INVESTIGATION OF THE ELECTRO-MAGNETO-ELASTIC STATE OF A FINITE MULTIPLY CONNECTED THIN PLATE

Abstract


The problem of bending a finite plate with arbitrary holes and cracks is solved with the use of complex potentials of the theory of bending of thin electro-magneto-elastic plates. Moreover, with the help of conformal mappings, expansion of holomorphic functions into the Laurent series or Faber polynomials owing to satisfaction of boundary conditions on the contours of the plate by the generalized least squares method, the problem is reduced to solving an overdetermined system of linear algebraic equations by the method of singular value decompositions. Results of numerical investigations for a circular plate with a circular hole, for a circular plate with an internal or edge crack, for a plate with a two circular internal holes or external recesses are reported. We study how physical and mechanical properties of the plate material and geometric characteristics of holes, cracks and recesses influence the values of the bending moments and moments intensity factors for the crack ends. It is important to consider the piezoproperties of the material on the values of bending moments in the plate. They cannot be neglected in the study of the stressstrain state, that is, it is necessary to solve the problem of electro-magneto-elasticity, and not the problem of the classical theory of bending of an anisotropic plate. Moreover under the electromagnetic field in the piezoelectric plate there are sufficiently large bending moments (hence stresses and deformations), and they can be found only by solving the problem of electromagneto- elasticity. It is determined that a crack in a plate can be considered as an elliptical hole, in which the ratio of the semiaxes is less than 10–3, and in these cases it is possible to calculate the intensity factors of mechanical and electromagnetic moments. We also outline the distances between the contours, which have an insignificant influence of one of them on the stress-strain state around the other and can be neglected.

Full Text

Пьезоматериалы получили широкое распростране- ние в современной науке и технике [1–9]. Под действи- ем различных механических сил, тепловых и электро- магнитных полей в элементах конструкций из таких материалов могут возникать высокие концентрации напряжений, что нужно учитывать при проектировании конструкций. Следовательно, необходимо иметь высо- коэффективные методы определения электромагнито- упругого состояния (ЭМУС) тел из пьезоматериалов, что к настоящему времени выполнено в ряде фундамен- тальных работ [10–13]. Наибольшее распространение в качестве элементов конструкций получили тонкие пла- стинки, находящиеся в условиях обобщенного плоского напряженного состояния или поперечного изгиба (тон- кие пьезоплиты). В работах [14–20] предложены раз- личные методы определения ЭМУС пьезоплит простой геометрической формы из материалов, имеющих про- стейшую микроструктуру. Однако в большинстве слу- чаев элементы конструкций изготавливаются из мате- риалов, обладающих общими электромагнитоупругими свойствами, более того, они могут иметь технологиче- ские отверстия, трещины и инородные включения, вблизи которых возникают высокие концентрации на- пряжений, приводящие к потере прочности конструк- ций. При исследованиях напряженно-деформированн- ного состояния многосвязных сред результаты с доста- точно высокой точностью позволяют получать методы, использующие комплексные потенциалы. Они широко применялись при решении плоской задачи теории упру- гости анизотропного тела [21], плоской задачи электро- магнитоупругости [22]. В теории изгиба тонких элек- тромагнитоупругих плит комплексные потенциалы бы- ли введены в статьях [23; 24], причем в статье [23] при построении теории известные гипотезы изгиба тонких плит Кирхгоффа дополнены условиями наличия в каж- дой точке плиты плоскости материальной симметрии, параллельной срединной плоскости и условиями на ин- дукции поля, а в работе [24] последняя гипотеза заме- нена условиями на потенциалы поля: скалярные потен- циалы действующих на плиту электрического и маг- нитного полей зависят линейно от координаты по толщине, т.е. где – плотности по толщине плиты потенциалов электрического и магнитного полей; пока- зана идентичность всех соотношений, получаемых при первом и втором подходов. В данной работе с использованием комплексных потенциалов построено общее решение задачи об изги- бе конечной пьезоплиты с произвольными отверстиями и трещинами. При этом с помощью конформных ото- бражений и разложений голоморфных функций в ряды Лорана и по полиномам Фабера комплексные потен- циалы представлены в виде рядов с неизвестными ко- эффициентами, определяемых из граничных условий на контурах плиты обобщенным методом наименьших квадратов (ОМНК) [25]. Для круговой плиты с отвер- стием или трещиной, с двумя отверстиями или внешни- ми выемами проведены численные исследования, с по- мощью которых установлены закономерности измене- ния ЭМУС в зависимости от физико-механических свойств материала плиты и геометрических характери- стик отверстий, трещин и выемов.

About the authors

S. A. Kaloerov

Donetsk National University

A. V. Seroshtanov

Donetsk National University

References

  1. Берлинкур Д., Керран Д., Жаффе Г. Пьезоэлектриче- ские и пьезомагнитные материалы и их применение в преоб- разователях // Физическая акустика / под ред. У. Мэзона. – М.: Мир, 1966. – Т. 1, ч. А. – С. 204–326.
  2. Кэди У. Пьезоэлектричество и его практическое при- менение. – М.: Иностр. лит., 1949. – 717 с.
  3. Магнитоэлектрические материалы / М.И. Бичурин [и др.] – М.: Изд-во «Академия Естествознания», 2006. – 296 c.
  4. Пятаков А.П. Магнитоэлектрические материалы и их практическое применение // Бюллетень МАГО. – 2006. – Т. 5, № 2. – С. 1–3.
  5. Rahmoune M., Benjeddou A., Ohayon R. New thin piezoelectric plate models // J. Intell. Mater. Syst. Struct. – 1998. – Vol. 9. – Р. 1017–1029.
  6. Srinivas S., Jiang Y.L. The effective magnetoelectric coefficients of polycrystalline multiferroic composites // Acta Mater. – 2005. – Vol. 53. – Р. 4135–4142. doi: 10.1016/j.actamat.2005.05.014
  7. Vel S.S., Batra R.C. Exact solution for the cylindrical bending of laminated plates with embedded piezoelectric shear actuators // Smart Mater. Struct. – 2001. – Vol. 10. – Р. 240–251. doi: 10.1088/0964-1726/10/2/309
  8. Бочкарев С.А., Лекомцев С.В. Гидроупругая устойчи- вость коаксиальных цилиндрических оболочек, выполненных из пьезоэлектрического материала // Вестник Пермского на- ционального исследовательского политехнического универси- тета. Механика. – 2019. – № 2. – С. 35–48. doi: 10.15593/perm.mech/2019.2.04
  9. Шляхин Д.А., Кальмова М.А. Нестационарная задача термоэлектроупругости для длинного пьезокерамического цилиндра // Вестник Пермского национального исследова- тельского политехнического университета. Механика. – 2021. – № 2. – С. 181–190. doi: 10.15593/perm.mech/2021.2.16
  10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. – М.: Наука, 1982. – 621 с.
  11. Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред. – М.: Мир, 1991. – 560 с.
  12. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. – М.: Мир, 1986. – 160 с.
  13. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупру- гость пьезоэлектрических и электропроводных тел. – М.: Нау- ка, 1988. – 472 с.
  14. Eringen A.C., Maugin, G.A. Electrodynamics of Continua I. – Springer, New York, 1990. – 436 p. doi: 10.1007/978-1- 4612-3226-1
  15. Eringen A.C. Theory of electromagnetic elastic plates // International journal of engineering science. – 1989. – Vol. 27, no. 4. – Р. 363–375. doi: 10.1016/0020-7225(89)90128-6
  16. Galeş C., Baroiu N. On the bending of plates in the electromagnetic theory of microstretch elastity // ZAMM – Journal of Applied Mathematics and Mechanics. – 2014. – Vol. 94, no. 1–2. – Р. 55–71. doi: 10.1002/zamm.201200219
  17. Ieşan D., On the bending of piezoelectric plates with microstructure // Acta Mech. – 2008. – Vol. 198, no. 3. – P. 191–208. doi: 10.1007/s00707-007-0527-8
  18. Librescu L., Hasanyan D., Ambur D.R. Electromagnetically conducting elastic plates in a magnetic field: modeling and dynamic implications // International journal of non-linear mechanics. – 2004. – Vol. 39, no. 5. – P. 723–739.
  19. Xu S.-P., Wang W. Bending of piezoelectric plates with a circular hole // Acta Mech. – 2009. – Vol. 203. – P. 127–135. doi: 10.1007/s00707-008-0025-7
  20. Yang J. The Mechanics of Piezoelectric Structures. – Singapore: World Scientific, 2006. – 313 p. doi: 10.1142/6057
  21. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного те- ла. – М.: Наука, 1977. – 416 с.
  22. Калоеров С.А., Петренко А.В. Двумерные задачи электромагнитоупругости для многосвязных тел. – Донецк: Юго-Восток. – 2011. – 232 с.
  23. Калоеров С.А. Основные соотношения прикладной теории изгиба тонких электромагнитоупругих плит // Вестн. ДонНУ. Сер. А. Естеств. науки. – 2022. – № 1. – С. 20–38.
  24. Калоеров С.А., Сероштанов А.В. Исследование изги- ба тонких электромагнитоупругих плит // Прикладная меха- ника и техническая физика. – 2022. – Т. 63, № 2. – С. 151–165.
  25. Калоеров С.А., Паршикова О.А. Термовязкоупругое состояние многосвязной анизотропной пластинки // Приклад- ная механика. – 2012. – № 3 (48). – С. 103–116.
  26. Калоеров С.А., Горянская Е.С. Двумерное напряжен- ное состояние многосвязного анизотропного тела с полостями и трещинами // Теорет. и прикладная механика. – 1995. – № 25. – С. 45–56.
  27. Калоеров С.А., Авдюшина Е.В., Мироненко А.Б. Концентрация напряжений в многосвязных изотропных плас- тинках. – Донецк: Изд-во ДонНУ, 2013.– 440 с.
  28. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1977. – 304 с.
  29. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. – М.: Мир, 1980. – 280 с.
  30. Drmač Z., Veselič K. New fast and accurate Jacobi SVD algorithm. 1 // SIAM J. Matrix Anal. Appl. – 2008. – Vol. 29, no. 4. – P. 1322–1342.
  31. Drmač Z., Veselič K. New fast and accurate Jacobi SVD algorithm. 2 // SIAM J. Matrix Anal. Appl. – 2008. – Vol. 29, no. 4. – P. 1343–1362.
  32. Калоеров С.А. Определение коэффициентов интен- сивности напряжений, индукции и напряженности для много- связных сред // Прикладная механика. – 2007. – Т. 43, № 6. – С. 56–62.
  33. Tian W.-Y., Gabbert U. Multiple crack interaction problem in magnetoelectroelastic solids // Europ. J. Mech. Part A. – 2004. – Vol. 23. – P. 599–614. doi: 10.1016/j.euromechsol.2004.02.002
  34. Yamamoto Y., Miya K. Electromagnetomechanical Interactions in Deformable Solids and Structures. – Amsterdam: Elsevier Science-North Holland, 1987. – 450 p.
  35. Hou P.F., Teng G.-H., Chen H.-R. Three-dimensional Greens function for a point heat source in two-phase transversely isotropic magneto-electro-thermo-elastic material // Mech. Mater. – 2009. – Vol. 41. – P. 329–338. doi: 10.1016/j.mechmat.2008.12.001.

Statistics

Views

Abstract - 107

PDF (Russian) - 83

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2023 Kaloerov S.A., Seroshtanov A.V.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies