Full Text

Введение В гидроупругих системах одновременно происходит взаимодействие упругих и гидродинамических неустойчивостей. Вопросам статического и динамического поведения продольно сжатого упругого элемента, контактной границы жидкостей с разными плотностями и скоростями движения посвящены многочисленные исследования. Укажем лишь на первоисточники [1-4] и на некоторые монографические и обзорные работы [5-8]. Теория статической неустойчивости тонкостенных оболочек и пластин получила развитие в связи с созданием объектов надводного и подводного флота, нефтехимии, аэрокосмической техники, а теория неустойчивости контактной границы жидкостей - для объяснения некоторых природных явлений и описания процессов в технических системах. Малость инерционных сил обусловливается относительно медленным изменением возмущений при медленном изменении внешних воздействий (сил сжатия трубопровода, гидростатических сил, скорости движения жидкости в трубопроводе). Взаимодействие гидродинамических неустойчивостей с учетом капиллярных сил впервые было рассмотрено в [3]. В дальнейшем были учтены сжимаемость и вязкость жидкостей, вихреобразование и другие нелинейные эффекты [8]. Внешние воздействия могут быть как независимыми друг от друга, так и связанными [9]. Обзор работ по теме приводится в [9, 10]. Численный метод решения задачи о статической неустойчивости пластины в сверхзвуковом потоке газа и неустойчивости трубопровода рассматривается в [11, 12]. Математическое моделирование в задачах статической неустойчивости упругих элементов конструкций при аэрогидродинамическом воздействии представлено в [13]. Изучению продольной устойчивости трубопроводов посвящено много работ. Отметим фундаментальные работы [14-16], в которых рассмотрены все основные случаи возможной потери трубопроводом устойчивости в минеральных грунтах и выполнены аналитические и экспериментальные исследования в данном направлении. В перечисленных и других работах авторы несколько по-разному трактуют потерю трубопроводом устойчивости с различных позиций, как качественно, так и количественно, поясняют факт его возможного появления [14]. Например, в [17] приведен анализ литературных источников, откуда следует, что в одних работах [18-21] уравнение продольно-поперечного изгиба трубопровода имеет вид, отличный от уравнения, приведенного в [22-23]. Также отметим, что по трубопроводу прокачивается огромная масса продукта с достаточно большой скоростью, и этот фактор также влияет на его устойчивость [24-25]. Отметим актуальность исследования проблемы статического взаимодействия неустойчивостей трубопровода. Магистральные нефтегазопроводы в Западной Сибири и на севере европейской части России начали строить примерно с середины 60-х годов прошлого века. С самого начала проектировщики, строители и эксплуатационники столкнулись с двумя серьезными проблемами: прокладкой трубопроводов на многолетнемерзлых грунтах и на болотах [14]. За последующие 40 с лишним лет десятки организаций и сотни исследователей работали над этими проблемами, но окончательного решения в приемлемой для практики степени не получено и до настоящего времени. Несмотря на видимую простоту конструкции, выполнить расчет подземного магистрального трубопровода на прочность, общую устойчивость в продольном направлении и против всплытия очень сложно в силу его большой протяженности и криволинейного пространственного расположения в неоднородной грунтовой среде с переменными характеристиками [14]. В целом по ОАО «Газпром» протяженность всплывших участков составляла на 1999 год еще многие сотни километров, причем прирост плавающих газопроводов составлял 40-60 км в год, по другим данным - до 100 км в год. Следует отметить важную деталь: новые плавающие участки и арки выброса появляются как на вновь построенных газопроводах, так и на уже отремонтированных и давно эксплуатируемых. Этот факт позволяет сделать вывод, что процесс взаимодействия с грунтом трубопровода, особенно с учетом его протяженности и многообразия изменений граничных условий во времени, исследован еще недостаточно. Многие предприятия также активно работали над устранением последствий всплытия, не обращая, однако, должного внимания па исследование самих причин появления таких участков [14]. Здесь статическое взаимное влияние указанных неустойчивостей называется взаимодействием неустойчивостей трубопровода. 1. Постановка задачи Тонкий упругий трубопровод закреплен на защемленных скользящих опорах, расположенных на расстоянии L друг от друга, причем опоры не препятствуют течению жидкости с плотностью ri и скоростью Ui внутри трубопровода вдоль его оси (рис. 1). Вне трубопровода находится покоящаяся жидкость с плотностью re. На скользящих опорах прогиб и угол поворота равны нулю. Ускорение G направлено перпендикулярно к оси трубопровода. Предполагается несжимаемость срединной линии трубопровода, идеальность и несжимаемость жидкостей. Трубопровод сжимается продольной силой Р. Если рассматривать поведение трубопровода в области нескольких пролетов, то способ приложения силы к трубопроводу и создания течения жидкости внутри трубопровода можно не конкретизировать [9]. Сила Р, давления внутри и вне трубопровода pi, pe и скорость Ui изменяются независимо друг от друга. Интенсивность их возрастания от нуля будем считать такой, чтобы инерционные силы в системе были малы. При Р = 0, Ui = 0, pi = 0, pe = 0 трубопровод имеет малое отклонение от оси x в виде . (1) Рис. 1. Расчетная схема трубопровода (опоры не показаны) Fig. 1. The computation scheme of the pipe (the supports are not shown) Рис. 2. Схема действия сил на тонкий упругий трубопровод при его изгибе в плоскости zx Fig. 2. The scheme of forces acting on a thin plastic pipeline under bending in the plane of zx При этом остаточные напряжения в нем отсутствуют, например, в результате отжига трубопровода [9]. Сумма проекций на ось z всех сил, действующих на элемент длиной dx (рис. 2), рассчитывается следующим образом [9, 10]: где Q - перерезывающая сила; q - интенсивность распределенной выталкивающей силы; k - кривизна осевой линии трубопровода; r, h, F - плотность, толщина стенки и площадь поперечного сечения трубопровода; Fi - площадь сечения в свету трубопровода. Давления внутри и вне трубопровода определяются по формулам Здесь р0 - давление на поверхности жидкости на высоте Н от трубопровода; pi0, pe0 - давления жидкости внутри и вне трубопровода на расчетной глубине. Из уравнения моментов в том же приближении следует Qdx - dM = 0, где в выражение изгибающего момента M = D d 2w/dx2 не входит w0 ввиду указанного выше предположения об отсутствии напряжений до начала внешних воздействий. Принимая в линейной задаче cosa = 1, sin(a + da) = = a + da и учитывая a = d(w0 + w)/dx, da = = (d 2(w0 + w)/dx2)dx, получаем уравнение изгиба трубопровода относительно текущего прогиба w(x) [26-29] где E, Ri - модуль упругости, внутренний радиус поперечного сечения трубопровода. В состоянии равновесия Поэтому Линеаризованное уравнение записывается в следующем виде: (2) 2. Изгиб трубопровода Примем частное решение уравнения (2) в виде . (3) Подставляя (1), (3) в уравнение (2), получаем отношение амплитуды текущего прогиба к амплитуде начального прогиба в виде (4) Здесь PE - критическое значение статической продольной сжимающей силы на трубопровод (n = 1). Из (4) видно, что прогиб тем больше, чем больше величина осевого усилия сжатия трубопровода P, давление внутри трубопровода pi0, скоростной напор внутри трубопровода и меньше критическое значение статической продольной сжимающей силы на трубопровод PE, плотность жидкости вне трубопровода re, давление вне трубопровода pe0. При Rn = PE(n2b)2 (5) прогиб в рассматриваемом линейном приближении растет неограниченно. Здесь Rn представляет собой критическую комбинацию внешних воздействий P, pi0, pe0, для системы с заданными параметрами материалов и размерами E, ri, h, L, Ri. С возрастанием внешних воздействий рост прогиба (4) происходит наиболее быстро при n = 1. Указанная критическая комбинация внешних воздействий по (4) является минимальной при n = 1. 3. Частные случаи Ввиду большого количества входных параметров может быть выделено множество частных случаев, представляющих самостоятельное значение. Рассмотрим некоторые из них. 1. Из (4) получаем критическое значение сжимающей трубопровод силы (6) которое представляет собой обобщение классического критического значения в задаче Эйлера за счет учета давлений внутри и вне трубопровода pi0, pe0, скоростного напора внутри трубопровода . Из выражения (6) следует, что критическая сжимающая сила Pcr может быть отрицательной или при осевых усилиях растяжения в трубопроводе он может потерять устойчивость. В статье [30] отмечается, что увеличение внутреннего давления и уменьшение внешнего давления в трубопроводе может привести к отрицательной эквивалентной осевой силе, меньшей, чем критическая сила Эйлера. Видно, что увеличение давления и скоростного напора внутри трубопровода pi0, , уменьшение изгибной жесткости EJ трубопровода, внешнего давления pe0 приводят к уменьшению критического значения силы P. Например, в статье [31] отмечено, что работы по строительству магистральных газопроводов в заболоченной местности, как правило, производятся зимой, а ввод газопровода в работу осуществляется летом. В результате этого происходит однократное удлинение уже в первый весенне-летний период эксплуатации. Но на практике удлинение носит систематический характер. В [14, 32] отмечается влияние переменного давления на процесс удлинения трубопровода. На сегодняшний момент можно считать общепринятым, что процесс удлинения в конечном счете способствует появлению неустойчивости геометрической формы. Таким образом, происходит сезонное изменение усилия сжатия трубопровода, которое может достигать критического значения. Здесь не рассматривается изменение силы P за счет температуры окружающей среды, температуры транспортируемого продукта. 2. Если осевое усилие сжатия трубопровода P, внешнее давление pe0, скоростной напор внутри трубопровода равны нулю, то из (6) получаем критическое значение внутреннего давления pi0 [27, 33], В примере [33] показано, что под действием внутреннего давления трубка теряет устойчивость так же, как под действием критической сжимающей силы Эйлера, хотя сжимающая трубку сила равна нулю. Почему происходит потеря устойчивости в этом случае, пояснено в [27]. Чаще всего искривление трубопровода связывается со степенью обводненности как основной причиной. Как отмечено в работе [31], в [34] приведен статистический анализ местоположения 99 арочных выбросов, который позволил установить, что опасными с точки зрения потери проектного положения являются участки трубопровода, проложенные на первых 50 км от выхода из компрессорной станции (КС) (76 выбросов), далее от 50-го до 80-го км произошло 15 выбросов, на участке от 80-го км до следующей КС в полностью обводненных траншеях произошло 8 выбросов. Из этого следует, что на удаленном от КС участке, где влияние скачков давления значительно ниже, снижено и число искривлений трубопровода, несмотря на полную обводненность этих участков. Таким образом, результат работы хорошо согласуется с экспериментальными данными, которые указывают на необходимость рассмотрения механизмов искривления, связанных не только с обводненностью грунта [31]. Но отметим также, что с удалением от КС уменьшается давление внутри трубопровода. Это приводит к увеличению запаса устойчивости трубопровода по внутреннему давлению nPi: что тоже соответствует наблюдениям [14, 34]. 3. Если осевое усилие сжатия трубопровода P, внешнее давление pe0 равны нулю, то из (6) получаем критическую комбинацию плотности ρi, давления pi0 и скорости движения Ui жидкости, при которой отклоненная от прямолинейной форма является состоянием равновесия [35, 36]: 4. Когда внутреннее и внешнее давления pi0, pe0 равны нулю, то из (6) получаем критическое значение силы осевого усилия сжатия P: 5. В случае однородной покоящейся жидкости (Ui = 0) из (6) следует 6. При внутреннем давлении pi0, равном нулю, и однородной покоящейся жидкости Ui = 0 из (6) следует критическое отрицательное давление вакуума вне трубопровода: 7. Из (6) следует критическое значение скоростного напора внутри трубопровода 8. Когда осевое усилие сжатия трубопровода P, внутреннее и внешнее давления pi0, pe0 равны нулю, то из вышеприведенной формулы получаем критическое значение скоростного напора внутри трубопровода [25, 33]: 8 а. Из предыдущей формулы и (4) следует критическое значение скорости течения по трубопроводу при n = 1: 8 б. Из предыдущей формулы следует критическое значение плотности жидкости внутри трубопровода при n = 1: 8 в. При допущении можно принять , тогда из предыдущей формулы следует критическое значение толщины стенки трубопровода при n = 1: 9. Если трубопровод подвержен всестороннему давлению жидкости, осевое усилие сжатия трубопровода P, внутреннее давление pi0, скоростной напор внутри трубопровода равны нулю, pe0 = р0 + GreН, то согласно (6) имеет место абсолютная устойчивость начальной формы трубопровода при любом значении давления окружающей однородной жидкости (W0n + Wn < W0n): W0n + Wn = W0nPE /[(PE + pe0 (F + Fi)n-2)]. Таким образом, при увеличении внешнего гидростатического давления трубопровод выпрямляется, причем в наибольшей мере по гармонике n = 1. На этом эффекте основаны некоторые технологические операции в камерах с высоким давлением [9]. 10. Если изгибная жесткость трубки D = 0, то трубка не может работать на сжатие. При выполнении условия трубка не сминается. Полученные результаты позволяют анализировать устойчивость трубопроводных систем и тонкостенных трубок. Учет взаимодействия неустойчивостей трубопровода и жидкостей позволяет выявить важные свойства гидроупругой системы в рамках принятой модели. В частных случаях получаются обобщения критериев Эйлера, Гельмгольца, Релея и их парных взаимодействий для трубопровода. В целом изгибная жесткость трубопровода, растягивающие силы, внешнее гидростатическое давление стабилизируют, т.е. начальная форма трубопровода является устойчивой, а сжимающие силы, внутреннее гидростатическое давление, движение жидкости с любыми скоростями внутри трубопровода дестабилизируют его, т.е. начальная форма трубопровода является неустойчивой. Динамическое взаимодействие рассмотренных неустойчивостей представляет собой предмет отдельного исследования. Результаты работы могут найти применение в анализе статической устойчивости трубопроводов, шлангов, трубок, микротрубок, находящихся под действием различных вышеперечисленных факторов.

About the authors

A G Khakimov

Mavlyutov Institute of Mechanics UFRC RAS

References

Statistics

Views

Abstract - 214

PDF (Russian) - 65