelling of active composite materials in ACELAN-COMPOS package // Ad-vanced Materials. Springer Proceedings in Materials / Parinov I., Chang SH., Long B., eds. – Cham: Springer, 2020. – Vol. 6. – P. 311–323. doi: 10.1007/978-3-030-45120-2_26
  42. The numerical solution of large-scale generalized ei-genvalue problems arising from finite-element modeling of electroelastic materials / T. Martynova [et al.] // Symmetry. – 2023. – Vol. 15, no. 1. – P. 171. doi: 10.3390/sym15010171
  43. Задача о собственных колебаниях электровязко-упругих тел с внешними электрическими цепями и конеч-но-элементные соотношения для ее численной реализации / В.П. Матвеенко [и др.] // Вычислительная механика сплошных сред. – 2016. – T. 9, № 4. – С. 476–485. doi: 10.7242/1999-6691/2016.9.4.40
  44. Шорр Б.Ф., Бортников А.Д. Применение пьезо-элементов для активного гашения резонансных колебаний лопаток турбомашин // Авиационные двигатели. – 2020. – № 4. – С. 33–42. doi: 10.54349/26586061_2020_4_33
  45. ANSYS Inc. Release 2022 R1 Documentation. – Can-onsburg, 2022.
  46. Вариант мультимодального демпфирования коле-баний электроупругих конструкций за счет соответствую-щего подбора параметров внешней электрической цепи / Д.А. Ошмарин [и др.] // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2016. – Т. 20, № 3. – С. 475–495. doi: 10.14498/vsgtu1509
  47. An approach to determination of shunt circuits parame-ters for damping vibrations / V.P. Matveenko [et al.] // Int. J. Smart Nano Mater. – 2018. – Vol. 9, no. 2. – P. 135–149. doi: 10.1080/19475411.2018.1461144
  48. Algorithm for solving problems related to the natural vibrations of electro-viscoelastic structures with shunt circuits using ANSYS data / N. Iurlova [et al.] // Int. J. Smart Nano Mater. – 2019. – Vol. 10, no. 2. – P. 156–176. doi: 10.1080/19475411.2018.1542356
  49. Sherrit S. An accurate equivalent circuit for the unload-ed piezoelectric vibrator in the thickness mode // J. of Phys. D: Appl. Phys. – 1997. – Vol. 30, no. 16. – P. 2354–2363. doi: 10.1088/0022-3727/30/16/014
  50. Решение задачи о собственных колебаниях элект-роупругих тел с внешними электрическими цепями на ос-нове их электрического аналога / М.А. Юрлов [и др.] // Вестник ПНИПУ. Механика. – 2018. – № 4. – С. 266–277. doi: 10.15593/perm.mech/2018.4.24
  51. Electrical analogs of curved beams and application to piezoelectric network damping / R. Darleux [et al.] // Math. Mech. Solids. – 2022. – Vol. 27, no. 4. – P. 578–601. doi: 10.1177/10812865211027622
  52. Thomas O., Deü J.-F., Ducarne J. Vibrations of an elastic structure with shunted piezoelectric patches: efficient fi-nite element formulation and electromechanical coupling coeffi-cients // Int. J. Numer. Meth. Engng. – 2009. – Vol. 80, no. 2. – P. 235–268. doi: 10.1002/nme.2632
  53. Hoareau C., Deü J.-F., Ohayon R. Construction of re-duced order operators for hydroelastic vibrations of prestressed liquid–structure systems using separated parameters decompo-sition // Comput. Meth. Appl. Mech. Engn. – 2022. – Vol. 402. – P. 115406. doi: 10.1016/j.cma.2022.115406
  54. Kaljevic I., Saravanos D.A. Steady-state response of acoustic cavities bounded by piezoelectric composite shell structures // J. Sound Vib. – 1997. – Vol. 204, no. 3. – P. 459–476. doi: 10.1006/jsvi.1996.0911
  55. Блочные схемы метода конечных элементов для динамических задач акустоэлектроупругости / А.В. Бело-конь [и др.] // ПММ. – 2000. – Т. 64, № 3. – С. 381–393.
  56. Larbi W., Deü J.-F., Ohayon R. Vibration of axisym-metric composite piezoelectric shells coupled with internal fluid // Int. J. Numer. Meth. Engng. – 2007. – Vol. 71, no. 12. – P. 1412–1435. doi: 10.1002/nme.1987
