STUDYING GRAPHENE ELECTROMECHANICAL BEHAVIOR BASED ON THE ELASTIC PLATES MOMENT-MEMBRANE THEORY

Abstract


Graphene being a two-dimensional nanomaterial created a new research area – its use as a functional element in various modern technology nanodevices. To open the way for such an application, it is necessary, first of all, to study the mechanical properties and its behavior under various conditions and learn how to manipulate them in a controlled way. All this necessitates an adequate graphene deformation simulations, the construction of an appropriate continuum theory that takes into account scale effects, microstructure and graphene crystal lattice physical parameters. This work aims at studying a rectangular graphene sheet in an electric field. For graphene deformations, the application of the transverse bending model of the elastic plates of the moment- membrane linear theory is justified. Forces of the electrical origin are modeled by means of a normal load applied to the front plate surface. A study was made of the influence of boundary conditions, the gap between the plate and the gate, the potential difference, and linear dimensions on the graphene sheet static transverse bending. The problem of graphene sheet natural vibrations is also solved. The graphene sheet vibration frequency lies in the GHz range. In the clamped boundary conditions case, the natural oscillations frequency is much higher than in the hinged supported case. Even at small deflections, a change in the constant voltage value has a significant effect on the graphene sheet natural frequency.

Full Text

Микроэлектромеханические системы (МЭМС): пе- реключатели, приводы, датчики, резонаторы надежно вошли в современные реалии и решают ведущие про- блемы во многих отраслях современной техники. Бла- годаря микроразмеру МЭМС способны анализировать информацию на атомном уровне [1; 2], но имеются ог- раничения по обнаружению объектов на субмикронном уровне. Наноэлектромеханические системы (НЭМС) благодаря уменьшению размеров чувствительных эле- ментов и увеличению значений рабочих частот до гига- и даже террагерцевого диапазона обладают значительно большей чувствительностью. Эксперименты [3], проведенные с графеном, пока- зали его необычные свойства, благодаря которым в на- стоящее время графен находит самое широкое приме- нение в современной технике. Графен – чрезвычайно прочный двумерный кристалл с электрическими свой- ствами, превосходящими свойства кремния с возмож- ностью работать в диапазоне высоких частот, дости- гающем порядка террагерц. Обзор работ, посвященных исследованию механических свойств, устойчивости графена и углеродных нанотрубок, приведен в статье [4]. На основе графена были разработаны высокочувст- вительные датчики температуры, давления, газоанали- заторы, биосенсоры, транзисторы нового поколения [5– 12], используемые в различных областях, таких как биомедицина, мониторинг окружающей среды, сель- ское хозяйство, обрабатывающая промышленность, безопасность и т.д. [13–15]. МЭМС и НЭМС в основном представляют собой механический элемент – балку [16–21], пластину [22– 27], возможно, с начальными неправильностями [28-30], или оболочку (УНТ) [31–33], колебания которого воз- мущаются посредством постоянного тока, переменного тока или их комбинацией. Анализу амплитудно-частотных характеристик, ста- тических и динамических откликов графеновых НЭМС, а также поведению графеновых структур под действием различных воздействий посвящено множество работ как российских, так и зарубежных авторов [34; 35], обзоры которых выходят регулярно [36–38]. Работы делятся на две группы. В первой группе при исследовании процессов де- формирования однослойной углеродной нанотрубки и листа графена непосредственно рассматривают ато- марную или молекулярную природу строения этих на- ноструктур. В рамках данного подхода для численного моделирования процесса деформирования указанных наноструктур в настоящее время разработаны два мето- да: метод молекулярной динамики [39–42] и метод мо- лекулярной механики [43–48]. Оба эти метода основаны на решении классических уравнений Ньютона движе- ния атомов углерода в силовых полях межатомного взаимодействия. Метод молекулярной динамики в силу своей простоты (при интегрировании уравнений движе- ния указанных наноструктур используется явная конеч- но-разностная схема) наиболее популярен, однако тре- бует значительных вычислительных затрат. Метод молекулярной механики [43–47] можно разделить на стан- дартный метод, основанный на прямом использовании силовых полей атомных взаимодействий, и метод моле- кулярной структурной механики. По методу молеку- лярной структурной механики потенциальные энергии атомных взаимодействий аппроксимируются потенци- альными энергиями балочных элементов. В основном рассматриваются балки Бернулли – Эйлера с круговым поперечным сечением. При этом выбираются соответ- ствующие материальные и геометрические параметры балочных элементов, точно или приближённо модели- рующих механические модули графена или углеродной однослойной нанотрубки. Таким путём в работах [43– 47] получены наборы материальных и геометрических параметров силового поля и балочного элемента. Авто- ры изучали задачи деформирования, собственных коле- баний и выпучивания однослойного листа графена или однослойной углеродной нанотрубки. Показано, что для достаточно больших размеров однослойных графено- вых листов при изучении их колебаний и выпучивания можно использовать (понятно, с согласованными мате- риальными и геометрическими параметрами) классиче- ские модели упругих тонких пластин. Отметим, что структурный подход (называемый также «стержневым» или «дискретно-континуальным») для описания взаимодействия между атомами углерода впервые предложен в работе [49], и далее этот подход развит в работах [50–52]. Несомненным преимуществом стержневых моделей является, во-первых, хорошее раз- витие соответствующего математического аппарата, во- вторых, существование конечно-элементных компью- терных пакетов, которые дают возможность их исполь- зования при изучении наноструктур. Анализ деформа- ционного поведения графена или углеродной нанотруб- ки, а также НЭМС на их основе проводится посредством моментной теории упругости со стеснён- ным вращением частиц [53; 54]. Для изучения масштаб- ных эффектов, возникающих при деформации нанораз- мерных объектов, используются прикладные модели пластин или оболочек неклассической теории упруго- сти: нелокальной, градиентной и др. [55–57]. При при- менении этих теорий весьма важен вопрос о правиль- ном выборе механических и геометрических парамет- ров соответствующих пластин и оболочек. B работе [58] отмечается, что если в атомной моде- ли однослойной нанотрубки (это можно сказать и для однослойного листа графена) учесть только силовое взаимодействие центрального характера между форми- рующими трубку атомами, то нанотубка (или лист гра- фена) не имела бы изгибной жёсткости и была бы неус- тойчива. Тогда само существование однослойной на- нотрубки (или листа графена) будет свидетельствовать о необходимости учёта моментного взаимодействия между её атомами. На основании этого вывода в рабо- тах [59–61] трёхмерная моментная теория упругости с независимыми полями перемещений и вращений ус- танавливается как континуальная модель деформацион- ного поведения однослойной нанотрубки, а также лис- та графена. Если между атомами в дискретной модели одно- слойной нанотрубки, как и для листа графена, предпо- ложить существование моментного взаимодействия, то понятно, что силовое взаимодействие между этими атомами будет нецентральным, и тогда наряду с усили- ем вдоль связи появляется поперечное усилие, что по- зволяет учесть направленность связей в ковалентных структурах [61]. Основная цель работы [62] заключается в построе- нии континуальной модели деформационного поведе- ния однослойного листа графена, принимая в основу структурный (стержневой) подход. Для реализации данной цели сначала строится соответствующая стерж- невая модель, основанная на деформации линейной атомной цепочки, когда между её атомами силовое взаимодействие имеет две компоненты (вдоль связи и поперечную составляющую), а также имеется момент- ное взаимодействие. Как силовому полю атомных взаи- модействий в данном случае соответствует гармониче- ский потенциал. На основе этой стержневой модели построена дискретно-континуальная модель однослой- ного листа графена и далее предельным переходом кон- тинуальная его модель. В итоге плотность потенциаль- ной энергии деформации листа графена получается вы- раженной через физические параметры гармонического потенциала для углерода (которые в литературе извест- ны). Сопоставление выражения плотности потенциаль- ной энергии деформации графенового листа с плотно- стью потенциальной энергии деформации, так называе- мой моментно-мембранной теории упругих пластин [63; 64], показывает полное их совпадение. Сопоставление указанных выражений позволяет определить жёсткост- ные характеристики моментно-мембранной теории уп- ругих пластин как для плоского напряжённого состоя- ния, так и для поперечного изгиба, через физические параметры гармонического потенциала углерода. Таким образом [63; 64], моменто-мембранная тео- рия упругих пластин с определёнными жесткостными характеристиками установлена как континуальная мо- дель для однослойного листа графена. Рассматривая весь процесс построения указанной континуальной тео- рии, можем отметить, что она является адекватной (ес- тественной) теорией, относящейся именно к однослой- ному листу графена. Как ранее было отмечено, класси- ческие или известные неклассические теории упругих пластин при их применении для описания деформаци- онного поведения однослойного листа графена требуют выбора входящих в них механических и геометриче- ских параметров для обеспечения близости к парамет- рам графена. Существенно отметить, что, так как при сравнении выражений плотностей потенциальных энер- гий деформаций прямо определяются жёсткостные ха- рактеристики, в построенной континуальной теории однослойного листа графена не используется понятие толщины. Как континуальная теория моментно-мембранная теория упругих пластин открывает большие возможно- сти для изучения различных прикладных задач статики, динамики и устойчивости однослойного листа графена. В данной работе на основе модели поперечного из- гиба моментно-мембранной теории упругих пластин изучаются как статические задачи равновесия, так и задачи на собственные колебания прямоугольного листа графена, находящегося в поле одного неподвижного электрода.

About the authors

E. Yu. Krylova

Saratov State University

S. H. Sargsyan

M. Nalbandyan State University of Shirak

References

  1. Ghayesh M.H., Farokhi H. Nonlinear behaviour of electrically actuated microplate-based MEMS resonators // Mechanical Systems and Signal Processing. – 2018. – Vol. 109. – P. 220–234. doi: 10.1016/j.ymssp.2017.11.043
  2. Farokhi H., Ghayesh M.H. On the dynamics of imperfect shear deformable microplates // International Journal of Engineering Science. – 2018. – Vol. 133. – P. 264–283. doi: 10.1016/j.ijengsci.2018.04.011
  3. Geim A.K., Novoselov K.S. The rise of graphen // Nature Materials. – 2007. – № 6. – P. 183–191. doi: 10.1038/nmat1849
  4. Аннин Б.Д., Баимова Ю.А., Мулюков Р.Р. Механи- ческие свойства, устойчивость, коробление графеновых листов и углеродных нанотрубок (обзор) // Прикладная механика и техническая физика. – 2020. – Т. 61, № 5(363). – С. 175–189. doi: 10.15372/PMTF20200519
  5. Carbon nanotubes: Sensor properties. A review / I.V. Zaporotskova, N.P. Boroznina, Y.N. Parkhomenko, L.V. Kozhitov // Mod. Electron. Mater. - 2016. – Vol. 2. – P. 95– 105. doi: 10.1016/j.moem.2017.02.002
  6. Meyyappan M. Carbon Nanotube-Based Chemical Sensor // Small J. – 2016. – Vol. 12. – P. 2118–2129. doi: 10.1002/smll.201502555
  7. SWCNT-Pt-P2O5-Based Sensor for Humidity Measurements / E.I. Ionete, S.-I. Spiridon, B.F. Monea, D. Ebrasu-Ion, A. Vaseashta // IEEE Sens. J. – 2016. - Vol. 16. – Р. 7593–7599. doi: 10.1109/JSEN.2016.2603478
  8. A Room Temperature Gas Sensor Based on Sulfonated SWCNTs for the Detection of NO and NO2 / E.I. Ionete, S.- I. Spiridon, B.F. Monea, E. Stratulat // Sensors. – 2019. – Vol. 19. – P. 1116. doi: 10.3390/s19051116
  9. Nazaria A., Faezb R., Shamlooa H. Modeling comparison of graphene nanoribbon field effect transistors with single vacancy defect // Superlattices and Microstructures. – 2016. – Vol. 97. – Р. 28–45. doi: 10.1016/j.spmi.2016.06.008
  10. Performance metrics of current transport in pristine graphene nanoribbon field-effect transistors using recursive nonequilibrium Green's function approach / K.L. Wong, M.W. Chuan, A. Afiq Hamzah, S. Rusli [et. al.] // Superlattices and Microstructures. – 2020. – Vol. 145. – Р. 106624. doi: 10.1016/j.spmi.2020.106624
  11. Impact of phonon scattering mechanisms on the performance of silicene nanoribbon field-effect transistors / M.W. Chuan, M.A. Riyadi, A. Hamzah [et. al.] // Results in Physics. – 2021. – Vol. 29. – Р. 104714. doi: 10.1016/j.rinp.2021.104714
  12. Кулакова И.И., Лисичкин Г.В. Биосенсоры на основе графеновых наноматериалов // Вестник Московского универ- ситета. Серия 2: Химия. – 2022. – Т. 63, № 6. – С. 375–394.
  13. Epitaxial graphene gas sensors on SiC substrate with high sensitivity / C. Yu [et al.] // Journal of Semiconductors. – 2020. – Vol. 41 (3). – P. 032101. doi: 10.1088/1674- 4926/41/3/032101
  14. Recent progress of toxic gas sensors based on 3d graphene frameworks / Q. Dong [et al.] // Sensors. – 2021. – Vol. 21(10). – P. 3386. doi: 10.3390/s21103386
  15. The recent progress of MEMS/NEMS resonators / L. Wei [et al.] // Micromachines. – 2021. – Vol. 12 (6). – P. 724. doi: 10.3390/mi12060724
  16. Mozhgova N., Lukin A., Popov I. Model of a Micromechanical Modal-Localized Accelerometer with an Initially Curvedmicrobeam as a Sensitive Element // Microactuators, Microsensors and Micromechanisms: MAMM 2022. – Cham: Springer International Publishing, – 2022. – Р. 94–118. doi: 10.1007/978-3-031-20353-4_7
  17. Nonlinear dynamics of mode-localized MEMS accelerometer with two electrostatically coupled microbeam sensing elements / N.F. Morozov [et al.] // International Journal of Non-Linear Mechanics. – 2022. – Vol. 138. – P. 103852. doi: 10.1016/j.ijnonlinmec.2021.103852
  18. Ilyas S., Younis M.I. Theoretical and experimental investigation of mode localization in electrostatically and mechanically coupled microbeam resonators // International Journal of Non-Linear Mechanics. – 2020. – Vol. 125. – P. 103516. doi: 10.1016/j.ijnonlinmec.2020.103516
  19. Differential Resonant MEMS Accelerometer: Synchronization Characteristics of Weakly Coupled Microbeam Sensing Elements / D.A. Indeitsev [et al.]. – 2022. doi: 10.13140/РГ.2.2.36579.84004
  20. Автоколебательный режим нанорезонатора / Д.А. Индейцев, О.С. Лобода, Н.Ф. Морозов, Л.В. Штукин // Физическая мезомеханика. 2016. – Т. 19, № 5. – С. 23–28.
  21. Дифференциальный графеновый резонатор как детектор массы / И.Е. Берлинский, Д.А. Индейцев, Н.Ф. Морозов, Д.Ю. Скубов, Л.В. Штукин // Известия РАН. МТТ. – 2015. – № 2. – С. 20–29.
  22. Karimipour I., Beni Y.T., Akbarzadeh A.H. Sizedependent nonlinear forced vibration and dynamic stability of electrically actuated micro-plates // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. – 2019. – Vol. 78. – P. 104856. doi: 10.1016/j.cnsns.2019.104856
  23. Karimipour I., Tadi Beni Y., Zeighampour H. Vibration and dynamic behavior of electrostatic size-dependent micro-plates // Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering. – 2020. – Vol. 42. – P. 1–22. doi: 10.1007/с40430-020-02490-4
  24. Adaptive fractional-order backstepping sliding mode controller design for an electrostatically actuated size-dependent microplate / Karami M., Kazemi A., Vatankhah R., Khosravifard A. // JVC/Journal of Vibration and Control. – 2021. – Vol. 27(11- 12). – P. 1353–1369. doi: 10.1177/1077546320940916
  25. Ghayesh M.H., Farokhi H. Nonlinear behaviour of electrically actuated microplate-based MEMS resonators // Mechanical Systems and Signal Processing. – 2018. – Vol. 109. – P. 220–234. doi: 10.1016/j.ymssp.2017.11.043
  26. Saghir S., Younis M.I. An investigation of the mechanical behavior of initially curved microplates under electrostatic actuation // Acta Mechanica. – 2018. – Vol. 229(7). – P. 2909–2922. doi: 10.1007/s00707-018-2141-3
  27. Детектор модулированного терагерцового излучения на основе графеновых нанолент / Ю.В. Стебунов, В.Г. Лейман, А.В. Арсенин [и др.] // Журнал радиоэлектроники. – 2012. – № 7. – С. 5.
  28. Saghir S., Younis M.I. An investigation of the mechanical behavior of initially curved microplates under electrostatic actuation // Acta Mechanica. – 2018. – Vol. 229. – P. 2909–2922. doi: 10.1007/s00707-018-2141-3
  29. Ghayesh M.H., Farokhi H. Nonlinear behaviour of electrically actuated microplate-based MEMS resonators // Mechanical Systems and Signal Processing. – 2018. – Vol. 109. – P. 220–234. doi: 10.1016/j.ymssp.2017.11.043
  30. Nonlinear forced vibration of in-plane bi-directional functionally graded materials rectangular plate with global and localized geometrical imperfections / X. Chen [et al.] // Applied Mathematical Modelling. – 2021. – Vol. 93. – P. 443–466. doi: 10.1016/j.apm.2020.12.033
  31. Вынужденные колебания углеродной нанотрубки с током эмиссии в электромагнитном поле (01) / С.В. Буляр- ский, А.А. Дудин, А.П. Орлов [и др.] // Журнал технической физики. – 2017. – Т. 87, № 11. – С. 1624–1627.
  32. Резонанс углеродной нанотрубки с током в электро- магнитном поле / С.В. Булярский, А.А. Дудин, А.П. Орлов [и др.] // Нано- и микросистемная техника. – 2017. – Т. 19, № 7. – С. 395–398. doi: 10.17587/nmst.19.395-398
  33. Собственные частоты изгибных колебаний углеродных нанотрубок / С.В. Дмитриев, И.Р. Сунагатова, М.А. Ильгамов, И.С. Павлов // Журнал технической физики. – 2021. – Т. 91, № 11. – С. 1732–1737. doi: 10.21883/JTF.2021.11.51536.127-21
  34. Optical-Thermally Excited Graphene Resonant Mass Detection: A Molecular Dynamics Analysis / X. Xiao [et al.] // Nanomaterials. – 2021. – Vol. 11, № 8. – P. 1924. doi: 10.3390/nano11081924
  35. Новые графеновые нанотехнологии манипулиро- вания молекулярными объектами / О.Е. Глухова, Г.В. Саво- стьянов, М.М. Слепченков, В.В. Шунаев // Письма в Журнал технической физики. – 2016. – Т. 42, № 11. – С. 56–63.
  36. Effect of mass on the dynamic characteristics of singleand double-layered graphene-based nano resonators / M. Makwana [et al.] // Materials. – 2022. – Vol. 15, № 16. – Р. 5551. doi: 10.3390/ma15165551
  37. A review on graphene-based nano-electromechanical resonators: Fabrication, performance, and applications / Y. Xiao [et al.] // Micromachines. – 2022. – Vol. 13, № 2. – Р. 215. doi: 10.3390/mi13020215
  38. Research Progress of Graphene Nano-Electromechanical Resonant Sensors – A Review / S.C. Fan [et al.] // Micromachines. – 2022. – Vol. 13, № 2. – Р. 241. doi: 10.3390/mi13020241
  39. Allen М.Р., Tildesley D.I. Computer simulation of liquids. – Oxford Science Publications, 2000. – 385 p.
  40. Попов А.М. Вычислительные нанотехнологии. – М.: КНОРУС, 2017. – 312 с.
  41. Molecular dynamics modeling and simulation of a graphene-based nanoelectromechanical resonator / J.W. Kang [et al.] // Current Applied Physics. – 2013. – Vol. 13(4). – P. 789–794. doi: 10.1016/j.cap.2012.12.007
  42. Wang J., Li T.T. Molecular dynamics simulation of the resonant frequency of graphene nanoribbons // Ferroelectrics. – 2019. – Vol. 549, № 1. – P. 87–95. doi: 10.1080/00150193.2019.1592547
  43. Коробейников С.Н., Алехин В.В, Бабичев А.В. Молекулярная механика однослойных графеновых листов // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предель- ного состояния. – 2020. – № 2(44). – С. 89–94. doi: 10.37972/chgpu.2020.44.2.009
  44. Korobeynikov S.N., Alyokhin V.V., Babichev A.V. Simulation of mechanical parameters of graphene using the DREIDING force field // ActaMechanica. – 2018. – Vol. 229, № 6. – Р. 2343–2378. doi: 10.1007/s00707-018-2115-5
  45. Korobeynikov S.N., Alyokhin V.V., Babichev A.V. On the molecular mechanics of single layer graphene sheets // International Journal of Engineering Science. – 2018. – Vol. 133. – P. 109–131. doi: 10.1016/j.ijengsci.2018.09.001
  46. Korobeynikov S.N., Alyokhin V.V., Babichev A.V. Advanced nonlinear buckling analysis of a compressed single layer graphene sheet using the molecular mechanics method // International Journal of Mechanical Sciences. – 2021. – Vol. 209. – P. 106703 (30 pages). doi: 10.1016/j.ijmecsci.2021.106703
  47. Korobeynikov S.N. Discussion on “Nonlinear buckling analysis of double-layered graphene nanoribbons based on molecular mechanics” by Namnabat et al. // Carbon Letters. – 2021. – Vol. 31, № 6. – P. 1365–1366. doi: 10.1007/s42823-021-00233-6
  48. Квашнин А.Г., Сорокин П.Б., Квашнин Д.Г. Теорети- ческое исследование механических свойств графеновых мембран методом молекулярной механики // Журнал Сибирского федерального университета. Серия: Математика и физика. – 2009. – Т. 2, № 4. – С. 426–431.
  49. Equivalent Continuum Modeling of Nano-structured Mstierials / G.M. Odegard, T.S. Gates, L.M. Nicholson, K.E. Wise // NASA Langley Reserch Center. Technical Memorandum NASA / TM. – 2001. – 210863–2001.
  50. Li C.A., Chou T.W. A structural mechanics approach for the analysis of carbon nanotubes // Int. J. Solids Struct. – 2003. – Vol. 40. – P. 2487–2499.
  51. Гольдштейн Р.В., Ченцов А.В. Дискретно-контину- альная модель нанотрубки // Известия РАН. МТТ. – 2005. – № 4. – С. 57–74.
  52. Wan H, Delale F. A structural mechanics approach for predicting the mechanical properties of carbon nanotubes // Mechanica. – 2010. – Vol. 45. – P. 43–51.
  53. Особенности сложных колебаний гибких микро- полярных сетчатых панелей / Е.Ю. Крылова, И.В. Папкова, О.А. Салтыкова, В.А. Крысько // Известия Саратовского уни- верситета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. – 2021. – Vol. 21 (1). – P. 48–59. doi: 10.18500/1816-9791-2021-21-1-48-59
  54. Теория колебаний углеродных нанотрубок как гибких микрополярных сетчатых цилиндрических оболочек с учетом сдвига / Е.Ю. Крылова, И.В. Папкова, Т.В. Яковлева, В.А. Крысько // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. – 2019. – Vol. 19 (3). – P. 305–316. doi: 10.18500/1816-9791-2019-19-3-305-316
  55. Nuhu A.A., Safaei B. A comprehensive review on the vibration analyses of small-scaled plate-based structures by utilizing the nonclassical continuum elasticity theories // Thin- Walled Structures. – 2022. – Vol. 179. – P. 109622. doi: 10.1016/j.tws.2022.109622
  56. Ansari R., Sahmani S., Arash B. Nonlocal plate model for free vibrations of single-layered graphene sheets // Physics Letters A. – 2010. – Vol. 375. – P. 53–62.
  57. A review of size-dependent continuum mechanics models for micro- and nano-structures / Mir Abbas Roudbari, Tahereh Doroudgar Jorshari, Chaofeng Lu, Reza Ansari, Abbas Z. Kouzani, Marco Amabili // Thin-Walled Structures. – 2022. – Vol. 170. – P. 108562. doi: 10.1016/j.tws.2021.108562
  58. Об определении упругих модулей наноструктур, теоретический расчет и методика экспериментов / Е.А. Ива- нова, Н.Ф. Морозов, Б.Н. Семенов, А.Д. Фирсова // Известия РАН. МТТ. – 2005. – № 4. – С. 75–84.
  59. Иванова Е.А, Кривцов A.M., Морозов Н.Ф. Получе- ние макроскопических соотношений упругости сложных кристаллических решеток при учете моментных взаимодей- ствий на микроуровне // Прикладная математика и механика. – 2007. – Т. 71, № 4. – С. 595–615.
  60. Применение моментного взаимодействия к построе- нию устойчивой модели кристаллической решетки графита / И.Е. Беринский, Е.А. Иванова, А.М. Кривцов, Н.Ф. Морозов // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. – 2007. – № 5. – С. 6–16.
  61. Современные проблемы механики. Механические свойства ковалентных кристаллов: учеб. пособие / И.Е. Берин- ский [и др.]; под общ. ред. А.М. Кривцова, О.С. Лобода. – СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2014. – 160 c.
  62. Саркисян С.О. Стержневая и континуально-момент- ная модели деформаций двумерных наноматериалов // Физическая мезомеханика. – 2022. – Т. 25, № 2. – С. 109–121. doi: 10.55652/1683-805X_2022_25_2_109
  63. Саркисян С.О. Модель тонких оболочек в моментной теории упругости с деформационной концепцией «сдвиг плюс поворот» // Физическая мезомеханика. – 2020. – Т. 23, № 4. – С. 13–19. doi: 10.24411/1683-805X-2020-14002
  64. Саркисян С.О. Вариационные принципы моментно- мембранной теории оболочек // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. – 2022. – № 1. – С. 38–47.
  65. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. – Oxford: Perganon, 1986. – 383 p.
  66. Саркисян С.О. Краевые задачи тонких пластин в несимметричной теории упругости // Прикладная математика и механика (ПММ). – 2008. – Т. 72, № 1. – С. 129–147.
  67. Лукин А.В., Попов И.А., Скубов Д.Ю. Исследование устойчивости и ветвления форм равновесия упругих элементов микросистемной техники // Нелинейная динамика машин – School-NDM 2017: сборник IV Международной Школы-конференции молодых ученых, Москва, 18–21 апреля 2017 года. – М.: Федеральное государственное бюджет- ное учреждение науки Институт машиноведения им. А.А. Благонравова Российской академии наук, 2017. – С. 313–322.
  68. Пелех Б.Л. Концентрация напряжений около отвер- стий при изгибе трансверсально-изотропных пластин. – Киев: Наукова думка, 1977. – 183 с.
  69. Баимова Ю.А., Мулюков Р.Р. Графен, нанотрубки и другие углеродные наноструктуры. – М.: РАН, 2018. – 212 с.
  70. Вольмир А.С Нелинейная динамика пластинок и обо- лочек. – М.: Главная редакция физико-математической лите- ратуры изд-ва «Наука», 1972. – 432 с.

Statistics

Views

Abstract - 101

PDF (Russian) - 56

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2023 Krylova E.Y., Sargsyan S.H.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies