Effects of Terms of High Order in Synthesized Polynomial Series Approximation for Fields Associated with the Crack Tip in Anisotropic Media. Part 1. Comparison of Exact and Asymptotic Solutions for Determining Stresses at the Crack Tip
- Authors: Stepanova L.V1, Mushankova K.A1
- Affiliations:
- Samara National Research University, Samara, Russian Federation
- Issue: No 1 (2025)
- Pages: 59-81
- Section: ARTICLES
- URL: https://ered.pstu.ru/index.php/mechanics/article/view/4546
- DOI: https://doi.org/10.15593/perm.mech/2025.1.05
- Cite item
Abstract
The article presents the analysis of asymptotic series expansions generalized to the case of anisotropic linearly elastic media representing fields of displacements, strains and stresses around the tip of an acute crack in anisotropic media. We study anisotropic materials with the simplest cubic symmetry and fields in the proximate neighbourhood of the crack tip. The asymptotic series are constructed on the essential principles of the classical theory of elasticity of an anisotropic body. By analyzing the series associated with the fields at the crack tip, it is shown that higher approximations with coefficients called generalized stress intensity factors have an essential impact on the accurate and relevant representation of the stress field to expand the zone of the asymptotic solution. Using the example of a plane problem for an infinite anisotropic plane with the cubic symmetry of properties (with different tensors of elastic modules having three independent elements) with different crack orientations relative to the axes of the symmetry of elastic properties, it is shown that in the generalized series, in addition to the first two terms (containing stress concentration factors and T-stresses), terms of higher orders of smallness should be preserved. The circumferential -apportionments of the stress components at various spans from the crack tip are assembled with the retention of a different quantity of series terms to obtain sufficiently accurate approximations. A comparison of the dependencies of the tensor components on the polar angle obtained taking into account the different quantity of series terms clearly indicates the need to retain the higher approximations of the series. In order to expand the area in which the solution in the series is valid, it is necessary to preserve a larger number of terms. All computations were performed for real materials which elastic constants were determined using the molecular dynamics method for single-crystal substances with a face-centered cubic (FCC) lattice.
Full Text
Технологические композитные материалы, древесина, горные породы и костные ткани представляют собой примеры сред, демонстрирующих принципиальную анизотропию присущих им механических свойств: модули упругости, коэффициент Пуассона, объемный модуль, прочность и вязкость разрушения [1-14]. Анизотропные материалы имеют широкий спектр приложений, включая авиационные и космические композиционные элементы конструкций, авто- и судостроение, атомная энергетика, медицинское протезирование, спортивный инвентарь, эксплуатация сланцевых коллекторов с помощью техники гидроразрыва пласта, осадочные фундаменты и деревянные конструкции и сооружения [1]. В некоторых из этих приложений, таких как композитные конструкции, проблема состоит в сохранении целостности и живучести системы, в то время как в других случаях, таких как гидроразрыв пласта, цель состоит в создании трещин определенной протяженности и направления. Вследствие этого изучение трещин, имеющихся в анизотропных средах, играет решающую роль в оценке прочности и живучести конструкций [1-14]. Основы теории упругости анизотропного тела заложены в [2], где сформулированы фундаментальные положения и концепции механики анизотропной линейно упругой среды и приведена систематическая формулировка плоской задачи теории анизотропных материалов в терминах аналитических функций комплексных переменных. С тех пор продолжаются исследования граничных задач механики твердого тела и механики разрушения, в частности [3-14]. По всей видимости, впервые решение задачи о растяжении бесконечной ортотропной плоскости с центральным разрезом было найдено в статье [3], развивающей более раннюю работу [4], где c применением классического формализма теории функции комплексного переменного (ТФКП) выведены общие уравнения для полей перемещений и напряжений вблизи острия разреза в анизотропной линейно упругой плоскости. В [4] получены соотношения для КИН непосредственно из функций напряжений Эри. Некоторые аналитические решения отдельных граничных задач даны в замкнутом виде и обсуждаются со ссылкой на сопутствующие им решения для изотропных тел. Обнаружено, что сингулярность, присущая данному подходу теории упругости анизотропного тела и свойственная линейно упругому материалу вида , всегда присутствует у вершины трещины в теле с прямолинейной анизотропией ( – расстояние от фронта трещины). Полученный результат и дополнительный анализ полей напряжений у вершины трещины [3] ясно показал, что возможно распространить современные методы механики разрушения на представление условий разрушения для анизотропных тел с трещиноподобными дефектами. Одним из наиболее интересных результатов теоретических рассмотрений и численного расчета в [3] является четкое указание на зависимость коэффициентов интенсивности ортотропных напряжений от упругих постоянных. Для краевых задач такого типа коэффициенты интенсивности изотропных напряжений не зависят от материальных констант. Авторы [5] исследовали упругую реакцию на разрушение ортотропной пластины с наклонной трещиной, подвергнутой на бесконечности двухосной равномерной нагрузке. С этой целью предложен новый подход к получению выражений в терминах комплексных переменных для упругих полей в анизотропных пластинах. С использованием предлагаемой в [5] процедуры, основывающейся на каноническом подходе Колосова-Мусхелишвили, авторами получены распределения напряжений у вершины трещины, включающие неособые слагаемые и проанализировано влияние регулярных слагаемых на оценку угла роста трещины. Для прогнозирования угла распространения трещины был использован критерий максимального окружного напряжения с учетом того, что для ортотропных материалов необходимо учитывать зависимость критического КИН для режима I от угла, характеризующего анизотропию материала. С учетом неособых слагаемых изучены локусы разрушения ортотропных материалов, что еще раз подчеркнуло отличие поведения анизотропных материалов от изотропного случая и влияние неособых слагаемых. В целом, теория разрушения анизотропных тел в настоящее время еще окончательно не отточена, продолжает активно и динамично развиваться и привлекает внимание представителей многих научных школ нашей страны [6-10] и мира [11-18]. Ярким примером анизотропного материала со сложной иерархической структурой является костная ткань. Понимание и математическое описание пространственной деформации и поведения кости при переломах остается важной задачей для расшифровки взаимосвязи между структурой, функцией и составом кости с целью улучшения стратегий профилактики переломов [11]. Целью исследования [11] является определение влияния формы наконечника индентора и ориентации ткани на характер растрескивания и локальную деформацию кортикальной кости при нагрузке вдавливанием, и определение свойств локального разрушения, полученных на основе экспериментальных полей смещения вокруг трещин, вызванных вдавливанием. Авторы комбинируют поэтапные испытания на вдавливание SRμCT in situ (метод компьютерной микротомографии) и DVC (метод объемной цифровой корреляции изображений – один из наиболее популярных оптических методов, основная идея которого заключается в сравнении изображений объекта до и после деформации), чтобы изучить взаимосвязь между возникновением трещины и локальной деформацией в кортикальной кости овцы, количественно оценить смещения при раскрытии локальной трещины, режимы разрушения и коэффициенты интенсивности напряжений на концах трещин, вызванных вдавливанием, исходя из полей смещений, измеренных DVC. В конечном счете это поможет оценить эластичность, пластичность и трещиноватость кости в зависимости от ее микроструктуры. В [11] представлена экспериментальная методика, сочетающая визуализацию с высоким разрешением, тестирование вдавливания индентора в кость и цифровую корреляцию объемов. Методика позволяет количественно оценить локальную деформацию, распространение трещин и режимы разрушения кортикальной кости. Результаты исследования подчеркивают анизотропное поведение костной ткани, состоящей из остеонов, сложный рисунок распространения трещины и демонстрируют разрушения, инициируемые сложными напряженными состояниями под острием индентора. Это представляет широкий интерес не только для понимания переломов костей, но и для понимания другой архитектуры биоструктур, обеспечивая эффективный способ количественной оценки механизмов их упрочнения в связи с их основной механической функцией. При подземной разработке горных пород естественные дефекты (такие как трещины, стыки, полости произвольной формы) и анизотропия горного массива являются решающими факторами, влияющими на прочность конструкции [12]. Расчет коэффициентов интенсивности напряжений анизотропных упругих тел с множеством овальных отверстий и трещин имеет первостепенное значение не только для проектирования запорных отверстий для повышения стабильности эксплуатации горных выработок, но и для оптимизации параметров гидроразрыва пласта для повышения производительности использования геотермального и (или) сланцевого газа. Текущие исследования в основном сосредоточены на нагружении удаленными напряжениями, независимо от поверхностных напряжений, приложенных к отверстиям и трещинам. В работе [12] учитываются как удаленные однородные напряжения, так и неоднородные поверхностные напряжения для расчета многотрещинных систем, взаимодействующих с множеством овальных отверстий в анизотропных упругих твердых телах. На основе интегрального подхода Коши ТФКП аналитически выведены два элементарных решения для сдвиговых составляющих напряжений вблизи одиночного овального отверстия и одиночной трещины, подверженных воздействию поверхностных точечных сил в анизотропной среде. В статье разработан и предложен новый подход для решения задачи, сводящейся к интегральным уравнениям, описывающим систему взаимодействующих овальных отверстий и трещин в двумерных анизотропных упругих твердых телах без каких-либо ограничений по количеству, размерам, ориентации и местоположению овальных отверстий и трещин [12]. Его точность и осуществимость подтверждаются путем сравнения полученных решений КИН с доступными точными решениями, приближенными решениями и решениями с использованием метода конечных элементов. Новый метод может быть дополнительно обобщен на случай трехмерной анизотропной задачи "отверстие-трещина" при тех же сложных напряженных состояниях. Поэтому можно заключить, что большинство натуральных и искусственно созданных материалов проявляют анизотропию своих механических свойств, которую необходимо принимать во внимание при характеристике процессов разрушения. На первоначальном этапе анализа явления разрушения и определения напряженно-деформированного состояния в теле с разрезом часто обращаются к приближенным (асимптотическим) соотношениям для полей вблизи трещины, что диктует, в свою очередь, необходимость определения неизвестных коэффициентов рядов вблизи кончика разреза с помощью теоретической, экспериментальной или численной процедуры. Коэффициенты первых слагаемых рядов, стоящие при , именуемые КИН, получили первенствующее значение в доктринах механики упругого разрушения [1,8-10,14,15]. В силу чего до сих пор в многочисленных исследованиях представителей различных научных школ довлеет именно определение исключительно КИН (или КИН и Т-напряжений) [1,12,13]. Вместе с тем, на значительных дистанциях от кончика трещины сингулярные слагаемые не характеризуют в полной мере поля в окрестности вершины разреза, и влияние параметров линейной механики упругого разрушения высшего порядка становится очевидным [1,8-10,14,15]. Многие примеры и исследования [1,8-10,14-16] свидетельствуют о необходимости учета регулярных (неособых) слагаемых, членов более высокого порядка малости [1,8-10,14-16]. Эти параметры полезны при анализе траектории роста трещины и механизма разрушения анизотропных сред в тех случаях, когда зона процесса велика по сравнению с длиной трещины. Используя эти данные о параметрах механики разрушения более высокого порядка, можно не только улучшить аналитические представления для напряжений, деформаций и смещений, но и расширить и уточнить уже существующие критерии разрушения. Опираясь на вышеуказанные источники, можно утверждать, что анализ полей, ассоциированных с кончиком трещины в анизотропных телах, представляет собой одну из определяющих проблем современной механики разрушения. Настоящая работа посвящена изучению эффектов высших приближений в обобщенном представлении полей напряжений, деформаций и перемещений в анизотропных средах.About the authors
L. V Stepanova
Samara National Research University, Samara, Russian Federation
K. A Mushankova
Samara National Research University, Samara, Russian Federation
References
- Nejati M., Ghouli S., Aytollahi M.R. Crack tip asymptotic fields in anisotropic planes: Importance of higher order terms. Applied Mathematical Modelling, 2021, vol. 91, pp. 837-862. doi: 10.1016/j.apm.2020.09.02
- Lekhnitskii S.G. Theory of Elasticity of an Anisotropic Body. M, Mir, 1981, 431 p
- Bowie O.L., Freese C.E. Central Crack in Plane Orthotropic Rectangular Sheet. International Journal of Fracture, 1972, vol. 8(1), pp. 49-57. doi: 10.1007/BF0018519
- Sih G.C., Paris P.C., Irwin G.R. On cracks in rectilinearly anisotropic bodies. International Journal of Fracture, 1965, vol. 1(3), pp. 189-203. DOI: 10/1007/bf0018685
- Carloni C., Piva A., Viola E. Biaxial Load Effect on Crack Initiation for Orthotropic Materials. Meccanica, 2004, vol. 39, pp. 331-344. doi: 10.1023/B:MECC.0000029363.67419.8
- Sadd M.H. Elasticity. Theory, Applications and Numerics. Amsterdam: Academic Press, 2020, 624 p
- Vasil’ev V.V., Lurie S.A., Salov V.A. New solution to the problem of a crack in an orthotropic plate under tension. Mechanics of Solids, 2021, vol. 56, no. 6, pp. 902-910. doi: 10.31857/S057232992106016
- Stepanova L.V., Belova O.N. Coefficients of the Williams power expansion of the near crack stress field in continuum linear elastic fracture mechanics at the nanoscale. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 2022, vol. 119, 103298. doi: 10.1016/j.tafmec.2022.10329
- Belova O.N., Stepanova L.V. Importance of the higher order terms of the Williams series expansions: Experimental Aspects and Finite Element Simulations. Procedia Structural Integrity, 2022, vol. 39, pp. 770-785. doi: 10.1016/j.prostr.2022.03.15
- Stepanova L., Bronnikov S. A computational study of the mixed-mode crack behavior by molecular dynamics method and the multi-parameter crack field description of classical fracture mechanics. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 2020, vol. 109, 102691. doi: 10.1016/j.tafmec.2020.10269
- Fernandez M.P., Schwiedrzik J., Burki A., Peyrin F., Michler J., Zysset P., Wolfram U. In situ synchrotron radiation μCT indentation of cortical bone: Anisotropic crack propagation, local deformation, and fracture. Acta Biomaterialia, 2023, vol. 167, pp. 83-99. doi: 10.1016/j.actbio.2023.04.03
- Rao Q-h., Zhao C-c., Yi W., Sun D., Liu Z. Stress intensity factor calculation of the cracks interacted by the oval-holes in anisotropic elastic solids under remote and non-uniform surface stresses. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 2022, vol. 121, 103475. doi: 10.1016/j.tafmec.2022.10347
- Ayatollahi M.R., Nejati M., Ghouli S. The finite element over-deterministic method to calculate the coefficients of crack tip asymptotic fields in anisotropic planes. Engineering Fracture Mechanics, 2020, vol. 231, 106082. doi: 10.1016/j.engfracmech.2020.10698
- Nejati M., Ghouli S., Ayatollahi M.R. Crack tip asymptotic field and K-dominant region for anisotropic semi-circular bend specimen. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 2020, vol. 109, 102640. doi: 10.1016/j.tafmec.2020.102640
- Stepanova L.V., Belova O.N. Stress intensity factors, T-stresses and higher order coefficients of the Williams series expansion and their evaluation through molecular dynamics simulations. Mechanics of Advanced Materials and Structures, 2023, vol. 30, Issue 19, pp. 3862-3884. doi: 10.1080/15376494.2022.208480
- Nejati M., Bahrami B., Ayatollahi M.R., Driesner T. On the anisotropy of shear fracture toughness in rocks. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 2021, vol. 113, 102946. doi: 10.1016/j.tafmec.2021.10294
- Bodaghi F., Movahedi M., Kokabi A.H. Estimation of solidification cracking susceptibility in Al-Si-Cu alloy weld: effects of anisotropic permeability and deformation orientation. Journal of Materials Research and Technology, 2023, vol. 23, pp. 2351-2361. doi: 10.1016/j.jmrt.2023.01.13
- Wang C., Ping X., Wang X. An adaptive finite element method for crack propagation based on a multifunctional super singular element. International Journal of Mechanical Sciences, 2023, vol. 247, 108191. doi: 10.1016/j.ijmecsci.2023.10819
- Khaji Z., Fakoor M. Examining the effect of crack initiation angle on fracture behavior of orthotropic materials under mixed-mode I/II loading. International Journal of Solids and Structures, 2022, vol. 256, 111952. doi: 10.1016/j.ijsolstr.2022.11195
- Gailac R., Pullumbi P., Coudert F.-X. ELATE: an open-source online application for analysis and visualization of elastic tensors. Journal of Physics: Condensed Matter, 2016, vol. 28, 275201. doi: 10.1088/0953-8984/28/27/27520
- Ran Z., Zou C., Wei Z., Wang H. VELAS: An open-source toolbox for visualization and analysis of elastic anisotropy. Computer Physics Communications, 2022, vol. 283, 108540. doi: 10.1016/j.cpc.2022.10854
- Thube Y.S., Gotkhindi T.P. A simple, robust novel Williams series-based FE-analytical hybrid technique for evaluation of SIFs and higher order coefficients. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 2023, vol. 127, 104101. doi: 10.1016/j.tafm.2023.10410
- Hu B., Li C., Niu Z. Analysis of 2-D elastic solid with multiple V-notches by a fast multipole BEM with multi-order asymptotic terms. Applied Mathematical Modelling, 2023, vol. 118,.pp. 762-779. doi: 10.1016/j.apm.2023. 02.00
- Pan W., Cheng C., Wang F., Hu Z., Li J. Determination of singular and higher non-singular stress for angular heterogeneous material notch. Engineering Fracture Mechanics, 2023, vol. 292, 109592. doi: 10.1016/j.engfracmech.2023.10959
- Zhong Y., Xie G., Wang L., Li K., Wang X., He W., Wang S. Novel boundary crack front elements with Williams' eigenexpansion properties for 3D crack analysis. Archive of Applied Mechanics, 2023, vol.93, pp. 745-760. doi: 10.1007/s00419-022-02296-
- Stepanova L.V. Experimental determination and finite element analysis of coefficients of the multi-parameter Williams series expansion in the vicinity of the crack tip in linear elastic materials. Part I. PNRPU Mechanics Bulletin, 2020, no. 4, pp. 237-249. doi: 10.15593/perm.mech/2020.4.2
- Stepanova L.V. Experimental determination and finite element analysis of coefficients of themulti-parameter Williams series expansion in the vicinity of the crack tip in linear elastic materials. Part II. PNRPU Mechanics Bulletin, 2021, no. 1, pp. 72-85. doi: 10.15593/perm.mech/2021.1.0
- Alavi SK, Ayatollahi MR, Bahrami B, Nejati M. An analytical stress field for bi-material V-notches with end hole: New solution and effects of higher order terms. Mathematics and Mechanics of Solids, 2023, vol. 28(2), pp. 464-478. doi: 10.1177/1081286522108431
- Mirzaei A, Ayatollahi M, Bahrami B. Asymptotic stress field and the coefficients of singular and higher order terms for V-notches with end holes under mixed-mode loading. International Journal f Solids and Structures, 2019, vol. 172, pp. 51–69. doi: 10.1016/j.ijsolstr.2019.05.01
- Bahrami B., Ayatollahi M.R., Mirzaei A.M., Berto F. Improved stress and displacement fields around V-notches with end holes. Engineering Fracture Mechanics, 2019, vol. 217, 106539. doi: 10.1016/j.engfracmech.2019.10653
- Bahrami B., Ayatollahi M.R., Mirzaei AM. Analysis of stresses and displacements in the vicinity of blunt V-notches by considering higher order terms. Fatigue and Engineering Materials and Structures. 2019, vol. 42(8), pp. 1760–1774. doi: 10.1111/ffe.1301
- Melching D., Breitbarth E. Advanced crack tip field characterization using conjugate work integrals. International Journal of Fatigue, 2023, vol. 169, 107501. doi: 10.1016/j.ijfatigue.2023.10750
- Matvienko Yu.G. Basics of physics and mechanics of fracture. M., «Fizmatlit», 2022, 144 p.
- Matvienko Yu.G. Two-parameter elastic-plastic fracture criterion and corrected fracture toughness. Industrial Laboratory. Materials Diagnostics, 2022, vol. 88, no 8, pp. 59-69. doi: 10.26896/1028-6861-2022-88-8-59-69.
- Matvienko, Yu. G. The two-parameter fracture criterion based on the J-A concept. Fatigue Fracture of Engineering Materials Structures, 2023, vol. 46, no. 9, pp. 3261-3273. – doi: 10.1111/ffe.14075.
- Matvienko Yu.G. Two-parameter fracture mechanics. M., Publishing company "Physico-mathematical literature", 2020, 210 p.
- Baldi A., Santucci P.M. Kinematic estimation of fracture mechanics parameter with automatic crack-tip identification. Engineering Fracture Mechanics, 2022, vol. 259, 108082. doi: 10.1016/j.engfracmech.2021.10808
- Strohmann T., Melching D., Paysan F., Klein A., Dietrich E., Requena G., Breitbarth E. Crack Analysis Tool in Python-CrackPy, – 2022. doi: 10.5281/zenodo.7323623
- Shaikeea A.J.D., Cui H., O’Masta, M., Zheng X.R., Deshpande V.S. The toughness of mechanical metamaterials. Nat. Mater, 2022, vol. 21, pp. 297–304. https://doi.org/10.1038/s41563-021-01182-1
- Li Y., Ni T., Zhang F., Li Y., Zuo J., Zhao S. U-Net learning for the automatic identification of the sandstone crack tip position to determine mixed-mode stress intensity factors utilizing digital image correlation method. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 2023, vol. 127, 104028. doi: 10.1016/j.tafmec.2023.10402
- Stepanova L.V., Mushankova K.A. Atomistic and continuum ascertainment of the crack tip stress fields in anisotropic elastic cubic media. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 2024, vol. 133, Part B, 104613, https://doi.org/10.1016/j.tafmec.2024.10461