  57. Deü J.-F., Larbi W., Ohayon R. Piezoelectric structural acoustic problems: Symmetric variational formulations and fi-nite element results // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. – 2008. – Vol. 197, no. 19. – P. 1715–1724. doi: 10.1016/j.cma.2007.04.014
  58. Larbi W., Deü J.-F., Ohayon R. Finite element formu-lation of smart piezoelectric composite plates coupled with acoustic fluid // Compos. Struct. – 2012. – Vol. 94, no. 2. – P. 501–509. doi: 10.1016/j.compstruct.2011.08.010
  59. Бочкарев С.А., Лекомцев С.В. Гидроупругая устойчивость коаксиальных цилиндрических оболочек, выполненных из пьезоэлектрического материала // Вестник ПНИПУ. Механика. – 2019. – № 2. – С. 35–48. doi: 10.15593/perm.mech/2019.2.04
  60. Ильгамов М.А. Колебания упругих оболочек, со-держащих жидкость и газ. – М.: Наука, 1969. – 182 с.
  61. Бочкарёв С.А., Лекомцев С.В., Матвеенко В.П. Гидроупругая устойчивость прямоугольной пластины, взаимодействующей со слоем текущей идеальной жидко-сти // Изв. РАН. МЖГ. – 2016. – № 6. – С. 108–120. doi: 10.7868/S0568528116060049
  62. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупру-гость пьезоэлектрических и электропроводных тел. – М.: Наука, 1988. – 472 с.
  63. IEEE Standard on Piezoelectricity, ANSI/IEEE Std176-1987. – New York: IEEE, 1988. doi: 10.1109/IEEESTD.1988.79638
  64. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Меха-ника связанных полей в элементах конструкций. Т. 5. Электроупругость. – Киев: Наук. думка, 1989. – 280 с.
  65. Allik H., Hughes J.R. Finite element method for piezoelectric vibration // Int. J. Numer. Meth. Engng. – 1970. – Vol. 2. – P. 151–157.
  66. Бате К.-Ю. Методы конечных элементов. – М.: Физматлит, 2010. – 1024 с.
  67. Sheng G.G., Wang X. Thermoelastic vibration and buckling analysis of functionally graded piezoelectric cylindri-cal shells // Appl. Math. Model. – 2010. – Vol. 34, no. 9. – P. 2630–2643. doi: 10.1016/j.apm.2009.11.024
  68. Yao G., Li F.-M. The stability analysis and active con-trol of a composite laminated open cylindrical shell in subsonic airflow // J. Intel. Mat. Sys. Struct. – 2014. – Vol. 25, no. 3. – P. 259–270. doi: 10.1177/1045389X13491020
  69. Reddy J.N. An introduction to nonlinear finite element analysis, 2nd edn: with applications to heat transfer, fluid me-chanics, and solid mechanics. – Oxford: Oxford University Press, 2015. – 768 p.
  70. Tisseur F., Meerbergen K. The quadratic eigenvalue problem // SIAM Rev. – 1988. – Vol. 43, no. 2. – P. 235–286. doi: 10.1137/S0036144500381988
  71. Lehoucq R.B., Sorensen D.C. Deflation techniques for an implicitly restarted Arnoldi iteration // SIAM J. Matrix Anal. Appl. – 1996. – Vol. 17, no. 4. – P. 789–821. doi: 10.1137/S0895479895281484
  72. Weaver D.S., Unny T.E. The hydroelastic stability of a flat plate // J. Appl. Mech.-Trans. ASME. – 1970. – Vol. 37, no. 3. – P. 823–827. doi: 10.1115/1.3408615
  73. Païdoussis M.P. Fluid-structure interactions: slender structures and axial flow, vol. 2, 2nd edn. – London: Elsevier Academic Press, 2016. – 944 p. doi: 10.1016/C2011-0-08058-4
  74. Miller D.R. Critical flow velocities for collapse of reac-tor parallel-plate fuel assemblies // J. Eng. Power-Trans. ASME. – 1960. – Vol. 82, no. 2. – P. 83–95. doi: 10.1115/1.3672746
  75. Miller D.R. Critical flow velocities for collapse of reac-tor parallel-plate fuel assemblies // J. Eng. Power-Trans. ASME. – 1960. – Vol. 82, no. 2. – P. 83–95. doi: 10.1115/1.3672746
  76. Kerboua Y., Lakis A.A., Thomas M., Marcouiller L. Modeling of plates subjected to a flowing fluid under various boundary conditions // Eng. Appl. Comp. Fluid Mech. – 2008. – Vol. 2, no. 4. – P. 525–539. doi: 10.1080/19942060.2008.11015249

Statistics

Views

Abstract - 87

PDF (Russian) - 68

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2023 Lekomtsev S.V., Matveenko V.P., Senin A.N.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies