CALCULATION OF STATIC DEFORMATION OF AXISYMMETRIC SHELLS OF ROTATION WITH DIFFERENTIAL MODEL

Abstract


In the paper differential equations of static geometrically nonlinear deformation of axisymmetric shell of rotation are obtained. The resolving functions are projections of vectors in the global coordinate system. The equations allow describing any geometry of meridian (breaks, curvature jumps), large deformations, changing of shell thicknesses during deformation, also cross shears characteristic for thick shells. For the numerical solution, the approach based on the finite difference method is applied, which is realized in the own software package for the calculation of the mechanics of spatial rod systems – DARSYS. The calculations of test problems of the internal pressure inflation of cylindrical, spherical, elliptical, conical shells, as well as a combined conicalcylindrical shell with a meridian break are presented. Graphs of convergence of displacements at the reference points as a function of mesh density and under load variation are given, and deformed meridian configurations are plotted. The solutions obtained in ANSYS by different finite elements of Shell type were used as a reference for comparison. APDL scripts for parametric calculations of the test problems are given in the text of the paper. The proposed approach to the calculation of static deformation of shells of rotation has shown good agreement with finite element modeling in ANSYS (including thick shells) and in the future will be extended to the modeling of dynamic deformation and the possibility of solving coupled problems of interaction with liquid or gas. The given equations of the axisymmetric shell are a special case of the general equations, the development and application of which are beyond the scope of this paper, and the obtained solution results are the first stage of testing the developed complex approach to the calculation of static and dynamic deformation of shells, alternative to finite-element modeling.

Full Text

Развитие строительных, авиационных, космических, судостроительных отраслей неразрывно связано с использованием тонкостенных конструкций. Наука об оболочках относительно молода: она появилась в XIX в. и стала бурно развиваться в XX–XXI столетиях по пути построения практических методов расчета. Традиционно учёными строились аналитические и приближенные решения для частных случаев геометрических форм, вариантов граничных условий, видов нагрузки, различных моделей материалов. Обзор подходов, методов решения и моделей теории пластин и оболочек приведен в работе [1]. Существенный вклад в исследование деформирования пластин и оболочек был сделан учеными благодаря развитию метода конечных элементов (МКЭ), который является универсальным и постоянно совершенствующимся инструментом в сочетании с современными возможностями вычислительной техники. В большой части инженерной и научной среды сложилось убеждение, что современные CAE-пакеты прикладных программ на основе МКЭ, такие как ANSYS, Femap, Abaqus, MSC.Marc и много других, удовлетворили все потребности как инструменты в исследовании напряженно-деформированного состояния сплошных сред. С этим сложно не согласиться, универсальность и относительная простота программной реализации МКЭ сделала его, пожалуй, самым популярным численным подходом к решению задач механики, в том числе для расчета деформированного состояния оболочек. Тем не менее отдельными учёными предпринимаются шаги по созданию и развитию альтернативных МКЭ-подходов, нацеленных как на решение отдельных задач, так и на создание универсальных подходов. Интересным и перспективным направлением в развитии альтернативных подходов к расчету оболочечных конструкций представляется применение бессеточных методов перидинамики [2; 3]. В работе [4] применяется метод граничных элементов для расчета оболочечных конструкций, результаты сравниваются с расчетом методом конечных разностей (МКР). В монографии [5] изложен вариационно-разностный подход к расчету конструкций, приведен глубокий обзор работ по уточненным теориям оболочек. В статье [6] изложен метод неявных конечных разностей (МНКР), который позволяет, исходя из формулировки краевой задачи в перемещениях и напряжениях как независимых между собой основных величинах разрешающей системы уравнений, определять напряжения с более высокой точностью, чем МКЭ в форме метода перемещений. В работе [8] для решения задачи устойчивости цилиндрической оболочки под действием неравномерной нагрузки используется метод на основе сплайн-интерполяции. В статье [7] обсуждается и анализируется применение вариационно-разностного метода к расчету линейных и нелинейных задач деформирования тонких и толстых оболочек из композитных и изотропных материалов. В работах [9– 12] используется метод дифференциальных квадратур для аппроксимации производных некоторых дифференциальных уравнений механики и краевых условий, что позволяет свести их решение краевой задачи к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений разрешающих функций. В [13] приведен численный анализ устойчивости явной разностной схемы высокого порядка для расчета симметричных оболочек вращения под действием импульсных нагрузок. В работах [14; 15] рассматривается деформирование мягкой оболочки из высокоэластичного материала, для расчета применяется метод дифференцирования по параметру, позволяющий свести решение нелинейной краевой задачи к совокупности квазилинейной краевой и нелинейной начальной задач и применить метод начальных параметров решения линейных краевых задач. В работе [16] используется по сути метод пристрелки для решения двухточечной краевой задачи для мембраны как осесимметричной оболочки вращения, проводится анализ устойчивости и построение форм равновесия до и после точек бифуркаций. В статье [17] применяется МКР для расчета оболочки в форме эллиптического параболоида с шарнирно-неподвижным опиранием. В работе [18] МКР применяется для расчета напряженно-деформированного состояния композитной оболочки вращения. В статье [19] рассматривается численное решение МКР уравнений классической теории оболочек для описания напряженно-деформированного состояния сильфона U-образного компенсатора при нагрузке внутренним давлением. В [20] МКР используется для расчета прямоугольной плиты на упругом основании, произведена верификация с результатами расчетов, выполненных с помощью двойных тригонометрических рядов. В статье [21] с помощью МКР проводится анализ устойчивости пластин и оболочек в условиях ползучести для элементов конструкций из материалов, обладающих свойством старения, находящихся под действием длительных нагрузок. В работах [22–25] рассматриваются подходы к расчету взаимодействия оболочечных конструкций с жидкостью. Настоящее исследование является логическим продолжением и развитием статьи [26] с обобщением уравнений на геометрическую нелинейность, произвольную параметризацию меридиана, учет изменения толщины и поперечного сдвига при деформировании. Для получения численного решения применен алгоритм [27; 28] на основе метода конечных разностей, обладающий лучшей сходимостью, по сравнению с методом пристрелки, используемым в работе [26], а также имеющий возможность получать непосредственную оценку достигнутой точности численного решения.

About the authors

C. M. Nguyen

Novosibirsk State Technical University

D. R. Shelevaya

Lavrentyev Institute of Hydrodynamics of the Siberian Branch of the RAS

D. A. Krasnorutskiy

Siberian Aeronautical Research Institute named after S.A. Chaplygin

References

  1. Аннин, Б.Д. Неклассические модели теории пластин и оболочек / Б.Д. Аннин, Ю.М. Волчков // Прикладная механика и техническая физика. – 2016. – № 5. – С. 5–14. doi: 10.15372/PMTF20160501
  2. A nonlocal nonlinear stiffened shell theory with stiffeners modeled as geometrically-exact beamsк / Q. Zhang, S. Li, A.M. Zhang, Y. Peng, K. Zhou // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. – 2022. – Vol. 397. doi: 10.1016/j.cma.2022.115150
  3. Madenci, E. Peridynamic Theory / E. Madenci, E. Oterkus // Peridynamic theory and its applications. – NY: Springer New York, 2014. – P. 19–43. doi: 10.1007/978-1-4614-8465-3_2
  4. Implicit differentiation-based reliability analysis for shallow shell structures with the Boundary Element Method / M. Zhuang, L. Morse, Z. Sharif Khodaei, M.H. Aliabadi // Engineering Analysis with Boundary Elements. – 2023. – Vol. 156. – P. 223–238. doi: 10.22364/mkm.57.6.07
  5. Абросимов Н.А., Баженов В.Г. Нелинейные задачи динамики композитных конструкций. – Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского гос. ун-та, 2002. – 399 с.
  6. Ахундов, В.М. Метод неявных конечных разностей в механике деформирования однородных и кусочно-однородных тел / В.М. Ахундов // Механика композитных материалов. – 2021. – Т. 57, № 6. – С. 1129–1154. doi: 10.22364/mkm.57.6.07
  7. Maksimyuk, V.A. Variational finite-difference methods in linear and nonlinear problems of the deformation of metallic and composite shells (review) / V.A. Maksimyuk // International Applied Mechanics. – 2012. – Vol. 48, no. 6. – P. 613–687. doi: 10.1007/s10778-012-0544-8
  8. Buckling analysis of laminated composite elliptical shells using the spline finite strip procedure [Электронный документ] / N. Korkeai, A. Alizadeh, D. Poorveis, S. Moradi, P. Pasha // Heliyon. – 2023. – Vol. 9, iss. 9. doi: 10.1016/j.heliyon.2023.e19328
  9. Chang-New, Chen Differential quadrature finite difference method for structural mechanics problems / Chen Chang-New // Communications in Numerical Methods in Engineering. – 2001. – Vol. 17, iss. 6. – P. 423–441. doi: 10.1002/cnm.418
  10. Барулина, М.А. Применение обобщенного метода дифференциальных квадратур к решению двумерных задач механики / М.А. Барулина // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. – 2018. – Т. 18, № 2. – С. 206–216. doi: 10.18500/1816- 9791-2018-18-2-206-216
  11. Tornabene, F. Free vibration analysis of laminated doubly-curved shells with arbitrary material orientation distribution employing higher order theories and differential quadrature method / F. Tornabene, M. Viscoti, R. Dimitri // Engineering Analysis with Boundary Elements. – 2023. – Vol. 152. – P. 397–445. doi: 10.1016/j.enganabound.2023.04.008
  12. Natural vibration of an elastically supported porous truncated joined conical-conical shells using artificial spring technology and generalized differential quadrature method / H. Li, Y.X. Hao, W. Zhang, L.T. Liu, S.W. Yang, Y.T. Cao // Aerospace Science and Technology. – 2022. – Vol. 121, iss. 107385. doi: 10.1016/j.ast.2022.107385
  13. Smith, T.A. Numerical stability analysis for the explicit high-order finite difference analysis of rotationally symmetric shells / T.A. Smith // Journal of Sound and Vibration. – 2008. – Vol. 312, iss. 3. – P. 418–441.
  14. Коровайцева, Е.А. Применение метода дифференцирования по параметру в решении нелинейных задач стационарной динамики осесимметричных мягких оболочек / Е.А. Коровайцева // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. – 2021. – Т. 25, № 3. – С. 556–570. doi: 10.14498/vsgtu1855
  15. Коровайцева, Е.А. К обоснованию однозначности продолжения решения задач о деформировании мягких оболочек методом дифференцирования по параметру / Е.А. Коровайцева // Проблемы прочности и пластичности. – 2022. – Т. 84, № 3. – С. 343–350. doi: 10.32326/1814-9146-2022-84-3-343-350
  16. Подкопаев, С.А. Численное моделирование закритического нелинейного деформирования осесимметричных мембран / С.А. Подкопаев // Математическое моделирование и численные методы. – 2020. – № 1(25). – С. 64–87. doi: 10.18698/2309-3684-2020-1-6487
  17. Application of the method of finite differences to the calculation of shallow shells [Электронный документ] / I. Hamzaev, K. Gapparov, E. Umarov, Z. Abdullaev // Universum: технические науки. – 2021. – Vol. 3, no. 84. – P. 71–76. doi: 10.32743/UniTech.2021.84.3-4.71-76
  18. Morozov, E.V. Finite difference method for the analysis of filament wound composite shells / E.V. Morozov, E.G. Evseev // Proceedings of ICCM–11, Gold Coast – Australia, 14th-18th July 1997. – P. 730–7370.
  19. Беляев, А.К. Теоретическое и экспериментальное исследование напряженно-деформированного состояния сильфонных компенсаторов как упругих оболочек / А.К. Беляев, Т.К. Зиновьева, К.К. Смирнов // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Физико-математические науки. – 2017. – Т. 10, № 1. – С. 9–19. doi: 10.18721/JPM.10101
  20. Барменкова, Е.В. Применение метода конечных разностей к задачам изгиба прямоугольных плит на упругом основании [Электронный ресурс] / Е.В. Барменкова // Инженерный вестник Дона. – 2023. – № 6(102). – С. 635–644. – URL: http://ivdon.ru/ru/magazine/archive/n6y2023/8487 (дата обращения: 16.10.2023).
  21. Языев, С.Б. Выпучивание прямоугольных пластин при нелинейной ползучести / С.Б. Языев, А.С. Чепурненко // Advanced Engineering Research (Rostov-on-Don). – 2023. – Т. 23, № 3. – С. 257–268. doi: 10.23947/2687-1653-2023-23-3-257-268
  22. Левин, В.Е. Метод конечных и граничных элементов в динамике конструкций летательных аппаратов: специальность 05.07.03 «Прочность и тепловые режимы летательных аппаратов»: дис. … д-ра техн. наук / В.Е. Левин; Новосибирский государственный технический университет. – Новосибирск, 2001. – 341 c.
  23. Fluid–shell structure interactions with finite thickness using immersed method / Narendra S. Nanal, Scott T. Miller, Jesse D. Thomas, Lucy T. Zhang // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. – 2023. – Vol. 403, part A, iss. 115697. doi: 10.1016/j.cma.2022.115697
  24. Free and forced vibration of fluid-filled laminated cylindrical shell under hydrostatic pressure / J-h Wu, R. Liu, Y. Duan, Y-d Sun // International Journal of Pressure Vessels and Piping – 2023 – Vol. 202, iss. 104925. doi: 10.1016/j.ijpvp.2023.104925
  25. Amabili, M. Non-linear dynamics of cantilevered circular cylindrical shells with thickness stretch, containing quiescent fluid with small-amplitude sloshing / M. Amabili, H.R. Moghaddasi // Journal of Sound and Vibration – 2023. – Iss. 118052. doi: 10.1016/j.jsv.2023.118052
  26. Применение глобальных координат в модели составной осесимметричной оболочки при анализе ее статического и динамического поведения / В.Е. Левин, А.Н. Пель, Д.А. Красноруцкий, П.З. Алюкаев // Научный вестник Новосибирского государственного технического университета. – 2013. – № 4(53). – С. 114–123
  27. Pereyra, V. Pasva3: An adaptive finite difference fortran program for first order nonlinear, ordinary boundary problems / V. Pereyra // Lecture Notes in Computer Science. – 1979. – Vol. 76. – P. 67–88
  28. Пустовой, Н.В. Алгоритм численного решения нелинейной краевой задачи динамического деформирования тонкого стержня / Н.В. Пустовой, В.Е. Левин, Д.А. Красноруцкий // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2014. – № 2. – С. 168–199.
  29. Timoshenko, S.P. The course of elasticity theory / S.P. Timoshenko // Bars and Plates – St. Petersburg: Kollins Printing House, 1916 – Vol. 2.
  30. Freund, J. Shear and torsion correction factors of Timoshenko beam model for generic cross sections / J. Freund, A. Karakoç // Res. Eng. Struct. Mat. – 2016. – Vol. 2. – P. 19–27. doi: 10.17515/resm2015.19me0827
  31. Григолюк, Э.И. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек [Текст] / Э.И. Григолюк, И.Т. Селезов. – М: ВИНИТИ, 1973 – 273 c.
  32. Mindlin, R.D. Influence of rotary inertia and shear on flexural motions of isotropic elastic plates / R.D. Mindlin // J. Appl. Mech. – 1951 – Vol. 18. – P. 31–38.
  33. Жилин, П.А. Прикладная механика. Основы теории оболочек: учебное пособие / П.А. Жилин. – СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2006 – 168 c.
  34. Cowper, G.R. The shear coefficient in Timoshenko’s beam theory / G.R. Cowper // Journal of Applied Mechanics – 1966 – Vol. 33, iss. 2. – P. 335–340. doi: 10.1115/1.3625046
  35. Franco-Villafañe, J.A. On the accuracy of the Timoshenko beam theory above the critical frequency: best shear coefficient / J.A. Franco-Villafañe // Journal of Mechanics. – 2016. – Vol. 32, no. 5. – P. 515–518. doi: 10.1017/jmech.2015.104
  36. Филин, А.П. Элементы теории оболочек / А.П. Филин. – 3-е изд., перераб. и доп. – Л.: Стройиздат. Ленингр. Отдние, 1987. – 384 с.
  37. Садаков, О.С. Об использовании тензора логарифмической деформации / О.С. Садаков, А.О. Щербакова // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Физика. – 2014. – Т. 6, № 3. – С. 78–85.
  38. Новожилов, В.В. Линейная теория тонких оболочек / В.В. Новожилов, К.Ф. Черных, Е.И. Михайловский. – Л.: Политехника, 1991. – 655 с.
  39. Новожилов, В.В. Основы нелинейной теории упругости / В.В. Новожилов; под общ. ред. проф. А.И. Лурье и проф. Л.Г. Лойцянского. – М.: Гостехиздат, 1948. – 211 с.
  40. Ляв, А. Математическая теория упругости / А. Ляв. – М: ОНТИ, 1935. – 674 с.
  41. Красноруцкий, Д.А. Программный комплекс для моделирования механики системы тонких упругих стержней / Д.А. Красноруцкий, П.А. Лакиза, Д.Р. Шелевая // Краевые задачи и математическое моделирование: Тематический сборник научных статей; под общ. ред. Е.А. Вячкиной. – Новокузнецк: Кузбасский гуманитарно-педагогический институт федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Кемеровский государственный университет», 2023. – С. 57–60.

Statistics

Views

Abstract - 59

PDF (Russian) - 38

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2024 Nguyen C.M., Shelevaya D.R., Krasnorutskiy D.A.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies