An Asymptotic Method for Solving Contact Problems on the Effect of a Half-Strip Stamp on an Anisotropic Composite

Abstract


For the first time, an asymptotic solution has been constructed for the contact problem of friction of a rigid half-strip stamp of an anisotropic multilayer composite material. The relative width of the half-strip is assumed to be a large parameter that determines the asymptotic expansion. The method is based on generalizing the approach to constructing asymptotic solutions for simpler contact problems. Previously, the asymptotic method has been developed to solve the contact problem in case of a strip-stamp with a large relative width. The method proved to be effective because it provided a satisfactory agreement with the solution constructed by the counter asymptotic expansion for the stamps in the form of a strip of a small relative width. In this paper, it is applied in a much more complex and previously unsolved contact problem for a stamp in the form of a semi-infinite strip. The complexity of this problem lies in the fact that in order to apply the asymptotic approach, it is necessary to develop a method for solving two-dimensional Wiener-Hopf equations, which has already been done by the authors and it is already used in this work. Similar problems occur in engineering practice and construction when creating various objects, when developing an electronic element base, in seismology, when assessing the state of seismicity in the transition zone of a mountain range into a plain. By using the existing numerical methods, it is possible to describe the behavior of the concentration of contact stresses at the stamp boundary, and especially at the corner points of the boundary, where the most vulnerable parts of the structure are located. However, it is not possible to construct a complete solution of the distribution of contact stresses under the half-strip stamp together with the features at the boundary, due to the area infiniteness. In this paper, a solution is constructed that correctly reflects the real distribution of the contact stresses under the stamp and aims at an accurate solution with an increasing strip width parameter.

Full Text

Контактные и смешанные задачи о действии полуполосовых штампов на анизотропные композиты актуальны во многих областях. Это проблемы инженерной практики, при конструировании сложного оборудования и узлов с контактами на основе конструкционных композитов [1-14], строительство, фундаментостроение, фрикционное взаимодействие, при конструировании ленточных фундаментов [15,16], в электронике в преобразователях на поверхностных акустических волнах и в полосковых линиях передач [17]. Эти проблемы возникли в науках о Земле, в сейсмологии, для исследования сейсмичности зон перехода горной гряды в равнину [18]. Разработан ряд аналитических и численных приближенных методов решения этой задачи, в основном, базирующиеся на решении задач для бесконечной полосы, с последующим делением носителя решения на две половины [19]. Для численного решения методом граничного элемента задача является сложной в связи с наличием на всей границе штампа концентрации контактных напряжений. Заметим, что в работах [20-26] применялись, в основном, численные методы для решения различных граничных задач для анизотропных композитов. . Особое место в контактных задачах с негладкой границей у штампов занимают угловые точки границы с повышенной концентрацией контактных напряжений, где только в последнее время достигнут значительный прогресс [27]. Аналитическое построение точного или высокоточного приближенного решения этой задачи сдерживалось в связи с отсутствием аналогов формул Сохоцкого - Племеля для функций нескольких комплексных переменных, что пока не удалось построить. Однако определенное продвижение в этих задачах наметилось, в связи с разработкой метода блочного элемента, позволившего точно решать контактные задачи в четверти плоскости [28]. Именно построение решений этих контактных задач, как показано в настоящей статье, позволило построить асимптотическое решение контактной задачи для полуполосы, приближающееся к точному, при увеличении ширины полосы. В настоящей статье показано, насколько значительно отличие решения для полуполосы, получаемое простым делением носителя решения для полосы на две части, от асимптотически верного решения.

About the authors

V. A Babeshko

Kuban State University, Krasnodar, Russian Federation

O. V Evdokimova

Kuban State University, Krasnodar, Russian Federation

O. M Babeshko

Kuban State University, Krasnodar, Russian Federation

V. S Evdokimov

Kuban State University, Krasnodar, Russian Federation

References

  1. Горячева И.Г. Механика фрикционного взаимодействия. М.: Наука, 2001. – 478 с
  2. Баженов В.Г., Игумнов Л.А. Методы граничных интегральных уравнений и граничных элементов. М. Физматлит. 2008. 352 с
  3. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных тел. Физматлит, 2002. – 240 с
  4. Колесников В.И., Беляк О.А. Математические модели и экспериментальные исследования – основа конструирования гетерогенных антифрикционных материалов. М. Физматлит. 2021. 265 с
  5. Liu, M. Huang H. Poroelastic response of spherical indentation into a half space with a drained surface via step displacement // International Journal of Solids and Structures. – 2019. – Vol. 165. – P. 34 – 49
  6. Kudimova A.B., Nadolin D.K., Nasedkin A.V., Nasedkina A.A., Oganesyan P.A., Soloviev A.N. Finite element homogenization of piezocomposites with isolated inclusions using improved 3-0 algorithm for generating representative volumes in Acelan-Compos package // Materials Physics and Mechanics. – 2020. – Т. 44, № 3. – С. 392 – 403
  7. Zhou S., Gao X.L.: Solutions of half-space and half-plane contact problems based on surface elasticity. Zeitschrift fr angewandte Mathematik und Physik 64:145-166, 2013
  8. Mao H.-J., Liu D.-F., Zhang N., Huang T., Khnert I., Yang J.-H., Wang Y. Constructing a Microcapacitor Network of Carbon Nanotubes in Polymer Blends via Crystallization-Induced Phase Separation Toward High Dielectric Constant and Low Loss // ACS Applied Materials Interfaces. Article. – 2020. – Vol. 12, №23. – P. 26444 – 26454
  9. Cosenza Ph., Giot R., Giraud A., Hedan S. A fractional differential scheme for the effective transport properties of multiscale reactive porous media: Applications to clayey geomaterials // International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics. – 2021. – Vol. 45(14). – P. 2130 – 2154
  10. Беляк О.А., Суворова Т.В. Колебания штампа на поверхности гетерогенного слоя при учете трения в области контакта // Прикладная математика и механика. –2021. –Т. 85, № 3. – С. 321 – 331
  11. Almqvist A. An lcp solution of the linear elastic contact mechanics problem. http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/43216, 2013
  12. Soloviev A.N., Vasiliev A.S., Sadyrin E.V., Lednov A.S. The flat stamp indentation into poroelastic liquid-saturated materials // Mathematical Modeling, lnverse Problems and Big Data. –2021. –С. 27-34
  13. Cocou M.: A class of dynamic contact problems with Coulomb friction in viscoelasticity. // Nonlinear Analysis: Real World Applications 22:508-519, 2015
  14. Торская Е.В. Модели фрикционного взаимодействия тел с покрытиями. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2020. – 296 с
  15. Tsudik E. Analysis of structures in elastic foundations. Ross Publishing, 2013. 585 p
  16. Айзикович С.М., Кудиш И.И. Приближенное аналитическое решение задачи о полосовом электроде на поверхности пьезоэлектроупругой полуплоскости с функционально-градиентным пьезоэлектроупругим покрытием // Проблемы прочности и пластичности. 2019. Т. 81. № 4. С. 393-401
  17. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. О резонансах академика И.И. Воровича в контактных задачах с деформируемым штампом в сейсмологии // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2023. № 4. С. 4–12. doi: 10.18522/1026-2237-2023-4-4-1
  18. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М., 1974. 456 с
  19. Sundar U., Lao Z., Cook K. Chennault Investigation of Piezoelectricity and Resistivity of Surface Modified Barium Titanate Nanocomposites // Polymers. – 2019. – Vol. 11, № 12. – P. 2123
  20. Ehterami A., Kazemi M., Nazari B., Saraeian P., Azami M. Fabrication and characterization of highly porous barium titanate based scaffold coated by Gel/HA nanocomposite with high piezoelectric coefficient for bone tissue engineering applications. J. Mech. Behav. Biomed. Mater. – 2018. – Vol. 79. – P. 195–202
  21. Saheb N., Hayat U., Hassan S.F. Recent Advances and Future Prospects in Spark Plasma Sintered Alumina Hybrid Nanocomposites. Nanomaterials. – 2019. – Vol. 9, № 11. – 1607 p
  22. Toozandehjani M., Matori K.A., Ostovan F., Aziz S.A., Mamat S.M. Effect of milling time on the microstructure, physical and mechanical properties of Al-Al2O3 nanocomposite synthesized by ball milling and powder metallurgy. Materials. – 2017. – Vol. 10. – 1232 p
  23. Mathew J., Mandal A., Deepak Kumar S., Bajpai S., Chakraborty M., West G.D., Srirangam P. Effect of semi-solid forging on microstructure and mechanical properties of in-situ cast Al Cu-TiB2 composites. J. Alloys Compd. – 2017. – Vol. 712. – P. 460–467
  24. Mavros H., Karantzalis A.E., Lekatou A. Solidification Observations and sliding wear behavior of cast TiC particulate-reinforced AlMgSi matrix composites. J. Compos. Mater. – 2013. – Vol. 47. – P. 2149–2162
  25. Evgin T., Turgut A., Hamaoui G., Spitalsky Z., Horny N., Micusik M., Chirtoc M., Sarikanat M. and Omastova M. Size effects of graphene nanoplatelets on the properties of high-density polyethylene nanocomposites: morphological, thermal, electrical, and mechanical characterization. Beilstein Journal of Nanotechnology. – 2020. – Vol. 11, №1. – P. 167 – 179
  26. Матвеенко В.П., Федоров А.Ю., Шардаков И.Н. Анализ сингулярности напряжений в особых точках упругих тел из функционально градиентных материалов. Доклады Академии наук. 2016. Т. 466. № 1. С. 38-42
  27. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Евдокимов В.С. Точное решение задачи об акустике в произвольной многослойной среде при контактном взаимодействии с клиновидным штампом // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2023. – № 4. С. 5–11. doi: 10.15593/perm.mech/2023.4.0
  28. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М. Наука, 1984. 256 с
  29. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М. Наука, 1999. 246 с
  30. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука. 1989. 344

Statistics

Views

Abstract - 40

PDF (Russian) - 16

Cited-By


PlumX

Comments on this article

Comments on this article

View all comments

Copyright (c) 2025 Babeshko V.A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M., Evdokimov V.S.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies