THE NUMERICAL INVESTIGATION OF NATURAL VIBRATIONS OF A TRUNCATED LAYERED CONICAL SHELL FILLED WITH A FLUID

Abstract


The paper presents the numerical study of natural vibrations of truncated straight layered conical shells of rotations filled with an ideal compressible fluid. The behavior of the elastic structure and the fluid medium is described in the classical shell theory based on the Kirchhoff – Love hypotheses and Euler equations. The equations of motion of the shell together with the corresponding geometrical and physical relations are reduced to a system of ordinary differential equations with respect to new unknown values. The acoustic wave equation is written for the hydrodynamic pressure and transformed to a system of differential equations using the method of generalized differential quadrature. The solution of the formulated boundary value problem is developed using the Godunov orthogonal sweep method with a numerical integration of differential equations using the Runge – Kutta method of the fourth order. The calculation of the natural frequencies of vibrations is carried out using a combination of the stepwise procedure with the subsequent refinement of the values in the obtained range by the Muller method. The validity of the obtained results is confirmed by a comparison with the known numerical solutions. The dependences of the lowest vibration frequencies on the cone angle and ply angle of simply supported, rigidly clamped and cantilevered two-layer and three-layer composite conical shells are analyzed. The study allows us to assess the possibility of changing the lowest frequencies and the corresponding mode shapes of the vibration in relation to the preset combination of the cone angle, boundary conditions on the edges, layup scheme and ply angle of the composite shells. An extensive series of calculations has revealed the existence of configurations, for which the lowest frequencies exceed the values corresponding values of the equivalent layered circular cylindrical shell.

Full Text

Тонкостенные конические оболочки находят широкое применение в различных индустриальных приложениях в виде основных или вспомогательных элементов сложных конструкций. Определение их собственных частот и форм колебаний представляет определённый практический интерес и является неотъемлемой частью процесса проектирования. В отличие от цилиндрических оболочек исследование конических осложнено следующим. Изменение кривизны приводит к разрешающим дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами, которые затрудняют получение аналитического решения [1]. В случае взаимодействия с идеальной жидкой средой её моделирование также осложнено невозможностью получения аналитического решения для давления (потенциалов скорости или перемещения). Все эти ограничения вынуждают исследователей использовать как всевозможные полуаналитические подходы, включая непосредственное интегрирование дифференциальных уравнений, так и методы, основанные на численной дискретизации [2]. С применением данных численных инструментов за последние десятилетия проанализированы оболочки, выполненные из различных материалов, в том числе, находящиеся под действием статических или динамических нагрузок [3–5]. Особый интерес представляют слоистые композиционные материалы, которые за счёт схем укладки и углов армирования позволяют подобрать частотный спектр, обеспечивающий безопасное функционирование изделия с учётом ограничений на его габариты и массу. Ниже представлен обзор работ, посвящённых собственным колебаниям пустых и содержащих жидкость слоистых конических оболочек (CКО). Универсальная численная процедура на основе классической теории оболочек (КТО) и методе конечных элементов (МКЭ) предложена в работе [6] для анализа собственных и вынужденных колебаний произвольно армированных многослойных тонкостенных оболочек вращения. В качестве демонстрации возможностей алгоритма изучено влияние угла конусности на частоты колебаний трёхслойной конической оболочки с различными граничными условиями. В статье [7] этот алгоритм был модифицирован с целью учёта взаимного влияния симметричных и антисимметричных мод колебаний. Возникающее при этом различие в частотах продемонстрировано на перекрёстно армированных свободно опёртых и жёстко закреплённых конических оболочках. Аналогичные исследования для толстостенных оболочек, выполненные с помощью МКЭ на основе уравнений неклассической теории оболочек (НТО) типа Тимошенко с учётом деформаций поперечного сдвига, приведены в работах [8, 9]. Влияние деформаций поперечного сдвига на примере многослойных поперечно армированных CКО с углом конусности 20 при различных комбинациях граничных условий оценено в [10]. Влияние изменения толщины на собственные частоты колебаний поперечно армированных CКО, описываемых в рамках КТО, изучены в [11] с помощью МКЭ. В работах [12, 13] на примере антисимметричных поперечно армированных CКО, описываемых в рамках КТО или НТО (first-order shear deformation theory, FSDT; далее под НТО понимается именно эта теория, если не оговорено другое), изучено влияние смешанных (мембранно-изгибных) компонент жёсткости на частотный спектр жёстко закреплённых и свободно опёртых оболочек. Эти решения, полученные с помощью метода степенных рядов, использовались в дальнейшем многими авторами для верификации своих результатов. Эффективный алгоритм численного решения задач о свободных колебаниях CКО, объединяющий в себе метод Галёркина для систем интегральных уравнений Фредгольма второго рода с обобщённой формой метода инвариантного погружения, представлен в [14]. На примере двухслойных антисимметричных поперечно армированных жёстко закреплённых оболочек выполнено сравнение результатов, полученных на основе классических и неклассических теорий оболочек. Метод обобщённых дифференциальных квадратур (ОДК) применён в работах [15, 16] для анализа собственных колебаний антисимметричных поперечно армированных оболочек с различными граничными условиями, описываемых в рамках КТО и НТО соответственно. В последней из этих двух работ угол намотки являлся функцией угла конусности. Вариант метода ОДК, в котором производные в окружном и меридиональном направлениях аппроксимируются различными способами, предложен в [17]. С его помощью в рамках НТО выполнен анализ антисимметричных перекрёстно армированных оболочек. Трёхмерные соотношения линейной теории упругости используются в [18] для моделирования свободно опёртых поперечно армированных CКО. С помощью асимптотического разложения по малому параметру и метода многих масштабов получена система дифференциальных уравнений, для решения которой использован метод ОДК. Определение оптимального угла намотки, обеспечивающего максимальное значение низшей частоты, в случае ненагруженной и нагруженной осевыми силами перекрёстно армированной CКО при различных комбинациях граничных условиях осуществлено в [19, 20] с помощью методов последовательного линейного программирования и золотого сечения соответственно. Вычисление собственных частот колебаний произведено в конечно-элементном пакете ABAQUS с учётом деформаций поперечного сдвига. Универсальный подход, основанный на модифицированном вариационном принципе в сочетании с технологией многосегментного разделения, предложен в [21]. Он позволил проанализировать цилиндрические и конические слоистые оболочки с учётом деформаций поперечного сдвига, для которых заданы как классические, так и неклассические граничные условия. Более простая реализация этого метода на основе КТО позднее была использована в [22] при анализе поперечно армированных оболочек, расположенных на двухпараметрическом упругом основании. Упругое основание также принимается во внимание в работе [23]. Здесь в рамках теории оболочек Доннела с использованием метода Галёркина изучены собственные частоты симметричных поперечно армированных оболочек с различным количеством слоёв и способами укладки. С помощью метода дискретных сингулярных свёрток в работах [24–27] в рамках КТО и НТО исследованы свободные колебания поперечно армированных оболочек с различными граничными условиями. Анализ чувствительности вибрационного отклика симметричных двуслойных поперечно и перекрёстно армированных CКО к случайному изменению свойств однонаправленного композиционного материала проведён в [28] посредством совместного использования МКЭ и метода возмущений. Дискретизация уравнений НТО осуществлена в работе [29] вейвлетами Хаара. Здесь представлены результаты анализа некоторых геометрических параметров и свойств материала на частоты колебаний поперечно и перекрёстно армированных CКО. Аналогичный подход используется в [30] для анализа слоистых тел вращения переменной толщины, в том числе конических. Вариационный подход, основанный на КТО и комбинации методов Релея – Ритца, дифференциальных квадратур и рядов Тейлора предложен в [31] для исследования свободных колебаний CКО. Достоверность получаемых результатов оценена на примере антисимметричных поперечно армированных оболочек. Метод Релея – Ритца совместно с НТО и модифицированных рядов Фурье используется в [32, 33] для анализа колебаний слоистых конструкций, представляющих собой тела вращения. Авторами проведена оценка достоверности и рассмотрены CКО с различными углами конусности и граничными условиями. Колебания двух соединённых между собой поперечно армированных CКО изучены с использованием метода степенных рядов в работах [34] и [35] в рамках теории оболочек Доннела и НТО соответственно. Простой аналитический метод решения для слоистых оболочек с произвольным армированием, в том числе конических, основанный на анализе в пространстве состояний и решении в рядах в окружном направлении, предложен в [36]. В данной работе используется линейная теория оболочек Доннела и учитывается связь симметричных и антисимметричных мод. В рамках модифицированной версии НТО свободные колебания поперечно армированных оболочек при различных углах конусности, количестве слоёв и схемах укладки проанализированы в [37] с помощью метода Галёркина. Собственные колебания конических оболочек типа сэндвич, в которых лицевые поверхности представляют собой слоистый материал, изучены в [38] в рамках НТО с использованием ОДК. В работах [39–46] исследованы собственные колебания поперечно и перекрёстно армированных CКО постоянной или переменной толщины при разных вариантах граничных условий. Для аппроксимации перемещений и углов поворота в случае использования НТО применяются сплайны Бикли третьего порядка. Анализируются композиционные материалы различного вида с симметричной и антисимметричной схемой укладки, разным количеством слоёв и углами конусности. Детальное исследование влияния угла намотки, различных вариантов армирования и укладки на частоты колебаний CКО при произвольных комбинациях граничных условий приведено в работах [47, 48]. В обеих публикациях для построения разрешающей системы дифференциальных уравнений использована НТО. В [47] решение осуществляется с помощью рядов Уолша, а в [48] в схемах с бессеточной аппроксимацией применяется метод сглаживания локального градиента. Ещё один универсальный способ определения частотного спектра слоистых конструкций, основанный на методе степенных рядов, предложен в [49]. Исследование различных параметров и граничных условий выполнено в рамках НТО для поперечно армированных CКО. Из представленного обзора следует, что влияние различных параметров на свободные колебания пустых CКО достаточно хорошо изучено. Отметим, что во всех процитированных публикациях рассматриваются перевёрнутые конические оболочки. У таких конструкций радиус нижнего (левого) края меньше верхнего (правого). Данный факт имеет существенное значение в случае несимметричных граничных условий, например, консольного закрепления. В меньшей степени исследованы CКО, взаимодействующие с жидкостью. Метод динамической жёсткости использован в [50] для анализа свободных колебаний пятислойных поперечно армированных оболочек, погруженных в жидкость, а также заполненных ею частично или полностью. Вся конструкция разбивается по длине на ряд цилиндрических сегментов с постоянным радиусом, описываемых в рамках теории Рейснера – Нагди. В каждом из них гидродинамическое давление вычисляется по аналитической формуле с использованием функций Бесселя. Для изучения расположенных на упругом основании полностью заполненных жидкостью двухслойных и четырёхслойных поперечно армированных оболочек с различными граничными условиями в работе [51] использованы НТО, балочные функции и метод Галёркина. Вычисление гидродинамического давления осуществлено с помощью подхода, предложенного в [52]. Это позволило получить из волнового уравнения аналитическое выражение для потенциала скорости как функции угла при вершине и окружной гармоники. Представленный обзор позволяет заключить, что в литературе отсутствует детальный анализ влияния угла армирования на собственные частоты колебаний полностью заполненной жидкостью конической оболочки при различных углах конусности и граничных условиях. Такое ограниченное количество исследований обусловлено невозможностью получения точного аналитического выражения для гидродинамического давления жидкости в случае конической оболочки. В настоящей работе для решения этой проблемы используется комбинация методов ортогональной прогонки (МОПГ), предложенной С.К. Годуновым [53], и метода ОДК [54]. Данный подход применялся ранее авторами для анализа изотропных конических, изотропных и слоистых цилиндрических оболочек, полностью или частично заполненных жидкостью [55–58], и показал хорошую точность при высокой вычислительной эффективности.

About the authors

S. A Bochkarev

Institute of Continuous Media Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Perm, Russian Federation

S. V Lekomtsev

Institute of Continuous Media Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Perm, Russian Federation

References

  1. Lindholm U.S., Hu W.C.L. Non-symmetric transverse vibrations of truncated conical shells, Int. J. Mech. Sci., 1966, vol. 8, pp. 561-579. doi: 10.1016/0020-7403(66)90078-
  2. Shu C. An efficient approach for free vibration analysis of conical shells, Int. J. Mech. Sci., 1996, vol. 38, no. 8-9, pp. 935-949. doi: 10.1016/0020-7403(95)00096-
  3. Qatu M.S. Vibration of laminated shells and plates, Oxford, Academic Press, 2004, 426 p
  4. Yan K., Zhang Y., Cai H., Tahouneh V. Vibrational characteristic of FG porous conical shells using Donnell's shell theory, Steel Compos. Struct., 2020, vol. 35, no. 2, pp. 249-260. doi: 10.12989/scs.2020.35.2.24
  5. Vescovini R., Fantuzzi N. Free vibrations of conical shells via Ritz method, Int. J. Mech. Sci., 2023, vol. 241, 107925
  6. Sheinman I., Greif S. Dynamic analysis of laminated shells of revolution, J. Compos. Mater., 1984, vol. 18, no. 3, pp. 200-215. doi: 10.1177/00219983840180030
  7. Sheinman I., Weissman S. Coupling between symmetric and antisymmetric modes in shells of revolution, J. Compos. Mater., 1987, vol. 21, no. 11, pp. 988-1007. doi: 10.1177/00219983870210110
  8. Sivadas K.R., Ganesan N. Effect of coupling between symmetric and antisymmetric modes in composite thick shells of revolution, Finite Elem. Anal. Des., 1992, vol. 11, no. 1, pp. 9-18. doi: 10.1016/0168-874X(92)90025-
  9. Xi Z.C., Yam L.H., Leung T.P. Semi-analytical study of free vibration of composite shells of revolution based on the Reissner-Mindlin assumption, Int. J. Solids Struct., 1996, vol. 33, no. 6, pp. 851-863. doi: 10.1016/0020-7683(95)00063-
  10. Kayran A., Vinson J.R. Free vibration analysis of laminated composite truncated circular conical shells, AIAA J., 1990, vol. 28, no. 7, pp. 1259-1269. doi: 10.2514/3.2520
  11. Sivadas K.R., Ganesan N. Vibration analysis of laminated conical shells with variable thickness, J. Sound Vib., 1991, vol. 148, pp. 477-491. doi: 10.1016/0022-460X(91)90479-
  12. Tong L. Free vibration of composite laminated conical shells, Int. J. Mech. Sci., 1993, vol. 35, no. 1, pp. 47-61. doi: 10.1016/0020-7403(93)90064-
  13. Tong L. Free vibration of laminated conical shells including transverse shear deformation, Int. J. Solids Struct., 1994, vol. 31, no. 4, pp. 443-456. doi: 10.1016/0020-7683(94)90085-
  14. Andreyev A.N. Free oscillations of layered elastic composite shells of revolution, J. Appl. Mech. Tech. Phys., 1995, vol. 36, pp. 764-772. doi: 10.1007/BF0236929
  15. Shu C. Free vibration analysis of composite laminated conical shells by generalized differential quadrature, J. Sound Vib., 1996, vol. 194, no. 4, pp. 587-604. doi: 10.1006/jsvi.1996.037
  16. Wu C.-P., Lee C.-Y. Differential quadrature solution for the free vibration analysis of laminated conical shells with variable stiffness, Int. J. Mech. Sci., 2001, vol. 43, no. 8, pp. 1853-1869. doi: 10.1016/S0020-7403(01)00010-
  17. Mehditabar A., Rahimi G.H., Fard K.M. Vibrational responses of antisymmetric angle-ply laminated conical shell by the methods of polynomial based differential quadrature and Fourier expansion based differential quadrature, Appl. Math. Comput., 2018, vol. 320, pp. 580-595. doi: 10.1016/j.amc.2017.10.01
  18. Wu C.P., Wu C.H. Asymptotic differential quadrature solutions for the free vibration of laminated conical shells, Comput. Mech., 2000, vol. 25, pp. 346-357. doi: 10.1007/s00466005048
  19. Hu H.-T., Ou S.-C. Maximization of the fundamental frequencies of laminated truncated conical shells with respect to fiber orientations, Compos. Struct., 2001, vol. 52, no. 3-4, pp. 265-275. doi: 10.1016/S0263-8223(01)00019-
  20. Hu H.-T., Chen P.-J. Maximization of fundamental frequencies of axially compressed laminated truncated conical shells against fiber orientation, Thin-Walled Struct., 2015, vol. 97, pp. 154-170. doi: 10.1016/j.tws.2015.09.00
  21. Qu Y., Long X., Wu S., Meng G. A unified formulation for vibration analysis of composite laminated shells of revolution including shear deformation and rotary inertia, Compos. Struct., 2013, vol. 98, pp. 169-191. doi: 10.1016/j.compstruct.2012.11.00
  22. Wu S., Qu Y., Hua H. Free vibration of laminated orthotropic conical shell on Pasternak foundation by a domain decomposition method, J. Compos. Mater., 2015, vol. 49, no. 1, pp. 35-52. doi: 10.1177/002199831351425
  23. Sofiyev A.H., Kuruoglu N. Natural frequency of laminated orthotropic shells with different boundary conditions and resting on the Pasternak type elastic foundation, Compos. Part B Eng., 2011, vol. 42, no. 6, 1562-1570. doi: 10.1016/j.compositesb.2011.04.01
  24. Civalek Ö. The determination of frequencies of laminated conical shells via the discrete singular convolution method, J. Mech. Mater. Struct., 2006, vol. 1, no. 1, pp. 163-182. doi: 10.2140/jomms.2006.1.16
  25. Civalek Ö. Free vibration analysis of composite conical shells using the discrete singular convolution algorithm, Steel Compos. Struct., 2006, vol. 6, no. 4, pp. 353-366. doi: 10.12989/scs.2006.6.4.35
  26. Civalek Ö. Numerical analysis of free vibrations of laminated composite conical and cylindrical shells: Discrete singular convolution (DSC) approach, J. Comput. Appl. Math., 2007, vol. 205, no. 1, pp. 251-271. doi: 10.1016/j.cam.2006.05.00
  27. Civalek Ö. Vibration analysis of laminated composite conical shells by the method of discrete singular convolution based on the shear deformation theory, Compos. Part B Eng., 2013, vol. 45, no. 1, pp. 1001-1009. doi: 10.1016/j.compositesb.2012.05.01
  28. Tripathi V., Singh B.N., Shukla K.K. Free vibration of laminated composite conical shells with random material properties, Compos. Struct., 2007, vol. 81, no. 1, pp. 96-104. doi: 10.1016/j.compstruct.2006.08.00
  29. Xie X., Jin G., Li W., Liu Z. A numerical solution for vibration analysis of composite laminated conical, cylindrical shell and annular plate structures, Compos. Struct., 2014, vol. 111, pp. 20-30. doi: 10.1016/j.compstruct.2013.12.01
  30. Kim J., Kim K., Kim K., Hong K., Paek C. Free vibration analysis of cross-ply laminated conical shell, cylindrical shell, and annular plate with variable thickness using the Haar wavelet discretization method, Shock Vib., 2022, vol. 2022, 6399675. doi: 10.1155/2022/639967
  31. Ansari R., Faghih Shojaei M., Rouhi H., Hosseinzadeh M. A novel variational numerical method for analyzing the free vibration of composite conical shells, Appl. Math. Model., 2015, vol. 39, no. 10-11, pp. 2849-2860. doi: 10.1016/j.apm.2014.11.01
  32. Jin G., Ye T., Su Z. Structural vibration: A uniform accurate solution for laminated beams, plates and shells with general boundary conditions, Beijing, Science Press, 2015, 324 p.
  33. Jin G., Ye T., Jia X., Gao S. A general Fourier solution for the vibration analysis of composite laminated structure elements of revolution with general elastic restraints, Compos. Struct., 2014, vol. 109, pp. 150-168. doi: 10.1016/j.compstruct.2013.10.05
  34. Kouchakzadeh M.A., Shakouri M. Free vibration analysis of joined cross-ply laminated conical shells, Int. J. Mech. Sci., 2014, vol. 78, pp. 118-125. doi: 10.1016/j.ijmecsci.2013.11.00
  35. Izadi M.H., Hosseini-Hashemi S., Korayem M.H. Analytical and FEM solutions for free vibration of joined cross-ply laminated thick conical shells using shear deformation theory, Arch. Appl. Mech., 2018, vol. 88, no. 12, pp. 2231-2246. doi: 10.1007/s00419-018-1446-
  36. Shakouri M., Kouchakzadeh M.A. Analytical solution for vibration of generally laminated conical and cylindrical shells, Int. J. Mech. Sci., 2017, vol. 131-132, pp. 414-425. doi: 10.1016/j.ijmecsci.2017.07.01
  37. Sofiyev A.H. Application of the first order shear deformation theory to the solution of free vibration problem for laminated conical shells, Compos. Struct., 2018, vol. 188, pp. 340-346. doi: 10.1016/j.compstruct.2018.01.01
  38. Nasihatgozar M., Khalili S.M.R. Vibration and buckling analysis of laminated sandwich conical shells using higher order shear deformation theory and differential quadrature method, J. Sandw. Struct. Mater., 2019, vol. 21, no. 4, pp. 1445-1480. doi: 10.1177/109963621771580
  39. Viswanathan K.K., Navaneethakrishnan P.V. Free vibration of layered truncated conical shell frusta of differently varying thickness by the method of collocation with cubic and quintic splines, Int. J. Solids Struct. 2005, vol. 42, no. 3-4, pp. 1129-1150. doi: 10.1016/j.ijsolstr.2004.06.06
  40. Viswanathan K.K., Aziz Z.A., Javed S., Yaacob Y., Pullepu B. Free vibration of symmetric angle ply truncated conical shells under different boundary conditions using spline method, J. Mech. Sci. Tech., 2015, vol. 29, pp. 2073-2080. doi: 10.1007/s12206-015-0428-
  41. Viswanathan K.K., Javed S., Aziz Z.A. Free vibration of symmetric angle-ply layered conical shell frusta of variable thickness under shear deformation theory, Struct. Eng. Mech. 2013, vol. 45, no. 2, pp. 259-275. doi: 10.12989/sem.2013.45.2.25
  42. Viswanathan K.K., Javed S., Prabakar K., Aziz Z.A., Bakar I.A. Free vibration of anti-symmetric angle-ply laminated conical shells, Compos. Struct., 2015, vol. 122, pp. 488-495. doi: 10.1016/j.compstruct.2014.11.07
  43. Viswanathan K.K., Lee J.H., Aziz Z.A., Hossain I., Rongqiao W., Abdullah H.Y. Vibration analysis of cross-ply laminated truncated conical shells using a spline method, J. Eng. Math., 2012, vol. 76, pp. 139-156. doi: 10.1007/s10665-011-9525-
  44. Viswanathan K.K., Nor Hafizah A.K., Aziz Z.A. Free vibration of angle-ply laminated conical shell frusta with linear and exponential thickness variations, Int. J. Acoust. Vib., 2018, vol. 23, no. 2, pp. 264-276. doi: 10.20855/ijav.2018.23.2116
  45. Javed S., Al Mukaha F.H.H., Salama M.A. Free vibration analysis of composite conical shells with variable thickness, Shock Vib., 2020, vol. 2020, 4028607. doi: 10.1155/2020/402860
  46. Javed S., Viswanathan K.K., Aziz Z.A., Lee J.H. Vibration analysis of a shear deformed anti-symmetric angle-ply conical shells with varying sinusoidal thickness, Struct. Eng. Mech., 2016, vol. 58, no. 6, pp. 1001-1020. doi: 10.12989/sem.2016.58.6.100
  47. Guo S., Hu P., Li S. Free vibration analysis of composite conical shells using Walsh series method, Mater. Res. Express, 2021, vol. 8, no. 7, 075303. doi: 10.1088/2053-1591/ac0eb
  48. Hu S., Zhong R., Wang Q., Bin Q. Vibration analysis of closed laminate conical, cylindrical shells and annular plates using meshfree method, Eng. Anal. Bound. Elem., 2021, vol. 133, pp. 341-361. doi: 10.1016/j.enganabound.2021.09.01
  49. He D., Shi D., Wang Q., Ma C. A unified power series method for vibration analysis of composite laminate conical, cylindrical shell and annular plate, Structures, 2021, vol. 29, pp. 305-327. doi: 10.1016/j.istruc.2020.11.01
  50. Zhu H., Wu J. Free vibration of partially fluid-filled or fluid-surrounded composite shells using the dynamic stiffness method, Acta Mech., 2020, vol. 231, pp. 3961-3978. doi: 10.1007/s00707-020-02734-
  51. Paknejad R., Ghasemi F.A., Malekzadeh Fard K. Natural frequency analysis of multilayer truncated conical shells containing quiescent fluid on elastic foundation with different boundary conditions, Int. J. Appl. Mech., 2021, vol. 13, no. 07, 2150075. doi: 10.1142/S175882512150075
  52. Nurul Izyan M.D., Viswanathan K.K., Aziz Z.A., Lee J.H., Prabakar K. Free vibration of layered truncated conical shells filled with quiescent fluid using spline method, Compos. Struct., 2017, vol. 163, no. 1, pp. 385-398. doi: 10.1016/j.compstruct.2016.12.011
  53. Godunov S.K. Ordinary differential equations with constant coefficients, American Mathematical Society, Providence, 1997
  54. Shu C. Differential quadrature and its application in engineering, London, Springer-Verlag, 2000, 356 p
  55. Bochkarev S.A., Lekomtsev S.V., Matveenko V.P. Natural vibrations of truncated conical shells containing fluid, Mech. Solids, 2022, vol. 57, no. 8, pp. 1971-1986. doi: 10.3103/S002565442208006
  56. Bochkarev S.A., Lekomtsev S.V., Matveenko V.P. Natural vibrations of composite cylindrical shells partially filled with fluid, Vestnik St. Petersb. Univ. Math., 2023, vol. 56, no. 4, pp. 435-445. doi: 10.21638/spbu01.2023.31
  57. Bochkarev S.A., Matveenko V.P. Free vibration analysis of a cylindrical shell of variable thickness partially filled with fluid, Proc. Steklov Inst. Math., 2023, vol. 321(Suppl 1), pp. S20-S32. doi: 10.1134/S008154382303004
  58. Bochkarev S.A., Lekomtsev S.V. Analysis of natural vibrations of truncated conical shells partially filled with fluid, Int. J. Mech. Sys. Dyn., 2024, vol. 4, no. 2, pp. 1-12. doi: 10.1002/msd2.1210
  59. Karmishin A.V., Lyaskovets V.A., Myachenkov V.I., Frolov A.N. Statika i dinamika tonkostennyh obolochechnyh konstrukcij [The Statics and Dynamics of Thin-walled Shell Structures]. Moscow, Mashinostroyeniye, 1975, 376 p.
  60. Alfutov N.A., Zinov'ev P.A., Popov B.G. Raschet mnogoslojnyh plastin i obolochek iz kompozicionnyh materialov [Analysis of Multilayer Plates and Shells of Composite Materials]. Moscow, Mashinostroyeniye, 1984, 264 p.
  61. Averbukh A.Z., Veitsman R.I., Genkin M.D. Kolebaniya elementov konstrukcii v zhidkosti [Vibration of Structural Elements in Fluid]. Moscow, Nauka, 1987, 158 p
  62. Muller D.E. A method for solving algebraic equations using an automatic computer, Math. Tables Other Aids Comput., 1956, 10, pp. 208-215. doi: 10.1090/S0025-5718-1956-0083822-
  63. Wu X. Improved Muller method and Bisection method with global and asymptotic superlinear convergence of both point and interval for solving nonlinear equations, Appl. Math. Comput., 2005, vol. 166, no. 2, pp. 299-311. doi: 10.1016/j.amc.2004.04.12
  64. Narita Y., Ohta Y., Yamada G., Kobayashi Y. Analytical method for vibration of angle-ply cylindrical shells having arbitrary edges, AIAA J., 1992, vol. 30, no. 3, pp. 790-796. doi: 10.2514/3.1098
  65. Bochkarev S.A., Lekomtsev S.V. Natural vibrations and hydroelastic stability of laminated composite circular cylindrical shells, Struct. Eng. Mech., 2022, vol. 81, no. 6, pp. 769-780. doi: 10.12989/sem.2022.81.6.76
  66. Thambiratnam D.P., Zhuge Y. Axisymmetric free vibration analysis of conical shells, Eng. Struct., 1993, vol. 15, no. 2, pp. 83-89. doi: 10.1016/0141-0296(93)90002-
  67. Rahmanian M., Firouz-Abadi R.D., Cigeroglu E. Free vibrations of moderately thick truncated conical shells filled with quiescent fluid, J. Fluids Struct., 2016, vol. 63, pp. 280-301. doi: 10.1016/j.jfluidstructs.2016.04.00
  68. Buchanan G.R., Wong F.T.-I. Frequencies and mode shapes for thick truncated hollow cones, Int. J. Mech. Sci., 2001, vol. 43, no. 12, pp. 2815-2832. doi: 10.1016/S0020-7403(01)00068

Statistics

Views

Abstract - 4334

PDF (Russian) - 68

Cited-By


PlumX

Comments on this article

Comments on this article

View all comments

Copyright (c) 2025 Bochkarev S.A., Lekomtsev S.V.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies