Full Text

Тонкостенные конические оболочки находят широкое применение в различных индустриальных приложениях в виде основных или вспомогательных элементов сложных конструкций. Определение их собственных частот и форм колебаний представляет определённый практический интерес и является неотъемлемой частью процесса проектирования. В отличие от цилиндрических оболочек исследование конических осложнено следующим. Изменение кривизны приводит к разрешающим дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами, которые затрудняют получение аналитического решения [1]. В случае взаимодействия с идеальной жидкой средой её моделирование также осложнено невозможностью получения аналитического решения для давления (потенциалов скорости или перемещения). Все эти ограничения вынуждают исследователей использовать как всевозможные полуаналитические подходы, включая непосредственное интегрирование дифференциальных уравнений, так и методы, основанные на численной дискретизации [2]. С применением данных численных инструментов за последние десятилетия проанализированы оболочки, выполненные из различных материалов, в том числе, находящиеся под действием статических или динамических нагрузок [3–5]. Особый интерес представляют слоистые композиционные материалы, которые за счёт схем укладки и углов армирования позволяют подобрать частотный спектр, обеспечивающий безопасное функционирование изделия с учётом ограничений на его габариты и массу. Ниже представлен обзор работ, посвящённых собственным колебаниям пустых и содержащих жидкость слоистых конических оболочек (CКО). Универсальная численная процедура на основе классической теории оболочек (КТО) и методе конечных элементов (МКЭ) предложена в работе [6] для анализа собственных и вынужденных колебаний произвольно армированных многослойных тонкостенных оболочек вращения. В качестве демонстрации возможностей алгоритма изучено влияние угла конусности на частоты колебаний трёхслойной конической оболочки с различными граничными условиями. В статье [7] этот алгоритм был модифицирован с целью учёта взаимного влияния симметричных и антисимметричных мод колебаний. Возникающее при этом различие в частотах продемонстрировано на перекрёстно армированных свободно опёртых и жёстко закреплённых конических оболочках. Аналогичные исследования для толстостенных оболочек, выполненные с помощью МКЭ на основе уравнений неклассической теории оболочек (НТО) типа Тимошенко с учётом деформаций поперечного сдвига, приведены в работах [8, 9]. Влияние деформаций поперечного сдвига на примере многослойных поперечно армированных CКО с углом конусности 20 при различных комбинациях граничных условий оценено в [10]. Влияние изменения толщины на собственные частоты колебаний поперечно армированных CКО, описываемых в рамках КТО, изучены в [11] с помощью МКЭ. В работах [12, 13] на примере антисимметричных поперечно армированных CКО, описываемых в рамках КТО или НТО (first-order shear deformation theory, FSDT; далее под НТО понимается именно эта теория, если не оговорено другое), изучено влияние смешанных (мембранно-изгибных) компонент жёсткости на частотный спектр жёстко закреплённых и свободно опёртых оболочек. Эти решения, полученные с помощью метода степенных рядов, использовались в дальнейшем многими авторами для верификации своих результатов. Эффективный алгоритм численного решения задач о свободных колебаниях CКО, объединяющий в себе метод Галёркина для систем интегральных уравнений Фредгольма второго рода с обобщённой формой метода инвариантного погружения, представлен в [14]. На примере двухслойных антисимметричных поперечно армированных жёстко закреплённых оболочек выполнено сравнение результатов, полученных на основе классических и неклассических теорий оболочек. Метод обобщённых дифференциальных квадратур (ОДК) применён в работах [15, 16] для анализа собственных колебаний антисимметричных поперечно армированных оболочек с различными граничными условиями, описываемых в рамках КТО и НТО соответственно. В последней из этих двух работ угол намотки являлся функцией угла конусности. Вариант метода ОДК, в котором производные в окружном и меридиональном направлениях аппроксимируются различными способами, предложен в [17]. С его помощью в рамках НТО выполнен анализ антисимметричных перекрёстно армированных оболочек. Трёхмерные соотношения линейной теории упругости используются в [18] для моделирования свободно опёртых поперечно армированных CКО. С помощью асимптотического разложения по малому параметру и метода многих масштабов получена система дифференциальных уравнений, для решения которой использован метод ОДК. Определение оптимального угла намотки, обеспечивающего максимальное значение низшей частоты, в случае ненагруженной и нагруженной осевыми силами перекрёстно армированной CКО при различных комбинациях граничных условиях осуществлено в [19, 20] с помощью методов последовательного линейного программирования и золотого сечения соответственно. Вычисление собственных частот колебаний произведено в конечно-элементном пакете ABAQUS с учётом деформаций поперечного сдвига. Универсальный подход, основанный на модифицированном вариационном принципе в сочетании с технологией многосегментного разделения, предложен в [21]. Он позволил проанализировать цилиндрические и конические слоистые оболочки с учётом деформаций поперечного сдвига, для которых заданы как классические, так и неклассические граничные условия. Более простая реализация этого метода на основе КТО позднее была использована в [22] при анализе поперечно армированных оболочек, расположенных на двухпараметрическом упругом основании. Упругое основание также принимается во внимание в работе [23]. Здесь в рамках теории оболочек Доннела с использованием метода Галёркина изучены собственные частоты симметричных поперечно армированных оболочек с различным количеством слоёв и способами укладки. С помощью метода дискретных сингулярных свёрток в работах [24–27] в рамках КТО и НТО исследованы свободные колебания поперечно армированных оболочек с различными граничными условиями. Анализ чувствительности вибрационного отклика симметричных двуслойных поперечно и перекрёстно армированных CКО к случайному изменению свойств однонаправленного композиционного материала проведён в [28] посредством совместного использования МКЭ и метода возмущений. Дискретизация уравнений НТО осуществлена в работе [29] вейвлетами Хаара. Здесь представлены результаты анализа некоторых геометрических параметров и свойств материала на частоты колебаний поперечно и перекрёстно армированных CКО. Аналогичный подход используется в [30] для анализа слоистых тел вращения переменной толщины, в том числе конических. Вариационный подход, основанный на КТО и комбинации методов Релея – Ритца, дифференциальных квадратур и рядов Тейлора предложен в [31] для исследования свободных колебаний CКО. Достоверность получаемых результатов оценена на примере антисимметричных поперечно армированных оболочек. Метод Релея – Ритца совместно с НТО и модифицированных рядов Фурье используется в [32, 33] для анализа колебаний слоистых конструкций, представляющих собой тела вращения. Авторами проведена оценка достоверности и рассмотрены CКО с различными углами конусности и граничными условиями. Колебания двух соединённых между собой поперечно армированных CКО изучены с использованием метода степенных рядов в работах [34] и [35] в рамках теории оболочек Доннела и НТО соответственно. Простой аналитический метод решения для слоистых оболочек с произвольным армированием, в том числе конических, основанный на анализе в пространстве состояний и решении в рядах в окружном направлении, предложен в [36]. В данной работе используется линейная теория оболочек Доннела и учитывается связь симметричных и антисимметричных мод. В рамках модифицированной версии НТО свободные колебания поперечно армированных оболочек при различных углах конусности, количестве слоёв и схемах укладки проанализированы в [37] с помощью метода Галёркина. Собственные колебания конических оболочек типа сэндвич, в которых лицевые поверхности представляют собой слоистый материал, изучены в [38] в рамках НТО с использованием ОДК. В работах [39–46] исследованы собственные колебания поперечно и перекрёстно армированных CКО постоянной или переменной толщины при разных вариантах граничных условий. Для аппроксимации перемещений и углов поворота в случае использования НТО применяются сплайны Бикли третьего порядка. Анализируются композиционные материалы различного вида с симметричной и антисимметричной схемой укладки, разным количеством слоёв и углами конусности. Детальное исследование влияния угла намотки, различных вариантов армирования и укладки на частоты колебаний CКО при произвольных комбинациях граничных условий приведено в работах [47, 48]. В обеих публикациях для построения разрешающей системы дифференциальных уравнений использована НТО. В [47] решение осуществляется с помощью рядов Уолша, а в [48] в схемах с бессеточной аппроксимацией применяется метод сглаживания локального градиента. Ещё один универсальный способ определения частотного спектра слоистых конструкций, основанный на методе степенных рядов, предложен в [49]. Исследование различных параметров и граничных условий выполнено в рамках НТО для поперечно армированных CКО. Из представленного обзора следует, что влияние различных параметров на свободные колебания пустых CКО достаточно хорошо изучено. Отметим, что во всех процитированных публикациях рассматриваются перевёрнутые конические оболочки. У таких конструкций радиус нижнего (левого) края меньше верхнего (правого). Данный факт имеет существенное значение в случае несимметричных граничных условий, например, консольного закрепления. В меньшей степени исследованы CКО, взаимодействующие с жидкостью. Метод динамической жёсткости использован в [50] для анализа свободных колебаний пятислойных поперечно армированных оболочек, погруженных в жидкость, а также заполненных ею частично или полностью. Вся конструкция разбивается по длине на ряд цилиндрических сегментов с постоянным радиусом, описываемых в рамках теории Рейснера – Нагди. В каждом из них гидродинамическое давление вычисляется по аналитической формуле с использованием функций Бесселя. Для изучения расположенных на упругом основании полностью заполненных жидкостью двухслойных и четырёхслойных поперечно армированных оболочек с различными граничными условиями в работе [51] использованы НТО, балочные функции и метод Галёркина. Вычисление гидродинамического давления осуществлено с помощью подхода, предложенного в [52]. Это позволило получить из волнового уравнения аналитическое выражение для потенциала скорости как функции угла при вершине и окружной гармоники. Представленный обзор позволяет заключить, что в литературе отсутствует детальный анализ влияния угла армирования на собственные частоты колебаний полностью заполненной жидкостью конической оболочки при различных углах конусности и граничных условиях. Такое ограниченное количество исследований обусловлено невозможностью получения точного аналитического выражения для гидродинамического давления жидкости в случае конической оболочки. В настоящей работе для решения этой проблемы используется комбинация методов ортогональной прогонки (МОПГ), предложенной С.К. Годуновым [53], и метода ОДК [54]. Данный подход применялся ранее авторами для анализа изотропных конических, изотропных и слоистых цилиндрических оболочек, полностью или частично заполненных жидкостью [55–58], и показал хорошую точность при высокой вычислительной эффективности.

About the authors

S. A Bochkarev

Institute of Continuous Media Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Perm, Russian Federation

S. V Lekomtsev

Institute of Continuous Media Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Perm, Russian Federation

References

Statistics

Views

Abstract - 84

PDF (Russian) - 32