SOLVING THE PROBLEM OF A TRANSVERSE BENDING OF AN ELECTRO-MAGNETO-ELASTIC HALF-PLANE WITH HOLES AND CRACKS
- Authors: Kaloerov S.A1, Seroshtanov A.V1
- Affiliations:
- Donetsk State University, Donetsk, Russian Federation
- Issue: No 1 (2025)
- Pages: 20-33
- Section: ARTICLES
- URL: https://ered.pstu.ru/index.php/mechanics/article/view/4543
- DOI: https://doi.org/10.15593/perm.mech/2025.1.02
- Cite item
Abstract
The paper solves the problem of bending a piezo plate in the form of a half-plane with holes and cracks by using the complex potentials of the theory of electro-magneto-elastic bending of thin plates. In this case, functions that are holomorphic outside the contours of the holes and cracks are decomposed into Laurent series, and functions that are holomorphic in the lower half-planes are expressed using Cauchy-type integrals in terms of functions conjugate to these functions. При таком подходе полученные суммарные функции точно удовлетворяют граничным условиям на прямолинейной границе полуплоскости, а для определения неизвестных коэффициентов рядов Лорана используются граничные условия на контурах отверстий и трещин, которые в работе удовлетворяются обобщенным методом наименьших квадратов, приводящим задачу к переопределенной системе линейных алгебраических уравнений, решаемой методом сингулярного разложения. With this approach, the resulting total functions precisely satisfy the boundary conditions on the rectilinear boundary of the half-plane. To determine the unknown coefficients of the Laurent series we use boundary conditions on the contours of the holes and cracks, which are affected by the generalized least squares method, leading the problem to an overridden system of linear algebraic equations solved by the singular value decomposition method. The numerical results of the electro-magneto-elastic state of a half-plane with a circular hole or crack, with a circular hole and an internal crack in the jumper, with a circular hole having an edge crack in the jumper are described. We establish regularities of changes in the electro-magneto-elastic state of the plate depending on its material and geometric characteristics of holes and cracks, their mutual location. It has been found that as the hole or crack approaches the rectilinear boundary, the values of the moments at the points of the bridge increase sharply and change insignificantly in other zones. A large concentration of moments is also observed at the points of the rectilinear boundary near the jumper. The values of these moments are especially high in the problem for a half-plane with a circular hole having an edge crack in the jumper. The values of bending moments are significantly affected by taking into account the piezo properties of the material, especially in areas of high concentrations of the bending moments, therefore in these cases it is forbidden to limit ourselves to solving the problem of elasticity theory of plate bending, and it is necessary to solve the problem of electro-magneto-elasticity. Keywords: thin piezo plate, half-plane, holes, cracks, complex potentials, Cauchy type integrals, generalized least squares method, concentration of bending moments, moment intensity factors.
Full Text
Тонкие пластинки с отверстиями и трещинами из пьезоматериалов получили широкое применение в качестве элементов различных конструкций современной науки и техники [1–7]. Такие элементы часто находятся в условиях поперечного изгиба тонких плит и под действием различных механических и электромагнитных воздействиях около отверстий и трещин возникают высокие концентрации изгибающих моментов (напряжений), что необходимо учитывать при проектировании и эксплуатации конструкций. Различные подходы определения электромагнитоупругого состояния (ЭМУС) пьезоплит простой геометрической формы из материалов простейшей микроструктуры были предложены в работах [8–15]. Но эти методы для определения ЭМУС пьезоплит с отверстиями и трещинами при произвольных их расположениях не пригодны или неэффективны. Наиболее достоверные же результаты при определении ЭМУС многосвязных плит получаются при использовании для решения задач комплексных потенциалов теории изгиба электромагнитоупругих тонких плит [16, 17]. К настоящему времени с использованием этих функций авторами данной статьи решены различные задачи для конечных и бесконечных плит с отверстиями и трещинами. Для случая же изгиба полуплоскости, вблизи прямолинейной границы которой располагаются концентраторы моментов, такая задача вообще не рассматривалась, хотя из исследований для плоской задачи теории упругости анизотропного тела известно, что именно в этом случае около отверстий и трещин возникает особенно высокая концентрация напряжений. При этом известно, что в случае многосвязной полуплоскости наиболее достоверные результаты получаются при удовлетворении граничным условиям на прямолинейной границе методом интегралов типа Коши. Этот подход для решения задач теории упругости в случае анизотропной полуплоскости был предложен в работе [18], а затем с его использованием были решены разнообразные задачи, включая сложные задачи о действии в многосвязной полуплоскости сосредоточенных сил. В работе [19] сфера действия метода интегралов типа Коши была расширена за счет его использования при определении общего вида комплексных потенциалов в задаче задачи для многосвязной анизотропной полосы с отверстиями и трещинами, когда для определения неизвестных коэффициентов рядов Лорана использовалcя обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК) [20]. В данной работе с использованием комплексных потенциалов теории изгиба тонких электромагнитоупругих плит впервые построены решения задач об изгибе полуплоскости с внутренними отверстиями и трещинами. При удовлетворении граничным условиям на прямолинейной границе использан метод интегралов типа Коши, позволивший построить общий вид комплексных потенциалов, точно удовлетворяющих граничным условиям на прямолинейной границе. Для удовлетворения граничным условиям на контурах отверстий и трещин используется ОМНК. Описаны результаты численных исследований ЭМУС по изгибу полуплоскости с круговым отверстием или трещиной, с круговым отверстием и трещиной в перемычке, в том числе выходящей из контура отверстия. Исследованиями изучены закономерности изменения ЭМУС рассматриваемых плит в зависимости от их материалов и геометрических характеристик отверстий и трещин.About the authors
S. A Kaloerov
Donetsk State University, Donetsk, Russian Federation
A. V Seroshtanov
Donetsk State University, Donetsk, Russian Federation
References
- Cady W.G. Piezoelectricity: An Introduction to the Theory and Applications of Electromechancial Phenomena in Crystals. New York, McGraw-Hill Book Company, 1946, 806 p
- Berlincourt D., Curran D.R., and Jaffe H., Piezoelectric and Piezomagnetic Materials and Their Function in Transducers. Ed. by W. P. Mason, New York, Academic Press, Physical Acoustics, 1964, pp. 169-270
- Bichurin M.I., Petrov V.M., Filippov D.A., et al., Magnetoelectric Composites. Moscow, Akad. Estestv., 2006
- Pyatakov A.P. Magnetoelectric Materials and Their Application in Practice. Bul. Ros. Magnit. Obshchestva, 2006, Vol. 5, No. 2, pp.1-3
- Nan C.-W., Bichurin M.I., Dong Sh., Viehland D., Srinivasan G. Multiferroic magnetoelectric composites: Historical perspective, status, and future directions. J. Appl. Phys., 2008, Vol. 103, No. 3, pp. 031101. doi: 10.1063/1.283641
- Tian R., Liu J., Liu X. Magnetoelectric properties of piezoelectric-piezomagnetic composites with elliptical nanofibers. Acta Mechanica Solida Sinica, 2020, Vol. 33, pp. 368-380. doi: 10.1007/s10338-019-00126-
- Srinivas S., Jiang Y.L. The effective magnetoelectric coefficients of polycrystalline multiferroic composites. Acta Mater, 2005, Vol. 53, pp. 4135-4142. doi: 10.1016/j.actamat.2005.05.01
- Eringen A.C., Maugin G.A. Electrodynamics of Continua I. New York, Springer, 1990, 436 p. doi: 10.1007/978-1-4612-3226-
- Librescu L.; Hasanyan D.; Ambur DR Electromagnetically conducting elastic plates in a magnetic field: modeling and dynamic implications. International journal of non-linear mechanics, 2004, Vol. 39, No. 5, pp. 723-739. doi: 10.1016/S0020-7462(03)00023-
- Shen W., Zhang G., Gu Sh., Cong Y. A transversely isotropic magneto-electro-elastic circular Kirchhoff plate model incorporating microstructure effect. Acta Mechanica Solida Sinica, 2022, Vol. 35, No. 2, pp. 185-197. doi: 10.1007/s10338-021-00271-
- Yang Y., Li X.-F. Bending and free vibration of a circular magnetoelectroelastic plate with surface effects. Int. J. Mech. Sci., 2019, Vol. 157-158, pp. 858–871, doi: 10.1016/j.ijmecsci.2019.05.029
- Zheng Y-F., Xu L.-L., Chen C.-P. Nonlinear bending analysis of magnetoelectroelastic rectangular plates using higher order shear deformation theory. J. Mech. Sci. Technol., 2021, Vol. 35, No. 3, pp. 1099-1108. doi: 10.1007/s12206-021-0223-
- Ieşan D. On the bending of piezoelectric plates with microstructure. Acta Mech., 2008, Vol. 198, No. 3, pp. 191-208. doi: 10.1007/s00707-007-0527-
- Xu S.-P., Wang W. Bending of piezoelectric plates with a circular hole. Acta Mech., 2009, Vol. 203., pp. 127-135. doi: 10.1007/s00707-008-0025-
- Galeş C., Baroiu N. On the bending of plates in the electromagnetic theory of microstretch elastity. ZAMM, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2014, Vol. 94, No. 1-2, pp. 55-71. doi: 10.1002/zamm.20120021
- Kaloerov S.A. Osnovnye sootnosheniia prikladnoi teorii izgiba tonkikh elektromagnitouprugikh plit [The main relations of the applied theory of bending of thin electro-magneto-elastic plates]. Bulletin of Donetsk National University. Series A: Natural Sciences, 2022, No. 1, pp. 20–38
- Kaloerov S.A., Seroshtanov A.V. Investigation of the electro-magneto-elastic state of a finite multiply connected thin plate. PNRPU Machanics Bulletin, 2023, No. 4, pp. 34-44. doi: 10.15593/perm.mech/2023.4.0
- Kaloerov S.A. Stress state of an anisotropic half-plane with a finite number of elliptic holes. Soviet Applied Mechanics, 1966, Vol. 2, pp. 45-49. doi: 10.1007/BF0088561
- Kaloerov S.A., Glushankov E.S., Mironenko A.B. Solution of problems of elasticity theory for multiply connected half-planes and strips. Mechanics of Solids, 2023, Vol. 58, pp. 1063-1075. doi: 10.3103/S0025654422601100
- Kaloerov S.A., Parshikova O.A., Thermoviscoelastic state of multiply connected anisotropic plates. International Applied Mechanics, 2012, Vol. 48, No. 3, pp. 319-331. doi: 10.1007/s10778-012-0523-
- Voevodin V.V. Vychislitel'nye osnovy lineinoi algebry [Computational Basis of Linear Algebra]. Moskov, Nauka, 304 p
- Forsythe J. E., Malcolm M. A., and Moler C. B., Computer Methods for Mathematical Computations. Prentice-Hall, 1977
- Drmač Z., Veselič K. New fast and accurate Jacobi SVD algorithm. 1. SIAM J. Matrix Anal. Appl. 2008, vol. 29, no. 4, pp. 1322-1342. doi: 10.1137/05063919
- Drmač Z., Veselič K. New fast and accurate Jacobi SVD algorithm. 2. SIAM J. Matrix Anal. Appl. 2008, vol. 29, no. 4, pp. 1343-1362. doi: 10.1137/05063920
- Tian W.-Y., Gabbert U. Multiple crack interaction problem in magnetoelectroelastic solids. Europ. J. Mech. Part A, 2004, Vol. 23, pp. 599-614. doi: 10.1016/j.euromechsol.2004.02.00
- Yamamoto Y., Miya K. Electromagnetomechanical Interactions in Deformable Solids and Structures, Amsterdam. Elsevier Science-North Holland, 1987, 450 p
- Hou P.F., Teng G.-H., Chen H.-R. Three-dimensional Greens function for a point heat source in two-phase transversely isotropic magneto-electro-thermo-elastic material. Mech. Mater, 2009, Vol. 41., pp. 329-338. doi: 10.1016/j.mechmat.2008.12.0